1.2: Introducción a los números enteros

1.2: Introducción a los números enteros

                 

 

Objetivos de aprendizaje

 
         
  • Al final de esta sección, podrá:
  •      
  • Usar valor posicional con números enteros
  •      
  • Identifica múltiplos y aplica pruebas de divisibilidad
  •      
  • Encuentra factorizaciones primas y múltiplos menos comunes
  •  
 
 

Al comenzar nuestro estudio de álgebra primaria, necesitamos actualizar algunas de nuestras habilidades y vocabulario. Este capítulo se centrará en números enteros, enteros, fracciones, decimales y números reales. También comenzaremos a usar la notación algebraica y el vocabulario.

 
 

Usar valor posicional con números enteros

 

Los números más básicos utilizados en álgebra son los números que usamos para contar objetos en nuestro mundo: (1, 2, 3, 4 ), y así sucesivamente. Estos se llaman el número de conteo s . Los números de conteo también se denominan números naturales . Si sumamos cero a los números de conteo, obtenemos el conjunto de número entero s .

 
         
  • Contar números: (1, 2, 3, … )
  •      
  • Números enteros: (0, 1, 2, 3, … )
  •  
 

La notación » (… )» se llama puntos suspensivos y significa «y así sucesivamente», o que el patrón continúa sin cesar.

 

Podemos visualizar números de conteo y números enteros en una línea de números (ver Figura ( PageIndex {1} )).

 
A horizontal number line with arrows on each end and values of zero to six runs along the bottom of the diagram. A second horizontal line with a left-facing arrow lies above the first and extend from zero to three. This line is labled “smaller”. A third horizontal line with a right-facing arrow lies above the first two, but runs from three to six and is labeled “larger”.  
Figura ( PageIndex {1} ): Los números en la línea numérica se hacen más grandes a medida que van de izquierda a derecha, y más pequeños a medida que van de derecha a izquierda. Si bien esta línea numérica muestra solo los números enteros (0 ) hasta (6 ), los números continúan sin fin.
 
 
 

Realizar la actividad de Matemática manipulativa «Línea numérica-Parte 1» te ayudará a desarrollar una mejor comprensión de los números contados y los números enteros.

 
 
 

Nuestro sistema de números se llama un sistema de valor posicional, porque el valor de un dígito depende de su posición en un número. La figura ( PageIndex {2} ) muestra los valores de posición . Los valores posicionales se separan en grupos de tres, que se denominan períodos. Los períodos son unos, miles, millones, miles de millones, billones , y así sucesivamente. En un número escrito, las comas separan los puntos.

 
This figure is a table illustrating the number 5,278,194 within the place value system. The table is shown with a header row, labeled “Place Value”, divided into a second header row labeled “Trillions”, “Billions”, “Millions”, “Thousands” and “Ones”. Under the header “Trillions” are three labeled columns, written from bottom to top, that read “Hundred trillions”, “Ten trillions” and “Trillions”. Under the header “Billions” are three labeled columns, written from bottom to top, that read “Hundred billions”, “Ten billions” and “Billions”. Under the header “Millions” are three labeled columns, written from bottom to top, that read “Hundred millions”, “Ten millions” and “Millions”. Under the header “Thousands” are three labeled columns, written from bottom to top, that read “Hundred thousands”, “Ten thousands” and “Thousands”. Under the header “Ones” are three labeled columns, written from bottom to top, that read “Hundreds”, “Tens” and “Ones”. From left to right, below the columns labeled “Millions”, “Hundred thousands”, “Ten thousands”, “Thousands”, “Hundreds”, “Tens”, and “Ones”, are the following values: 5, 2, 7, 8, 1, 9, 4. This means there are 5 millions, 2 hundred thousands, 7 ten thousands, 8 thousands, 1 hundreds, 9 tens, and 4 ones in the number five million two hundred seventy-nine thousand one hundred ninety-four.  
Figura ( PageIndex {2} ): El número (5278194 ) se muestra en el gráfico. El dígito (5 ) está en el lugar de los millones. El dígito (2 ) está en el lugar de los cientos de miles. El dígito (7 ) está en el lugar de diez mil. El dígito (8 ) está en el lugar de los miles. El dígito (1 ) está en el lugar de las centenas. El dígito (9 ) está en el lugar de las decenas. El dígito (4 ) está en el lugar de las unidades.
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

En el número (63407218 ), encuentre el valor posicional de cada dígito:

 
         
  1. (7 )
  2.      
  3. (0 )
  4.      
  5. (1 )
  6.      
  7. (6 )
  8.      
  9. (3 )
  10.  
 
     
Respuesta
     
     

Coloque el número en la tabla de valor posicional:

     
     
This figure is a table illustrating the number 63,407,218 within the place value system. The table is shown with a header row, labeled “Place Value”, divided into a second header row labeled “Trillions”, “Billions”, “Millions”, “Thousands” and “Ones”. Under the header “Trillions” are three labeled columns, written from bottom to top, that read “Hundred trillions”, “Ten trillions” and “Trillions”. Under the header “Billions” are three labeled columns, written from bottom to top, that read “Hundred billions”, “Ten billions” and “Billions”. Under the header “Millions” are three labeled columns, written from bottom to top, that read “Hundred millions”, “Ten millions” and “Millions”. Under the header “Thousands” are three labeled columns, written from bottom to top, that read “Hundred thousands”, “Ten thousands” and “Thousands”. Under the header “Ones” are three labeled columns, written from bottom to top, that read “Hundreds”, “Tens” and “Ones”. From left to right, below the columns labeled “Ten millions”, “Millions”, “Hundred thousands”, “Ten thousands”, “Thousands”, “Hundreds”, “Tens”, and “Ones”, are the following values: 6, 3, 4, 0, 7, 2, 1, 8. This means there are 6 ten millions, 3 millions, 4 hundred thousands, 0 ten thousands, 7 thousands, 2 hundreds, 1 ten, and 8 ones in the number sixty-three million, four hundred seven thousand, two hundred eighteen.
     
     
             
  1. El (7 ) está en el lugar de los miles.
  2.          
  3. El (0 ) está en el lugar de los diez mil.
  4.          
  5. El (1 ) está en el lugar de las decenas.
  6.          
  7. El (6 ) está en el lugar de los diez millones.
  8.          
  9. El (3 ) está en el lugar de los millones.
  10.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Para el número (27493615 ), encuentre el valor posicional de cada dígito:

 
         
  1. 2
  2.      
  3. 1
  4.      
  5. 4
  6.      
  7. 7
  8.      
  9. 5
  10.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. diez millones
  2.          
  3. decenas
  4.          
  5. cien mil
  6.          
  7. millones
  8.          
  9. unos
  10.      
     
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Para el número (519711641328 ), encuentre el valor posicional de cada dígito:

 
         
  1. 9
  2.      
  3. 4
  4.      
  5. 2
  6.      
  7. 6
  8.      
  9. 7
  10.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. miles de millones
  2.          
  3. diez mil
  4.          
  5. decenas
  6.          
  7. cien mil
  8.          
  9. cien millones
  10.      
     
 
 
 
 

Cuando escribe un cheque, escribe el número en palabras y también en dígitos. Para escribir un número en palabras, escriba el número en cada período, seguido del nombre del período, sin las s al final. Comience a la izquierda, donde los períodos tienen el mayor valor. El período de las unidades no tiene nombre. Las comas separan los puntos, por lo que siempre que haya una coma en el número, coloque una coma entre las palabras (consulte la Figura ( PageIndex {3} )). El número (74218369 ) está escrito como setenta y cuatro millones doscientos dieciocho mil trescientos sesenta y nueve.

 
In this figure, the numbers 74, 218 and 369 are listed in a row, separated by commas. Each number has a curly bracket beneath it with the word “millions” written below the number 74, “thousands” written below the number 218, and “ones” written below the number 369. A left-facing arrow points at these three words, labeling them “periods”. One row down is the number “74”, a right-facing arrow and the words “Seventy-four million” followed by a comma. The next row below is the number “218”, a right-facing arrow and the words “two hundred eighteen thousand” followed by a comma. On the bottom row is the number “369”, a right-facing arrow and the words “three hundred sixty-nine”.  
Figura ( PageIndex {3} )
 
 
 

NOMBRE UN NÚMERO ENTERO EN PALABRAS.

 
 
         
  1. Comienza a la izquierda y nombra el número en cada período, seguido del nombre del período.
  2.      
  3. Ponga comas en el número para separar los puntos.
  4.      
  5. No nombres los períodos.
  6.  
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Nombre el número (8165432098710 ) usando palabras.

 
     
Respuesta
     
     

Nombre el número en cada período, seguido del nombre del período.

     
     
In this figure, the numbers 8, 165, 432, 098 and 710 are listed in a row, separated by commas. Each number has a horizontal bracket beneath with the word “trillions” written below the number 8, “billions” written below the number 165, “millions” written below the number 432, “thousands” written below the number 098, and “ones” written below the number 710. One row down is the number 8, a right-facing arrow and the words “Eight trillion” followed by a comma. On the next row below is the number 165, a right-facing arrow and the words “One hundred sixty-five billion” followed by a comma. On the next row below is the number 432, a right-facing arrow and the words “Four hundred thirty-two million” followed by a comma. On the next row below is the number “098”, a right-facing arrow and the words “Ninety-eight thousand” followed by a comma. On the bottom row is the number 710, a right-facing arrow and the words “Seven hundred ten”.
     
     

Ponga las comas para separar los puntos.

     

Entonces, (8165432098710 ) se nombra como ocho billones, ciento sesenta y cinco mil millones, cuatrocientos treinta y dos millones, noventa y ocho mil setecientos diez.

     
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Nombre el número 9,258,137,904,0619,258,137,904,061 usando palabras.

 
     
Respuesta
     
     

nueve billones, doscientos cincuenta y ocho mil millones ciento treinta y siete millones novecientos cuatro mil sesenta y uno

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Nombra el número 17,864,325,619,00417,864,325,619,004 usando palabras.

 
     
Respuesta
     
     

diecisiete billones, ochocientos sesenta y cuatro mil millones, trescientos veinticinco millones, seiscientos diecinueve mil cuatro

     
 
 
 

Ahora vamos a revertir el proceso escribiendo los dígitos del nombre del número. Para escribir el número en dígitos, primero buscamos las palabras clave que indican los puntos. Es útil dibujar tres espacios en blanco para los períodos necesarios y luego completar los espacios en blanco con los números, separando los períodos con comas.

 
 

ESCRIBE UN NÚMERO ENTERO USANDO DÍGITOS.

 
 
         
  1. Identifica las palabras que indican períodos. (Recuerde, el período de las unidades nunca se nombra).
  2.      
  3. Dibuja tres espacios en blanco para indicar el número de lugares necesarios en cada período. Separe los puntos por comas.
  4.      
  5. Nombre el número en cada período y coloque los dígitos en la posición correcta del valor posicional.
  6.  
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Escribe nueve mil doscientos cuarenta y seis millones setenta y tres mil ciento ochenta y nueve como un número entero usando dígitos.

 
     
Respuesta
     
     

Identifica las palabras que indican períodos.
Excepto para el primer período, todos los demás períodos deben tener tres lugares. Dibuje tres espacios en blanco para indicar el número de lugares necesarios en cada período. Separe los puntos por comas.
Luego escribe los dígitos en cada período.

     
     
An image has two lines of text. The upper lines read “nine billion”, followed by a comma, and “two hundred forty six million”, also followed by a comma. The words “billion” and “million” are underlined and each phrase has a curly bracket underneath. The lower lines read “seventy three thousand”, followed by a comma, and “one hundred eighty nine”. The word “thousand” is underlined and each phrase has a curly bracket underneath.
     
El número es 9,246,073,189.
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Escribe el número dos mil cuatrocientos sesenta y seis millones setecientos catorce mil cincuenta y uno como un número entero usando dígitos.

 
     
Respuesta
     
     

2,466,714,051

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Escribe el número once mil millones, novecientos veintiuno millones, ochocientos treinta mil, ciento seis como un número entero usando dígitos.

 
     
Respuesta
     
     

11,921,830,106

     
 
 
 

En 2013, la Oficina del Censo de los Estados Unidos estimó que la población del estado de Nueva York era de 19,651,127. Podríamos decir que la población de Nueva York era de aproximadamente 20 millones. En muchos casos, no necesita el valor exacto; un número aproximado es lo suficientemente bueno.

 

El proceso de aproximación de un número se llama redondeo . Los números se redondean a un valor posicional específico, según la precisión que se necesite. Decir que la población de Nueva York es de aproximadamente 20 millones significa que redondeamos al lugar de los millones.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} ) Cómo redondear números enteros

 

Redondea 23,658 a la centena más cercana.

 
     
Respuesta
     
     

This figure is a table that has three columns and four rows. The first column is a header column, and it contains the names and numbers of each step. The second column contains further written instructions. The third column contains the numbers corresponding with the written steps and instructions. In the top row, the first cell says: “Step 1. Locate the given place value with an arrow. All digits to the left do not change.” In the the second cell, the instructions say: “Locate the hundreds place in 23,658.” In the third cell, there is the number 23,658 with an arrow pointing to the digit 6, labeling it “hundreds place.” One row down, the instructions in the first cell say: “Step 2. Underline the digit to the right of the given place value.” In the second cell, the instructions say: “Underline the 5, which is to the right of the hundreds place.” In the third cell, there is the number 23,658 again, the same arrow pointing to the digit 6, labeling it the hundreds place. The 5 is also underlined in this cell. One row down, the first cell says: “Step 3. Is this digit greater than or equal to 5? Yes—add 1 to the digit in the given place value. No—do not change the digit in the given place value.” In the second cell, the instructions say: “Add 1 to the 6 in the hundreds place, since 5 is greater than or equal to 5.” The third cell contains the number 23,658 again, with an arrow pointing at the digit 6 and the text “add 1”. There is also a curly bracket under the digits 5 and 8, with an arrow pointing at them and the text “replace with 0s.” In the bottom row, the first cell says: “Step 4. Replace all digits to the right of the given place value with zeros. So, 23,700 is rounded to the nearest hundred.” In the second cell, the instructions say: “Replace all digits to the right of the hundreds place with zeros.” The third cell contains the number 23,700, which we have reached by rounding the number 23,658 to the nearest hundred.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Redondea a la centena más cercana: 17,852.

 
     
Respuesta
     
     

17,900

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Redondea a la centena más cercana: 468,751.

 
     
Respuesta
     
     

468,800

     
 
 
 
 

NÚMEROS ENTEROS REDONDOS.

 
 
         
  1. Localice el valor posicional dado y márquelo con una flecha. Todos los dígitos a la izquierda de la flecha no cambian.
  2.      
  3. Subrayar el dígito a la derecha del valor posicional dado.
  4.      
  5. ¿Es este dígito mayor o igual que 5?      
               
    • Sí, agregue 11 al dígito en el valor posicional dado.
    •          
    • No – do no cambia el dígito en el valor posicional dado.
    •      
         
  6.      
  7. Reemplace todos los dígitos a la derecha del valor posicional dado con ceros.
  8.  
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Redondee 103,978103,978 al más cercano:

 
         
  1. cien
  2.      
  3. mil
  4.      
  5. diez mil
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
1.                                                                                                                                                                                                                                                                                               
Ubica el lugar de las centenas en 103,978. .
Subraya el dígito a la derecha del lugar de las centenas. .
Dado que 7 es mayor o igual que 5, suma 1 a 9. Reemplaza todos los dígitos a la derecha del lugar de las centenas con ceros. .
Entonces, 104,000 es 103,978 redondeado a la centena más cercana.
    2)                                                                                                                                                                                                                               
Localice el lugar de los miles y subraye el dígito a la derecha del lugar de los miles. .
Dado que 9 es mayor o igual que 5, suma 1 a 3. Reemplaza todos los dígitos a la derecha del lugar de las centenas con ceros. .
Entonces, 104,000 es 103,978 redondeado al millar más cercano.
    3)                                                                                                                                                                                                                               
Localice el lugar de diez mil y subraye el dígito a la derecha del lugar de diez mil. .
Dado que 3 es menor que 5, dejamos el 0 como está y luego reemplazamos los dígitos a la derecha con ceros. .
Entonces, 100,000 es 103,978 redondeado a los diez mil más cercanos.
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Redondea 206,981 al más cercano: 1. cien 2. mil 3. diez mil.

 
     
Respuesta
     
     
             
  1. 207,000
  2.          
  3. 207,000
  4.          
  5. 210,000
  6.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Redondea 784,951 al más cercano: 1. cien 2. mil 3. diez mil.

 
     
Respuesta
     
     
             
  1. 785,000
  2.          
  3. 785,000
  4.          
  5. 780,000
  6.      
     
 
 
 

Identificar múltiplos y aplicar pruebas de divisibilidad

 

Los números 2, 4, 6, 8, 10 y 12 se llaman múltiplos de 2. Un múltiplo de 2 se puede escribir como el producto de un número de conteo y 2.

 
A diagram made up of two rows of numbers.  The top row reads “2, 4, 6, 8, 10, 12,” followed by an elipsis. Below 2 is 2 times 1, below 4 is 2 times 2, below 6 is 2 times 3, below 8 is 2 times 4, below 10 is 2 times 5, and below 12 is 2 times 6.  
Figura ( PageIndex {4} )
 
 

Del mismo modo, un múltiplo de 3 sería el producto de un número de conteo y 3.

 
A diagram made up of two rows of numbers.  The top row reads “3, 6, 9, 12, 15, 18,” followed by an elipsis. Below 3 is 3 times 1, below 6 is 3 times 2, below 9 is 3 times 3, below 12 is 3 times 4, below 15 is 3 times 5, and below 18 is 3 times 6.  
Figura ( PageIndex {5} )
 
 

Podríamos encontrar los múltiplos de cualquier número continuando este proceso.

 
 
 

Nota

 

Realizar la actividad de Matemáticas manipulativas “Múltiples” lo ayudará a desarrollar una mejor comprensión de los múltiplos.

 
 
 

La tabla ( PageIndex {1} ) muestra los múltiplos de 2 a 9 para los primeros 12 números de conteo.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               
Número de recuento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Múltiplos de 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Múltiplos de 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36
Múltiplos de 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
Múltiplos de 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
Múltiplos de 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72
Múltiplos de 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84
Múltiplos de 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96
Múltiplos de 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108
Múltiplos de 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
 

Tabla ( PageIndex {1} )

 
 
 

MÚLTIPLES DE UN NÚMERO

 

Un número es un múltiplo de (n ) si es el producto de un número de conteo y (n ).

 
 

Otra forma de decir que 15 es múltiplo de 3 es decir que 15 es divisible entre 3. Eso significa que cuando dividimos 3 en 15, obtenemos un número de conteo. De hecho, (15 div 3 ) es 5, entonces 15 es (5 cdot3 ).

 
 
 
 

DIVISIBLE POR UN NÚMERO

 

Si un número (m ) es un múltiplo de (n ), entonces (m ) es divisible por (n )

 
 

Mira los múltiplos de (5 ) en la Tabla ( PageIndex {1} ). Todos terminan en 5 o 0. Los números con el último dígito de 5 o 0 son divisibles por 5. Buscando otros patrones en la Tabla ( PageIndex {1} ) que muestren múltiplos de los números del 2 al 9, podemos descubrir el siguientes pruebas de divisibilidad:

 
 
 
 

PRUEBAS DE DIVISIBILIDAD

 

Un número es divisible por:

 
         
  • 2 si el último dígito es 0, 2, 4, 6 u 8.
  •      
  • 3 si la suma de los dígitos es divisible por 3.
  •      
  • 5 si el último dígito es 5 o 0.
  •      
  • 6 si es divisible entre 2 y 3.
  •      
  • 10 si termina con 0.
  •  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

¿Es 5625 divisible por 2? Por 3? Por 5? A las 6? ¿Por 10?

 
     
Respuesta
     
     

[ begin {array} {ll} { text {¿5625 es divisible por 2?}} Y {} \ { text {¿Termina en 0, 2, 4, 6 u 8?} } & { text {No.}} \ {} & { text {5625 no es divisible por 2.}} end {array} ]

     

[ begin {array} {ll} { text {¿5625 es divisible por 3?}} Y {} \ { text {¿Cuál es la suma de los dígitos?}} Y {5 + 6 + 2 + 5 = 18} \ { text {¿Es la suma divisible por 3?}} & { Text {Sí, 5625 es divisible por 3.}} end {array} ]

     

[ begin {array} {ll} { text {¿5625 es divisible por 5 o 10?}} & {} \ { text {¿Cuál es el último dígito? Es 5.}} & { text {5625 es divisible por 5 pero no por 10.}} end {array} ]

     

[ begin {array} {ll} { text {¿5625 es divisible por 6?}} Y {} \ { text {¿Es divisible por 2 y 3?}} Y { text { No, 5625 no es divisible por 2, por lo que 5625 es}} \ {} & { text {no divisible por 6.}} End {array} ]

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Determine si 4,962 es divisible por 2, por 3, por 5, por 6 y por 10.

 
     
Respuesta
     
     

por 2, 3 y 6

     
 
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Determine si 3,765 es divisible por 2, por 3, por 5, por 6 y por 10.

 
     
Respuesta
     
     

por 3 y 5

     
 
 
 

Encuentra las factorizaciones primas y los múltiplos menos comunes

 

En matemáticas, a menudo hay varias formas de hablar sobre las mismas ideas. Hasta ahora, hemos visto que si (m ) es un múltiplo de (n ), podemos decir que (m ) es divisible por (n ). Por ejemplo, dado que 72 es múltiplo de 8, decimos que 72 es divisible por 8. Dado que 72 es múltiplo de 9, decimos que 72 es divisible por 9. Podemos expresar esto aún de otra manera.

 

Dado que (8 cdot 9 = 72 ), decimos que 8 y 9 son factores de 72. Cuando escribimos (72 = 8 cdot 9 ), decimos que tenemos factorizado 72.

 
An image shows the equation 8 times 9 equals 72. Written below the expression 8 times 9 is a curly bracket and the word “factors” while written below 72 is a horizontal bracket and the word “product”.  
Figura ( PageIndex {6} )
 
 

Otras formas de factorizar 72 son (1 cdot 72 ), (2 cdot 36 ), (3 cdot 24 ), (4 cdot 18 ) y (6 cdot 12 ). Setenta y dos tiene muchos factores: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 36 y 72.

 
 
 

FACTORES

 

Si (a cdot b = m ), entonces (a ) y (b ) son factores de (m ).

 
 

Algunos números, como 72, tienen muchos factores. Otros números tienen solo dos factores.

 
 
 
 

Nota

 

Hacer la actividad de Matemática manipulativa “Multiplicación y factorización de modelos” te ayudará a desarrollar una mejor comprensión de la multiplicación y la factorización.

 
 
 
 
 

NÚMERO PRIMERO Y NÚMERO COMPUESTO

 

Un número primo es un número de conteo mayor que 1, cuyos únicos factores son 1 y sí mismo.

 

Un número compuesto es un número de conteo que no es primo. Un número compuesto tiene factores distintos de 1 y en sí mismo.

 
 
 
 
 

Nota

 

Realizar la actividad de Matemática manipuladora “Números primos” te ayudará a desarrollar una mejor comprensión de los números primos.

 
 

Los números de conteo del 2 al 19 se enumeran en la Figura ( PageIndex {7} ), con sus factores. ¡Asegúrese de estar de acuerdo con la etiqueta «prime» o «composite» para cada una!

 
A table is shown with eleven rows and seven columns. The first row is a header row, and each cell labels the contents of the column below it. In the header row, the first three cells read from left to right “Number”, “Factors”, and “Prime or Composite?” The entire fourth column is blank. The last three cells read from left to right “Number”, “Factor”, and “Prime or Composite?” again. In each subsequent row, the first cell contains a number, the second contains its factors, and the third indicates whether the number is prime or composite. The three columns to the left of the blank middle column contain this information for the number 2 through 10, and the three columns to the right of the blank middle column contain this information for the number 11 through 19. On the left side of the blank column, in the first row below the header row, the cells read from left to right: “2”, “1,2”, and “Prime”. In the next row, the cells read from left to right: “3”, “1,3”, and “Prime”. In the next row, the cells read from left to right: “4”, “1,2,4”, and “Composite”. In the next row, the cells read from left to right: “5”, “1,5”, and “Prime”. In the next row, the cells read from left to right: “6”, “1,2,3,6” and “Composite”. In the next row, the cells read from left to right: “7”, “1,7”, and “Prime”. In the next row, the cells read from left to right: “8”, “1,2,4,8”, and “Composite”. In the next row, the cells read from left to right: “9”, “1,3,9”, and “Composite”. In the bottom row, the cells read from left to right: “10”, “1,2,5,10”, and “Composite”. On the right side of the blank column, in the first row below the header row, the cells read from left to right: “11”, “1,11”, and “Prime”. In the next row, the cells read from left to right: “12”, “1,2,3,4,6,12”, and “Composite”. In the next row, the cells read from left to right: “13”, “1,13”, and “Prime”. In the next row, the cells read from left to right “14”, “1,2,7,14”, and “Composite”. In the next row, the cells read from left to right: “15”, “1,3,5,15”, and “Composite”. In the next row, the cells read from left to right: “16”, “1,2,4,8,16”, and “Composite”. In the next row, the cells read from left to right, “17”, “1,17”, and “Prime”. In the next row, the cells read from left to right, “18”, “1,2,3,6,9,18”, and “Composite”. In the bottom row, the cells read from left to right: “19”, “1,19”, and “Prime”.  
Figura ( PageIndex {7} )
 
 

El número primo s menos de 20 son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19. Observe que solo el numero primo par es 2.

 

Un número compuesto se puede escribir como un producto único de primos. Esto se llama factorización prima del número. Encontrar la factorización prima de un número compuesto será útil más adelante en este curso.

 
 
 

FACTORIZACIÓN PRIMERA

 

La factorización prima de un número es el producto de números primos que es igual al número.

 
 

Para encontrar la factorización prima de un número compuesto, encuentre dos factores del número y úselos para crear dos ramas. Si un factor es primo, esa rama está completa. Encierra en un círculo ese primo!

 
 

Si el factor no es primo, encuentre dos factores del número y continúe el proceso. Una vez que todas las ramas tienen círculos primos al final, la factorización se completa. El número compuesto ahora se puede escribir como un producto de números primos.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Factor 48.

 
     
Respuesta
     
     

This figure is a table that has three columns and four rows. The first column is a header column, and it contains the names and numbers of each step. The second column contains further written instructions and some math. The third column contains most of the math work corresponding with the written steps and instructions. In the top row, the first cell says: “Step 1. Find two factors whose product is the given number. Use these numbers to create two branches.” The second cell contains the algebraic equation 48 equals 2 times 24. In the third cell, there is a factor tree with 48 at the top. Two branches descend from 48 and terminate at 2 and 24 respectively. One row down, the instructions in the first cell say: “Step 2. If a factor is prime, that branch is complete. Circle the prime.” In the second cell, the instructions say: “2 is prime. Circle the prime.” In the third cell, the factor tree from step 1 is repeated, but the 2 at the bottom of the tree is now circled. One row down, the first cell says: “Step 3. If a factor is not prime, write it as the product of two factors and continue the process.” In the second cell, the instructions say: “24 is not prime. Break it into 2 more factors.” The third cell contains the original factor tree, with 48 at the top and two downward-pointing branches terminating at 2, which is underlined, and 24. Two more branches descend from 24 and terminate at 4 and 6 respectively. One line down, the instructions in the middle of the cell say “4 and 6 are not prime. Break them each into two factors.” In the cell on the right, the factor tree is repeated once more. Two branches descend from the 4 and terminate at 2 and 2. Both 2s are circled. Two more branches descend from 6 and terminate at a 2 and a 3, which are both circled. The instructions on the left say “2 and 3 are prime, so circle them.” In the bottom row, the first cell says: “Step 4. Write the composite number as the product of all the circled primes.” The second cell is left blank. The third cell contains the algebraic equation 48 equals 2 times 2 times 2 times 2 times 3.

     

Decimos (2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 cdot 3 ) es la factorización prima de 48. Generalmente escribimos los números primos en orden ascendente. ¡Asegúrese de multiplicar los factores para verificar su respuesta!

     

Si primero factorizáramos 48 de una manera diferente, por ejemplo como (6 cdot 8 ), el resultado sería el mismo. Termine la factorización prima y verifíquelo usted mismo.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Encuentra la factorización prima de 80.

 
     
Respuesta
     
     

(2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 cdot 5 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} )

 

Encuentra la factorización prima de 60.

 
     
Respuesta
     
     

(2 cdot 2 cdot 3 cdot 5 )

     
 
 
 
 

ENCUENTRE LA PRIMERA FACTORIZACIÓN DE UN NÚMERO COMPUESTO.

 
 
         
  1. Encuentra dos factores cuyo producto es el número dado, y usa estos números para crear dos ramas.
  2.      
  3. Si un factor es primo, esa rama está completa. Encierra en un círculo el cebado, como un brote en el árbol.
  4.      
  5. Si un factor no es primo, escríbelo como el producto de dos factores y continúa el proceso.
  6.      
  7. Escribe el número compuesto como el producto de todos los números primos en un círculo.
  8.  
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} )

 

Encuentra la factorización prima de 252.

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                              
Paso 1. Encuentra dos factores cuyo producto es 252. 12 y 21 no son primos.

Divida 12 y 21 en dos factores más. Continúe hasta que todos los números primos sean factorizados.

.
Paso 2. Escribe 252 como el producto de todos los números primos en círculo.                  

(252 = 2 cdot 2 cdot 3 cdot 3 cdot 7 )

                 
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {23} )

 

Encuentra la factorización prima de 126.

 
     
Respuesta
     
     

(2 cdot 3 cdot 3 cdot 7 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {24} )

 

Encuentra la factorización prima de 294.

 
     
Respuesta
     
     

(2 cdot 3 cdot 7 cdot 7 )

     
 
 
 

Una de las razones por las que observamos los múltiplos y los primos es usar estas técnicas para encontrar el mínimo común múltiplo de dos números. Esto será útil cuando sumemos y restemos fracciones con diferentes denominador s. Dos métodos se usan con mayor frecuencia para encontrar el mínimo común múltiplo y los veremos a ambos.

 

El primer método es el Método de listado múltiple. Para encontrar el mínimo común múltiplo de 12 y 18, enumeramos los primeros múltiplos de 12 y 18:

 
Two rows of numbers are shown. The first row begins with 12, followed by a colon, then 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, and an elipsis. 36, 72, and 108 are bolded written in red. The second row begins with 18, followed by a colon, then 18, 36, 54, 72, 90, 108, and an elipsis. Again, the numbers 36, 72, and 108 are bolded written in red. On the line below is the phrase “Common Multiples”, a colon and the numbers 36, 72, and 108, written in red. One line below is the phrase “Least Common Multiple”, a colon and the number 36, written in blue.  
Figura ( PageIndex {8} )
 
 

Observe que algunos números aparecen en ambas listas. Son los múltiplos comunes de 12 y 18.

 

Vemos que los primeros múltiplos comunes de 12 y 18 son 36, 72 y 108. Como 36 es el menor de los múltiplos comunes, lo llamamos mínimo común múltiplo. A menudo usamos la abreviatura LCM.

 
 
 

MENOS MÚLTIPLES COMUNES

 

El mínimo común múltiplo (LCM) de dos números es el número más pequeño que es un múltiplo de ambos números.

 
 
 

El cuadro de procedimiento enumera los pasos a seguir para encontrar el MCM utilizando el método de factores primos que utilizamos anteriormente para 12 y 18.

 
 
 

ENCUENTRE EL MÚLTIPLE MENOS COMÚN LISTANDO MÚLTIPLES

 
         
  1. Enumera varios múltiplos de cada número.
  2.      
  3. Busque el número más pequeño que aparece en ambas listas.
  4.      
  5. Este número es el MCM.
  6.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {25} )

 

Encuentra el mínimo común múltiplo de 15 y 20 enumerando los múltiplos.

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                              
Haz listas de los primeros múltiplos de 15 y de 20, y úsalos para encontrar el mínimo común múltiplo. .
Busque el número más pequeño que aparece en ambas listas. El primer número que aparece en ambas listas es 60, por lo que 60 es el mínimo común múltiplo de 15 y 20.
     

Observe que 120 también está en ambas listas. Es un múltiplo común, pero no es el mínimo múltiplo común.

     
 
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {26} )

 

Encuentra el mínimo común múltiplo enumerando múltiplos: 9 y 12.

 
     
Respuesta
     
     

(36 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {27} )

 

Encuentra el mínimo común múltiplo enumerando los múltiplos: 18 y 24.

 
     
Respuesta
     
     

(72 )

     
 
 
 

Nuestro segundo método para encontrar el mínimo común múltiplo de dos números es utilizar el método de factores primos. Busquemos nuevamente el MCM de 12 y 18, esta vez usando sus factores primos.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {28} )

 

Encuentra el mínimo común múltiplo (MCM) de 12 y 18 usando el método de los factores primos.

 
     
Respuesta
     
     

This figure is a table that has three columns and four rows. The first column is a header column, and it contains the names and numbers of each step. The second column contains further written instructions and some math. The third column contains most of the math work corresponding with the written steps and instructions. In the top row, the first cell says: “Step 1. Write each number as a product of primes.” The second cell is left blank. In the third cell, there are two factor trees. In the first factor tree, two branches descend from 18 and terminate at 3 and 6 respectively. The 3 is prime and therefore circled. Two more branches descend from the 6 and terminate in 2 and 3, both of which are circled. In the second factor tree, two branches descend from 12 and terminate at 3 and 4. The 3 is circled. Two more branches descend from 4, terminating at 2 and 2, both of which are circled. One row down, the instructions in the first cell say: “Step 2. List the primes of each number. Match primes vertically when possible.” In the second cell, the instructions say: “List the primes of 12. List the primes of 18. Line up with the primes of 12 when possible. If not create a new column.” The third cell contains the prime factorization of 12 written as the equation 12 equals 2 times 2 times 3. Below this equation is another showing the prime factorization of 18 written as the equation 18 equals 2 times 3 times 3. The two equations line up vertically at the equal symbol. The first 2 in the prime factorization of 12 aligns with the 2 in the prime factorization of 18. Under the second 2 in the prime factorization of 12 is a gap in the prime factorization of 18. Under the 3 in the prime factorization of 12 is the first 3 in the prime factorization of 18. The second 3 in the prime factorization has no factors above it from the prime factorization of 12. One row down, the instructions in the first cell say: “Bring down the number from each column.” The second cell is blank. The third cell contains the prime factorizations of 12 and 18 again, illustrated as two equations aligned just as they were before. This time, a horizontal line is drawn under the prime factorization of 18. Below this line is the equation LCM equal to 2 times 2 times 3 times 3. Arrows are drawn down vertically from the prime factorization of 12 through the prime factorization of 18 ending at the LCM equation. The first arrow starts at the first 2 in the prime factorization of 12 and continues down through the 2 in the prime factorization of 18, ending with the first 2 in the LCM. The second arrow starts at the next 2 in the prime factorization of 12 and continues down through the gap in the prime factorization of 18, ending with the second 2 in the LCM. The third arrow starts at the 3 in the prime factorization of 12 and continues down through the first 3 in the prime factorization of 18, ending with the first 3 in the LCM. The last arrow starts at the second 3 in the prime factorization of 18 and points down to the second 3 in the LCM. In the bottom row of the table, the first cell says: “Step 4: Multiply the factors.” The second cell is bank. The third cell contains the equation LCM equals 36.

     
 
 
 

 

 
 

Observe que los factores primos de (12 (2 cdot 2 cdot 3) ) y los factores primos de (18 (2 cdot 3 cdot 3) ) están incluidos en el MCM (( 2 cdot 2 cdot 3 cdot 3) ). Entonces 36 es el mínimo común múltiplo de 12 y 18.

 

Al combinar los primos comunes, cada factor primo común se usa solo una vez. De esta manera, está seguro de que 36 es el mínimo múltiplo común.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {29} )

 

Encuentre el MCM usando el método de factores primos: 9 y 12.

 
     
Respuesta
     
     

(36 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {30} )

 

Encuentre el MCM usando el método de factores primos: 18 y 24.

 
     
Respuesta
     
     

(72 )

     
 
 
 
 

ENCUENTRE EL MÚLTIPLE MENOS COMÚN MEDIANTE EL MÉTODO DE FACTORES PRIMEROS

 
 
         
  1. Escribe cada número como un producto de primos.
  2.      
  3. Enumera los primos de cada número. Une los números primos verticalmente cuando sea posible.
  4.      
  5. Baja las columnas.
  6.      
  7. Multiplica los factores.
  8.  
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {31} )

 

Encuentra el mínimo común múltiplo (MCM) de 24 y 36 usando el método de los factores primos.

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                              
Encuentra los primos de 24 y 36.
Une los primos verticalmente cuando sea posible.

Baja todas las columnas.

.
Multiplica los factores. .
                 

El MCM de 24 y 36 es 72.

                 
     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {32} )

 

Encuentre el MCM usando el método de factores primos: 21 y 28.

 
     
Respuesta
     
     

(84 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {33} )

 

Encuentre el MCM usando el método de factores primos: 24 y 32.

 
     
Respuesta
     
     

(96 )

     
 
 
 
 

Nota

 

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con el uso de números enteros. Deberá habilitar Java en su navegador web para usar la aplicación.

 
 
 

Conceptos clave

 
         
  • Valor posicional como en Figura .
  •      
  • Nombre un número entero en palabras      
               
    1. Comienza a la izquierda y nombra el número en cada período, seguido del nombre del período.
    2.          
    3. Ponga comas en el número para separar los puntos.
    4.          
    5. No nombres los períodos.
    6.      
         
  •      
  • Escribe un número entero usando dígitos      
               
    1. Identifica las palabras que indican períodos. (Recuerde que el período de las unidades nunca se nombra).
    2.          
    3. Dibuja 3 espacios en blanco para indicar el número de lugares necesarios en cada período. Separe los puntos por comas.
    4.          
    5. Nombre el número en cada período y coloque los dígitos en la posición correcta del valor posicional.
    6.      
         
  •      
  • Números enteros redondos      
               
    1. Localice el valor posicional dado y márquelo con una flecha. Todos los dígitos a la izquierda de la flecha no cambian.
    2.          
    3. Subrayar el dígito a la derecha del valor posicional dado.
    4.          
    5. ¿Es este dígito mayor o igual que 5?          
                     
      • Sí: agregue 1 al dígito en el valor posicional dado.
      •              
      • No: no cambia el dígito en el valor posicional dado.
      •          
               
    6.          
    7. Reemplace todos los dígitos a la derecha del valor posicional dado con ceros.
    8.      
         
  •      
  • Pruebas de divisibilidad: Un número es divisible por:      
               
    • 2 si el último dígito es 0, 2, 4, 6 u 8.
    •          
    • 3 si la suma de los dígitos es divisible por 3.
    •          
    • 5 si el último dígito es 5 o 0.
    •          
    • 6 si es divisible entre 2 y 3.
    •          
    • 10 si termina con 0.
    •      
         
  •      
  • Hallar la factorización prima de un número compuesto      
               
    1. Encuentra dos factores cuyo producto es el número dado, y usa estos números para crear dos ramas.
    2.          
    3. Si un factor es primo, esa rama está completa. Circle the prime, like a bud on the tree.
    4.          
    5. If a factor is not prime, write it as the product of two factors and continue the process.
    6.          
    7. Write the composite number as the product of all the circled primes.
    8.      
         
  •      
  • Find the Least Common Multiple by Listing Multiples      
               
    1. List several multiples of each number.
    2.          
    3. Look for the smallest number that appears on both lists.
    4.          
    5. This number is the LCM.
    6.      
         
  •      
  • Find the Least Common Multiple Using the Prime Factors Method      
               
    1. Write each number as a product of primes.
    2.          
    3. List the primes of each number. Match primes vertically when possible.
    4.          
    5. Bring down the columns.
    6.          
    7. Multiply the factors.
    8.      
         
  •  
 
 

Glossary

 
     
composite number
     
A composite number is a counting number that is not prime. A composite number has factors other than 1 and itself.
 
 
     
counting numbers
     
The counting numbers are the numbers 1, 2, 3, …
 
 
     
divisible by a number
     
If a number (m) is a multiple of (n), then (m) is divisible by (n).  (If 6 is a multiple of 3, then 6 is divisible by 3.)
 
 
     
factors
     
If (acdot b=m), then (a) and (b) are factors of (m).   Since (3 cdot 4 = 12), then 3 and 4 are factors of 12.
 
 
     
least common multiple
     
The least common multiple of two numbers is the smallest number that is a multiple of both numbers.
 
 
     
multiple of a number
     
A number is a multiple of (n) if it is the product of a counting number and (n).
 
 
     
number line
     
A number line is used to visualize numbers. Los números en la recta numérica se hacen más grandes a medida que van de izquierda a derecha, y más pequeños a medida que van de derecha a izquierda.
 
 
     
origin
     
The origin is the point labeled 0 on a number line.
 
 
     
prime factorization
     
The prime factorization of a number is the product of prime numbers that equals the number.
 
 
     
prime number
     
A prime number is a counting number greater than 1, whose only factors are 1 and itself.
 
 
     
whole numbers
     
The whole numbers are the numbers 0, 1, 2, 3, ….
 
 
                                  
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