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las matematicas

1.1: Revisión de números reales y valor absoluto

                 

 

Habilidades para desarrollar

 
         
  • Repasa el conjunto de números reales.
  •      
  • Revise la línea de números reales y la notación.
  •      
  • Defina la definición geométrica y algebraica del valor absoluto.
  •  
 
 

Números reales

 

El álgebra a menudo se describe como la generalización de la aritmética. El uso sistemático de las variables 1 , letras utilizadas para representar números, nos permite comunicarnos y resolver una amplia variedad de problemas del mundo real. Por esta razón, comenzamos revisando los números reales y sus operaciones.

 

Un conjunto 2 es una colección de objetos, generalmente agrupados entre llaves ( {} ), donde cada objeto se llama un [ 19459014] elemento 3 . Cuando estudiamos matemáticas, nos enfocamos en conjuntos especiales de números.

 

[ begin {align *} mathbb {N} & = underbrace { {1,2,3,4,5, dots }} _ { color {Cerulean} {Natural : Números }} \ [4pt] W & = underbrace { {0, 1,2,3,4,5, dots }} _ { color {Cerulean} {Whole : Numbers}} \ [4pt ] mathbb {Z} & = underbrace { { dots, -3, -2, -1,0,1,2,3, dots }} _ { color {Cerulean} {Integers}} end {align *} ]

 

Los tres puntos (…) se denominan puntos suspensivos e indican que los números continúan sin límite. Un subconjunto 4 , denotado ( subseteq ), es un conjunto que consta de elementos que pertenecen a un conjunto dado. Observe que los conjuntos de natural 5 y números enteros 6 son ​​ambos subconjuntos del conjunto de enteros y podemos escribir:

 

( mathbb {N} subseteq mathbb {Z} ) y (W subseteq mathbb {Z} )

 

Un conjunto sin elementos se denomina conjunto vacío 7 y tiene su propia notación especial:

 

( {: : : } = varnothing : color {Cerulean} {Empty : Set} )

 

Los números racionales 8 , denotados ( mathbb {Q} ), se definen como cualquier número de la forma ( frac {a } {b} ) donde a y b son ​​enteros y b es distinto de cero. Podemos describir este conjunto usando la notación de conjunto 9 :

 

( mathbb {Q} = left { frac {a} {b} | a, b in mathbb {Z}, b neq 0 right } color {Cerulean} {Racional : Números} )

 

La línea vertical | dentro de los corchetes se lee, “ de modo que ” y el símbolo ( in ) indica membresía establecida y se lee, “ es un elemento de “. La notación anterior en su totalidad dice: “ el conjunto de todos los números ( frac {a} {b} ) de modo que ayb son elementos del conjunto de enteros yb no es igual a cero. ”Los decimales que terminan o se repiten son racionales. Por ejemplo,

 

(0.05 = frac {5} {100} ) y (0. overline {6} = 0.6666… = frac {2} {3} )

 

El conjunto de enteros es un subconjunto del conjunto de números racionales, ( mathbb {Z} subseteq mathbb {Q} ), porque cada entero puede expresarse como una razón del entero y 1. En En otras palabras, cualquier número entero se puede escribir sobre 1 y se puede considerar un número racional. Por ejemplo,

 

(7 = frac {7} {1} )

 

Los números irracionales 10 se definen como cualquier número que no se pueda escribir como una razón de dos enteros. Los decimales no terminales que no se repiten son irracionales. Por ejemplo,

 

(π = 3.14159… ) y ( sqrt {2} = 1.41421… )

 

Finalmente, el conjunto de números reales 11 , denotado ( mathbb {R} ), se define como el conjunto de todos los números racionales combinado con el conjunto de todos los números irracionales. Por lo tanto, todos los números definidos hasta ahora son subconjuntos del conjunto de números reales. En resumen,

 
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Figura 1.1.1: Números reales
 

El conjunto de enteros pares 12 es el conjunto de todos los enteros que son divisibles por (2 ). Podemos obtener el conjunto de enteros pares multiplicando cada entero por (2 ).

 

( { dots, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, dots } color {Cerulean} {Even : Integers} )

 

El conjunto de enteros impares 13 es el conjunto de todos los enteros distintos de cero que no son divisibles por (2 ).

 

( { dots, −5, −3, −1, 1, 3, 5, dots } color {Cerulean} {Odd : Integers} )

 

Un número primo 14 es un número entero mayor que (1 ) que es divisible solo por (1 ) y en sí mismo. El número primo más pequeño es (2 ) y el resto son necesariamente impares.

 

( {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, dots } color {Cerulean} {Prime : Numbers} )

 

Cualquier número entero mayor que (1 ) que no es primo se denomina número compuesto 15 y puede escribirse de manera única como un producto de números primos . Cuando un número compuesto, como (42 ), se escribe como un producto, (42 = 2⋅21 ), decimos que (2⋅21 ) es una factorización [19459042 ] 16 de (42 ) y que (2 ) y (21 ) son factores 17 [19459018 ] Tenga en cuenta que los factores dividen el número de manera uniforme. Podemos continuar escribiendo factores compuestos como productos hasta que solo quede un producto de primos.

 
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Figura 1.1.2: Factorización prima del número (42 )
 

Por lo tanto, la factorización prima 18 de (42 ) es (2⋅3⋅7 ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Determine la factorización prima de (210 ).

 

Solución

 

Comience escribiendo (210 ) como un producto con (10 ​​) como factor. Luego continúe factorizando hasta que solo quede un producto de primos.

 

(210 = 10⋅21 )

 

(= 2⋅5⋅3⋅7 )

 

(= 2⋅3⋅5⋅7 )

 

Dado que la factorización prima es única, no importa cómo elijamos inicialmente factorizar el número; El resultado final será el mismo.

 

Respuesta :

 

(2⋅3⋅5⋅7 )

 
 

Una fracción 19 es un número racional escrito como cociente, o razón, de dos enteros a y b donde (b ≠ 0 ).

 
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Figura 1.1.3
 

El entero sobre la barra de fracción se llama numerador 20 y el entero de abajo se llama denominador [ 19459016] 21 . Dos razones iguales expresadas usando diferentes numeradores y denominadores se denominan fracciones equivalentes 22 . Por ejemplo,

 

( frac {50} {100} = frac {1} {2} )

 

Considere las siguientes factorizaciones de (50 ) y (100 ):

 

(50 = 2⋅25 )

 

(100 = 4⋅25 )

 

Los números (50 ) y (100 ) comparten el factor (25 ). Un factor compartido se denomina factor común 23 . Haciendo uso del hecho de que ( frac {25} {25} = 1 ), tenemos

 

( frac {50} {100} = frac {2⋅ bcancel {25}} {4⋅ bcancel {25}} = frac {2} {4} ⋅ color {Cerulean} { 1} ) (= frac {2} {4} )

 

Dividir ( frac {25} {25} ) y reemplazar este factor con un (1 ) se llama cancelar 24 . Juntos, estos pasos básicos para encontrar fracciones equivalentes definen el proceso de reducción 25 . Dado que los factores dividen su producto de manera uniforme, logramos el mismo resultado dividiendo tanto el numerador como el denominador entre (25 ) de la siguiente manera:

 

( frac {50 color {Cerulean} {÷ 25}} {100 color {Cerulean} {÷ 25}} = frac {2} {4} )

 

Encontrar fracciones equivalentes donde el numerador y el denominador son relativamente primos 26 , o no tienen un factor común que no sea (1 ), se llama [ 19459023] reduciendo a los términos más bajos 27 . Esto se puede hacer dividiendo el numerador y el denominador entre el máximo común divisor (MCD) . 28 El MCD es el número más grande que divide un conjunto de números de manera uniforme. Una forma de encontrar el MCD de (50 ) y (100 ) es enumerar todos los factores de cada uno e identificar el número más grande que aparece en ambas listas. Recuerde, cada número también es un factor en sí mismo.

 

( {1,2,5,10,25,50 } color {Cerulean} {Factors : of : 50} )

 

( {1,2,4,5,10,20,25,50,100 } color {Cerulean} {Factors : of : 100} )

 

Los factores comunes se enumeran en negrita, y vemos que el mayor factor común es (50 ). Utilizamos la siguiente notación para indicar el MCD de dos números: MCD ((50, 100) = 50 ). Después de determinar el MCD, reduzca dividiendo el numerador y el denominador de la siguiente manera:

 

( frac {50 color {Cerulean} {÷ 50}} {100 color {Cerulean} {÷ 50}} = frac {1} {2} )

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Reduzca a los términos más bajos: ( frac {108} {72} ).

 

Solución

 

Una forma rápida de encontrar el MCD del numerador y el denominador requiere que primero escribamos cada uno como un producto de números primos. El MCD será el producto de todos los factores primos comunes.

 

( left. Begin {array} {l} {108 = color {Cerulean} {2} cdot color {Cerulean} {2} cdot color {Cerulean} {3} cdot color {Cerulean} {3} cdot 3} \ {72 = color {Cerulean} {2} cdot color {Cerulean} {2} cdot 2 cdot color {Cerulean} {3} cdot color {Cerulean} {3}} end {array} right } operatorname {GCF} (108,72) = color {Cerulean} {2} cdot color {Cerulean} {2} cdot color {Cerulean} {3} cdot color {Cerulean} {3} = 36 )

 

En este caso, el producto de los factores primos comunes es (36 ).

 

( frac {108} {72} = frac {108 color {Cerulean} {÷ 36}} {72 color {Cerulean} {÷ 36}} = frac {3} {2} )

 

Podemos convertir la fracción impropia ( frac {3} {2} ) en un número mixto (1 frac {1} {2} ); Sin embargo, es importante tener en cuenta que la conversión a un número mixto no es parte del proceso de reducción. Consideramos que las fracciones impropias, como ( frac {3} {2} ), se reducen a los términos más bajos. En álgebra a menudo es preferible trabajar con fracciones impropias, aunque en algunas aplicaciones, los números mixtos son más apropiados.

 

Respuesta :

 

( frac {3} {2} )

 
 

Recordemos la relación entre multiplicación y división:

 

Screenshot (132).png

 

En este caso, el dividendo 29 (12 ) está dividido en partes iguales por el divisor ] 30 (6 ) para obtener el cociente 31 (2 ). Es cierto en general que si multiplicamos el divisor por el cociente obtenemos el dividendo. Ahora considere el caso donde el dividendo es cero y el divisor no es cero:

 

( frac {0} {6} = 0 ) desde (6⋅0 = 0 )

 

Esto demuestra que el cero dividido por cualquier número real distinto de cero debe ser cero. Ahora considere un número distinto de cero dividido por cero:

 

( frac {12} {0} = color {Cerulean} {?} ) O (0⋅ color {Cerulean} {?} ) (= 12 )

 

Cero veces cualquier cosa es cero y concluimos que no hay un número real tal que (0⋅? = 12 ). Por lo tanto, el cociente (12 ÷ 0 ) es indefinido 32 . Pruébalo en una calculadora, ¿qué dice? Para nuestros propósitos, simplemente escribiremos “indefinido”. Para resumir, dado cualquier número real (a ≠ 0 ), entonces

 

(0 ÷ a = frac {0} {a} = 0 color {Cerulean} {zero} ) y (a ÷ 0 = frac {a} {0} color {Cerulean} { indefinido} )

 

Nos queda considerar el caso en que el dividendo y el divisor son ambos cero.

 

( frac {0} {0} = color {Cerulean} {?} ) O (0⋅ color {Cerulean} {?} ) (= 0 )

 

Aquí, cualquier número real parece funcionar. Por ejemplo, (0⋅5 = 0 ) y también, (0⋅ 3 = 0 ). Por lo tanto, el cociente es incierto o indeterminado 33 .

 

(0 ÷ 0 = frac {0} {0} color {Cerulean} {indeterminado} )

 

En este curso, afirmamos que (0 ÷ 0 ) no está definido.

 

La recta numérica y la notación

 

Una línea de número real 34 , o simplemente línea de número , nos permite mostrar visualmente números reales al asociarlos con números únicos puntos en una línea. El número real asociado con un punto se llama coordenada 35 . Un punto en la recta numérica real que se asocia con una coordenada se denomina gráfico 36 . Para construir una línea numérica, dibuje una línea horizontal con flechas en ambos extremos para indicar que continúa sin límite. Luego, elija cualquier punto para representar el número cero; este punto se llama el origen 37 .

 
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Figura 1.1.4
 

Los números reales positivos se encuentran a la derecha del origen y los números reales negativos se encuentran a la izquierda. El número cero ((0) ) no es ni positivo ni negativo. Por lo general, cada marca representa una unidad.

 
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Figura 1.1.5
 

Como se ilustra a continuación, la escala no necesita ser siempre una unidad. En la primera recta numérica, cada marca representa dos unidades. En el segundo, cada marca representa ( frac {1} {7} ):

 
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Figura 1.1.6
 

La gráfica de cada número real se muestra como un punto en el punto apropiado de la recta numérica. A continuación se muestra un gráfico parcial del conjunto de enteros ( mathbb {Z} ):

 
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Figura 1.1.7
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Representa gráficamente el siguiente conjunto de números reales: ( {- frac {5} {2}, 0, frac {3} {2}, 2 } ).

 

Solución

 

Representa gráficamente los números en una recta numérica con una escala donde cada marca representa la unidad ( frac {1} {2} ).

 

Respuesta :

 
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Figura 1.1.8
 
 

El opuesto 38 de cualquier número real a es – a . Los números reales opuestos están a la misma distancia del origen en una recta numérica, pero sus gráficos se encuentran en lados opuestos del origen y los números tienen signos opuestos.

 
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Figura 1.1.9
 

Dado el entero (- 7 ), el entero a la misma distancia del origen y con el signo opuesto es (+ 7 ), o simplemente (7 ).

 
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Figura 1.1.10
 

Por lo tanto, decimos que el opuesto de (- 7 ) es (- (- 7) = 7 ). Esta idea conduce a lo que a menudo se conoce como la propiedad doble negativa 39 . Para cualquier número real a ,

 

(- (- a) = a )

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Calcular: (- (- (- frac {3} {8})). )

 

Solución

 

Aquí aplicamos primero el doble negativo dentro de los paréntesis más íntimos.

 

(- ( color {Cerulean} {- (- frac {3} {8})}) = – ( frac {3} {8}) )

 

(= – frac {3} {8} )

 

Respuesta :

 

(- frac {3} {8} )

 
 

En general, un número impar de signos negativos secuenciales da como resultado un valor negativo y un número par de signos negativos secuenciales da como resultado un valor positivo.

 

Al comparar números reales en una recta numérica, el número más grande siempre estará a la derecha del más pequeño. Está claro que (15 ) es mayor que (5 ), pero puede no ser tan claro ver que (- 1 ) es mayor que (- 5 ) hasta que graficamos cada número en un numero de linea.

 
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Figura 1.1.11
 

Utilizamos símbolos para ayudarnos a comunicar eficientemente las relaciones entre los números en la recta numérica.

 

( color {Cerulean} {Relaciones de igualdad Relaciones de orden} )

 

(= ) “es igual a” (<) "es menor que"

 

( neq ) “no es igual a” (> ) “es mayor que”

 

( approx ) “es aproximadamente igual a” ( leq ) “es menor o igual que”

 

( geq ) “es mayor o igual que”

 

La relación entre los enteros 40 en la ilustración anterior se puede expresar de la siguiente manera:

 

(- 5 <−1 color {Cerulean} {"Negativo : cinco : es : menos : que : negativo : uno."} )

 

o

 

(- 1> −5 color {Cerulean} {“Negativo : uno : es : mayor : que : negativo : cinco.”} )

 

Los símbolos (<) y (> ) se usan para denotar desigualdades estrictas 41 , y los símbolos ( leq ) y ( geq ) se usan para denotar desigualdades inclusivas 42 . En algunas situaciones, se puede aplicar correctamente más de un símbolo. Por ejemplo, las siguientes dos afirmaciones son verdaderas:

 

(- 10 <0 ) y (- 10≤0 )

 

Además, el componente “ o igual a ” de una desigualdad inclusiva nos permite escribir correctamente lo siguiente:

 

(- 10≤ − 10 )

 

El uso lógico de la palabra “ o ” requiere que solo una de las condiciones sea verdadera: el “ menor que ” o el “ igual a ] “.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Complete el espacio en blanco con (<, =, ) o (>: −2 ) ___ (- 12 ).

 

Solución

 

Use (> ) porque la gráfica de (- 2 ) está a la derecha de la gráfica de (- 12 ) en una recta numérica. Por lo tanto, (- 2> −12 ), que dice: “ negativo dos es mayor que negativo doce.

 
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Figura 1.1.12
 

Respuesta :

 

(- 2> −12 )

 
 

Una desigualdad algebraica 43 , como (x geq 2 ), se lee, “ x es mayor o igual que a (2 ) “. Aquí la letra x es una variable, que puede representar cualquier número real. Sin embargo, la instrucción (x geq 2 ) impone una condición en la variable. Soluciones 44 son ​​los valores para x que satisfacen la condición. Esta desigualdad tiene infinitas soluciones para x , algunas de las cuales son (2, 3, 4.1, 5, 20, ) y (20.001 ). Como es imposible enumerar todas las soluciones, se necesita un sistema que permita una comunicación clara de este conjunto infinito. Las formas comunes de expresar soluciones a una desigualdad son graficarlas en una recta numérica, usar notación de intervalo o usar notación de conjunto.

 

Para expresar la solución gráficamente, dibuje una recta numérica y sombree todos los valores que son soluciones a la desigualdad. Esto se llama el gráfico del conjunto de soluciones 45 . Sigue el intervalo y la notación de conjunto:

 

“x es mayor o igual que (2 )” (x geq 2 )

 
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Figura 1.1.13
 

( color {Cerulean} {Notación de intervalo:} ) ([, 2, ∞) )

 

( color {Cerulean} {Establecer notación:} ) ( {x in mathbb {R} | x geq 2 } )

 

En este ejemplo, existe una desigualdad inclusiva, lo que significa que el límite inferior (2 ) está incluido en el conjunto de soluciones. Denote esto con un punto cerrado en la recta numérica y un corchete en notación de intervalo. El símbolo (∞ ) se lee como “ infinito 46 ” e indica que el conjunto no está acotado a la derecha en una línea numérica. Si usa un teclado estándar, use (inf) como forma abreviada para denotar infinito. Ahora compare la notación en el ejemplo anterior con la de la desigualdad estricta, o no inclusiva, que sigue:

 

“x es menor que (3 )” (x <3 )

 
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Figura 1.1.14
 

( color {Cerulean} {Intervalo : notación:} ) ((- ∞, 3) )

 

( color {Cerulean} {Set : notation:} ) ( {x in mathbb {R} | x <3 } )

 

Las desigualdades estrictas implican que las soluciones pueden acercarse mucho al punto límite, en este caso (3 ), pero en realidad no lo incluyen. Denote esta idea con un punto abierto en la recta numérica y un paréntesis redondo en notación de intervalo. El símbolo (- ∞ ) se lee como “ infinito negativo 47 ” e indica que el conjunto está sin límites a la izquierda en una línea numérica. El infinito está vinculado a los números reales, pero no es en sí mismo un número real: no puede incluirse en el conjunto de soluciones y, por lo tanto, siempre está encerrado entre paréntesis.

 

La notación de intervalo es textual y se determina después de representar gráficamente el conjunto de soluciones en una recta numérica. Los números en notación de intervalo deben escribirse en el mismo orden en que aparecen en la línea numérica, apareciendo primero los números más pequeños en el conjunto. La notación de conjuntos, a veces denominada notación de generador de conjuntos, nos permite describir el conjunto utilizando notación matemática familiar. Por ejemplo,

 

( {x in mathbb {R} | x geq 2 } )

 

Aquí, (x in mathbb {R} ) describe el tipo de número. Esto implica que la variable x representa un número real. La declaración (x geq 2 ) es la condición que describe el conjunto utilizando la notación matemática. En este punto de nuestro estudio de álgebra, se supone que todas las variables representan números reales. Por este motivo, puede omitir “ ( in mathbb {R} )” y escribir

 

( {x | x geq 2 } )

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Representa gráficamente el conjunto de soluciones y da el intervalo y establece equivalentes de notación: (x <−20 ).

 

Solución

 

Use un punto abierto en (- 20 ), debido a la estricta desigualdad (<), y sombree todos los números reales a la izquierda.

 
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Figura 1.1.15
 

Respuesta :

 

Notación de intervalo: ((- ∞, −20) ); establecer notación: ( {x | x <−20 } )

 
 

Una desigualdad compuesta 48 es en realidad dos o más desigualdades en una declaración unidas por la palabra “y” o por la palabra “o”. Las desigualdades compuestas con el “o” lógico requieren que se cumpla cualquiera de las condiciones. Por lo tanto, el conjunto de soluciones de este tipo de desigualdad compuesta consta de todos los elementos de los conjuntos de soluciones de cada desigualdad. Cuando unimos estos conjuntos de soluciones individuales, se llama la unión 49 , denotada ( cup ). Por ejemplo,

 

(x <3 ) o (x geq 6 )

 
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Figura 1.1.16
 

( color {Cerulean} {Notación de intervalo:} ) ((- ∞, 3) cup [6, ∞) )

 

( color {Cerulean} {Establecer notación:} ) ( {x | x <3 o x geq 6 } )

 

Una desigualdad como,

 

(- 1 leq x <3 )

 

dice: “ uno negativo es menor o igual que x y x es menor que tres “. Esto es en realidad una desigualdad compuesta porque puede descomponerse de la siguiente manera:

 

(- 1 leq x ) y (x <3 )

 

La lógica “y” requiere que ambas condiciones sean verdaderas. Ambas desigualdades serán satisfechas por todos los elementos en la intersección 50 , denotado ( cap ), de los conjuntos de solución de cada uno.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

 

Representa gráficamente y da el equivalente de notación de intervalo: (- 1 leq x <3 ).

 

Solución

 

Determine la intersección, o superposición, de los dos conjuntos de soluciones en (x <3 ) y (x geq −1 ). Las soluciones a cada desigualdad se bosquejan sobre la recta numérica como un medio para determinar la intersección, que se representa gráficamente en la recta numérica a continuación.

 
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Figura 1.1.17
 

Aquí, (3 ) no es una solución porque resuelve solo una de las desigualdades. Alternativamente, podemos interpretar (- 1 leq x <3 ) como todos los valores posibles para x entre, o delimitados por, (- 1 ) y (3 ) donde (- 1 ) está incluido en el conjunto de soluciones.

 

Respuesta :

 

Notación de intervalo: ([, – 1, 3) ); establecer notación: ( {x | −1 leq x <3 } )

 
 

En este texto, a menudo señalaremos la notación equivalente usada para expresar cantidades matemáticas electrónicamente usando los símbolos estándar disponibles en un teclado.

 

(× “*” ≥ “> =” )

 

(÷ “/” ≤ “<=" )

 

(≠ “! =” )

 

Muchas calculadoras, sistemas de álgebra computacional y lenguajes de programación usan la notación presentada anteriormente, entre comillas.

 

Valor absoluto

 

El valor absoluto 51 de un número real a , denotado (| a | ), se define como el distancia entre cero (el origen) y la gráfica de ese número real en la recta numérica. Como es una distancia, siempre es positivo. Por ejemplo,

 

(| −4 | = 4 ) y (| 4 | = 4 )

 

Tanto (4 ) como (- 4 ) son cuatro unidades del origen, como se ilustra a continuación:

 
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Figura 1.1.18
 

Además, vale la pena señalar que,

 

(| 0 | = 0 )

 

La definición algebraica del valor absoluto de un número real a sigue:

 

(| a | = left { begin {alineado} a & text {if} a geq 0 \ – a & text {if} a <0 end {alineado} right. )

 

Esto se llama una definición por partes 52 . El resultado depende de la cantidad a . Si a no es negativo, como lo indica la desigualdad (a geq 0 ), entonces el valor absoluto será ese número a . Si a es negativo, como lo indica la desigualdad (a <0 ), entonces el valor absoluto será el opuesto de ese número, - a . Los resultados serán los mismos que la definición geométrica. Por ejemplo, para determinar (| −4 | ) hacemos notar que el valor es negativo y usamos la segunda parte de la definición. El valor absoluto será el opuesto de (- 4 ).

 

(| −4 | = – (- 4) )

 

(= 4 )

 

En este punto, podemos determinar qué números reales tienen ciertos valores absolutos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

 

Determine los valores representados por ( x : | x | = 6 ).

 

Solución

 

Piensa en un número real cuya distancia al origen es de 6 unidades. Hay dos soluciones: la distancia a la derecha del origen y la distancia a la izquierda del origen, a saber, ( {± 6 } ). El símbolo (± ) se lee “ más o menos ” e indica que hay dos respuestas, una positiva y otra negativa.

 

(| −6 | = 6 ) y (| 6 | = 6 )

 

Respuesta :

 

x = ± 6

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

 

Determine los valores representados por ( x : | x | = −6 ).

 

Solution

 

Here we wish to find a value where the distance to the origin is negative. Since negative distance is not defined, this equation has no solution. Use the empty set (Ø) to denote this.

 

Answer :

 

(Ø)

 
 

The absolute value can be expressed textually using the notation abs( a ). We often encounter negative absolute values, such as (−|3|) or (−abs(3)). Notice that the negative sign is in front of the absolute value symbol. In this case, work the absolute value first and then find the opposite of the result.

 

(begin{array} { r r r } { – | 3 | } & { } & { – | – 3 | } \ { color{Cerulean}{downarrow} } & { text { and } } & { color{Cerulean}{downarrow} } \ { = – 3 } & { } & { = – 3 } end{array})

 

Try not to confuse this with the double negative property, which states that (− (−3) = +3).

 
 

Example (PageIndex{10}):

 

Simplify: (−(−|−50|)).

 

Solution

 

First, find the absolute value of (−50) and then apply the double-negative property.

 

(−(−color{Cerulean}{|−50|}) ( )=−(−50))

 

(=50)

 

Answer :

 

(50)

 
 

Key Takeaways

 
         
  • Algebra is often described as the generalization of arithmetic. The systematic use of variables, used to represent real numbers, allows us to communicate and solve a wide variety of real-world problems. Therefore, it is important to review the subsets of real numbers and their properties.
  •      
  • The number line allows us to visually display real numbers by associating them with unique points on a line.
  •      
  • Special notation is used to communicate equality and order relationships between numbers on a number line.
  •      
  • The absolute value of a real number is defined geometrically as the distance between zero and the graph of that number on a number line. Alternatively, the absolute value of a real number is defined algebraically in a piecewise manner. If a real number a is nonnegative, then the absolute value will be that number a . If a is negative, then the absolute value will be the opposite of that number, − a .
  •  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Use set notation to list the described elements.

 
         
  1. Every other positive odd number up to (21).
  2.      
  3. Every other positive even number up to (22).
  4.      
  5. The even prime numbers.
  6.      
  7. Rational numbers that are also irrational.
  8.      
  9. The set of negative integers.
  10.      
  11. The set of negative even integers.
  12.      
  13. Three consecutive odd integers starting with (13).
  14.      
  15. Three consecutive even integers starting with (22).
  16.  
 
     
Answer
     
     

1. ({1, 5, 9, 13, 17, 21})

     

3. ({2})

     

5. ({dots,−3, −2, −1})

     

7. ({13, 15, 17})

     
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Determine the prime factorization of the given composite number.

 
         
  1. (195)
  2.      
  3. (78)
  4.      
  5. (330)
  6.      
  7. (273)
  8.      
  9. (180)
  10.      
  11. (350)
  12.  
 
     
Answer
     
     

1. (3⋅5⋅13)

     

3. (2⋅3⋅5⋅11)

     

5. (2⋅2⋅3⋅3⋅5)

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Reduce to lowest terms.

 
         
  1. (frac{42}{30})
  2.      
  3. (frac{105}{70})
  4.      
  5. (frac{84}{120})
  6.      
  7. (frac{315}{420})
  8.      
  9. (frac{60}{45})
  10.      
  11. (frac{144}{120})
  12.      
  13. (frac{64}{128})
  14.      
  15. (frac{72}{216})
  16.      
  17. (frac{0}{25})
  18.      
  19. (frac{33}{0})
  20.  
 
     
Answer
     
     

1. (frac{7}{5})

     

3. (frac{7}{10})

     

5. (frac{4}{3})

     

7. (frac{1}{2})

     

9. (0)

     
 
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Graph the following sets of numbers.

 
         
  1. ({−5, 5, 10, 15})
  2.      
  3. ({−4, −2, 0, 2, 4})
  4.      
  5. ({−frac{3}{2},−frac{1}{2}, 0, 1, 2})
  6.      
  7. ({−frac{3}{4},−frac{1}{4}, 0, frac{1}{2}, frac{3}{4}})
  8.      
  9. ({−5,−4,−3,−1, 1})
  10.      
  11. ({−40, −30, −20, 10, 30})
  12.  
 
     
Answer
     
     
f1a6465aa015203b430567c2f192eca7.png
Figure 1.1.19
     
8e30c79a4cec904af7bd2487f3b93b53.png
Figure 1.1.20
     
efbbca331edd87bb8e98c8dfa75c28f3.png
Figure 1.1.21
                
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Simplify.

 
         
  1. (−(−10))
  2.      
  3. (−(−frac{3}{5}))
  4.      
  5. (−(−(−12)))
  6.      
  7. (−(−(−frac{5}{3})))
  8.      
  9. (−(−(−(−frac{1}{2}))))
  10.      
  11. (−(−(−(−(−frac{3}{4})))))
  12.  
 
     
Answer
     
     

1. (10)

     

3. (−12)

     

5. (frac{1}{2})

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Fill in the blank with (<, =, or >).

 
         
  1. (−10) _____ (−15)
  2.      
  3. (−101) _____ (−100)
  4.      
  5. (−33) _____ (0)
  6.      
  7. (0) _____ (−50)
  8.      
  9. (−(−(−2))) _____ (−(−3))
  10.      
  11. (−(−(−frac{1}{2}))) _____ (−frac{1}{4})
  12.      
  13. (−(−(−frac{2}{3}))) _____ (−(−frac{1}{2}))
  14.      
  15. (−(−frac{2}{3})) _____ (−(−(−(−frac{2}{3}))))
  16.  
 
     
Answer
     
     

1. (>)

     

3. (<)

     

5. (<)

     

7. (<)

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

True or False.

 
         
  1. (0=0)
  2.      
  3. (5leq 5)
  4.      
  5. (1.0overline{32}) is irrational.
  6.      
  7. (0) is a nonnegative number.
  8.      
  9. Any integer is a rational number.
  10.      
  11. The constant (π) is rational.
  12.  
 
     
Answer
     
     

1. True

     

3. False

     

5. True

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Graph the solution set and give the interval notation equivalent.

 
         
  1. (x<−1)
  2.      
  3. (x>−3)
  4.      
  5. (xgeq −8)
  6.      
  7. (xleq 6)
  8.      
  9. (−10leq x<4)
  10.      
  11. (3      
  12. (−40      
  13. (−12leq xleq −4)
  14.      
  15. (x<5)  and  (xgeq 0)
  16.      
  17. (xleq −10)  and  (xgeq −40)
  18.      
  19. (xleq 7)  and  (x<10)
  20.      
  21. (x<1)  and  (x>3)
  22.      
  23. (x<−2)  or  (xgeq 5)
  24.      
  25. (xleq 0)  or  (xgeq 4)
  26.      
  27. (x<6)  or  (x>2)
  28.      
  29. (x<0)  or  (xleq 5)
  30.  
 
     
Answer
     
     

1. ((−∞, −1));

     
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Figure 1.1.22
     

3. ([8,∞));

     
f106d461744e41d767c257af071f92dd.png
Figure 1.1.23
     

5. ([−10,4));

     
85c6f49cb054143941dc82ec961b1e34.png
Figure 1.1.24
     

7. ((−40,0));

     
00d4edd022e22e20603b2c8684e09806.png
Figure 1.1.25
     

9. ([0,5));

     
a634c6101a281506cf99247d9df48180.png
Figure 1.1.26
     

11. ((−∞,7));

     
f53685fcb168d52702d4f698cfdabc82.png
Figure 1.1.27
     

13. ((−∞,−2)cup [5,∞));

     
c635102b40e626c903ba4be9aa3d81fa.png
Figure 1.1.28
     

15. ((−∞,∞)=mathbb{R});

     
73cc7b4e93034a1e15a259f0810b6cea.png
Figure 1.1.29
     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Write an equivalent inequality.

 
         
  1. All real numbers less than (−15).
  2.      
  3. All real numbers greater than or equal to (−7).
  4.      
  5. All real numbers less than (6) and greater than zero.
  6.      
  7. All real numbers less than zero and greater than (−5).
  8.      
  9. All real numbers less than or equal to (5) or greater than (10).
  10.      
  11. All real numbers between (−2) and (2).
  12.  
 
     
Answer
     
     

1. (x<−15)

     

3. (0      

5. (xleq 5)  or  (x>10)

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Determine the inequality given the answers expressed in interval notation.

 
         
  1. ((−∞,12))
  2.      
  3. ([−8,∞))
  4.      
  5. ((−∞,0])
  6.      
  7. ((0,∞))
  8.      
  9. ((−6,14))
  10.      
  11. ((0,12])
  12.      
  13. ([5,25))
  14.      
  15. ([−30,−10])
  16.      
  17. ((−∞,2)cup [3,∞))
  18.      
  19. ((−∞,−19]cup [−12,∞))
  20.      
  21. ((−∞,−2)cup (0,∞))
  22.      
  23. ((−∞,−15]cup (−5,∞))
  24.  
 
     
Answer
     
     

1. (x<12)

     

3. (xleq 0)

     

5. (−6      

7. (5leq x<25)

     

9. (x<2)  or  (xgeq 3)

     

11. (x<−2)  or  (x>0)

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Simplify.

 
         
  1. (|−9|)
  2.      
  3. (|14|)
  4.      
  5. (−|−4|)
  6.      
  7. (−|8|)
  8.      
  9. (−|−frac{5}{8}|)
  10.      
  11. (−(−|frac{7}{2}|))
  12.      
  13. (−|−(−7)|)
  14.      
  15. (−|−(−10)|)
  16.      
  17. (−(−|−2|))
  18.      
  19. (−(−|−10|))
  20.      
  21. (−(−|−(−5)|))
  22.      
  23. (−(−(−|−20|)))
  24.  
 
     
Answer
     
     

1. (9)

     

3. (−4)

     

5. (−frac{5}{8})

     

7. (−7)

     

9. (2)

     

11. (5)

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Determine the values represented by a .

 
         
  1. (|a|=10)
  2.      
  3. (|a|=7)
  4.      
  5. (|a|=frac{1}{2})
  6.      
  7. (|a|=frac{9}{4})
  8.      
  9. (|a|=0)
  10.      
  11. (|a|=−1)
  12.  
 
     
Answer
     
     

1. (a=±10)

     

3. (a=±frac{1}{2})

     

5. (a=0)

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 
         
  1. Research and discuss the origins and evolution of algebra.
  2.      
  3. Research and discuss reasons why algebra is a required subject today.
  4.      
  5. Solution sets to inequalities can be expressed using a graph, interval notation, or set notation. Discuss the merits and drawbacks of each method. Which do you prefer?
  6.      
  7. Research and discuss the Fundamental Theorem of Algebra. Illustrate its idea with an example and share your results.
  8.  
 
     
Answer
     
     

1. Answer may vary

     

3. Answer may vary

     
 
 
 
 

Footnotes

 

1 Letters used to represent numbers.

 

2 Any collection of objects.

 

3 An object within a set.

 

4 A set consisting of elements that belong to a given set.

 

5 The set of counting numbers: ({1, 2, 3, 4, 5, dots}).

 

6 The set of natural numbers combined with zero: ({0, 1, 2, 3, 4, 5,dots}).

 

7 A subset with no elements, denoted (Ø) or ({ }).

 

8 Numbers of the form (frac{a}{b}) , where a and b are integers and b is nonzero.

 

9 Notation used to describe a set using mathematical symbols.

 

10 Numbers that cannot be written as a ratio of two integers.

 

11 The set of all rational and irrational numbers.

 

12 Integers that are divisible by (2).

 

13 Nonzero integers that are not divisible by (2).

 

14 Integer greater than (1) that is divisible only by (1) and itself.

 

15 Integers greater than (1) that are not prime.

 

16 Any combination of factors, multiplied together, resulting in the product.

 

17 Any of the numbers that form a product.

 

18 The unique factorization of a natural number written as a product of primes.

 

19 A rational number written as a quotient of two integers: ({a}{b}) , where (b ≠ 0).

 

20 The number above the fraction bar.

 

21 The number below the fraction bar.

 

22 Two equal fractions expressed using different numerators and denominators.

 

23 A factor that is shared by more than one real number.

 

24 The process of dividing out common factors in the numerator and the denominator.

 

25 The process of finding equivalent fractions by dividing the numerator and the denominator by common factors.

 

26 Numbers that have no common factor other than (1).

 

27 Finding equivalent fractions where the numerator and the denominator share no common integer factor other than (1).

 

28 The largest shared factor of any number of integers.

 

29 A number to be divided by another number.

 

30 The number that is divided into the dividend.

 

31 The result of division.

 

32 A quotient such as (frac{5}{0}) is left without meaning and is not assigned an interpretation.

 

33 A quotient such as (frac{0}{0}) is a quantity that is uncertain or ambiguous.

 

34 A line that allows us to visually represent real numbers by associating them with points on the line.

 

35 The real number associated with a point on a number line.

 

36 A point on the number line associated with a coordinate.

 

37 The point on the number line that represents zero.

 

38 Real numbers whose graphs are on opposite sides of the origin with the same distance to the origin.

 

39 The opposite of a negative number is positive: (−(−a) = a).

 

40 The set of positive and negative whole numbers combined with zero: ({dots , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, dots}).

 

41 Express ordering relationships using the symbol (<) for “less than” and (>) for “greater than.”

 

42 Use the symbol (≤) to express quantities that are “less than or equal to” and (≥) for quantities that are “greater than or equal to” each other.

 

43 Algebraic expressions related with the symbols (≤, <, geq) and (>) .

 

44 Values that can be used in place of the variable to satisfy the given condition.

 

45 Solutions to an algebraic expression expressed on a number line.

 

46 The symbol (∞) indicates the interval is unbounded to the right.

 

47 The symbol (−∞) indicates the interval is unbounded to the left.

 

48 Two or more inequalities in one statement joined by the word “and” or by the word “or.”

 

49 The set formed by joining the individual solution sets indicated by the logical use of the word “or” and denoted with the symbol (cup).

 

50 The set formed by the shared values of the individual solution sets that is indicated by the logical use of the word “and,” denoted with the symbol (cap).

 

51 The absolute value of a number represents the distance from the graph of the number to zero on a number line.

 

52 A definition that changes depending on the value of the variable.

 
                                  
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