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las matematicas

1.1: Una introducción a los enteros

                 

Comenzamos con el conjunto de números de conteo, formalmente llamado el conjunto de números naturales.

 
 

Los números naturales

 

El conjunto [ mathbb {N} = {1,2,3,4,5, ldots } nonumber ] se llama el conjunto de números naturales.

 
 

Si sumamos el número cero al conjunto de números naturales, entonces tenemos un conjunto de números que se llaman números enteros.

 
 

Los números enteros

 

El conjunto [W = {0,1,2,3,4,5, ldots } nonumber ] se denomina conjunto de números enteros.

 
 

El número (0 ) es especial, ya que cada vez que lo agrega a otro número entero, obtiene el número idéntico como respuesta.

 
 

Propiedad de identidad aditiva

 

Si a es cualquier número entero, entonces [a + 0 = a nonumber ] Por esta razón, el número entero (0 ) se llama identidad aditiva.

 
 

Así, por ejemplo, (3 + 0 = 3 ), (15 + 0 = 15 ) y (123 + 0 = 123 ). Todos estos son ejemplos de la propiedad de identidad aditiva. Cada número natural tiene un opuesto, de modo que cuando los sumas, su suma es cero.

 
 

Propiedad inversa aditiva

 

Si (a ) es cualquier número natural, entonces defina el opuesto a de (a ), simbolizado por (- a ), de modo que [a + (- a) = 0 nonumber ] El número (- a ) se llama “opuesto de (a )”, o más formalmente, el inverso aditivo de (a ).

 
 

Por ejemplo, el opuesto (inverso aditivo) de (3 ) es (- 3 ) y (3 + (- 3) = 0 ). El opuesto (inverso aditivo) de (12 ) es (- 12 ) y (12 + (−12) = 0 ). Lo opuesto a (254 ) es (- 254 ) y (254 + (- 254) = 0 ). Todos estos son ejemplos de inversos aditivos y la propiedad inversa aditiva.

 

Debido a que (7 + (- 7) = 0 ), hemos dicho que (- 7 ) es lo opuesto (inverso aditivo) de (7 ). Sin embargo, también podemos darle la vuelta y decir que (7 ) es lo contrario de (- 7 ). Si traducimos la frase “lo opuesto a (- 7 ) es (7 )” en símbolos matemáticos, obtenemos (- (- 7) = 7 ).

 
 

Lo contrario de lo contrario

 

Como (a + (- a) = 0, ) podemos decir que (a ) es lo opuesto a (- a ). En símbolos, escribimos: [- (- a) = a nonumber ]

 
 

Así, por ejemplo, (- (- 11) = 11 ), (- (- 103) = 103 ) y (- (- 1255) = 1255 ).

 

Los números enteros

 

Si recopilamos todos los números naturales y sus inversos aditivos, luego incluimos el número cero, tenemos una colección de números llamados enteros.

 
 

Los enteros

 

El conjunto [ mathbb {Z} = { ldots, -5, -4, -3, -2, -1,0,1,2,3,4,5, ldots } nonumber ] se llama el conjunto de enteros.

 
 

Se puede hacer que los enteros se correspondan con puntos en una línea de una manera muy natural. Primero, dibuje una línea, luego ubique el número cero en cualquier lugar que desee. En segundo lugar, coloque el número uno a la derecha de cero. Esto determina la longitud de una unidad. Finalmente, ubique los números (1,2,3,4,5, puntos ) a la derecha de cero, luego sus opuestos (inversos aditivos) (- 1, -2, -3, -4, -5 , puntos ) a la izquierda de cero (ver Figura ( PageIndex {1} )).

 
fig 1.1.1.png
Figura ( PageIndex {1} ): Cada entero corresponde a una posición única en la recta numérica.
 

Tenga en cuenta que a medida que nos movemos hacia la derecha en la recta numérica, los enteros se hacen más grandes. Por otro lado, a medida que nos movemos hacia la izquierda en la recta numérica, los enteros se hacen más pequeños.

 
 

Enteros positivos y negativos

 

En la recta numérica, algunos enteros se encuentran a la derecha de cero y otros a la izquierda de cero.

 
         
  • Si (a ) es un entero que se encuentra a la derecha de cero, entonces (a ) se denomina entero positivo .
  •      
  • Si (a ) es un número entero que se encuentra a la izquierda de cero, entonces (a ) se denomina número entero negativo .
  •  
 
 

Por lo tanto, (4 ), (25 ) y (142 ) son enteros positivos, mientras que (- 7 ), (- 53, ) y (- 435 ) son enteros negativos

 

Valor absoluto

 

El valor absoluto (o magnitud) de un número entero se define de la siguiente manera.

 
 

El valor absoluto de un entero

 

Si (a ) es un entero, entonces el valor absoluto de (a ), escrito (| a | ), se define como la distancia entre el entero y cero en la recta numérica.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Simplificar (| -4 | ).

 

Solución

 

Considere la posición de (- 4 ) en la recta numérica. Tenga en cuenta que (- 4 ) se encuentra a cuatro unidades de distancia de cero.

 
fig 1.1.2.png
Figura ( PageIndex {2} )
 

Debido a que el valor absoluto (magnitud) de un entero es igual a su distancia desde cero, (| -4 | = 4 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Simplificar: (| -23 | )

 
     
Respuesta
     
     

(| -23 | = 23 )

     
 
 
 

De manera similar:

 
         
  • El número entero (5 ) se encuentra a cinco unidades de distancia de cero. Por lo tanto, (| 5 | = 5 ).
  •      
  • El entero (0 ) se encuentra a cero unidades de cero, por lo tanto, (| 0 | = 0 ). Tenga en cuenta que el valor absoluto de cualquier número es positivo o cero. Es decir, el valor absoluto de un número no es negativo (no negativo).
  •  
 

Adición de enteros

 

Esta sección está diseñada para proporcionar una revisión rápida de la suma de enteros. Consideramos el primero de dos casos.

 
 

Agregando enteros con signos similares

 

Para agregar dos enteros con signos similares (tanto positivos como negativos), agregue sus magnitudes (valores absolutos), luego prefije su signo común.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Simplificar (7 + 12 ).

 

Solución

 

Tenemos como signos. Las magnitudes (valores absolutos) de (7 ) y (12 ) son (7 ) y (12 ), respectivamente. Si sumamos las magnitudes, obtenemos (19 ). Si pre fi jamos el signo común, obtenemos (19 ). Es decir: [7 + 12 = 19 nonumber ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Simplifica: (13 + 28 ).

 
     
Respuesta
     
     

(41 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Simplificar (- 8 + (- 9) ).

 

Solución

 

Tenemos como signos. Las magnitudes (valores absolutos) de (- 8 ) y (- 9 ) son (8 ) y (9 ), respectivamente. Si sumamos las magnitudes, obtenemos (17 ). Si pre fi jamos el signo común, obtenemos (- 17 ). Es decir: [- 8 + (- 9) = – 17 nonumber ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Simplifique: (- 12 + (- 21) ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 33 )

     
 
 
 

A continuación, consideramos el caso en el que tenemos signos distintos.

 
 

Agregando enteros con signos diferentes

 

Para sumar dos enteros con signos diferentes (uno positivo y otro negativo), reste el número entero con la magnitud más pequeña (valor absoluto) del número con la magnitud más grande, luego prefije el signo del número entero con la magnitud más grande.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Simplificar (- 14 + 11 ).

 

Solución

 

Tenemos signos diferentes. Las magnitudes (valores absolutos) de (- 14 ) y (11 ) son (14 ) y (11 ), respectivamente. Si restamos la magnitud más pequeña de la más grande, obtenemos (3 ). El número (- 14 ) tiene la mayor magnitud, por lo que prefijamos nuestra respuesta con su signo negativo. Es decir: [- 14 + 11 = -3 nonumber ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Simplificar: (12 + (- 29) ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 17 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Simplificar (40 + (- 25) ).

 

Solución

 

Tenemos signos diferentes. Las magnitudes (valores absolutos) de (40 ) y (- 25 ) son (40 ) y (25 ), respectivamente. Si restamos la magnitud más pequeña de la más grande, obtenemos (15 ). El número (40 ) tiene la mayor magnitud, por lo que prefijamos nuestra respuesta con su signo positivo. Es decir: [40 + (- 25) = 15 nonumber ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Simplifica: (32 + (- 90) ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 58 )

     
 
 
 

Propiedades matemáticas de la suma

 

No importa el orden en que agreguemos enteros. Es decir, (- 20 + 34 ) da una respuesta idéntica a la suma (34 + (−20) ). En ambos casos, la respuesta es (14 ). Este hecho se llama la propiedad conmutativa de la suma .

 
 

La propiedad conmutativa de la adición

 

Si (a ) y (b ) son dos enteros, entonces: [a + b = b + a nonumber ]

 
 

Luego, cuando agregamos tres enteros, no importa cuáles dos agreguemos primero. Por ejemplo, si agregamos primero el segundo y el tercero de tres números, obtenemos:

 

[ begin {alineado} -11 + (- 2 + 5) & = – 11 + 3 quad { color {Rojo} text {Paréntesis primero:} -2 + 5 = 3} \ & = -8 quad { color {Red} text {Agregar:} -11 + 3 = -8} end {alineado} nonumber ]

 

Por otro lado, si sumamos el primero y el segundo de tres números primero, obtenemos:

 

[ begin {alineado} (- 11 + (- 2)) + 5 & = – 13 + 5 quad { color {Rojo} text {Paréntesis primero:} -11 + (- 2) = -13} \ & = – 8 quad { color {Red} text {Agregar:} -13 + 5 = -8} end {alineado} nonumber ]

 

Por lo tanto, (- 11 + (−2 + 5) = (−11 + (−2)) + 5 ). Este hecho se llama la propiedad asociativa de la suma .

 
 

La propiedad asociativa de la adición

 

Si (a ), (b ) y (c ) son tres enteros, entonces: [a + (b + c) = (a + b) + c nonumber ]

 
 

Resta de enteros

 

La resta es el inverso, o el opuesto, de la suma.

 
 

Restando enteros

 

Si (a ) y (b ) son dos enteros, entonces: [ab = a + (- b) nonumber ] Restar (b ) es idéntico a sumar el opuesto (aditivo inverso) de (b ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Simplificar: (- 13-27 ).

 

Solución

 

El “opuesto” (inverso aditivo) de (27 ) es (- 27 ). Entonces, restar (27 ) es lo mismo que sumar (- 27 ).

 

( begin {alineado} -13-27 & = – 13 + (- 27) quad { color {Red} text {Restar 27 es lo mismo que sumar −27.}} \ & = – 50 quad { color {Red} text {Agregue las magnitudes, luego prefija el signo negativo común.}} End {alineado} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Simplifica: (- 11-15 ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 26 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Simplificar: (- 27 – (- 50) ).

 

Solución

 

El “opuesto” (inverso aditivo) de (- 50 ) es (- (- 50) ), o (50 ). Entonces, restar (- 50 ) es lo mismo que sumar (50 ).

 

( begin {alineado} -27 – (- 50) & = – 27 + 50 quad { color {Red} text {Restar -50 es lo mismo que sumar 50.}} \ & = 23 quad { color {Red} text {Reste la magnitud más pequeña de la magnitud más grande, luego prefija el signo de la magnitud más grande.}} End {alineado} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Simplifique: (- 18 – (- 54) ).

 
     
Respuesta
     
     

(36 )

     
 
 
 

Multiplicación de enteros

 

Esta sección está diseñada para proporcionar una revisión rápida de la multiplicación y división de enteros.

 
 

Signos similares

 

Si (a ) y (b ) son enteros con signos similares (tanto positivos como negativos), entonces el producto (ab ) y el cociente (a / b ) son positivos.

 

[ begin {array} {ll} {(+) (+) = +} quad { text {or}} & {(+) / (+) = +} \ {(-) (-) = + quad text {or}} & {(-) / (-) = +} end {array} nonumber ]

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Simplifique cada una de las siguientes expresiones:

 
         
  1. ((2) (3) )
  2.      
  3. ((- 12) (- 8) )
  4.      
  5. (- 14 / (- 2) )
  6.  
 

Solución

 

Al multiplicar o dividir, los signos similares producen un resultado positivo.

 
         
  1. ((2) (3) = 6 )
  2.      
  3. ((- 12) (- 8) = 96 )
  4.      
  5. (- 14 / (- 2) = 7 )
  6.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Simplifique: ((- 18) (- 5) ).

 
     
Respuesta
     
     

(90 )

     
 
 
 
 

A diferencia de los signos

 

Si (a ) y (b ) son enteros con signos diferentes (uno positivo y otro negativo), entonces el producto (ab ) y el cociente (a / b ) son negativos.

 

[ begin {array} {ll} {(+) (-) = -} & { text {or}} & {(+) / (-) = -} \ {(-) ( +) = -} & { text {or}} & {(-) / (+) = -} end {array} nonumber ]

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Simplifique cada una de las siguientes expresiones:

 
         
  1. ((2) (- 12) )
  2.      
  3. ((- 9) (12) )
  4.      
  5. (24 / (- 8) )
  6.  
 

Solución

 

Al multiplicar o dividir, a diferencia de los signos, se obtiene un resultado negativo.

 
         
  1. ((2) (- 12) = – 24 )
  2.      
  3. ((- 9) (12) = – 108 )
  4.      
  5. (24 / (- 8) = – 3 )
  6.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Simplificar: ((- 19) (3) ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 57 )

     
 
 
 

Propiedades matemáticas de la multiplicación

 

El orden en que multiplicamos los enteros no importa. Es decir, ((- 8) (5) ) da una respuesta idéntica a ((5) (- 8) ). En ambos casos, la respuesta es (- 40 ). Este hecho se llama propiedad conmutativa de la multiplicación.

 
 

La propiedad conmutativa de la multiplicación

 

Si (a ) y (b ) son dos enteros, entonces: [a cdot b = b + a nonumber ]

 
 

Luego, cuando multiplicamos tres enteros, no importa cuáles dos multipliquemos primero. Si multiplicamos primero el segundo y el tercero de tres números, obtenemos:

 

[ begin {alineado} (- 3) [(- 4) (- 5)] & = (- 3) (20) y { color {Rojo} text {Corchetes primero:} (- 4 ) (- 5) = 20} \ & = – 60 & { color {Rojo} text {Multiplicar:} (- 3) (20) = – 60} end {alineado} nonumber ]

 

Por otro lado, si multiplicamos el primero y el segundo de tres números primero, obtenemos:

 

[ begin {alineado} [(- 3) (- 4)] (- 5) & = (12) (- 5) y { color {Red} text {Corchetes primero:} (- 3 ) (- 4) = 12} \ & = -60 & { color {Red} text {Multiplicar:} (12) (- 5) = – 60} end {alineado} nonumber ]

 

Por lo tanto, ((- 3) [(- 4) (- 5)] = [(- 3) (- 4)] (- 5) ). Este hecho se llama la propiedad asociativa de la multiplicación .

 
 

La propiedad asociativa de la multiplicación

 

Si (a ), (b ) y (c ) son tres enteros, entonces: [a cdot (b cdot c) = (a cdot b) cdot c nonumber ]

 
 

Cuando multiplica un número entero por (1 ), obtiene el mismo número que el producto. Por ejemplo, ((1) (5) = 5 ) y ((- 11) (1) = -11 ). Este hecho se conoce como la propiedad de identidad multiplicativa .

 
 

La propiedad de identidad multiplicativa

 

Si a es cualquier número entero, entonces: [1 cdot a = a quad text {y} quad a cdot 1 = a nonumber ] Por esta razón, el número entero (1 ) es llamada la “identidad multiplicativa”.

 
 

Finalmente, tenga en cuenta que ((- 1) (5) = -5 ). Por lo tanto, multiplicar (5 ) por (- 1 ) es idéntico a tomar el “opuesto” de (5 ) o negar (5 ).

 
 

La propiedad multiplicativa de (- 1 )

 

Multiplicar por menos uno es idéntico a negar. Es decir: [(- 1) a = -a nonumber ]

 
 

Exponentes

 

En la expresión exponencial (a ^ n ), el número (a ) se llama base, mientras que el número (n ) se llama exponente . Ahora definimos qué se entiende por exponente.

 
 

Exponentes

 

Sea (a ) un número entero y sea (n ) cualquier número entero. Si (n neq 0 ), entonces: [a ^ {n} = underbrace {a cdot a cdot a cdot cdots cdot a} _ {n text {times}} nonumber ]

 

Es decir, para calcular (a ^ n ), escriba (a ) como factor (n ) veces.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Simplifique ((- 2) ^ {3} ).

 

Solución

 

En la expresión exponencial ((- 2) ^ 3 ), tenga en cuenta que (- 2 ) es la base, mientras que (3 ) es el exponente. El exponente nos dice que escribamos la base como factor tres veces. Simplifique el resultado realizando las multiplicaciones en orden, moviéndose de izquierda a derecha.

 

[ begin {alineado} (- 2) ^ {3} & = (- 2) (- 2) (- 2) quad { color {Red} text {-2 como factor, tres veces.}} \ & = (4) (- 2) quad { color {Red} text {Multiplicar: (-2) (- 2) = 4}} \ & = -8 quad { color {Rojo} text {Multiplicar: (4) (- 2) = – 8}} \ text {Así} (-2) ^ {3} & = – 8 end {alineado} nonumber ] [ 19459002]  

 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Simplifique: ((- 2) ^ {2} ).

 
     
Respuesta
     
     

(4 )

     
 
 
 

En el ejemplo ( PageIndex {10} ) , tenga en cuenta que el producto de tres factores negativos es negativo. Probemos con otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} )

 

Simplifique ((- 2) ^ {4} ).

 

Solución

 

En la expresión exponencial ((- 2) 4 ), tenga en cuenta que (- 2 ) es la base, mientras que (4 ) es el exponente. El exponente nos dice que escribamos la base como factor cuatro veces. Simplifique el resultado realizando las multiplicaciones en orden, moviéndose de izquierda a derecha.

 

[ begin {alineado} (- 2) ^ {4} & = (- 2) (- 2) (- 2) (- 2) quad { color {Rojo} text {-2 como un factor, cuatro veces.}} \ & = (4) (- 2) (- 2) quad { color {Red} text {Multiplicar: (-2) (- 2) = 4}} \ & = (- 8) (- 2) quad { color {Red} text {Multiplicar: (4) (- 2) = – 8}} \ & = 16 quad { color {Red} text {Multiplicar: (-8) (- 2) = – 8}} \ text {Así} (-2) ^ {4} & = 16 end {alineado} nonumber ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Simplifique: ((- 2) ^ {5} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 32 )

     
 
 
 

En el ejemplo ( PageIndex {11} ) , tenga en cuenta que el producto de cuatro factores negativos es positivo. Los ejemplos ( PageIndex {10} ) y ( PageIndex {11} ) revelan el siguiente patrón.

 
 

Exponentes pares o impares

 
         
  1. Cuando un entero negativo se eleva a un exponente par, el resultado es positivo.
  2.      
  3. Cuando un entero negativo se eleva a un exponente impar, el resultado es negativo.
  4.  
 
 

Calculadora gráfica: negación versus sustracción

 
fig 1.1.3.png
Figura ( PageIndex {3} ): mitad inferior de la TI-84.
 

Considere la vista de la mitad inferior de la calculadora gráfica TI-84 en la Figura ( PageIndex {3} ). Tenga en cuenta que hay dos teclas que contienen algún tipo de signo negativo, una en la fila inferior de teclas y otra en la última columna de teclas a la derecha, colocada justo encima del símbolo más.

 
fig 1.1.4.png
Figura ( PageIndex {4} )
 

El primero de estos botones es el operador de “negación” unario. Si desea negar un solo número (por lo tanto, la palabra “unario”), esta es la clave para usar. Por ejemplo, ingrese (- 3 ) presionando la siguiente secuencia de botones. El resultado se muestra en la Figura ( PageIndex {7} ).

 
fig 1.1.5.png
Figura ( PageIndex {5} )
 

El segundo botón es el operador binario de “resta”. Si desea restar un número de otro número (por lo tanto, la palabra “binario”), esta es la clave para usar. Por ejemplo, ingrese (7-15 ) presionando la siguiente secuencia de botones. El resultado se muestra en la Figura ( PageIndex {8} ).

 
fig 1.1.6.png
Figura ( PageIndex {6} )
 
fig 1.1.7.png fig 1.1.8.png
Figura ( PageIndex {7} ): Negar un número. Figura ( PageIndex {8} ): Resta dos números.
 
 

Nota

 

No intercambie los roles del operador de negación unario y el operador de sustracción binaria.

 
         
  1. Para negar un número, use: (-)
  2.      
  3. Para restar un número de otro, use: –
  4.  
 
 

Si intercambia los roles de estos operadores, la calculadora responderá que ha cometido un “error de sintaxis” (consulte las Figuras ( PageIndex {9} ) y ( PageIndex {10} )).

 
fig 1.1.9.png fig 1.1.10.png
Figura ( PageIndex {9} ): Usando el símbolo incorrecto para la resta. Figura ( PageIndex {10} ): El error de sintaxis resultante.
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} )

 

Use la calculadora gráfica TI-84 para simplificar cada una de las siguientes expresiones:

 
         
  1. (- 717-432 )
  2.      
  3. ((232) (- 313) )
  4.      
  5. ((- 17) ^ {3} )
  6.  
 

Solución

 

El signo menos en cada uno de estos ejemplos se ve exactamente igual, pero a veces se usa como un signo “negativo” y otras veces se usa como un signo de “resta”.

 
         
  1. La expresión (- 717-432 ) nos pide restar (432 ) de “negativo” (717 ). Ingrese la siguiente secuencia de teclas para producir el resultado que se muestra en la primera imagen en la Figura ( PageIndex {11} ).
  2.  
 

fig 1.1.11a.png

 

Por lo tanto, (- 717-432 = -1149 ).

 
         
  1. La expresión ((232) (- 313) ) nos pide que encontremos el producto de (232 ) y “negativo” (313 ). Ingrese la siguiente secuencia de teclas para producir el resultado que se muestra en la segunda imagen en la Figura ( PageIndex {11 } ).
  2.  
 

fig 1.1.11b.png

 

Por lo tanto, ((232) (- 313) = – 72616 ).

 
         
  1. La expresión ((- 17) ^ 3 ) nos pide que elevemos “negativo” a la tercera potencia. Ingrese la siguiente secuencia de teclas para producir el resultado que se muestra en la tercera imagen en la Figura ( PageIndex {11} ). El símbolo “caret” ^ se encuentra justo encima de la tecla de división en la columna más a la derecha de la calculadora gráfica TI-84.
  2.  
 

fig 1.1.11c.png

 

Por lo tanto, ((- 17) ^ {3} = – 4913 ).

 
fig 1.1.11.png
Figura ( PageIndex {11} ): Cálculos realizados en la calculadora gráfica.
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Usa la calculadora gráfica para evaluar ((- 225) ^ 3 ).

 
     
Respuesta
     
     

((- 225) ^ 3 = -11390625 )

     
 
 
 
                                  
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