Números reales

 

El álgebra a menudo se describe como la generalización de la aritmética. El uso sistemático de las variables ¹ , letras utilizadas para representar números, nos permite comunicarnos y resolver una amplia variedad de problemas del mundo real. Por esta razón, comenzamos revisando los números reales y sus operaciones.

 

Un conjunto ² es una colección de objetos, generalmente agrupados entre llaves ( {} ), donde cada objeto se llama un [ 19459014] elemento ³ . Cuando estudiamos matemáticas, nos enfocamos en conjuntos especiales de números.

 

[ begin {align *} mathbb {N} & = underbrace { {1,2,3,4,5, dots }} _ { color {Cerulean} {Natural : Números }} \ [4pt] W & = underbrace { {0, 1,2,3,4,5, dots }} _ { color {Cerulean} {Whole : Numbers}} \ [4pt ] mathbb {Z} & = underbrace { { dots, -3, -2, -1,0,1,2,3, dots }} _ { color {Cerulean} {Integers}} end {align *} ]

 

Los tres puntos (…) se denominan puntos suspensivos e indican que los números continúan sin límite. Un subconjunto ⁴ , denotado ( subseteq ), es un conjunto que consta de elementos que pertenecen a un conjunto dado. Observe que los conjuntos de natural ⁵ y números enteros ⁶ son ​​ambos subconjuntos del conjunto de enteros y podemos escribir:

 

( mathbb {N} subseteq mathbb {Z} ) y (W subseteq mathbb {Z} )

 

Un conjunto sin elementos se denomina conjunto vacío ⁷ y tiene su propia notación especial:

 

( {: : : } = varnothing : color {Cerulean} {Empty : Set} )

 

Los números racionales ⁸ , denotados ( mathbb {Q} ), se definen como cualquier número de la forma ( frac {a } {b} ) donde a y b son ​​enteros y b es distinto de cero. Podemos describir este conjunto usando la notación de conjunto ⁹ :

 

( mathbb {Q} = left { frac {a} {b} | a, b in mathbb {Z}, b neq 0 right } color {Cerulean} {Racional : Números} )

 

La línea vertical | dentro de los corchetes se lee, “ de modo que ” y el símbolo ( in ) indica membresía establecida y se lee, “ es un elemento de “. La notación anterior en su totalidad dice: “ el conjunto de todos los números ( frac {a} {b} ) de modo que ayb son elementos del conjunto de enteros yb no es igual a cero. ”Los decimales que terminan o se repiten son racionales. Por ejemplo,

 

(0.05 = frac {5} {100} ) y (0. overline {6} = 0.6666… = frac {2} {3} )

 

El conjunto de enteros es un subconjunto del conjunto de números racionales, ( mathbb {Z} subseteq mathbb {Q} ), porque cada entero puede expresarse como una razón del entero y 1. En En otras palabras, cualquier número entero se puede escribir sobre 1 y se puede considerar un número racional. Por ejemplo,

 

(7 = frac {7} {1} )

 

Los números irracionales ¹⁰ se definen como cualquier número que no se pueda escribir como una razón de dos enteros. Los decimales no terminales que no se repiten son irracionales. Por ejemplo,

 

(π = 3.14159… ) y ( sqrt {2} = 1.41421… )

 

Finalmente, el conjunto de números reales ¹¹ , denotado ( mathbb {R} ), se define como el conjunto de todos los números racionales combinado con el conjunto de todos los números irracionales. Por lo tanto, todos los números definidos hasta ahora son subconjuntos del conjunto de números reales. En resumen,

 

 

El conjunto de enteros pares ¹² es el conjunto de todos los enteros que son divisibles por (2 ). Podemos obtener el conjunto de enteros pares multiplicando cada entero por (2 ).

 

( { dots, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, dots } color {Cerulean} {Even : Integers} )

 

El conjunto de enteros impares ¹³ es el conjunto de todos los enteros distintos de cero que no son divisibles por (2 ).

 

( { dots, −5, −3, −1, 1, 3, 5, dots } color {Cerulean} {Odd : Integers} )

 

Un número primo ¹⁴ es un número entero mayor que (1 ) que es divisible solo por (1 ) y en sí mismo. El número primo más pequeño es (2 ) y el resto son necesariamente impares.

 

( {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, dots } color {Cerulean} {Prime : Numbers} )

 

Cualquier número entero mayor que (1 ) que no es primo se denomina número compuesto ¹⁵ y puede escribirse de manera única como un producto de números primos . Cuando un número compuesto, como (42 ), se escribe como un producto, (42 = 2⋅21 ), decimos que (2⋅21 ) es una factorización [19459042 ] ¹⁶ de (42 ) y que (2 ) y (21 ) son factores ¹⁷ [19459018 ] Tenga en cuenta que los factores dividen el número de manera uniforme. Podemos continuar escribiendo factores compuestos como productos hasta que solo quede un producto de primos.

 

 

Por lo tanto, la factorización prima ¹⁸ de (42 ) es (2⋅3⋅7 ).

   

Una fracción ¹⁹ es un número racional escrito como cociente, o razón, de dos enteros a y b donde (b ≠ 0 ).

 

 

El entero sobre la barra de fracción se llama numerador ²⁰ y el entero de abajo se llama denominador [ 19459016] 21 . Dos razones iguales expresadas usando diferentes numeradores y denominadores se denominan fracciones equivalentes ²² . Por ejemplo,

 

( frac {50} {100} = frac {1} {2} )

 

Considere las siguientes factorizaciones de (50 ) y (100 ):

 

(50 = 2⋅25 )

 

(100 = 4⋅25 )

 

Los números (50 ) y (100 ) comparten el factor (25 ). Un factor compartido se denomina factor común ²³ . Haciendo uso del hecho de que ( frac {25} {25} = 1 ), tenemos

 

( frac {50} {100} = frac {2⋅ bcancel {25}} {4⋅ bcancel {25}} = frac {2} {4} ⋅ color {Cerulean} { 1} ) (= frac {2} {4} )

 

Dividir ( frac {25} {25} ) y reemplazar este factor con un (1 ) se llama cancelar ²⁴ . Juntos, estos pasos básicos para encontrar fracciones equivalentes definen el proceso de reducción ²⁵ . Dado que los factores dividen su producto de manera uniforme, logramos el mismo resultado dividiendo tanto el numerador como el denominador entre (25 ) de la siguiente manera:

 

( frac {50 color {Cerulean} {÷ 25}} {100 color {Cerulean} {÷ 25}} = frac {2} {4} )

 

Encontrar fracciones equivalentes donde el numerador y el denominador son relativamente primos ²⁶ , o no tienen un factor común que no sea (1 ), se llama [ 19459023] reduciendo a los términos más bajos ²⁷ . Esto se puede hacer dividiendo el numerador y el denominador entre el máximo común divisor (MCD) . ²⁸ El MCD es el número más grande que divide un conjunto de números de manera uniforme. Una forma de encontrar el MCD de (50 ) y (100 ) es enumerar todos los factores de cada uno e identificar el número más grande que aparece en ambas listas. Recuerde, cada número también es un factor en sí mismo.

 

( {1,2,5,10,25,50 } color {Cerulean} {Factors : of : 50} )

 

( {1,2,4,5,10,20,25,50,100 } color {Cerulean} {Factors : of : 100} )

 

Los factores comunes se enumeran en negrita, y vemos que el mayor factor común es (50 ). Utilizamos la siguiente notación para indicar el MCD de dos números: MCD ((50, 100) = 50 ). Después de determinar el MCD, reduzca dividiendo el numerador y el denominador de la siguiente manera:

 

( frac {50 color {Cerulean} {÷ 50}} {100 color {Cerulean} {÷ 50}} = frac {1} {2} )

   

Recordemos la relación entre multiplicación y división:

 

 

En este caso, el dividendo ²⁹ (12 ) está dividido en partes iguales por el divisor ^{] 30} (6 ) para obtener el cociente ³¹ (2 ). Es cierto en general que si multiplicamos el divisor por el cociente obtenemos el dividendo. Ahora considere el caso donde el dividendo es cero y el divisor no es cero:

 

( frac {0} {6} = 0 ) desde (6⋅0 = 0 )

 

Esto demuestra que el cero dividido por cualquier número real distinto de cero debe ser cero. Ahora considere un número distinto de cero dividido por cero:

 

( frac {12} {0} = color {Cerulean} {?} ) O (0⋅ color {Cerulean} {?} ) (= 12 )

 

Cero veces cualquier cosa es cero y concluimos que no hay un número real tal que (0⋅? = 12 ). Por lo tanto, el cociente (12 ÷ 0 ) es indefinido ³² . Pruébalo en una calculadora, ¿qué dice? Para nuestros propósitos, simplemente escribiremos “indefinido”. Para resumir, dado cualquier número real (a ≠ 0 ), entonces

 

(0 ÷ a = frac {0} {a} = 0 color {Cerulean} {zero} ) y (a ÷ 0 = frac {a} {0} color {Cerulean} { indefinido} )

 

Nos queda considerar el caso en que el dividendo y el divisor son ambos cero.

 

( frac {0} {0} = color {Cerulean} {?} ) O (0⋅ color {Cerulean} {?} ) (= 0 )

 

Aquí, cualquier número real parece funcionar. Por ejemplo, (0⋅5 = 0 ) y también, (0⋅ 3 = 0 ). Por lo tanto, el cociente es incierto o indeterminado ³³ .

 

(0 ÷ 0 = frac {0} {0} color {Cerulean} {indeterminado} )

 

En este curso, afirmamos que (0 ÷ 0 ) no está definido.

 

La recta numérica y la notación

 

Una línea de número real ³⁴ , o simplemente línea de número , nos permite mostrar visualmente números reales al asociarlos con números únicos puntos en una línea. El número real asociado con un punto se llama coordenada ³⁵ . Un punto en la recta numérica real que se asocia con una coordenada se denomina gráfico ³⁶ . Para construir una línea numérica, dibuje una línea horizontal con flechas en ambos extremos para indicar que continúa sin límite. Luego, elija cualquier punto para representar el número cero; este punto se llama el origen ³⁷ .

 

 

Los números reales positivos se encuentran a la derecha del origen y los números reales negativos se encuentran a la izquierda. El número cero ((0) ) no es ni positivo ni negativo. Por lo general, cada marca representa una unidad.

 

 

Como se ilustra a continuación, la escala no necesita ser siempre una unidad. En la primera recta numérica, cada marca representa dos unidades. En el segundo, cada marca representa ( frac {1} {7} ):

 

 

La gráfica de cada número real se muestra como un punto en el punto apropiado de la recta numérica. A continuación se muestra un gráfico parcial del conjunto de enteros ( mathbb {Z} ):

 

   

El opuesto ³⁸ de cualquier número real a es – a . Los números reales opuestos están a la misma distancia del origen en una recta numérica, pero sus gráficos se encuentran en lados opuestos del origen y los números tienen signos opuestos.

 

 

Dado el entero (- 7 ), el entero a la misma distancia del origen y con el signo opuesto es (+ 7 ), o simplemente (7 ).

 

 

Por lo tanto, decimos que el opuesto de (- 7 ) es (- (- 7) = 7 ). Esta idea conduce a lo que a menudo se conoce como la propiedad doble negativa ³⁹ . Para cualquier número real a ,

 

(- (- a) = a )

   

En general, un número impar de signos negativos secuenciales da como resultado un valor negativo y un número par de signos negativos secuenciales da como resultado un valor positivo.

 

Al comparar números reales en una recta numérica, el número más grande siempre estará a la derecha del más pequeño. Está claro que (15 ) es mayor que (5 ), pero puede no ser tan claro ver que (- 1 ) es mayor que (- 5 ) hasta que graficamos cada número en un numero de linea.

 

 

Utilizamos símbolos para ayudarnos a comunicar eficientemente las relaciones entre los números en la recta numérica.

 

( color {Cerulean} {Relaciones de igualdad Relaciones de orden} )

 

(= ) “es igual a” (<) "es menor que"

 

( neq ) “no es igual a” (> ) “es mayor que”

 

( approx ) “es aproximadamente igual a” ( leq ) “es menor o igual que”

 

( geq ) “es mayor o igual que”

 

La relación entre los enteros ⁴⁰ en la ilustración anterior se puede expresar de la siguiente manera:

 

(- 5 <−1 color {Cerulean} {"Negativo : cinco : es : menos : que : negativo : uno."} )

 

o

 

(- 1> −5 color {Cerulean} {“Negativo : uno : es : mayor : que : negativo : cinco.”} )

 

Los símbolos (<) y (> ) se usan para denotar desigualdades estrictas ⁴¹ , y los símbolos ( leq ) y ( geq ) se usan para denotar desigualdades inclusivas ⁴² . En algunas situaciones, se puede aplicar correctamente más de un símbolo. Por ejemplo, las siguientes dos afirmaciones son verdaderas:

 

(- 10 <0 ) y (- 10≤0 )

 

Además, el componente “ o igual a ” de una desigualdad inclusiva nos permite escribir correctamente lo siguiente:

 

(- 10≤ − 10 )

 

El uso lógico de la palabra “ o ” requiere que solo una de las condiciones sea verdadera: el “ menor que ” o el “ igual a ] “.

   

Una desigualdad algebraica ⁴³ , como (x geq 2 ), se lee, “ x es mayor o igual que a (2 ) “. Aquí la letra x es una variable, que puede representar cualquier número real. Sin embargo, la instrucción (x geq 2 ) impone una condición en la variable. Soluciones ⁴⁴ son ​​los valores para x que satisfacen la condición. Esta desigualdad tiene infinitas soluciones para x , algunas de las cuales son (2, 3, 4.1, 5, 20, ) y (20.001 ). Como es imposible enumerar todas las soluciones, se necesita un sistema que permita una comunicación clara de este conjunto infinito. Las formas comunes de expresar soluciones a una desigualdad son graficarlas en una recta numérica, usar notación de intervalo o usar notación de conjunto.

 

Para expresar la solución gráficamente, dibuje una recta numérica y sombree todos los valores que son soluciones a la desigualdad. Esto se llama el gráfico del conjunto de soluciones ⁴⁵ . Sigue el intervalo y la notación de conjunto:

 

“x es mayor o igual que (2 )” (x geq 2 )

 

 

( color {Cerulean} {Notación de intervalo:} ) ([, 2, ∞) )

 

( color {Cerulean} {Establecer notación:} ) ( {x in mathbb {R} | x geq 2 } )

 

En este ejemplo, existe una desigualdad inclusiva, lo que significa que el límite inferior (2 ) está incluido en el conjunto de soluciones. Denote esto con un punto cerrado en la recta numérica y un corchete en notación de intervalo. El símbolo (∞ ) se lee como “ infinito ⁴⁶ ” e indica que el conjunto no está acotado a la derecha en una línea numérica. Si usa un teclado estándar, use (inf) como forma abreviada para denotar infinito. Ahora compare la notación en el ejemplo anterior con la de la desigualdad estricta, o no inclusiva, que sigue:

 

“x es menor que (3 )” (x <3 )

 

 

( color {Cerulean} {Intervalo : notación:} ) ((- ∞, 3) )

 

( color {Cerulean} {Set : notation:} ) ( {x in mathbb {R} | x <3 } )

 

Las desigualdades estrictas implican que las soluciones pueden acercarse mucho al punto límite, en este caso (3 ), pero en realidad no lo incluyen. Denote esta idea con un punto abierto en la recta numérica y un paréntesis redondo en notación de intervalo. El símbolo (- ∞ ) se lee como “ infinito negativo ⁴⁷ ” e indica que el conjunto está sin límites a la izquierda en una línea numérica. El infinito está vinculado a los números reales, pero no es en sí mismo un número real: no puede incluirse en el conjunto de soluciones y, por lo tanto, siempre está encerrado entre paréntesis.

 

La notación de intervalo es textual y se determina después de representar gráficamente el conjunto de soluciones en una recta numérica. Los números en notación de intervalo deben escribirse en el mismo orden en que aparecen en la línea numérica, apareciendo primero los números más pequeños en el conjunto. La notación de conjuntos, a veces denominada notación de generador de conjuntos, nos permite describir el conjunto utilizando notación matemática familiar. Por ejemplo,

 

( {x in mathbb {R} | x geq 2 } )

 

Aquí, (x in mathbb {R} ) describe el tipo de número. Esto implica que la variable x representa un número real. La declaración (x geq 2 ) es la condición que describe el conjunto utilizando la notación matemática. En este punto de nuestro estudio de álgebra, se supone que todas las variables representan números reales. Por este motivo, puede omitir “ ( in mathbb {R} )” y escribir

 

( {x | x geq 2 } )

   

Una desigualdad compuesta ⁴⁸ es en realidad dos o más desigualdades en una declaración unidas por la palabra “y” o por la palabra “o”. Las desigualdades compuestas con el “o” lógico requieren que se cumpla cualquiera de las condiciones. Por lo tanto, el conjunto de soluciones de este tipo de desigualdad compuesta consta de todos los elementos de los conjuntos de soluciones de cada desigualdad. Cuando unimos estos conjuntos de soluciones individuales, se llama la unión ⁴⁹ , denotada ( cup ). Por ejemplo,

 

(x <3 ) o (x geq 6 )

 

 

( color {Cerulean} {Notación de intervalo:} ) ((- ∞, 3) cup [6, ∞) )

 

( color {Cerulean} {Establecer notación:} ) ( {x | x <3 o x geq 6 } )

 

Una desigualdad como,

 

(- 1 leq x <3 )

 

dice: “ uno negativo es menor o igual que x y x es menor que tres “. Esto es en realidad una desigualdad compuesta porque puede descomponerse de la siguiente manera:

 

(- 1 leq x ) y (x <3 )

 

La lógica “y” requiere que ambas condiciones sean verdaderas. Ambas desigualdades serán satisfechas por todos los elementos en la intersección ⁵⁰ , denotado ( cap ), de los conjuntos de solución de cada uno.

   

En este texto, a menudo señalaremos la notación equivalente usada para expresar cantidades matemáticas electrónicamente usando los símbolos estándar disponibles en un teclado.

 

(× “*” ≥ “> =” )

 

(÷ “/” ≤ “<=" )

 

(≠ “! =” )

 

Muchas calculadoras, sistemas de álgebra computacional y lenguajes de programación usan la notación presentada anteriormente, entre comillas.

 

Valor absoluto

 

El valor absoluto ⁵¹ de un número real a , denotado (| a | ), se define como el distancia entre cero (el origen) y la gráfica de ese número real en la recta numérica. Como es una distancia, siempre es positivo. Por ejemplo,

 

(| −4 | = 4 ) y (| 4 | = 4 )

 

Tanto (4 ) como (- 4 ) son cuatro unidades del origen, como se ilustra a continuación:

 

 

Además, vale la pena señalar que,

 

(| 0 | = 0 )

 

La definición algebraica del valor absoluto de un número real a sigue:

 

(| a | = left { begin {alineado} a & text {if} a geq 0 \ – a & text {if} a <0 end {alineado} right. )

 

Esto se llama una definición por partes ⁵² . El resultado depende de la cantidad a . Si a no es negativo, como lo indica la desigualdad (a geq 0 ), entonces el valor absoluto será ese número a . Si a es negativo, como lo indica la desigualdad (a <0 ), entonces el valor absoluto será el opuesto de ese número, - a . Los resultados serán los mismos que la definición geométrica. Por ejemplo, para determinar (| −4 | ) hacemos notar que el valor es negativo y usamos la segunda parte de la definición. El valor absoluto será el opuesto de (- 4 ).

 

(| −4 | = – (- 4) )

 

(= 4 )

 

En este punto, podemos determinar qué números reales tienen ciertos valores absolutos.

     

The absolute value can be expressed textually using the notation abs( a ). We often encounter negative absolute values, such as (−|3|) or (−abs(3)). Notice that the negative sign is in front of the absolute value symbol. In this case, work the absolute value first and then find the opposite of the result.

 

(begin{array} { r r r } { – | 3 | } & { } & { – | – 3 | } \ { color{Cerulean}{downarrow} } & { text { and } } & { color{Cerulean}{downarrow} } \ { = – 3 } & { } & { = – 3 } end{array})

 

Try not to confuse this with the double negative property, which states that (− (−3) = +3).