las matematicas

1.1.2: Encontrar área por descomposición y reorganización

1.1.2: Encontrar área por descomposición y reorganización

Lección

 

Vamos a crear formas y encontrar sus áreas.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} ): ¿Qué es el área?

 

Quizás recuerdes que el término área nos dice algo sobre el número de cuadrados dentro de una forma bidimensional.

 
         
  1. Aquí hay cuatro dibujos que muestran cuadrados dentro de una figura. Seleccione todos los dibujos cuyos cuadrados se puedan usar para encontrar el área de la forma. Prepárate para explicar tu razonamiento.
    2.  
 

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Figura ( PageIndex {1} ): Cuatro dibujos que muestran cuadrados dentro de una figura. La forma A se divide en cuadrados grandes, la forma B se divide en una combinación de cuadrados grandes y pequeños, la forma C se divide en una combinación de cuadrados grandes y espacios en blanco, y la forma D se divide en cuadrados pequeños.

 
         
  1. Escribe una definición de área que incluya toda la información que consideres importante.
    2.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} ): Composición de formas

 

Este applet tiene un triángulo rectángulo cuadrado y algunos triángulos rectángulos pequeños, medianos y grandes. El área del cuadrado es 1 unidad cuadrada.

 

Haga clic en una forma y arrastre para moverla. Agarra el punto en el vértice y arrastra para girarlo.

 
         
  1. Observa que puedes juntar dos triángulos pequeños para formar un cuadrado. ¿Cuál es el área del cuadrado compuesta por dos triángulos pequeños? Prepárate para explicar tu razonamiento.
    2.      
  2. Usa tus formas para crear una nueva forma con un área de 1 unidad cuadrada que no sea un cuadrado. Dibuja tu forma en papel y etiquétala con su área.
    3.      
  3. Usa tus formas para crear una nueva forma con un área de 2 unidades cuadradas. Dibuja tu forma y etiquétala con su área.
    4.      
  4. Usa tus formas para crear una forma diferente con un área de 2 unidades cuadradas. Dibuja tu forma y etiquétala con su área.
    5.      
  5. Usa tus formas para crear una nueva forma con un área de 4 unidades cuadradas. Dibuja tu forma y etiquétala con su área.
    6.  
 

¿Estás listo para más?

 

Encuentra una manera de usar todas tus piezas para componer un solo cuadrado grande. ¿Cuál es el área de este gran cuadrado?

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} ): Triángulos de Tangram

 

Recuerda que el área del cuadrado que viste anteriormente es 1 unidad cuadrada. Complete cada enunciado y explique su razonamiento.

 
         
  1. El área del triángulo pequeño es ____________ unidades cuadradas. Lo sé porque. . .
    2.      
  2. El área del triángulo mediano es ____________ unidades cuadradas. Lo sé porque. . .
    3.      
  3. El área del triángulo grande es ____________ unidades cuadradas. Lo sé porque. . .
    4.  
 
 

Resumen

 

Aquí hay dos principios importantes para encontrar el área :

 
         
  1. Si se pueden colocar dos figuras una encima de la otra para que coincidan exactamente, entonces tienen la misma área .
    2.      
  2. Podemos descomponer una figura (romper una figura en pedazos) y reorganizar las piezas (mover las piezas) para encontrar su área.
    3.  
 

Aquí hay ilustraciones de los dos principios.

 

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Figura ( PageIndex {2} ): Una imagen de dos cuadrados, que luego se descomponen en cuatro triángulos, que luego se reorganizan en un triángulo grande. Otra imagen de un triángulo grande que se descompone en cuatro triángulos más pequeños y luego se reorganiza en dos cuadrados.

 
         
  • Cada cuadrado de la izquierda se puede descomponer en 2 triángulos. Estos triángulos se pueden reorganizar en un triángulo grande. Entonces el triángulo grande tiene la misma área que los 2 cuadrados.
    •      
  • Del mismo modo, el triángulo grande de la derecha se puede descomponer en 4 triángulos iguales. Los triángulos se pueden reorganizar para formar 2 cuadrados. Si cada cuadrado tiene un área de 1 unidad cuadrada, entonces el área del triángulo grande es de 2 unidades cuadradas. También podemos decir que cada triángulo pequeño tiene un área de ( frac {1} {2} ) unidad cuadrada.
    •  
 

Entradas en el glosario

 
 

Definición: Área

 

Área es el número de unidades cuadradas que cubren una región bidimensional, sin espacios ni superposiciones.

 

Por ejemplo, el área de la región A es de 8 unidades cuadradas. El área de la región sombreada de B es ( frac {1} {2} ) unidad cuadrada.

 

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Figura ( PageIndex {3} )

 
 
 

Definición: Componer

 

Componer significa “poner juntos”. Usamos la palabra componer para describir poner más de una figura para crear una nueva forma.

 

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Figura ( PageIndex {4} )

 
 
 

Definición: Descomponer

 

Descomponer significa “desarmar”. Usamos la palabra descomponer para describir desmontar una figura para hacer más de una nueva forma.

 

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Figura ( PageIndex {5} )

 
 
 

Definición: Región

 

Una región es el espacio dentro de una forma. Algunos ejemplos de regiones bidimensionales están dentro de un círculo o dentro de un polígono. Algunos ejemplos de regiones tridimensionales son el interior de un cubo o el interior de una esfera.

 
 

Práctica

 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Se muestra la diagonal de un rectángulo.

 

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Figura ( PageIndex {6} )

 
         
  1. Descomponga el rectángulo a lo largo de la diagonal y recomponga las dos piezas para hacer una forma diferente .
    2.      
  2. ¿Cómo se compara el área de esta nueva forma con el área del rectángulo original? Explica cómo lo sabes.
    3.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Priya descompuso un cuadrado en 16 cuadrados más pequeños de igual tamaño y luego cortó 4 de los cuadrados pequeños y los unió alrededor del exterior del cuadrado original para hacer una nueva figura.

 

¿Cómo se compara el área de su nueva figura con la del cuadrado original?

 

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Figura ( PageIndex {7} )

 
         
  1. El área de la nueva figura es mayor.
    2.      
  2. Las dos figuras tienen la misma área.
    3.      
  3. El área del cuadrado original es mayor.
    4.      
  4. No lo sabemos porque no se conoce ni la longitud lateral ni el área del cuadrado original.
    5.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

El área del cuadrado es 1 unidad cuadrada. Se pueden juntar dos triángulos pequeños para formar un cuadrado o un triángulo mediano.

 

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Figura ( PageIndex {8} )

 

¿Qué figura también tiene un área de (1 frac {1} {2} ) unidades cuadradas? Seleccione todos que correspondan.

 

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Figura ( PageIndex {9} ): Cuatro figuras etiquetadas como A, B, C y D. La figura A está compuesta por tres triángulos pequeños, la figura B está compuesta por tres triángulos pequeños en una disposición diferente, figura C está compuesto por un triángulo mediano y un triángulo pequeño, y la figura D está compuesta por dos triángulos pequeños y un cuadrado.

 
         
  1. Figura A
    2.      
  2. Figura B
    3.      
  3. Figura C
    4.      
  4. Figura D
    5.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

El área de un patio rectangular es de 78 metros cuadrados. Si la longitud del patio es de 13 metros, ¿cuál es su ancho?

 

(De la Unidad 1.1.1)

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Un estudiante dijo: “No podemos encontrar el área de la región sombreada porque la forma tiene muchas medidas diferentes, en lugar de solo una longitud y un ancho que podríamos multiplicar”.

 

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Figura ( PageIndex {10} ): una figura de varios lados. Los lados en la parte superior miden 10 unidades, 35 unidades y 15 unidades. Dos de los tres lados de la izquierda miden 10 unidades. Uno de los dos lados a la derecha mide 10 unidades. Uno de los dos lados en la parte inferior mide 15 unidades. El ancho total de la figura es de 60 unidades, y la altura total es de 30 unidades. Todos los ángulos son ángulos rectos.

 

Explique por qué la declaración del alumno sobre el área es incorrecta.

 

(De la Unidad 1.1.1)

 
 
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antonio1095

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