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las matematicas

1.10: Propiedades de los números reales

Utilice las propiedades conmutativas y asociativas

 

Piensa en sumar dos números, digamos 5 y 3. El orden en que los agregamos no afecta el resultado, ¿verdad?

 

[ begin {array} {cc} {5 + 3} y {3 + 5} \ {8} y {8} \ {5 + 3 =} & {3 + 5} end { matriz} ]

 

Los resultados son los mismos.

 

Como podemos ver, ¡el orden en que agreguemos no importa!

 

¿Qué hay de multiplicar 5 y 3?

 

[ begin {array} {cc} {5 cdot 3} y {3 cdot 5} \ {15} y {15} \ {5 cdot 3 =} y {3 cdot 5 } end {array} ]

 

Nuevamente, ¡los resultados son los mismos!

 

¡El orden en que nos multiplicamos no importa!

 

Estos ejemplos ilustran la propiedad conmutativa . Al agregar o multiplicar, cambiar el orden da el mismo resultado.

 
 
 

PROPIEDAD COMUTATIVA

 

[ begin {array} {ll} { textbf {of Addition}} & { text {If} a, b text {son números reales, entonces} quad a + b = b + a} \ { textbf {of Multiplication}} & { text {If} a, b text {son números reales, entonces} quad a cdot b = b cdot a} end {array} ] [19459005 ]  

Al sumar o multiplicar, cambiar el orden da el mismo resultado.

 
 
 

La propiedad conmutativa tiene que ver con el orden. Si cambia el orden de los números al sumar o multiplicar, el resultado es el mismo.

 

¿Qué pasa con la resta? ¿Importa el orden cuando restamos números? ¿7−3 da el mismo resultado que 3−7?

 

[ begin {array} {c c} {7 – 3} y {3 – 7} \ {4} y {- 4} end {array} ]

 

[ begin {alineado} 4 y neq – 4 \ 7 – 3 y neq 3 – 7 end {alineado} ]

 

Los resultados no son los mismos.

 

Dado que cambiar el orden de la resta no dio el mismo resultado, sabemos que la resta no es conmutativa .

 

Veamos qué sucede cuando dividimos dos números. ¿Es división conmutativa?

 

[ begin {array} {cc} {12 div 4} y {4 div 12} \ { frac {12} {4}} y { frac {4} {12}} {3} y { frac {1} {3}} end {array} ]
[ begin {alineado} 3 neq & frac {1} {3} \ 12 div 4 & neq 4 div 12 end {alineado} ]

 

Los resultados no son los mismos.

 

Dado que cambiar el orden de la división no dio el mismo resultado, la división no es conmutativa . ¡Las propiedades conmutativas solo se aplican a la suma y la multiplicación!

 
         
  • La ​​suma y la multiplicación son ​​ conmutativas.
  •      
  • La ​​resta y la división no son conmutativas .
  •  
 

Si le pidieran que simplificara esta expresión, ¿cómo lo haría y cuál sería su respuesta?

 

[7 + 8 + 2 ]

 

Algunas personas pensarían que (7 + 8 ) es 15 y luego (15 + 2 ) es 17. Otros podrían comenzar con (8 + 2 ) hace 10 y luego (7 + 10 ) hace 17.

 

De cualquier manera da el mismo resultado. Recuerde, usamos paréntesis como símbolos de agrupación para indicar qué operación debe hacerse primero.

 

[ begin {array} {ll} { text {Add} 7 + 8. } & {(7 + 8) + 2} \ { text {Agregar. }} & {15 + 2} \ { text {Agregar. }} Y {17} \ \ {} y {7 + (8 + 2)} \ { text {Agregar} 8 + 2. } & {7 + 10} \ { text {Agregar. }} & {77} \\ {(7 + 8) + 2 = 7 + (8 + 2)} end {array} ]

 

Al sumar tres números, cambiar la agrupación de los números da el mismo resultado.

 

Esto también es cierto para la multiplicación.

 

[ begin {array} {ll} {} & {(5 cdot frac {1} {3}) cdot 3} \ { text {Multiplicar. } 5 cdot frac {1} {3}} y { frac {5} {3} cdot 3} \ { text {Multiplicar. }} Y {5} \ \ {} y {5 cdot ( frac {1} {3} cdot 3)} \ { text {Multiplicar. } frac {1} {3} cdot 3} y {5 cdot 1} \ { text {Multiplicar. }} & {5} \ \ {(5 cdot frac {1} {3}) cdot 3 = 5 cdot ( frac {1} {3} cdot 3)} end {array} ]

 

Al multiplicar tres números, cambiar la agrupación de los números da el mismo resultado.

 

Probablemente lo sepas, pero la terminología puede ser nueva para ti. Estos ejemplos ilustran la propiedad asociativa .

 
 

PROPIEDAD ASOCIATIVA

 

[ begin {array} {ll} { textbf {of Addition}} & { text {If} a, b, c text {son números reales, entonces} (a + b) + c = a + (b + c)} \ { textbf {de Multiplicación}} y { text {Si} a, b, c text {son números reales, entonces} (a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)} end {array} ]

 

Al sumar o multiplicar, cambiar la agrupación da el mismo resultado.

 
 

Pensemos nuevamente en multiplicar (5 cdot frac {1} {3} cdot 3 ). Obtuvimos el mismo resultado en ambos sentidos, pero ¿cuál fue más fácil? Multiplicar ( frac {1} {3} ) y 3 primero, como se muestra arriba en el lado derecho, elimina la fracción en el primer paso. ¡Usar la propiedad asociativa puede facilitar las matemáticas!

 

La propiedad asociativa tiene que ver con la agrupación. Si cambiamos la forma en que se agrupan los números, el resultado será el mismo. Observe que son los mismos tres números en el mismo orden: la única diferencia es la agrupación.

 

Vimos que la resta y la división no eran conmutativas. Tampoco son asociativos.

 

Al simplificar una expresión, siempre es una buena idea planificar cuáles serán los pasos. Para combinar términos similares en el siguiente ejemplo, utilizaremos la propiedad conmutativa de la suma para escribir juntos los términos similares.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Simplifica: (18p + 6q + 15p + 5q ).

 
     
Respuesta
     
     

[ begin {array} {ll} {} & {18p + 6q + 15p + 5q} \ \ { text {Use la propiedad conmutativa de la suma}} & {} \ { text { reordenar para que los términos similares estén juntos.}} & {18p + 15p + 6q + 5q} \ \ { text {Agregar términos similares.}} & {33p + 11q} end {array} ] [ 19459005]      

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Simplifica: (23r + 14s + 9r + 15s ).

 
     
Respuesta
     
     

(32r + 29s )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Simplifica: (37m + 21n + 4m − 15n ).

 
     
Respuesta
     
     

(41m + 6n )

     
 
 
 

Cuando tenemos que simplificar la expresión algebraica s, a menudo podemos facilitar el trabajo aplicando primero la propiedad conmutativa o asociativa, en lugar de seguir automáticamente el orden de las operaciones. Al sumar o restar fracciones, combine primero aquellas con un denominador común.

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Simplifica: (( frac {5} {13} + frac {3} {4}) + frac {1} {4} )

 
     
Respuesta
     
     

[ begin {array} {ll} {} & {( frac {5} {13} + frac {3} {4}) + frac {1} {4}} \ { text {Observe que los últimos} 2 text {términos tienen un}} \ { text {denominador común, así que cambie el}} y { frac {5} {13} + left ( frac {3} { 4} + frac {1} {4} right)} \ { text {agrupación. }} & {} \ \ { text {Agregar paréntesis primero.}} & { frac {5} {13} + ( frac {4} {4})} \ \ { text { Simplifique la fracción.}} Y { frac {5} {13} + 1} \ \ { text {Add.}} Y {1 frac {5} {13}} \ \ { text {Convertir a una fracción impropia.}} & { Frac {18} {13}} end {array} ]

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Simplifica: (( frac {7} {15} + frac {5} {8}) + frac {3} {8} )

 
     
Respuesta
     
     

(1 frac {7} {15} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Simplifica: (( frac {2} {9} + frac {7} {12}) + frac {5} {12} )

 
     
Respuesta
     
     

(1 frac {2} {9} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Use la propiedad asociativa para simplificar (6 (3x) ).

 
     
Respuesta
     
     

Use la propiedad asociativa de la multiplicación, ((a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c) ), para cambiar la agrupación.

     

[ begin {array} {ll} {} & {6 (3 x)} \ { text {Cambiar la agrupación. }} & {(6 cdot 3) x} \ { text {Multiplica entre paréntesis. }} & {18} end {array} ]

     

Observe que podemos multiplicar (6 cdot 3 ) pero no podríamos multiplicar (3 x ) sin tener un valor para ( x ) .

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Use la propiedad asociativa para simplificar (8 (4x) ).

 
     
Respuesta
     
     

(32x )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Use la propiedad asociativa para simplificar (- 9 (7y) ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 63 años )

     
 
 
 

Utilice la identidad y las propiedades inversas de la suma y la multiplicación

 

¿Qué sucede cuando agregamos 0 a cualquier número? Agregar 0 no cambia el valor. Por esta razón, llamamos a 0 la identidad aditiva .

 

Por ejemplo,

 

[ begin {array} {ccc} {13 + 0} & {- 14 + 0} & {0 + (- 8)} \ {13} & {- 14} & {- 8} end {array} ]

 
 
 

Estos ejemplos ilustran la Propiedad de adición de identidad que establece que para cualquier número real (a ), (a + 0 = a ) y (0 + a = a ).

 

¿Qué sucede cuando multiplicamos cualquier número por uno? Multiplicar por 1 no cambia el valor. Entonces llamamos a 1 la identidad multiplicativa .

 

Por ejemplo, [ begin {array} {rrr} {43 cdot 1} & {- 27 cdot 1} y {1 cdot frac {3} {5}} \ {43} & {- 27} y { frac {3} {5}} end {array} ]

 

Estos ejemplos ilustran la Propiedad de identidad de multiplicación que establece que para cualquier número real (a ), (a cdot 1 = a ) y (1 cdot a = a )

 

A continuación resumimos las propiedades de identidad.

 
 

PROPIEDAD DE IDENTIDAD

 

[ begin {array} {ll} { textbf {de suma} text {Para cualquier número real} a:} & {a + 0 = a quad 0 + a = a} \ { textbf {0} text {es el} textbf {identidad aditiva}} \ { textbf {de multiplicación} text {Para cualquier número real} a:} & {a cdot 1 = a quad 1 cdot a = a} \ { textbf {1} text {es el} textbf {identidad multiplicativa}} end {array} ]

 
 
In the top line of this figure, we have the question “What number added to 5 gives the additive identity, 0?” On the following line, we have 5 plus a blank space equals 0. Then it is stated that “We know 5 plus negative 5 equals 0.” On the following line, we have the question “What number added to negative 6 gives the additive identity, 0?” On the following line, we have negative 6 plus a blank space equals 0. Then it is stated that “We know negative 6 plus 6 equals 0.”  
Figura ( PageIndex {1} )
 
 

¡Observe que en cada caso, el número que faltaba era el opuesto del número!

 

Llamamos (- a ). el aditivo inverso de a . Lo contrario de un número es su inverso aditivo. Un número y su opuesto se suman a cero, que es la identidad aditiva. Esto lleva a la Propiedad inversa de la suma que establece cualquier número real (a, a + (- a) = 0 ). Recuerde, un número y su opuesto se suman a cero.

 

¿Qué número multiplicado por ( frac {2} {3} ) da la identidad multiplicativa, 1? En otras palabras, ( frac {2} {3} ) multiplicado por lo que resulta en 1?

 
We have the statement that 2/3 times a blank space equals 1. Then it is stated that “We know 2/3 times 3/2 equals 1.”  
Figura ( PageIndex {2} )
 
 

¿Qué número multiplicado por 2 da la identidad multiplicativa, 1? En otras palabras, ¿2 veces lo que resulta en 1?

 
We have the statement that 2 times a blank space equals 1. Then it is stated that “We know 2 times 1/2 equals 1.”  
Figura ( PageIndex {3} )
 
 

¡Observe que en cada caso, el número que faltaba era el recíproco del número!

 

Llamamos ( frac {1} {a} ) el inverso multiplicativo de a . El recíproco de un número es su inverso multiplicativo. Un número y su recíproco se multiplican por uno, que es la identidad multiplicativa. Esto lleva a la Propiedad inversa de multiplicación que establece que para cualquier número real (a, a neq 0, a cdot frac {1} {a} = 1 ).

 

Enunciaremos formalmente las propiedades inversas aquí:

 
 

PROPIEDAD INVERSA

 

[ begin {array} {lll} { textbf {de suma}} & { text {Para cualquier número real} a,} & {a + (-a) = 0} \ {} & {-un texto{. es el} textbf {inverso aditivo} text {of} a} & {} \ {} & { text {Un número y su opuesto se suman a cero. }} & {} \ \ { textbf {de multiplicación}} & { text {Para cualquier número real} a, a neq 0} y {a cdot frac {1} {a} = 1} \ {} & { frac {1} {a} text {. es el} textbf {inverso multiplicativo} text {of} a} & {} \ {} & { text {Un número y su recíproco se multiplican por cero. }} & {} end {array} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Encuentra el inverso aditivo de

 
         
  1. ( frac {5} {8} )
  2.      
  3. (0,6 )
  4.      
  5. (- 8 )
  6.      
  7. (- frac {4} {3} )
  8.  
 
     
Respuesta
     
     

Para encontrar el inverso aditivo, encontramos lo opuesto.

     
             
  1. El inverso aditivo de ( frac {5} {8} ) es el opuesto de ( frac {5} {8} ). El inverso aditivo de ( frac {5} {8} ) es (- frac {5} {8} )
  2.          
  3. El inverso aditivo de (0.6 ) es el opuesto de (0.6 ). El inverso aditivo de (0.6 ) es (- 0.6 ).
  4.          
  5. El inverso aditivo de (- 8 ) es el opuesto de (- 8 ). Escribimos el opuesto de (- 8 ) como (- (- 8) ), y luego lo simplificamos a (8 ). Por lo tanto, el inverso aditivo de (- 8 ) es (8 ).
  6.          
  7. El inverso aditivo de (- frac {4} {3} ) es el opuesto de (- frac {4} {3} ). Escribimos esto como (- (- frac {4} {3}) ), y luego simplificamos a ( frac {4} {3} ). Por lo tanto, el inverso aditivo de (- frac {4} {3} ) es ( frac {4} {3} ).
  8.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Encuentra el inverso aditivo de

 
         
  1. ( frac {7} {9} )
  2.      
  3. (1,2 )
  4.      
  5. (- 14 )
  6.      
  7. (- frac {9} {4} )
  8.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (- frac {7} {9} )
  2.          
  3. (- 1,2 )
  4.          
  5. (14 )
  6.          
  7. ( frac {9} {4} )
  8.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Encuentra el inverso aditivo de

 
         
  1. ( frac {7} {13} )
  2.      
  3. (8,4 )
  4.      
  5. (- 46 )
  6.      
  7. (- frac {5} {2} )
  8.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (- frac {7} {13} )
  2.          
  3. (- 8,4 )
  4.          
  5. (46 )
  6.          
  7. ( frac {5} {2} )
  8.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Halla el inverso multiplicativo de

 
         
  1. (9 )
  2.      
  3. (- frac {1} {9} )
  4.      
  5. (0,9 )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     

Para encontrar el inverso multiplicativo, encontramos el recíproco.

     
             
  1. El inverso multiplicativo de (9 ) es el recíproco de (9 ), que es ( frac {1} {9} ). Por lo tanto, el inverso multiplicativo de (9 ) es ( frac {1} {9} ).
  2.          
  3. El inverso multiplicativo de (- frac {1} {9} ) es el recíproco de (- frac {1} {9} ), que es (- 9 ). Por lo tanto, el inverso multiplicativo de (- frac {1} {9} ) es (- 9 ).
  4.          
  5. Para encontrar el inverso multiplicativo de (0.9 ), primero convertimos (0.9 ) a una fracción, ( frac {9} {10} ). Luego encontramos el recíproco de la fracción. El recíproco de ( frac {9} {10} ) es ( frac {10} {9} ). Entonces, el inverso multiplicativo de (0.9 ) es ( frac {10} {9} ).
  6.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Halla el inverso multiplicativo de

 
         
  1. (4 )
  2.      
  3. (- frac {1} {7} )
  4.      
  5. (0,3 )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( frac {1} {4} )
  2.          
  3. (- 7 )
  4.          
  5. ( frac {10} {3} )
  6.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Halla el inverso multiplicativo de

 
         
  1. (18 )
  2.      
  3. (- frac {4} {5} )
  4.      
  5. (0,6 )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( frac {1} {18} )
  2.          
  3. (- frac {5} {4} )
  4.          
  5. ( frac {5} {3} )
  6.      
     
 
 
 

Usa las propiedades de cero

 

La propiedad de identidad de la suma dice que cuando agregamos 0 a cualquier número, el resultado es ese mismo número. ¿Qué sucede cuando multiplicamos un número por 0? Multiplicar por 0 hace que el producto sea igual a cero.

 
 

MULTIPLICACIÓN POR CERO

 

Para cualquier número real a .

 

[a cdot 0 = 0 quad 0 cdot a = 0 ]

 

El producto de cualquier número real y 0 es 0.

 
 

¿Qué pasa con división que involucra cero? ¿Qué es (0 div 3 )? Piense en un ejemplo real: si no hay cookies en el tarro de galletas y 3 personas deben compartirlas, ¿cuántas cookies obtiene cada persona? No hay cookies para compartir, por lo que cada persona obtiene 0 cookies. Entonces,

 

[0 div 3 = 0 ]

 

Podemos verificar la división con el hecho de multiplicación relacionado.

 

[12 div 6 = 2 text {porque} 2 cdot 6 = 12 ]

 

Entonces sabemos (0 div 3 = 0 ) porque (0 cdot 3 = 0 ).

 
 

DIVISIÓN DE CERO

 

Para cualquier número real a , excepto (0, frac {0} {a} = 0 ) y (0 div a = 0 ).

 

Cero dividido por cualquier número real excepto cero es cero.

 
 

Ahora piensa en dividir entre cero. ¿Cuál es el resultado de dividir 4 por 0? Piense en el hecho de multiplicación relacionado: (4 div 0 =? ) Significa (? Cdot 0 = 4 ). ¿Hay un número que multiplicado por 0 da 4? Como cualquier número real multiplicado por 0 da 0, no hay un número real que pueda multiplicarse por 0 para obtener 4.

 

Llegamos a la conclusión de que no hay respuesta a (4 div 0 ) y por eso decimos que la división por 0 no está definida.

 
 

DIVISIÓN POR CERO

 

Para cualquier número real a , excepto (0, frac {a} {0} ) y (a div 0 ) no están definidos.

 

La división por cero no está definida.

 
 

A continuación resumimos las propiedades de cero.

 
 

PROPIEDADES DE CERO

 

Multiplicación por cero: Para cualquier número real a ,

 

[a cdot 0 = 0 quad 0 cdot a = 0 quad text {El producto de cualquier número y} 0 text {es} 0 ]

 

División de cero, división por cero: Para cualquier número real (a, a neq 0 )

 

[ begin {array} {l l} { frac {0} {a} = 0} & { text {Cero dividido por cualquier número real, excepto que es cero. }} \ { frac {a} {0} text {no está definido}} & { text {La división por cero no está definida. }} end {array} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (- 8 cdot 0 )
  2.      
  3. ( frac {0} {- 2} )
  4.      
  5. ( frac {-32} {0} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. [ begin {array} {cc} {} & {- 8 cdot 0} \ { text {El producto de cualquier número real y 0 es 0}} & {0} end {array} ]
  2.          
  3. [ begin {array} {ll} {} & { frac {0} {- 2}} \ { text {Cero dividido por cualquier número real, excepto}} & {} \ { el texto {en sí mismo es 0}} y {0} end {array} ]
  4.          
  5. [ begin {array} {ll} {} & { frac {-32} {0}} \ { text {La división por 0 no está definida.}} & { Text {undefined}} end {array} ]
  6.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (- 14 cdot 0 )
  2.      
  3. ( frac {0} {- 6} )
  4.      
  5. ( frac {-2} {0} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (0 )
  2.          
  3. (0 )
  4.          
  5. indefinido
  6.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (0 (-17) )
  2.      
  3. ( frac {0} {- 10} )
  4.      
  5. ( frac {-5} {0} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (0 )
  2.          
  3. (0 )
  4.          
  5. indefinido
  6.      
     
 
 
 

Ahora practicaremos el uso de las propiedades de identidades, inversas y cero para simplificar expresiones.

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( frac {0} {n + 5} ), donde (n neq −5 )
  2.      
  3. ( frac {10 – 3p} {0} ) donde (10 ​​- 3p neq 0 )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. [ begin {array} {ll} {} & { frac {0} {n + 5}} \ { text {Cero dividido por cualquier número real excepto}} & {0} \ { text {en sí es} 0.} & {} end {array} ]
  2.          
  3. [ begin {array} {ll} {} & { frac {10 – 3p} {0}} \ { text {La división por 0 no está definida}} y { text {undefined}} end {array} ]
  4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Simplifica: (- 84n + (- 73n) + 84n ).

 
     
Respuesta
     
     

[ begin {array} {ll} {} & {- 84n + (- 73n) + 84n} \ { text {Observe que los términos primero y tercero son}} & {} \ { text {opuestos; use la propiedad conmutativa de}} & {- 84 n + 84 n + (- 73 n)} \ { text {además de reordenar los términos. }} & {} \ \ { text {Agregar de izquierda a derecha. }} & {0 + (-73)} \ \ { text {Agregar. }} & {- 73n} end {array} ]

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} )

 

Simplifica: (- 27a + (- 48a) + 27a ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 48a )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} )

 

Simplifica: (39x + (- 92x) + (- 39x) ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 92x )

     
 
 
 

Ahora veremos cómo es útil reconocer los reciprocos. Antes de multiplicar de izquierda a derecha, busque los recíprocos: su producto es 1.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {23} )

 

Simplifique: ( frac {7} {15} cdot frac {8} {23} cdot frac {15} {7} )

 
     
Respuesta
     
     

[ begin {array} {ll} {} & { frac {7} {15} cdot frac {8} {23} cdot frac {15} {7}} \ { texto {Observe que el primer y el tercer término son}} y {} \ { text {recíprocos, así que use el conmutativo}} y { frac {7} {15} cdot frac {15} {7} cdot frac {8} {23}} \ { text {propiedad de la multiplicación para reordenar los factores}} y {} \ { text {. }} & {} \ \ { text {Multiplica de izquierda a derecha. }} & {1 cdot frac {8} {23}} \\ { text {Multiply.}} & { Frac {8} {23}} end {array} ]

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {24} )

 

Simplifique: ( frac {9} {16} cdot frac {5} {49} cdot frac {16} {9} )

 
     
Respuesta
     
     

( frac {5} {49} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {25} )

 

Simplifique: ( frac {6} {17} cdot frac {11} {25} cdot frac {17} {6} )

 
     
Respuesta
     
     

( frac {11} {25} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {26} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( frac {0} {m + 7} ), donde (m neq -7 )
  2.      
  3. ( frac {18 – 6c} {0} ), donde (18 – 6c neq 0 )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. 0
  2.          
  3. indefinido
  4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {27} )

 

Simplificar:

 
         
  1. ( frac {0} {d – 4} ), donde (d neq 4 )
  2.      
  3. ( frac {15 – 4q} {0} ), donde (15 – 4q neq 0 )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. 0
  2.          
  3. indefinido
  4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {28} )

 

Simplifique: ( frac {3} {4} cdot frac {4} {3} (6x + 12) )

 
     
Respuesta
     
     

[ begin {array} {ll} {} & { frac {3} {4} cdot frac {4} {3} (6x + 12)} \ { text {No hay nada para hacer entre paréntesis,}} y {} \ { text {así que multiplique las dos fracciones primero: aviso,}} y {1 (6x + 12)} \ { text {son recíprocos. }} y {} \ \ { text {Simplifique reconociendo el multiplicativo}} y {} \ { text {identity.}} y {6x + 12} end {array} ]

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {29} )

 

Simplifique: ( frac {2} {5} cdot frac {5} {2} (20y + 50) )

 
     
Respuesta
     
     

(20 años + 50 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {30} )

 

Simplifique: ( frac {3} {8} cdot frac {8} {3} (12z + 16) )

 
     
Respuesta
     
     

(12z + 16 )

     
 
 
 
 
 

Simplificar expresiones usando la propiedad distributiva

 

Supongamos que tres amigos van al cine. Cada uno necesita $ 9.25, es decir, 9 dólares y 1 trimestre, para pagar sus boletos. ¿Cuánto dinero necesitan todos juntos?

 

Puedes pensar en los dólares por separado de los trimestres. Necesitan 3 veces $ 9, $ 27, y 3 veces 1 trimestre, 75 centavos. En total, necesitan $ 27.75. Si piensa hacer los cálculos de esta manera, está utilizando la propiedad distributiva .

 
 

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

 

[ begin {array} {rr} { text {If} a, b, c text {son números reales, entonces}} & {a (b + c) = ab + ac} \ { text {También,}} & {(b + c) a = ba + ca} \ {} & {a (b – c) = ab – ac} & {} \ {} & {(b – c) a = ba – ca} end {array} ]

 
 

Volviendo a nuestros amigos en el cine, podríamos encontrar la cantidad total de dinero que necesitan de esta manera:

 

[ begin {array} {c} {3 (9.25)} \ {3 (9 + 0.25)} \ {3 (9) + 3 (0.25)} \ {27 + 0.75} \ {27.75} end {array} ]

 

En álgebra, usamos la propiedad distributiva para eliminar paréntesis a medida que simplificamos las expresiones.

 

Por ejemplo, si se nos pide que simplifiquemos la expresión (3 (x + 4) ), el orden de las operaciones dice que funcione entre paréntesis primero. Pero no podemos agregar x y 4, ya que no son términos similares. Entonces usamos la propiedad distributiva, como se muestra en el Ejercicio ( PageIndex {31} ).

 
 

Ejercicio ( PageIndex {31} )

 

Simplifica: (3 (x + 4) ).

 
     
Respuesta
     
     

[ begin {array} {l l} {} & {3 (x + 4)} \ { text {Distribuir. }} & {3 cdot x + 3 cdot 4} \ { text {Multiplicar. }} & {3 x + 12} end {array} ]

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {32} )

 

Simplifica: (4 (x + 2) ).

 
     
Respuesta
     
     

(4x + 8 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {33} )

 

Simplifica: (6 (x + 7) ).

 
     
Respuesta
     
     

(6x + 42 )

     
 
 
 

A algunos estudiantes les resulta útil dibujar flechas para recordarles cómo usar la propiedad distributiva. Entonces el primer paso en el Ejercicio ( PageIndex {31} ) se vería así:

 

We have the expression 3 times (x plus 4) with two arrows coming from the 3. One arrow points to the x, and the other arrow points to the 4.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {34} )

 

Simplifique: (8 ( frac {3} {8} x + frac {1} {4}) ).

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {35} )

 

Simplifique: (6 ( frac {5} {6} y + frac {1} {2}) ).

 
     
Respuesta
     
     

(5 años + 3 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {36} )

 

Simplifique: (12 ( frac {1} {3} n + frac {3} {4}) ).

 
     
Respuesta
     
     

(4n + 9 )

     
 
 
 

Usar la propiedad distributiva como se muestra en el Ejercicio ( PageIndex {37} ) será muy útil cuando resolvamos aplicaciones de dinero en capítulos posteriores.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {37} )

 

Simplifique: (100 (0.3 + 0.25q) ).

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {38} )

 

Simplifique: (100 (0.7 + 0.15p) ).

 
     
Respuesta
     
     

(70 + 15p )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {39} )

 

Simplifique: (100 (0.04 + 0.35d) ).

 
     
Respuesta
     
     

(4 + 35d )

     
 
 
 

Cuando distribuimos un número negativo, ¡debemos tener mucho cuidado para que los signos sean correctos!

 
 

Ejercicio ( PageIndex {40} )

 

Simplifica: (- 2 (4y + 1) ).

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {41} )

 

Simplifica: (- 3 (6m + 5) ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 18m-15) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {42} )

 

Simplifica: (- 6 (8n + 11) ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 48n- 66) )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {43} )

 

Simplifica: (- 11 (4-3a) ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                              
Distribuir. .
Multiplica. .
Simplifica. .
     

Observe que también puede escribir el resultado como (33a − 44 ). ¿Sabes por qué?

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {44} )

 

Simplifica: (- 5 (2-3a) ).

 
     
Respuesta
     
     

(10+ 15a )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {45} )

 

Simplifica: (- 7 (8-15y) ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 56 + 105y )

     
 
 
 

El ejercicio ( PageIndex {46} ) mostrará cómo usar la propiedad distributiva para encontrar el opuesto de una expresión.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {46} )

 

Simplifica: (- (y + 5) ).

 
     
Respuesta
     
     

[ begin {array} {ll} {} & {- (y + 5)} \ \ { text {Multiplicar por -1 da como resultado lo contrario.}} & {- 1 (y + 5)} \ \ { text {Distribute.}} & {- 1 cdot y + (-1) cdot 5} \ \ { text {Simplify.}} & {- y + (- 5)} \ \ {} & {- y – 5} end {array} ]

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {47} )

 

Simplifica: (- (z-11) ).

 
     
Respuesta
     
     

(- z + 11 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {48} )

 

Simplifica: (- (x -4) ).

 
     
Respuesta
     
     

(- x + 4 )

     
 
 
 

Habrá momentos en que tendremos que usar la propiedad distributiva como parte del orden de operaciones. Comience mirando los paréntesis. Si la expresión dentro de los paréntesis no se puede simplificar, el siguiente paso sería multiplicar usando la propiedad distributiva, que elimina los paréntesis. Los siguientes dos ejemplos ilustrarán esto.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {49} )

 

Simplifica: (8−2 (x + 3) ).

 

Asegúrese de seguir el orden de las operaciones. La multiplicación viene antes de la resta, por lo que distribuiremos los 2 primero y luego restaremos.

 
     
Respuesta
     
     

[begin{array} { ll } {} &{8−2(x + 3)} \ \{ text {Distribute.} } &{8−2cdot x -2cdot 3} \ \ {text{Multiply.}} &{8 – 2x – 6}\ \{text{Combine like terms.}} &{-2x + 2} end{array}]

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{50})

 

Simplify: (9−3(x + 2)).

 
     
Answer
     
     

(3 – 3x)

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{51})

 

Simplify: (7x−5(x + 4)).

 
     
Answer
     
     

(2x – 20)

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{52})

 

Simplify: (4(x – 8)−(x + 3)).

 
     
Answer
     
     

[begin{array} { ll } {} &{4(x – 8)−(x + 3)} \ \{ text {Distribute.} } &{4x – 32 – x – 3} \ \{text{Combine like terms.}} &{3x – 35} end{array}]

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{1})

 

Simplify: (6(x – 9)−(x + 12)).

 
     
Answer
     
     

(5x – 66)

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{1})

 

Simplify: (8(x – 1)-(x + 5)).

 
     
Answer
     
     

(7x – 13)

     
 
 
 

All the properties of real numbers we have used in this chapter are summarized in Table (PageIndex{1}).

 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Commutative Property  
of addition  If a,b are real numbers, then

of multiplication  If a,b are real numbers, then

(a+b=b+a)

(acdot b=bcdot a)

Associative Property  
of addition  If a,b,c are real numbers, then

of multiplication  If a,b,c are real numbers, then

((a+b)+c=a+(b+c))

((acdot b)cdot c=acdot (bcdot c))

Distributive Property  
If a,b,c are real numbers, then (a(b+c)=ab+ac)
Identity Property  
             

of addition  For any real number a:
   0 is the additive identity
 

             

of multiplication  For any real number a:
    1 is the multiplicative identity

             
             

(a+0=a)

             

(0+a=a)

(a·1=a)

             

(1·a=a)

             
Inverse Property  
of addition  For any real number a,
   (−a) is the additive inverse of a

   of multiplication  For any real number (a,aneq 0)
   (frac{1}{a}) is the multiplicative inverse of a

(a+(−a)=0)

(acdotfrac{1}{a}=1)

Properties of Zero  
             

For any real number a ,

 

             

For any real number (a,aneq 0)

For any real number (a,aneq 0)

             
             

(acdot 0=0)

             

(0cdot a=0)

             

(frac{0}{a} = 0)

(frac{a}{0}) is undefined

             
 
 

Table (PageIndex{1})

 
 

Key Concepts

 
         
  • Commutative Property of      
               
    • Addition: If a,b are real numbers, then (a+b=b+a).
    •          
    • Multiplication: If a,b are real numbers, then (acdot b=bcdot a). When adding or multiplying, changing the order gives the same result.
    •      
         
  •      
  • Associative Property of      
               
    • Addition: If a,b,c are real numbers, then ((a+b)+c=a+(b+c)).
    •          
    • Multiplication: If a,b,c are real numbers, then ((acdot b)cdot c=acdot (bcdot c)).
      When adding or multiplying, changing the grouping gives the same result.
    •      
         
  •      
  • Distributive Property: If a,b,c are real numbers, then      
               
    • (a(b+c)=ab+ac)
    •          
    • ((b+c)a=ba+ca)
    •          
    • (a(b-c)=ab-ac)
    •          
    • ((b+c)a=ba-ca)
    •      
         
  •      
  • Identity Property      
               
    • of Addition: For any real number a: (a+0=a)
      0 is the additive identity
    •          
    • of Multiplication: For any real number a: (acdot 1=a quad 1·a=a)
      1 1 is the multiplicative identity
    •      
         
  •      
  • Inverse Property      
               
    • of Addition: For any real number (a, a+(−a)=0). A number and its opposite add to zero. (−a) is the additive inverse of a.
    •          
    • of Multiplication: For any real number (a,(aneq 0)acdotfrac{1}{a}=1). A number and its reciprocal multiply to one. (frac{1}{a}) is the multiplicative inverse of a.
    •      
         
  •      
  • Properties of Zero      
               
    • For any real number a,
      (acdot 0=0 quad 0·a=0) – The product of any real number and 0 is 0.
    •          
    • (frac{0}{a}=0) for (aneq 0) – Zero divided by any real number except zero is zero.
    •          
    • (frac{a}{0}) is undefined – Division by zero is undefined.
    •      
         
  •  
 
 
 
 

 

 
 
 
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