Comenzamos con el conjunto de números de conteo, formalmente llamado el conjunto de números naturales.
Los números naturales
El conjunto [ mathbb {N} = {1,2,3,4,5, ldots } nonumber ] se llama el conjunto de números naturales.
Si sumamos el número cero al conjunto de números naturales, entonces tenemos un conjunto de números que se llaman números enteros.
Los números enteros
El conjunto [W = {0,1,2,3,4,5, ldots } nonumber ] se denomina conjunto de números enteros.
El número (0 ) es especial, ya que cada vez que lo agrega a otro número entero, obtiene el número idéntico como respuesta.
Propiedad de identidad aditiva
Si a es cualquier número entero, entonces [a + 0 = a nonumber ] Por esta razón, el número entero (0 ) se llama identidad aditiva.
Así, por ejemplo, (3 + 0 = 3 ), (15 + 0 = 15 ) y (123 + 0 = 123 ). Todos estos son ejemplos de la propiedad de identidad aditiva. Cada número natural tiene un opuesto, de modo que cuando los sumas, su suma es cero.
Propiedad inversa aditiva
Si (a ) es cualquier número natural, entonces defina el opuesto a de (a ), simbolizado por (- a ), de modo que [a + (- a) = 0 nonumber ] El número (- a ) se llama “opuesto de (a )”, o más formalmente, el inverso aditivo de (a ).
Por ejemplo, el opuesto (inverso aditivo) de (3 ) es (- 3 ) y (3 + (- 3) = 0 ). El opuesto (inverso aditivo) de (12 ) es (- 12 ) y (12 + (−12) = 0 ). Lo opuesto a (254 ) es (- 254 ) y (254 + (- 254) = 0 ). Todos estos son ejemplos de inversos aditivos y la propiedad inversa aditiva.
Debido a que (7 + (- 7) = 0 ), hemos dicho que (- 7 ) es lo opuesto (inverso aditivo) de (7 ). Sin embargo, también podemos darle la vuelta y decir que (7 ) es lo contrario de (- 7 ). Si traducimos la frase “lo opuesto a (- 7 ) es (7 )” en símbolos matemáticos, obtenemos (- (- 7) = 7 ).
Lo contrario de lo contrario
Como (a + (- a) = 0, ) podemos decir que (a ) es lo opuesto a (- a ). En símbolos, escribimos: [- (- a) = a nonumber ]
Así, por ejemplo, (- (- 11) = 11 ), (- (- 103) = 103 ) y (- (- 1255) = 1255 ).
Los números enteros
Si recopilamos todos los números naturales y sus inversos aditivos, luego incluimos el número cero, tenemos una colección de números llamados enteros.
Los enteros
El conjunto [ mathbb {Z} = { ldots, -5, -4, -3, -2, -1,0,1,2,3,4,5, ldots } nonumber ] se llama el conjunto de enteros.
Se puede hacer que los enteros se correspondan con puntos en una línea de una manera muy natural. Primero, dibuje una línea, luego ubique el número cero en cualquier lugar que desee. En segundo lugar, coloque el número uno a la derecha de cero. Esto determina la longitud de una unidad. Finalmente, ubique los números (1,2,3,4,5, puntos ) a la derecha de cero, luego sus opuestos (inversos aditivos) (- 1, -2, -3, -4, -5 , puntos ) a la izquierda de cero (ver Figura ( PageIndex {1} )).
Tenga en cuenta que a medida que nos movemos hacia la derecha en la recta numérica, los enteros se hacen más grandes. Por otro lado, a medida que nos movemos hacia la izquierda en la recta numérica, los enteros se hacen más pequeños.
Enteros positivos y negativos
En la recta numérica, algunos enteros se encuentran a la derecha de cero y otros a la izquierda de cero.
- Si (a ) es un entero que se encuentra a la derecha de cero, entonces (a ) se denomina entero positivo .
- Si (a ) es un número entero que se encuentra a la izquierda de cero, entonces (a ) se denomina número entero negativo .
Por lo tanto, (4 ), (25 ) y (142 ) son enteros positivos, mientras que (- 7 ), (- 53, ) y (- 435 ) son enteros negativos
Valor absoluto
El valor absoluto (o magnitud) de un número entero se define de la siguiente manera.
El valor absoluto de un entero
Si (a ) es un entero, entonces el valor absoluto de (a ), escrito (| a | ), se define como la distancia entre el entero y cero en la recta numérica.
Ejemplo ( PageIndex {1} )
Simplificar (| -4 | ).
Solución
Considere la posición de (- 4 ) en la recta numérica. Tenga en cuenta que (- 4 ) se encuentra a cuatro unidades de distancia de cero.
Debido a que el valor absoluto (magnitud) de un entero es igual a su distancia desde cero, (| -4 | = 4 ).
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Simplificar: (| -23 | )
- Respuesta
-
(| -23 | = 23 )
De manera similar:
- El número entero (5 ) se encuentra a cinco unidades de distancia de cero. Por lo tanto, (| 5 | = 5 ).
- El entero (0 ) se encuentra a cero unidades de cero, por lo tanto, (| 0 | = 0 ). Tenga en cuenta que el valor absoluto de cualquier número es positivo o cero. Es decir, el valor absoluto de un número no es negativo (no negativo).
Adición de enteros
Esta sección está diseñada para proporcionar una revisión rápida de la suma de enteros. Consideramos el primero de dos casos.
Agregando enteros con signos similares
Para agregar dos enteros con signos similares (tanto positivos como negativos), agregue sus magnitudes (valores absolutos), luego prefije su signo común.
Ejemplo ( PageIndex {2} )
Simplificar (7 + 12 ).
Solución
Tenemos como signos. Las magnitudes (valores absolutos) de (7 ) y (12 ) son (7 ) y (12 ), respectivamente. Si sumamos las magnitudes, obtenemos (19 ). Si pre fi jamos el signo común, obtenemos (19 ). Es decir: [7 + 12 = 19 nonumber ]
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Simplifica: (13 + 28 ).
- Respuesta
-
(41 )
Ejemplo ( PageIndex {3} )
Simplificar (- 8 + (- 9) ).
Solución
Tenemos como signos. Las magnitudes (valores absolutos) de (- 8 ) y (- 9 ) son (8 ) y (9 ), respectivamente. Si sumamos las magnitudes, obtenemos (17 ). Si pre fi jamos el signo común, obtenemos (- 17 ). Es decir: [- 8 + (- 9) = – 17 nonumber ]
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Simplifique: (- 12 + (- 21) ).
- Respuesta
-
(- 33 )
A continuación, consideramos el caso en el que tenemos signos distintos.
Agregando enteros con signos diferentes
Para sumar dos enteros con signos diferentes (uno positivo y otro negativo), reste el número entero con la magnitud más pequeña (valor absoluto) del número con la magnitud más grande, luego prefije el signo del número entero con la magnitud más grande.
Ejemplo ( PageIndex {4} )
Simplificar (- 14 + 11 ).
Solución
Tenemos signos diferentes. Las magnitudes (valores absolutos) de (- 14 ) y (11 ) son (14 ) y (11 ), respectivamente. Si restamos la magnitud más pequeña de la más grande, obtenemos (3 ). El número (- 14 ) tiene la mayor magnitud, por lo que prefijamos nuestra respuesta con su signo negativo. Es decir: [- 14 + 11 = -3 nonumber ]
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Simplificar: (12 + (- 29) ).
- Respuesta
-
(- 17 )
Ejemplo ( PageIndex {5} )
Simplificar (40 + (- 25) ).
Solución
Tenemos signos diferentes. Las magnitudes (valores absolutos) de (40 ) y (- 25 ) son (40 ) y (25 ), respectivamente. Si restamos la magnitud más pequeña de la más grande, obtenemos (15 ). El número (40 ) tiene la mayor magnitud, por lo que prefijamos nuestra respuesta con su signo positivo. Es decir: [40 + (- 25) = 15 nonumber ]
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Simplifica: (32 + (- 90) ).
- Respuesta
-
(- 58 )
Propiedades matemáticas de la suma
No importa el orden en que agreguemos enteros. Es decir, (- 20 + 34 ) da una respuesta idéntica a la suma (34 + (−20) ). En ambos casos, la respuesta es (14 ). Este hecho se llama la propiedad conmutativa de la suma .
La propiedad conmutativa de la adición
Si (a ) y (b ) son dos enteros, entonces: [a + b = b + a nonumber ]
Luego, cuando agregamos tres enteros, no importa cuáles dos agreguemos primero. Por ejemplo, si agregamos primero el segundo y el tercero de tres números, obtenemos:
[ begin {alineado} -11 + (- 2 + 5) & = – 11 + 3 quad { color {Rojo} text {Paréntesis primero:} -2 + 5 = 3} \ & = -8 quad { color {Red} text {Agregar:} -11 + 3 = -8} end {alineado} nonumber ]
Por otro lado, si sumamos el primero y el segundo de tres números primero, obtenemos:
[ begin {alineado} (- 11 + (- 2)) + 5 & = – 13 + 5 quad { color {Rojo} text {Paréntesis primero:} -11 + (- 2) = -13} \ & = – 8 quad { color {Red} text {Agregar:} -13 + 5 = -8} end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, (- 11 + (−2 + 5) = (−11 + (−2)) + 5 ). Este hecho se llama la propiedad asociativa de la suma .
La propiedad asociativa de la adición
Si (a ), (b ) y (c ) son tres enteros, entonces: [a + (b + c) = (a + b) + c nonumber ]
Resta de enteros
La resta es el inverso, o el opuesto, de la suma.
Restando enteros
Si (a ) y (b ) son dos enteros, entonces: [ab = a + (- b) nonumber ] Restar (b ) es idéntico a sumar el opuesto (aditivo inverso) de (b ).
Ejemplo ( PageIndex {6} )
Simplificar: (- 13-27 ).
Solución
El “opuesto” (inverso aditivo) de (27 ) es (- 27 ). Entonces, restar (27 ) es lo mismo que sumar (- 27 ).
( begin {alineado} -13-27 & = – 13 + (- 27) quad { color {Red} text {Restar 27 es lo mismo que sumar −27.}} \ & = – 50 quad { color {Red} text {Agregue las magnitudes, luego prefija el signo negativo común.}} End {alineado} )
Ejercicio ( PageIndex {6} )
Simplifica: (- 11-15 ).
- Respuesta
-
(- 26 )
Ejemplo ( PageIndex {7} )
Simplificar: (- 27 – (- 50) ).
Solución
El “opuesto” (inverso aditivo) de (- 50 ) es (- (- 50) ), o (50 ). Entonces, restar (- 50 ) es lo mismo que sumar (50 ).
( begin {alineado} -27 – (- 50) & = – 27 + 50 quad { color {Red} text {Restar -50 es lo mismo que sumar 50.}} \ & = 23 quad { color {Red} text {Reste la magnitud más pequeña de la magnitud más grande, luego prefija el signo de la magnitud más grande.}} End {alineado} )
Ejercicio ( PageIndex {7} )
Simplifique: (- 18 – (- 54) ).
- Respuesta
-
(36 )
Multiplicación de enteros
Esta sección está diseñada para proporcionar una revisión rápida de la multiplicación y división de enteros.
Signos similares
Si (a ) y (b ) son enteros con signos similares (tanto positivos como negativos), entonces el producto (ab ) y el cociente (a / b ) son positivos.
[ begin {array} {ll} {(+) (+) = +} quad { text {or}} & {(+) / (+) = +} \ {(-) (-) = + quad text {or}} & {(-) / (-) = +} end {array} nonumber ]
Ejemplo ( PageIndex {8} )
Simplifique cada una de las siguientes expresiones:
- ((2) (3) )
- ((- 12) (- 8) )
- (- 14 / (- 2) )
Solución
Al multiplicar o dividir, los signos similares producen un resultado positivo.
- ((2) (3) = 6 )
- ((- 12) (- 8) = 96 )
- (- 14 / (- 2) = 7 )
Ejercicio ( PageIndex {8} )
Simplifique: ((- 18) (- 5) ).
- Respuesta
-
(90 )
A diferencia de los signos
Si (a ) y (b ) son enteros con signos diferentes (uno positivo y otro negativo), entonces el producto (ab ) y el cociente (a / b ) son negativos.
[ begin {array} {ll} {(+) (-) = -} & { text {or}} & {(+) / (-) = -} \ {(-) ( +) = -} & { text {or}} & {(-) / (+) = -} end {array} nonumber ]
Ejemplo ( PageIndex {9} )
Simplifique cada una de las siguientes expresiones:
- ((2) (- 12) )
- ((- 9) (12) )
- (24 / (- 8) )
Solución
Al multiplicar o dividir, a diferencia de los signos, se obtiene un resultado negativo.
- ((2) (- 12) = – 24 )
- ((- 9) (12) = – 108 )
- (24 / (- 8) = – 3 )
Ejercicio ( PageIndex {9} )
Simplificar: ((- 19) (3) ).
- Respuesta
-
(- 57 )
Propiedades matemáticas de la multiplicación
El orden en que multiplicamos los enteros no importa. Es decir, ((- 8) (5) ) da una respuesta idéntica a ((5) (- 8) ). En ambos casos, la respuesta es (- 40 ). Este hecho se llama propiedad conmutativa de la multiplicación.
La propiedad conmutativa de la multiplicación
Si (a ) y (b ) son dos enteros, entonces: [a cdot b = b + a nonumber ]
Luego, cuando multiplicamos tres enteros, no importa cuáles dos multipliquemos primero. Si multiplicamos primero el segundo y el tercero de tres números, obtenemos:
[ begin {alineado} (- 3) [(- 4) (- 5)] & = (- 3) (20) y { color {Rojo} text {Corchetes primero:} (- 4 ) (- 5) = 20} \ & = – 60 & { color {Rojo} text {Multiplicar:} (- 3) (20) = – 60} end {alineado} nonumber ]
Por otro lado, si multiplicamos el primero y el segundo de tres números primero, obtenemos:
[ begin {alineado} [(- 3) (- 4)] (- 5) & = (12) (- 5) y { color {Red} text {Corchetes primero:} (- 3 ) (- 4) = 12} \ & = -60 & { color {Red} text {Multiplicar:} (12) (- 5) = – 60} end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, ((- 3) [(- 4) (- 5)] = [(- 3) (- 4)] (- 5) ). Este hecho se llama la propiedad asociativa de la multiplicación .
La propiedad asociativa de la multiplicación
Si (a ), (b ) y (c ) son tres enteros, entonces: [a cdot (b cdot c) = (a cdot b) cdot c nonumber ]
Cuando multiplica un número entero por (1 ), obtiene el mismo número que el producto. Por ejemplo, ((1) (5) = 5 ) y ((- 11) (1) = -11 ). Este hecho se conoce como la propiedad de identidad multiplicativa .
La propiedad de identidad multiplicativa
Si a es cualquier número entero, entonces: [1 cdot a = a quad text {y} quad a cdot 1 = a nonumber ] Por esta razón, el número entero (1 ) es llamada la “identidad multiplicativa”.
Finalmente, tenga en cuenta que ((- 1) (5) = -5 ). Por lo tanto, multiplicar (5 ) por (- 1 ) es idéntico a tomar el “opuesto” de (5 ) o negar (5 ).
La propiedad multiplicativa de (- 1 )
Multiplicar por menos uno es idéntico a negar. Es decir: [(- 1) a = -a nonumber ]
Exponentes
En la expresión exponencial (a ^ n ), el número (a ) se llama base, mientras que el número (n ) se llama exponente . Ahora definimos qué se entiende por exponente.
Exponentes
Sea (a ) un número entero y sea (n ) cualquier número entero. Si (n neq 0 ), entonces: [a ^ {n} = underbrace {a cdot a cdot a cdot cdots cdot a} _ {n text {times}} nonumber ]
Es decir, para calcular (a ^ n ), escriba (a ) como factor (n ) veces.
Ejemplo ( PageIndex {10} )
Simplifique ((- 2) ^ {3} ).
Solución
En la expresión exponencial ((- 2) ^ 3 ), tenga en cuenta que (- 2 ) es la base, mientras que (3 ) es el exponente. El exponente nos dice que escribamos la base como factor tres veces. Simplifique el resultado realizando las multiplicaciones en orden, moviéndose de izquierda a derecha.
[ begin {alineado} (- 2) ^ {3} & = (- 2) (- 2) (- 2) quad { color {Red} text {-2 como factor, tres veces.}} \ & = (4) (- 2) quad { color {Red} text {Multiplicar: (-2) (- 2) = 4}} \ & = -8 quad { color {Rojo} text {Multiplicar: (4) (- 2) = – 8}} \ text {Así} (-2) ^ {3} & = – 8 end {alineado} nonumber ] [ 19459002]
Ejercicio ( PageIndex {10} )
Simplifique: ((- 2) ^ {2} ).
- Respuesta
-
(4 )
En el ejemplo ( PageIndex {10} ) , tenga en cuenta que el producto de tres factores negativos es negativo. Probemos con otro ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {11} )
Simplifique ((- 2) ^ {4} ).
Solución
En la expresión exponencial ((- 2) 4 ), tenga en cuenta que (- 2 ) es la base, mientras que (4 ) es el exponente. El exponente nos dice que escribamos la base como factor cuatro veces. Simplifique el resultado realizando las multiplicaciones en orden, moviéndose de izquierda a derecha.
[ begin {alineado} (- 2) ^ {4} & = (- 2) (- 2) (- 2) (- 2) quad { color {Rojo} text {-2 como un factor, cuatro veces.}} \ & = (4) (- 2) (- 2) quad { color {Red} text {Multiplicar: (-2) (- 2) = 4}} \ & = (- 8) (- 2) quad { color {Red} text {Multiplicar: (4) (- 2) = – 8}} \ & = 16 quad { color {Red} text {Multiplicar: (-8) (- 2) = – 8}} \ text {Así} (-2) ^ {4} & = 16 end {alineado} nonumber ]
Ejercicio ( PageIndex {11} )
Simplifique: ((- 2) ^ {5} ).
- Respuesta
-
(- 32 )
En el ejemplo ( PageIndex {11} ) , tenga en cuenta que el producto de cuatro factores negativos es positivo. Los ejemplos ( PageIndex {10} ) y ( PageIndex {11} ) revelan el siguiente patrón.
Exponentes pares o impares
- Cuando un entero negativo se eleva a un exponente par, el resultado es positivo.
- Cuando un entero negativo se eleva a un exponente impar, el resultado es negativo.
Calculadora gráfica: negación versus sustracción
Considere la vista de la mitad inferior de la calculadora gráfica TI-84 en la Figura ( PageIndex {3} ). Tenga en cuenta que hay dos teclas que contienen algún tipo de signo negativo, una en la fila inferior de teclas y otra en la última columna de teclas a la derecha, colocada justo encima del símbolo más.
El primero de estos botones es el operador de “negación” unario. Si desea negar un solo número (por lo tanto, la palabra “unario”), esta es la clave para usar. Por ejemplo, ingrese (- 3 ) presionando la siguiente secuencia de botones. El resultado se muestra en la Figura ( PageIndex {7} ).
El segundo botón es el operador binario de “resta”. Si desea restar un número de otro número (por lo tanto, la palabra “binario”), esta es la clave para usar. Por ejemplo, ingrese (7-15 ) presionando la siguiente secuencia de botones. El resultado se muestra en la Figura ( PageIndex {8} ).
Nota
No intercambie los roles del operador de negación unario y el operador de sustracción binaria.
- Para negar un número, use: (-)
- Para restar un número de otro, use: –
Si intercambia los roles de estos operadores, la calculadora responderá que ha cometido un “error de sintaxis” (consulte las Figuras ( PageIndex {9} ) y ( PageIndex {10} )).
Ejemplo ( PageIndex {12} )
Use la calculadora gráfica TI-84 para simplificar cada una de las siguientes expresiones:
- (- 717-432 )
- ((232) (- 313) )
- ((- 17) ^ {3} )
Solución
El signo menos en cada uno de estos ejemplos se ve exactamente igual, pero a veces se usa como un signo “negativo” y otras veces se usa como un signo de “resta”.
- La expresión (- 717-432 ) nos pide restar (432 ) de “negativo” (717 ). Ingrese la siguiente secuencia de teclas para producir el resultado que se muestra en la primera imagen en la Figura ( PageIndex {11} ).
Por lo tanto, (- 717-432 = -1149 ).
- La expresión ((232) (- 313) ) nos pide que encontremos el producto de (232 ) y “negativo” (313 ). Ingrese la siguiente secuencia de teclas para producir el resultado que se muestra en la segunda imagen en la Figura ( PageIndex {11 } ).
Por lo tanto, ((232) (- 313) = – 72616 ).
- La expresión ((- 17) ^ 3 ) nos pide que elevemos “negativo” a la tercera potencia. Ingrese la siguiente secuencia de teclas para producir el resultado que se muestra en la tercera imagen en la Figura ( PageIndex {11} ). El símbolo “caret” ^ se encuentra justo encima de la tecla de división en la columna más a la derecha de la calculadora gráfica TI-84.
Por lo tanto, ((- 17) ^ {3} = – 4913 ).
Ejercicio ( PageIndex {12} )
Usa la calculadora gráfica para evaluar ((- 225) ^ 3 ).
- Respuesta
-
((- 225) ^ 3 = -11390625 )