Los números naturales

 

Comenzamos con una definición de los números naturales, o los números de conteo.

   

La notación en la ecuación (2) se lee ” ( mathbb {N} ) es el conjunto cuyos miembros son 1, 2, 3, y así sucesivamente”. La elipsis (los tres puntos) al final de la ecuación (2) es la forma en que un matemático dice “etcétera”. Enumeramos los números suficientes para establecer un patrón reconocible, luego escribimos “y así sucesivamente”, suponiendo que un patrón se ha establecido lo suficiente como para que el lector pueda intuir el resto de los números en el conjunto. Por lo tanto, los siguientes números en el conjunto ( mathbb {N} ) son 4, 5, 6, 7, “y así sucesivamente”.

 

Tenga en cuenta que hay un número infinito de números naturales. Otros ejemplos de números naturales son 578,736 y 55,617,778. El conjunto ( mathbb {N} ) de números naturales no tiene límites; es decir, no hay mayor número natural. Para cualquier número natural que elija, agregar uno a su elección produce un número natural mayor.

 

Para cualquier número natural n, llamamos a m un divisor o factor de n si hay otro número natural k para que (n = mk ). Por ejemplo, 4 es un divisor de 12 (porque 12 = 4 por 3), pero 5 no lo es. De manera similar, 6 es un divisor de 12 (porque 12 = 6 por 2), pero 8 no lo es.

 

A continuación definimos un subconjunto muy especial de los números naturales.

   

Por ejemplo, debido a que sus únicos divisores son 1 y en sí mismo, 11 es un número primo. Por otro lado, 14 no es primo (tiene divisores distintos a 1 y a sí mismo, es decir, 2 y 7). Del mismo modo, cada uno de los números naturales 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19 es primo. Tenga en cuenta que 2 es el único número natural par que es primo.

 

Si un número natural distinto de 1 no es primo, entonces decimos que es compuesto. Tenga en cuenta que cualquier número natural (excepto 1) cae en una de dos clases; es primo o es compuesto.

 

Material con derechos de autor. Ver: http://msenux.redwoods.edu/IntAlgText/ 1

 

En este libro de texto, las definiciones, ecuaciones y otras partes etiquetadas del texto se numeran consecutivamente, 2 independientemente del tipo de información. Las figuras están numeradas por separado, al igual que las tablas.

 

Aunque el número natural 1 tiene solo 1 y en sí mismo como divisores, los matemáticos, particularmente los teóricos del número 3, no consideran que 1 sea primo. Hay buenas razones para esto, pero eso podría llevarnos demasiado lejos. Por ahora, solo tenga en cuenta que 1 no es un número primo. Cualquier número que sea primo tiene exactamente dos factores, a saber, sí mismo y 1.

 

Podemos factorizar el número compuesto 36 como un producto de factores primos, a saber

 

[36 = 2 veces 2 veces 3 veces 3 ]

 

Además de reorganizar los factores, esta es la única forma en que podemos expresar 36 como producto de factores primos.

   

No importa cómo comience el proceso de factorización, todos los caminos conducen a la misma factorización prima. Por ejemplo, considere dos enfoques diferentes para obtener la factorización prima de 72.

 

[ begin {array} {llllll} 72 & = & 8 times 9 & 72 & = & 4 times 18 & \ & = & (4 times 2) times (3 times 3) & & = & (2 times 2) times (2 times 9) \ & = & 2 times 2 times 2 times 3 times 3 & & = & 2 times 2 times 2 times 3 veces 3 end {array} ]

 

En cada caso, el resultado es el mismo, (72 = 2 times 2 times 2 times 3 times 3 )

 

Cero

 

El uso de cero como marcador de posición y como número tiene una historia rica e histórica. Los antiguos babilonios registraron su trabajo en tabletas de arcilla, presionando la arcilla blanda con un lápiz. En consecuencia, existen tabletas desde el año 1700 a. C. hoy en día en museos de todo el mundo. En la Figura ( PageIndex {1} ), se muestra una foto del famoso Plimpton_322, donde algunos consideran que las marcas son triples pitagóricos, o las medidas de los lados de los triángulos rectángulos.

 

 

La gente de esta antigua cultura tenía un sistema de numeración sexagesimal (base 60) que sobrevivió sin el uso de cero como marcador de posición durante más de 1000 años. En el sistema babilónico temprano, los números 216 y 2106 tenían grabaciones idénticas en las tabletas de arcilla de los autores. Uno solo podría distinguir la diferencia entre los dos números según el contexto en el que se usaron. Alrededor del año 400 a. C., los babilonios comenzaron a usar dos símbolos de cuña para denotar un cero como marcador de posición (algunas tabletas muestran un gancho simple o doble para este marcador de posición).

 

Los antiguos griegos conocían bien el sistema posicional babilónico, pero la mayor parte del énfasis de las matemáticas griegas era geométrica, por lo que el uso de cero como marcador de posición no era tan importante. Sin embargo, hay alguna evidencia de que los griegos usaron un símbolo que se asemeja a un gran omicrón en algunas de sus tablas astronómicas.

 

No fue hasta aproximadamente 650 DC que el uso del cero como número comenzó a introducirse en las matemáticas de la India. Brahmagupta (598-670?), En su obra Brahmasphutasiddhanta, fue uno de los primeros matemáticos registrados que intentó operaciones aritméticas con el número cero. Aún así, no sabía qué hacer con la división por cero cuando escribió

 

Los números positivos o negativos cuando se divide por cero es una fracción con cero como denominador.

 

Tenga en cuenta que afirma que el resultado de la división por cero es una fracción con cero en el denominador. No muy informativo Casi 200 años después, a Mahavira (800-870) no le fue mucho mejor cuando escribió

 

Un número permanece sin cambios cuando se divide por cero.

 

Parece que los matemáticos indios no podían admitir que la división por cero era imposible.

 

La cultura maya (250-900 DC) tenía un sistema posicional de base 20 y un símbolo que usaban como marcador de posición cero. El trabajo de los matemáticos indios se extendió al mundo árabe e islámico y fue mejorado. Este trabajo finalmente llegó al lejano oriente y también a Europa. Aún así, ya en la década de 1500, los matemáticos europeos todavía no usaban el cero como número de forma regular. No fue hasta el siglo XVII que el uso del cero como número se generalizó.

 

Por supuesto, hoy sabemos que agregar cero a un número deja ese número sin cambios y que la división por cero no tiene sentido, 4 pero a medida que luchamos con estos conceptos, debemos tener en cuenta cuánto tiempo le tomó a la humanidad enfrentarse con esta poderosa abstracción (cero como número).

 

Si sumamos el número cero al conjunto de números naturales, tenemos un nuevo conjunto de números que se denominan números enteros

   

Los números enteros

 

Hoy, por mucho que damos por sentado el hecho de que existe un número cero, denotado por 0, tal que

 

% No tiene sentido preguntar cuántos grupos de cero hay en cinco. Por lo tanto, 5/0 no está definido. 4

 

[a + 0 = a ]

 

para cualquier número entero a, igualmente damos por sentado que para cualquier número entero a existe un número único −a, llamado “negativo” u “opuesto” de a, de modo que [a + (- a) = 0 ]

 

De manera natural, o eso les parece a los matemáticos modernos, esto introduce fácilmente el concepto de un número negativo. Sin embargo, la historia nos enseña que el concepto de números negativos no fue abrazado de todo corazón por los matemáticos hasta alrededor del siglo XVII.

 

En su obra Arithmetica (c. 250 AD?), El matemático griego Diophantus (c. 200-284 AD?), A quien algunos llaman el “Padre del Álgebra”, describió la ecuación 4 = 4x + 20 como “absurda , “Porque ¿cómo se puede hablar de una respuesta menos que nada? Girolamo Cardano (1501-1576), en su obra seminal Ars Magna (c. 1545 dC) se refirió a los números negativos como “numeri ficti”, mientras que el matemático alemán Michael Stifel (1487-1567) se refirió a ellos como “numeri absurdi”. John Napier (1550-1617) (el creador de los logaritmos) llamó a los números negativos “defectivi”, y Rene Descartes (1596-1650) (el creador de la geometría analítica) etiquetó las soluciones negativas de las ecuaciones algebraicas como “raíces falsas”.

 

Por otro lado, había matemáticos cuyo tratamiento de los números negativos se parecía un poco a nuestras nociones modernas de las propiedades de los números negativos. El matemático indio Brahmagupta, cuyo trabajo con cero ya hemos mencionado, describió las reglas aritméticas en términos de fortunas (número positivo) y deudas (números negativos). De hecho, en su trabajo Brahmasphutasiddhanta, escribe “una fortuna restada de cero es una deuda”, que en notación moderna se parecería a 0 – 4 = −4. Además, “una deuda restada de cero es una fortuna”, que resuena como 0 – (−4) = 4. Además, Brahmagupta describe reglas para la multiplicación y división de números positivos y negativos:

 

     
• El producto o cociente de dos fortunas es una fortuna.
     
• El producto o cociente de dos deudas es una fortuna.
     
• El producto o cociente de una deuda y una fortuna es una deuda.
     
• El producto o cociente de una fortuna y una deuda es una deuda.
 

 

En el uso moderno podríamos decir que “los signos similares dan una respuesta positiva”, mientras que “los signos diferentes dan una respuesta negativa”. Los ejemplos modernos de las dos primeras reglas de Brahmagupta son (5) (4) = 20 y (−5) (- 4) = 20, mientras que los ejemplos de las dos últimas son (−5) (4) = −20 y (5) ( −4) = −20. Las reglas son similares para la división.

 

En cualquier caso, si comenzamos con el conjunto de números naturales ( mathbb {N} = {1, 2, 3,…} ), Agregue cero, luego agregue el negativo de cada número natural, obtenemos el conjunto de enteros.

   

La letra ( mathbb {Z} ) proviene de la palabra Zahl, que es una palabra alemana para “número”.

 

Es importante tener en cuenta que un número entero es un número “entero”, ya sea positivo, negativo o cero. Por lo tanto, −11456, −57, 0, 235 y 41 234 576 son enteros, pero los números −2/5, 0.125, ( sqrt {2} ) y ( pi ) no lo son. Tendremos más que decir sobre la clasificación de los últimos números en las secciones que siguen.

 

Números racionales

 

Es posible que haya notado que cada número natural también es un número entero. Es decir, cada número en el conjunto ( mathbb {N} = {1,2,3, ldots } ) también es un número en el conjunto ( mathbb {W} = {0,1 , 2,3, ldots } ). Los matemáticos dicen que ” ( mathbb {N} ) es un subconjunto de ( mathbb {W} )”, lo que significa que cada miembro del conjunto ( mathbb {N} ) también es miembro del establecer ( mathbb {W} ). En una línea similar, cada número entero también es un entero, por lo que el conjunto ( mathbb {W} ) es un subconjunto del conjunto ( mathbb {Z} = { ldots, -2, -2, -1,0,1,2,3, puntos } ).

 

Ahora agregaremos fracciones a nuestro creciente conjunto de números. Las fracciones se han usado desde la antigüedad. Eran bien conocidos y utilizados por los antiguos babilonios y egipcios.

 

En los tiempos modernos, usamos la frase número racional para describir cualquier número que sea la razón de dos enteros. Denotaremos el conjunto de números racionales con la letra ( mathbb {Q} ).

   

Esta notación se lee “el conjunto de todas las relaciones m / n, de modo que myn son enteros, yn no es 0”. La restricción en n es necesaria porque la división por cero no está definida.

 

Claramente, números como −221/31, −8/9 y 447/119, que son las razones de dos enteros, son números racionales (fracciones). Sin embargo, si pensamos en el entero 6 como la relación 6/1 (o alternativamente, como 24/4, −48 / – 8, etc.), entonces notamos que 6 también es un número racional. De esta manera, cualquier número entero puede considerarse como un número racional (por ejemplo, 12 = 12/1, −13 = −13/1, etc.). Por lo tanto, el conjunto ( mathbb {Z} ) de enteros es un subconjunto del conjunto ( mathbb {Q} ) de números racionales.

 

Pero espera, hay más. Cualquier decimal que termina también es un número racional. Por ejemplo,

 

[0.25 = frac {25} {100}, quad 0.125 = frac {125} {1000}, quad y -7.6642 = – frac {76642} {10000} ]

 

El proceso para convertir un decimal final en una fracción es claro; cuente el número de decimales, luego escriba 1 seguido de ese número de ceros para el denominador.

 

Por ejemplo, en 7.638 hay tres lugares decimales, entonces coloque el número sobre 1000, como en

 

[ frac {7638} {1000} ]

 

Pero espere, aún hay más, para cualquier decimal que se repita también se puede expresar como la razón de dos enteros. Considere, por ejemplo, el decimal repetido

 

[0.0 overline {21} = 0.0212121 ldots ]

 

Tenga en cuenta que la secuencia de enteros debajo de la “barra de repetición” se repite una y otra vez indefinidamente. Además, en el caso de (0.0 overline {21} ), hay exactamente dos dígitos debajo de la barra de repetición. Por lo tanto, si dejamos (x = 0.0 overline {21} ), entonces

 

[x = 0.0212121 ldots ]

 

y multiplicando por 100 mueve el decimal dos lugares a la derecha.

 

[100 x = 2.12121 ldots ]

 

Si alineamos estos dos resultados

 

[ begin {alineado} 100 x & = 2.12121 ldots \ – x & = 0.02121 ldots end {alineado} ]

 

y restar, entonces el resultado es

 

[ begin {alineado} 99 x & = 2.1 \ x & = frac {2.1} {99} end {alineado} ]

 

Sin embargo, este último resultado no es una relación de dos enteros. Esto se rectifica fácilmente multiplicando tanto el numerador como el denominador por 10.

 

[x = frac {21} {990} ]

 

Podemos reducir este último resultado dividiendo tanto el numerador como el denominador entre 3. Por lo tanto, (0.0 overline {21} = 7/330 ), siendo la razón de dos enteros, es un número racional.

 

Veamos otro ejemplo.

   

En este punto, es natural preguntarse: “¿Son todos los números racionales?” O bien, “¿Existen otros tipos de números que no hayamos discutido todavía?” Vamos a investigar más a fondo.

 

Los números irracionales

 

Si un número no es racional, los matemáticos dicen que es irracional

   

Los matemáticos han luchado con el concepto de números irracionales a lo largo de la historia. En la Figura ( PageIndex {2} ) se muestra un antiguo artefacto babilónico llamado La raíz cuadrada de dos tabletas.

 

 

Hay una fábula antigua que habla de un discípulo de Pitágoras que proporcionó una prueba geométrica de la irracionalidad de ( sqrt {2} ). Sin embargo, los pitagóricos creían en lo absoluto de los números, y no podían soportar la idea de los números que no eran racionales. Como castigo, Pitágoras condenó a muerte a su discípulo ahogándose, o eso dice la historia.

 

¿Pero qué pasa con ( sqrt {2} )? ¿Es racional o no? Una prueba clásica, conocida en la época de Euclides (el “Padre de la geometría”, c. 300 a. C.), utiliza la prueba por contradicción. Supongamos que ( sqrt {2} ) es realmente racional, lo que significa que ( sqrt {2} ) se puede expresar como la razón de dos enteros p y q de la siguiente manera.

 

[ sqrt {2} = frac {p} {q} ]

 

Cuadrado de ambos lados,

 

[2 = frac {p ^ {2}} {q ^ {2}} ]

 

luego borre la ecuación de fracciones multiplicando ambos lados por (q ^ {2} ).

 

[p ^ {2} = 2 q ^ {2} ]

 

Ahora pyq tienen sus propias factorizaciones primarias únicas. Tanto (p ^ {2} ) como (q ^ {2} ) tienen un número par de factores en sus factorizaciones primarias.6 Pero esto contradice la ecuación 14, porque el lado izquierdo tendría un número par de factores en su factorización prima, mientras que el lado derecho tendría un número impar de factores en su factorización prima (hay un extra 2 en el lado derecho).

 

Por lo tanto, nuestra suposición de que ( sqrt {2} ) era racional es falsa. Por lo tanto, ( sqrt {2} ) es irracional.

 

Hay muchos otros ejemplos de números irracionales. Por ejemplo, ( pi ) es un número irracional, al igual que el número (e ), que encontraremos cuando estudiemos funciones exponenciales. Decimales que no se repiten ni terminan, como

 

[0.1411411141114 ldots ]

 

también son irracionales. Las pruebas de la irracionalidad de tales números están más allá del alcance de este curso, pero si decides una carrera en matemáticas, algún día mirarás de cerca estas pruebas. Baste decir que hay muchos números irracionales por ahí. De hecho, hay muchos más números irracionales que números racionales.

 

Los números reales

 

Si tomamos todos los números que hemos discutido en esta sección, los números naturales, los números enteros, los enteros, los números racionales y los números irracionales, y los agrupamos en un conjunto gigante de números, entonces tenemos lo que se conoce como el conjunto de números reales. Usaremos la letra R para denotar el conjunto de todos los números reales.

   

Esta notación se lee “el conjunto de todas x tal que x es un número real”. El conjunto de números reales ( mathbb {R} ) abarca todos los números que encontraremos en este curso.