Saltar al contenido
las matematicas

1.1: Introducción a los números enteros (Parte 1)

 

Habilidades para desarrollar

  • Identificar números de conteo y números enteros
  • Números enteros modelo
  • Identifica el valor posicional de un dígito
  • Use el valor posicional para nombrar números enteros
  • Use el valor posicional para escribir números enteros
  • Números enteros redondos

 

Identificar números de conteo y números enteros

Aprender álgebra es similar a aprender un idioma. Comienzas con un vocabulario básico y luego lo agregas a medida que avanzas. Necesitas practicar a menudo hasta que el vocabulario sea fácil para ti. Cuanto más usas el vocabulario, más familiar te resulta.

Álgebra usa números y símbolos para representar palabras e ideas. Veamos primero los números. Los números más básicos usados ​​en álgebra son aquellos que usamos para contar objetos: (1, 2, 3, 4, 5, … ) y así sucesivamente. Estos se llaman los números de conteo . La notación “…” se llama puntos suspensivos, que es otra forma de mostrar “y así sucesivamente”, o que el patrón continúa sin cesar. Los números de conteo también se llaman números naturales.

Definición: recuento de números

Los números de conteo comienzan con (1 ) y continúan.

(1, 2, 3, 4, 5 ldots ) ​​

Los números de conteo y los números enteros se pueden visualizar en una línea numérica como se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ).

An image of a number line from 0 to 6 in increments of one. An arrow above the number line pointing to the right with the label “larger”. An arrow pointing to the left with the label “smaller”.

Figura ( PageIndex {1} ): Los números en la línea numérica aumentan de izquierda a derecha y disminuyen de derecha a izquierda.

El punto etiquetado (0 ) se llama origen . Los puntos están igualmente espaciados a la derecha de 0 y etiquetados con los números de conteo. Cuando un número se combina con un punto, se llama la coordenada del punto.

El descubrimiento del número cero fue un gran paso en la historia de las matemáticas. La inclusión de cero con los números de conteo da un nuevo conjunto de números llamados números enteros .

Definición: números enteros

Los números enteros son los números de conteo y cero.

(0, 1, 2, 3, 4, 5 ldots ) ​​

Nos detuvimos en (5 ) al enumerar los primeros números contables y números enteros. Podríamos haber escrito más números si fueran necesarios para aclarar los patrones.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Identificación de número

¿Cuáles de los siguientes son

  1. contando números
  2. números enteros

[0, dfrac {1} {4}, 3, 5.2, 15, 105 nonumber ]

Solución

  1. Los números de conteo comienzan en (1 ), por lo que (0 ) no es un número de conteo. Los números (3 ), (15 ) y (105 ) son todos números contables.
  2. Los números enteros son números de conteo y (0 ). Los números (0, 3, 15, ) y (105 ) son números enteros. Los números ( dfrac {1} {4} ) y (5.2 ) no son números de conteo ni números enteros. Discutiremos estos números más tarde.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

¿Cuáles de los siguientes son

  1. números de conteo
  2. números enteros

[0, dfrac {2} {3}, 2, 9, 11.8, 241, 376 nonumber ]

Responda a
(2, 9, 241, 376 )
Respuesta b
(0, 2, 9, 241, 376 )

Ejercicio ( PageIndex {2} )

¿Cuáles de los siguientes son

  1. números de conteo
  2. números enteros

[0, dfrac {5} {3}, 7, 8.8, 13, 201 nonumber ]

Responda a
(7, 13, 201 )
Respuesta b
(0, 7, 13, 201 )

 

Números enteros del modelo

Nuestro sistema de números se denomina sistema de valor posicional porque el valor de un dígito depende de su posición o lugar en un número. El número (537 ) tiene un valor diferente que el número (735 ). Aunque usan los mismos dígitos, su valor es diferente debido a la diferente ubicación de (3 ) y (7 ) y (5 ).

El dinero nos da un modelo familiar de valor posicional. Supongamos que una billetera contiene tres ($ 100 ) billetes, siete ($ 10 ) billetes y cuatro ($ 1 ) billetes. Las cantidades se resumen en la Figura ( PageIndex {2} ). ¿Cuánto dinero hay en la billetera?

An image of three stacks of American currency. First stack from left to right is a stack of 3 $100 bills, with label “Three $100 bills, 3 times $100 equals $300”. Second stack from left to right is a stack of 7 $10 bills, with label “Seven $10 bills, 7 times $10 equals $70”. Third stack from left to right is a stack of 4 $1 bills, with label “Four $1 bills, 4 times $1 equals $4”.

Figura ( PageIndex {2} )

Encuentre el valor total de cada tipo de factura y luego sume para encontrar el total. La billetera contiene ($ 374 ).

An image of “$300 + $70 +$4” where the “3” in “$300”, the “7” in “$70”, and the “4” in “$4” are all in red instead of black like the rest of the expression. Below this expression there is the value “$374”. An arrow points from the red “3” in the expression to the “3” in “$374”, an arrow points to the red “7” in the expression to the “7” in “$374”, and an arrow points from the red “4” in the expression to the “4” in “$374”.

Los bloques Base – (10 ​​) proporcionan otra forma de modelar el valor posicional, como se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ). Los bloques se pueden usar para representar cientos, decenas y unidades. Observe que la barra de decenas está compuesta de (10 ​​) unidades, y el cuadrado de las centenas está compuesto de (10 ​​) decenas o (100 ) unidades.

An image with three items. The first item is a single block with the label “A single block represents 1”. The second item is a horizontal rod consisting of 10 blocks, with the label “A rod represents 10”. The third item is a square consisting of 100 blocks, with the label “A square represents 100”. The square is 10 blocks tall and 10 blocks wide.

Figura ( PageIndex {3} )

La figura ( PageIndex {4} ) muestra el número (138 ) modelado con bloques base – (10 ​​).

An image consisting of three items. The first item is a square of 100 blocks, 10 blocks wide and 10 blocks tall, with the label “1 hundred”. The second item is 3 horizontal rods containing 10 blocks each, with the label “3 tens”. The third item is 8 individual blocks with the label “8 ones”.

Figura ( PageIndex {4} ): Usamos la notación de valor posicional para mostrar el valor del número 138.

An image of “100 + 30 +8” where the “1” in “100”, the “3” in “30”, and the “8” are all in red instead of black like the rest of the expression. Below this expression there is the value “138”. An arrow points from the red “1” in the expression to the “1” in “138”, an arrow points to the red “3” in the expression to the “3” in “138”, and an arrow points from the red “8” in the expression to the “8” in 138.

Dígito Valor posicional Número Valor Valor total
1 cientos 1 100 100
3 decenas 3 10 30
8 unos 8 1 +8
Suma = 138

Ejemplo ( PageIndex {2} ): notación de valor posicional

Use la notación de valor posicional para encontrar el valor del número modelado por los bloques base – (10 ​​) mostrados.

An image consisting of three items. The first item is two squares of 100 blocks each, 10 blocks wide and 10 blocks tall. The second item is one horizontal rod containing 10 blocks. The third item is 5 individual blocks.

Figura ( PageIndex {5} )

Solución

Hay (2 ) cientos de cuadrados, que es (200 ).

Hay (1 ) decenas de varilla, que es (10 ​​).

Hay bloques (5 ) unos, que es (5 ).

An image of “200 + 10 + 5” where the “2” in “200”, the “1” in “10”, and the “5” are all in red instead of black like the rest of the expression. Below this expression there is the value “215”. An arrow points from the red “2” in the expression to the “2” in “215”, an arrow points to the red “1” in the expression to the “1” in “215”, and an arrow points from the red “5” in the expression to the “5” in 215.

Dígito Valor posicional Número Valor Valor total
2 cientos 2 100 200
1 decenas 1 10 10
5 unos 5 1 +5
215

Los bloques base – (10 ​​) modelan el número (215 ).

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Use la notación de valor posicional para encontrar el valor del número modelado por los bloques base – (10 ​​) mostrados.

An image consisting of three items. The first item is a square of 100, 10 blocks wide and 10 blocks tall. The second item is 7 horizontal rods containing 10 blocks each. The third item is 6 individual blocks.

Figura ( PageIndex {6} )

Respuesta
(176 )

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Use la notación de valor posicional para encontrar el valor del número modelado por los bloques base – (10 ​​) mostrados.

An image consisting of three items. The first item is two squares of 100 blocks each, 10 blocks wide and 10 blocks tall. The second item is three horizontal rods containing 10 blocks each. The third item is 7 individual blocks.

Figura ( PageIndex {7} )

Respuesta
(237 )

 

Identifique el valor posicional de un dígito

Al observar el dinero y los bloques de base 10, vimos que cada lugar en un número tiene un valor diferente. Un cuadro de valor posicional es una forma útil de resumir esta información. Los valores posicionales se separan en grupos de tres, llamados períodos. Los períodos son unos, miles, millones, miles de millones, billones , y así sucesivamente. En un número escrito, las comas separan los puntos.

Al igual que con la base – (10 ​​) bloques, donde el valor de la barra de decenas es diez veces el valor del bloque de unidades y el valor de los cientos de cuadrados es diez veces la barra de decenas, el valor de cada el lugar en el gráfico de valor posicional es diez veces el valor del lugar a la derecha del mismo.

La figura ( PageIndex {8} ) muestra cómo se escribe el número (5,278,194 ) en un gráfico de valor posicional.

A chart titled 'Place Value' with fifteen columns and 4 rows, with the columns broken down into five groups of three. The header row shows Trillions, Billions, Millions, Thousands, and Ones. The next row has the values 'Hundred trillions', 'Ten trillions', 'trillions', 'hundred billions', 'ten billions', 'billions', 'hundred millions', 'ten millions', 'millions', 'hundred thousands', 'ten thousands', 'thousands', 'hundreds', 'tens', and 'ones'. The first 8 values in the next row are blank. Starting with the ninth column, the values are '5', '2', '7', '8', '1', '9', and '4'.

Figura ( PageIndex {8} )

  • El dígito (5 ) está en el lugar de los millones. Su valor es (5,000,000 ).
  • El dígito (2 ) está en el lugar de los cientos de miles. Su valor es (200,000 ).
  • El dígito (7 ) está en el lugar de los diez mil. Su valor es (70,000 ).
  • El dígito (8 ) está en el lugar de los miles. Su valor es (8,000 ).
  • El dígito (1 ) está en el lugar de las centenas. Su valor es (100 ).
  • El dígito (9 ) está en el lugar de las decenas. Su valor es (90 ).
  • El dígito (4 ) está en el lugar de las unidades. Su valor es (4 ).

Ejemplo ( PageIndex {3} ): valor posicional

En el número (63,407,218 ); encuentre el valor posicional de cada uno de los siguientes dígitos:

  1. 7
  2. 0
  3. 1
  4. 6
  5. 3

Solución

Escriba el número en una tabla de valor posicional, comenzando por la derecha.

A figure titled “Place Values” with fifteen columns and 2 rows, with the colums broken down into five groups of three. The first row has the values “Hundred trillions”, “Ten trillions”, “trillions”, “hundred billions”, “ten billions”, “billions”, “hundred millions”, “ten millions”, “millions”, “hundred thuosands”, “ten thousands”, “thousands”, “hundreds”, “tens”, and “ones”. The first 7 values in the second row are blank. Starting with eighth column, the values are “6”, “3”, “4”, “0”, “7”, “2”, “1” and “8”. The first group is labeled “trillions” and contains the first row values of “Hundred trillions”, “ten trillions”, and “trillions”. The second group is labeled “billions” and contains the first row values of “Hundred billions”, “ten billions”, and “billions”. The third group is labeled “millions” and contains the first row values of “Hundred millions”, “ten millions”, and “millions”. The fourth group is labeled “thousands” and contains the first row values of “Hundred thousands”, “ten thousands”, and “thousands”. The fifth group is labeled “ones” and contains the first row values of “Hundreds”, “tens”, and “ones”.

Figura ( PageIndex {9} )

  1. El (7 ) está en el lugar de los miles.
  2. El (0 ) está en el lugar de los diez mil.
  3. El (1 ) está en el lugar de las decenas.
  4. El (6 ) está en el lugar de los diez millones.
  5. El (3 ) está en el lugar de los millones.

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Para cada número, encuentre el valor posicional de los dígitos enumerados: (27,493,615 )

  1. (2 )
  2. (1 )
  3. (4 )
  4. (7 )
  5. (5 )
Responda a
(2 )
Respuesta b
(1 )
Respuesta c
(4 )
Respuesta d
(7 )
Respuesta e
(5 )

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Para cada número, encuentre el valor posicional de los dígitos enumerados: (519,711,641,328 )

  1. (9 )
  2. (4 )
  3. (2 )
  4. (6 )
  5. (7 )
Responda a
miles de millones
Respuesta b
diez mil
Respuesta c
decenas
Respuesta d
cien mil
Respuesta e
cien millones

 

Usar valor posicional para nombrar números enteros

Cuando escribe un cheque, escribe el número en palabras y también en dígitos. Para escribir un número en palabras, escriba el número en cada período seguido del nombre del período sin las “s” al final. Comience con el dígito a la izquierda, que tiene el mayor valor posicional. Las comas separan los puntos, por lo que siempre que haya una coma en el número, escriba una coma entre las palabras. El período de las unidades, que tiene el valor posicional más pequeño, no se denomina

An image with three values separated by commas. The first value is “37” and has the label “millions”. The second value is “519” and has the label thousands. The third value is “248” and has the label ones. Underneath, the value “37” has an arrow pointing to “Thirty-seven million”, the value “519” has an arrow pointing to “Five hundred nineteen thousand”, and the value “248” has an arrow pointing to “Two hundred forty-eight”.

Entonces el número (37,519,248 ) está escrito treinta y siete millones quinientos diecinueve mil doscientos cuarenta y ocho. Observe que la palabra y no se usa al nombrar un número entero.

Cómo: nombrar un número entero en palabras.

Paso 1. Comenzando en el dígito de la izquierda, nombre el número en cada período, seguido del nombre del período. No incluya el nombre del período para los.

Paso 2. Usa comas en el número para separar los puntos.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): nombre números enteros

Nombre el número (8,165,432,098,710 ) en palabras.

Solución

Comience con el dígito más a la izquierda, que es (8 ). Está en el lugar de los billones. ocho billones
El siguiente período a la derecha es de miles de millones. ciento sesenta y cinco mil millones
El siguiente período a la derecha es millones. cuatrocientos treinta y dos millones
El siguiente período a la derecha es miles. noventa y ocho mil
El período más a la derecha muestra los. setecientos diez

An image with five values separated by commas. The first value is “8” and has the label “trillions”. The second value is “165” and has the label “bilions”. The third value is “432” and has the label “millions”. The fourth value is “098” and has the label “thousands”. The fifth value is “710” and has the label “ones”. Underneath, the value “8” has an arrow pointing to “Eight trillion”, the value “165” has an arrow pointing to “One hundred sixty-five billion”, the value “432” has an arrow pointing to “Four hundred thirty-two million”, the value “098” has an arrow pointing to “Ninety-eight thousand”, and the value “710” has an arrow pointing to “seven hundred ten”.

Al juntar todas las palabras, escribimos (8,165,432,098,710 ) como ocho billones, ciento sesenta y cinco mil millones, cuatrocientos treinta y dos millones, noventa y ocho mil setecientos diez.

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Nombre cada número en palabras: (9,258,137,904,061 )

Respuesta
nueve billones, doscientos cincuenta y ocho mil millones ciento treinta y siete millones novecientos cuatro mil sesenta y uno

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Nombre cada número en palabras: (17,864,325,619,004 )

Respuesta
diecisiete billones, ochocientos sesenta y cuatro mil millones, trescientos veinticinco millones, seiscientos diecinueve mil, cuatro

Ejemplo ( PageIndex {5} ): nombre números enteros

Un estudiante realizó una investigación y descubrió que el número de usuarios de teléfonos móviles en los Estados Unidos durante un mes en 2014 fue de (327,577,529 ). Nombra ese número en palabras.

Solución

Identifique los períodos asociados con el número.

An image with three values separated by commas. The first value is “327” and has the label “millions”. The second value is “577” and has the label “thousands”. The third value is “529” and has the label “ones”.

Nombre el número en cada período, seguido del nombre del período. Ponga las comas para separar los puntos.

Período de millones: trescientos veintisiete millones

Miles período: quinientos setenta y siete mil

Un período: quinientos veintinueve

Entonces, el número de usuarios de teléfonos móviles en los Estados Unidos durante el mes de abril fue de trescientos veintisiete millones, quinientos setenta y siete mil quinientos veintinueve.

Ejercicio ( PageIndex {9} )

La población en un país es (316,128,839 ). Nombre ese número

Respuesta
trescientos dieciseis millones, ciento veintiocho mil ochocientos treinta y nueve

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Un año es (31,536,000 ) segundos. Nombra ese número.

Respuesta
treinta y un millones quinientos treinta y seis mil

 

Usar valor posicional para escribir números enteros

Ahora invertiremos el proceso y escribiremos un número dado en palabras como dígitos.

Cómo: Usar el valor posicional para escribir números enteros

Paso 1. Identifica las palabras que indican períodos. (Recuerde que el período de las unidades nunca se nombra).

Paso 2. Dibuje tres espacios en blanco para indicar el número de lugares necesarios en cada período. Separe los puntos por comas.

Paso 3. Nombra el número en cada período y coloca los dígitos en la posición correcta del valor posicional.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): escribir números enteros

Escribe los siguientes números con dígitos.

  1. cincuenta y tres millones cuatrocientos un mil setecientos cuarenta y dos
  2. nueve mil doscientos cuarenta y seis millones setenta y tres mil ciento ochenta y nueve

Solución

  1. Identifica las palabras que indican períodos.

Excepto para el primer período, todos los demás períodos deben tener tres lugares. Dibuje tres espacios en blanco para indicar el número de lugares necesarios en cada período. Separe los puntos por comas.

Luego escribe los dígitos en cada período.

An image with three blocks of text pointing to numerical values. The first block of text is “fifty-three million”, has the label “millions”, and points to value 53. The second block of text is “four hundred one thousand”, has the label “thousands”, and points to value 401. The third block of text is “seven hundred forty-two”, has the label “ones”, and points to value 742.

Ponga los números juntos, incluidas las comas. El número es (53,401,742 ).

  1. Identifica las palabras que indican períodos.

Excepto para el primer período, todos los demás períodos deben tener tres lugares. Dibuje tres espacios en blanco para indicar el número de lugares necesarios en cada período. Separe los puntos por comas.

Luego escribe los dígitos en cada período.

An image with four blocks of text pointing to numerical values. The first block of text is “nine billion”, has the label “billions”, and points to value 9. The second block of text is “two hundred forty-six million”, has the label “millions”, and points to value 246. The third block of text is “seventy-three thousand”, has the label “thousands”, and points to value 742. The fourth block of text is “one hundred eighty-nine”, has the label “ones”, and points to the value 189.

El número es (9,246,073,189. )

Observe que en la parte (b), se necesitaba un cero como marcador de posición en el lugar de los cientos de miles. Asegúrese de escribir ceros según sea necesario para asegurarse de que cada período, excepto posiblemente el primero, tenga tres lugares.

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Escriba cada número en forma estándar:

cincuenta y tres millones ochocientos nueve mil cincuenta y uno

Respuesta
(53,809,051 )

Ejercicio ( PageIndex {12} )

Escriba cada número en forma estándar:

dos mil veintidos millones setecientos catorce mil cuatrocientos sesenta y seis

Respuesta
(2,022,714,466 )

Ejemplo ( PageIndex {7} ): escribir formulario estándar

Un presupuesto estatal era de ($ 77 ) mil millones. Escribe el presupuesto en forma estándar.

Solución

Identifica los períodos. En este caso, solo se dan dos dígitos y están en el período de miles de millones. Para escribir el número entero, escribe ceros para todos los otros períodos.

An image with four blocks of text pointing to numerical values. The first block of text is “77 billion”, has the label “billions”, and points to value “77”. The second block of text is null, has the label “millions”, and points to value “000”. The third block of text is null, has the label “thousands”, and points to value “000”. The fourth block of text is null, has the label “ones”, and points to the value “000”.

Entonces el presupuesto fue de ($ 77,000,000,000 ).

Ejercicio ( PageIndex {13} )

Escriba cada número en forma estándar:

La distancia más cercana de la Tierra a Marte es de aproximadamente (34 ) millones de millas.

Respuesta
(34,000,000 : millas )

Ejercicio ( PageIndex {14} )

Escriba cada número en forma estándar:

El peso total de un portaaviones es (204 ) millones de libras.

Respuesta
(204,000,000 : libras )

 

Colaboradores

  • Lynn Marecek (Santa Ana College) y MaryAnne Anthony-Smith (antes de Santa Ana College). Este contenido producido por OpenStax y está licenciado bajo una licencia Creative Commons Attribution License 4.0 .

]]>