las matematicas

1.2: Números reales – Álgebra Essentials

1.2: Números reales – Álgebra Essentials

                 

 

Objetivos de aprendizaje

 
         
  • Clasifique un número real como un número natural, entero, entero, racional o irracional.
    •      
  • Realizar cálculos usando el orden de las operaciones.
    •      
  • Use las siguientes propiedades de los números reales: conmutativo, asociativo, distributivo, inverso e identidad.
    •      
  • Evalúa expresiones algebraicas.
    •      
  • Simplifica expresiones algebraicas.
    •  
 
 

A menudo se dice que las matemáticas son el lenguaje de la ciencia. Si esto es cierto, entonces el lenguaje de las matemáticas son los números. El primer uso de números ocurrió hace (100 ) siglos en el Medio Oriente para contar o enumerar elementos. Los agricultores, los ganaderos y los comerciantes usaban fichas, piedras o marcadores para significar una sola cantidad: una gavilla de grano, una cabeza de ganado o una longitud fija de tela, por ejemplo. Hacerlo hizo posible el comercio, lo que condujo a mejores comunicaciones y a la difusión de la civilización.

 

Hace tres o cuatro mil años, Los egipcios introdujeron fracciones. Primero los usaron para mostrar recíprocos. Más tarde, los usaron para representar la cantidad cuando una cantidad se dividió en partes iguales.

 

Pero, ¿qué pasaría si no hubiera ganado para comerciar o se perdiera una cosecha completa de granos en una inundación? ¿Cómo podría alguien indicar la existencia de nada? Desde los primeros tiempos, las personas habían pensado en un “estado base” mientras contaban y usaban varios símbolos para representar esta condición nula. Sin embargo, no fue sino hasta alrededor del siglo V d. C. en la India que se agregó cero al sistema de números y se usó como un número en los cálculos.

 

Claramente, también era necesario que los números representaran pérdidas o deudas. En la India, en el siglo VII d.C., se utilizaron números negativos como soluciones para ecuaciones matemáticas y deudas comerciales. Los opuestos de los números contables expandieron el sistema numérico aún más.

 

Debido a la evolución del sistema de números, ahora podemos realizar cálculos complejos utilizando estas y otras categorías de números reales. En esta sección, exploraremos conjuntos de números, cálculos con diferentes tipos de números y el uso de números en expresiones.

 

Clasificación de un número real

 

Los números que usamos para contar o enumerar elementos son los números naturales: (1, 2, 3, 4, 5 ) y así sucesivamente. Los describimos en notación de conjunto como ( {1,2,3, … } ) donde los puntos suspensivos (( cdots) ) indican que los números continúan hasta el infinito. Los números naturales son, por supuesto, también llamados números de conteo. Cada vez que enumeramos a los miembros de un equipo, contamos las monedas en una colección o contamos los árboles en un bosque, estamos usando el conjunto de números naturales. El conjunto de números enteros es el conjunto de números naturales más cero: ( {0,1,2,3, … } ).

 

El conjunto de enteros agrega los opuestos de los números naturales al conjunto de números enteros: ( { cdots, -3, -2, -1,0,1,2,3, cdots } Es útil observar que el conjunto de enteros está compuesto por tres subconjuntos distintos: enteros negativos, cero y enteros positivos. En este sentido, los enteros positivos son solo los números naturales. Otra forma de pensarlo es que los números naturales son un subconjunto de los enteros.

 

[ begin {array} {ccc} \ [4pt] text {números enteros negativos} & text {zero} & text {números enteros positivos} \ [4pt] \ [4pt] cdots, -3, -2, -1 y 0 y 1,2,3, cdots \ [4pt] end {array} ]

 

El conjunto de números racionales se escribe como ( {mn parallel text {myn son enteros y} n eq 0 } ). Observe en la definición que los números racionales son fracciones (o cocientes) que contienen enteros tanto en el numerador como en el denominador, y el denominador nunca es (0 ). También podemos ver que cada número natural, número entero y número entero es un número racional con un denominador de (1 ).

 

Debido a que son fracciones, cualquier número racional también se puede expresar en forma decimal. Cualquier número racional se puede representar como:

 
         
  1. un decimal final: ( frac {15} {8} = 1.875 ), o
    2.      
  2. un decimal periódico: ( frac {4} {11} = 0.36363636 cdots = 0. bar {36} )
    3.  
 

Utilizamos una línea dibujada sobre el bloque repetido de números en lugar de escribir el grupo varias veces.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Escribir enteros como números racionales

 

Escribe cada uno de los siguientes como un número racional. Escribe una fracción con el número entero en el numerador y (1 ) en el denominador.

 
         
  1. (7 )
    2.      
  2. (0 )
    3.      
  3. (- 8 )
    4.  
 

Solución

 
         
  1. (7 = frac {7} {1} )
    2.      
  2. (0 = frac {0} {1} )
    3.      
  3. (- 8 = frac {8} {1} )
    4.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Escribe cada uno de los siguientes como un número racional.

 
         
  1. (11 )
    2.      
  2. (3 )
    3.      
  3. (- 4 )
    4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( frac {11} {1} )
    2.          
  2. ( frac {3} {1} )
    3.          
  3. (- frac {4} {1} )
    4.      
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): identificación de números racionales

 

Escribe cada uno de los siguientes números racionales como decimal decimal o repetitivo.

 
         
  1. (- frac {5} {7} )
    2.      
  2. ( frac {15} {5} )
    3.      
  3. ( frac {13} {25} )
    4.  
 

Solución

 
         
  1. (- frac {5} {7} = -0. Overline {714285} ), un decimal periódico
    2.      
  2. ( frac {15} {5} = 3 ) (o (3.0 )), un decimal final
    3.      
  3. ( frac {13} {25} = 0.52 ), un decimal final
    4.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Escribe cada uno de los siguientes números racionales como decimal decimal o repetitivo.

 
         
  1. ( frac {68} {17} )
    2.      
  2. ( frac {8} {13} )
    3.      
  3. (- frac {13} {25} )
    4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (4 ) (o (4.0 )), terminando
    2.          
  2. (0. overline {615384} ), repitiendo
    3.          
  3. (- 0,85 ), terminando
    4.      
     
 
 
 

Números irracionales

 

En algún momento en el pasado antiguo, alguien descubrió que no todos los números son números racionales. Un constructor, por ejemplo, puede haber descubierto que la diagonal de un cuadrado con lados unitarios no era (2 ) o incluso (32 ), sino algo más. O un fabricante de prendas de vestir podría haber observado que la relación entre la circunferencia y el diámetro de un rollo de tela era un poco mayor que (3 ), pero aún no era un número racional. Se dice que tales números son irracionales porque no pueden escribirse como fracciones. Estos números forman el conjunto de números irracionales. Los números irracionales no se pueden expresar como una fracción de dos enteros. Es imposible describir este conjunto de números mediante una sola regla, excepto decir que un número es irracional si no es racional. Entonces escribimos esto como se muestra.

 

[{h mid text {h no es un número racional}} ]

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Diferenciando números racionales e irracionales

 

Determine si cada uno de los siguientes números es racional o irracional. Si es racional, determine si es un decimal de terminación o de repetición.

 
         
  1. ( sqrt {25} )
    2.      
  2. ( frac {33} {9} )
    3.      
  3. ( sqrt {11} )
    4.      
  4. ( frac {17} {34} )
    5.      
  5. (0,3033033303333… )
    6.  
 

Solución

 
         
  1. ( sqrt {25} ): Esto se puede simplificar como ( sqrt {25} = 5 ). Por lo tanto, ( sqrt {25} ) es racional.
    2.      
  2. ( frac {33} {9} ): Debido a que es una fracción, ( frac {33} {9} ) es un número racional. Luego, simplifica y divide. [ frac {33} {9} = cancel { frac {33} {9}} onumber ] Entonces, ( frac {33} {9} ) es racional y un decimal repetitivo.
    3.      
  3. ( sqrt {11} ): Esto no se puede simplificar más. Por lo tanto, ( sqrt {11} ) es un número irracional.
    4.      
  4. ( frac {17} {34} ): Debido a que es una fracción, ( frac {17} {34} ) es un número racional. Simplifica y divide. [ frac {17} {34} = 0.5 onumber ] Entonces, ( frac {17} {34} ) es racional y un decimal final.
    5.      
  5. (0.3033033303333… ) no es un decimal final. También tenga en cuenta que no hay un patrón repetitivo porque el grupo de (3s ) aumenta cada vez. Por lo tanto, no es un decimal de terminación ni de repetición y, por lo tanto, no es un número racional. Es un número irracional.
    6.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Determine si cada uno de los siguientes números es racional o irracional. Si es racional, determine si es un decimal de terminación o de repetición.

 
         
  1. ( frac {7} {77} )
    2.      
  2. ( sqrt {81} )
    3.      
  3. (4.27027002700027… )
    4.      
  4. ( frac {91} {13} )
    5.      
  5. ( sqrt {39} )
    6.  
 
     
Respuesta
     
     
     
             
  1. racional y repetitivo;
    2.          
  2. racional y terminante;
    3.          
  3. irracional;
    4.          
  4. racional y repetitivo;
    5.          
  5. irracional
    6.      
     
     
 
 
 

Números reales

 

Dado cualquier número (n ), sabemos que (n ) es racional o irracional. No puede ser a la vez. Los conjuntos de números racionales e irracionales juntos forman el conjunto de números reales. Como vimos con los enteros, los números reales se pueden dividir en tres subconjuntos: números reales negativos, cero y números reales positivos. Cada subconjunto incluye fracciones, decimales y números irracionales según su signo algebraico (+ o -). El cero no se considera positivo ni negativo.

 

Los números reales se pueden visualizar en una recta numérica horizontal con un punto arbitrario elegido como (0 ), con números negativos a la izquierda de (0 ) y números positivos a la derecha de (0 ) . Una unidad de distancia fija se utiliza para marcar cada número entero (u otro valor básico) a cada lado de (0 ). Cualquier número real corresponde a una posición única en la recta numérica. Lo contrario también es cierto: cada ubicación en la recta numérica corresponde exactamente a un número real. Esto se conoce como una correspondencia uno a uno. Nos referimos a esto como la recta numérica real como se muestra en la Figura ( ( PageIndex {1} ))

 
A number line that is marked from negative five to five  
Figura ( PageIndex {1} ): La recta numérica real.
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Clasificación de números reales

 

Clasifique cada número como positivo o negativo y como racional o irracional. ¿El número se encuentra a la izquierda o a la derecha de (0 ) en la recta numérica?

 
         
  1. (- frac {10} {3} )
    2.      
  2. (- sqrt {5} )
    3.      
  3. (- 6π )
    4.      
  4. (0.615384615384… )
    5.  
 

Solución

 
         
  1. (- frac {10} {3} ) es negativo y racional. Se encuentra a la izquierda de (0 ) en la recta numérica.
    2.      
  2. (- sqrt {5} ) es positivo e irracional. Se encuentra a la derecha de (0 ).
    3.      
  3. (- sqrt {289} = – sqrt {17 ^ 2} = -17 ) es negativo y racional. Se encuentra a la izquierda de (0 ).
    4.      
  4. (- 6π ) es negativo e irracional. Se encuentra a la izquierda de (0 ).
    5.      
  5. (0.615384615384… ) es un decimal repetitivo, por lo que es racional y positivo. Se encuentra a la derecha de (0 ).
    6.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Clasifique cada número como positivo o negativo y como racional o irracional. ¿El número se encuentra a la izquierda o a la derecha de (0 ) en la recta numérica?

 
         
  1. ( sqrt {73} )
    2.      
  2. (- 11.411411411… )
    3.      
  3. ( frac {47} {19} )
    4.      
  4. (- frac { sqrt {5}} {2} )
    5.      
  5. (6.210735 )
    6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. positivo, irracional
    2.          
  2. derecho negativo, racional
    3.          
  3. dejó positivo, racional
    4.          
  4. derecho negativo, irracional
    5.          
  5. dejó positivo, racional; derecha
    6.      
     
 
 
 

Conjuntos de números como subconjuntos

 

Comenzando con los números naturales, hemos expandido cada conjunto para formar un conjunto más grande, lo que significa que existe una relación de subconjunto entre los conjuntos de números que hemos encontrado hasta ahora. Estas relaciones se vuelven más obvias cuando se ven como un diagrama, como la Figura ( ( PageIndex {2} )).

 
A large box labeled: Real Numbers encloses five circles. Four of these circles enclose each other and the other is separate from the rest. The innermost circle contains: 1, 2, 3… N. The circle enclosing that circle contains: 0 W. The circle enclosing that circle contains: …, -3, -2, -1 I. The outermost circle contains: m/n, n not equal to zero Q. The separate circle contains: pi, square root of two, etc Q´.  
Figura ( PageIndex {2} ): Conjuntos de números. N : el conjunto de números naturales. W : el conjunto de números enteros. I : el conjunto de enteros. Q : el conjunto de números racionales. Q´ : el conjunto de números irracionales
 
 
 

CONJUNTOS DE NÚMEROS

 

El conjunto de números naturales incluye los números utilizados para contar: ( {1,2,3, … } ).

 

El conjunto de números enteros es el conjunto de números naturales más cero: ( {0,1,2,3, … } ).

 

El conjunto de enteros agrega los números naturales negativos al conjunto de números enteros: ( {…, – 3, -2, -1,0,1,2,3, … } )

 

El conjunto de números racionales incluye fracciones escritas como ( {mn parallel text {myn son enteros y} n eq 0 } ).

 

El conjunto de números irracionales es el conjunto de números que no son racionales, no son repetitivos y no son determinantes: ( {h parallel text {h no es un número racional}}}}).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Diferenciando los conjuntos de números

 

Clasifique cada número como un número natural (N), número entero (W), número entero (I), número racional (Q) y / o número irracional (Q ‘).

 
         
  1. ( sqrt {36} )
    2.      
  2. ( frac {8} {3} )
    3.      
  3. ( sqrt {73} )
    4.      
  4. (- 6 )
    5.      
  5. (3.2121121112… )
    6.  
 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           
N W I Q Q ‘
a. ( sqrt {36} = 6 ) X X X X
b. ( frac {8} {3} = 2. overline {6} ) X
c. ( sqrt {73} ) X
d. (- 6 ) X X
e. (3.2121121112 … ) X
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Clasifique cada número como un número natural (N), número entero (W), entero (I), número racional (Q) y / o número irracional (Q ‘).

 
         
  1. (- frac {35} {7} )
    2.      
  2. (0 )
    3.      
  3. ( sqrt {169} )
    4.      
  4. ( sqrt {24} )
    5.      
  5. (4.763763763 … )
    6.  
 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   
N W I Q Q ‘
a. (- frac {35} {7} ) X X
b. (0 ) X X X
c. ( sqrt {169} ) X X X X
d. ( sqrt {24} ) X
e. (4.763763763 … ) X
     
 
 
 

Realización de cálculos utilizando el orden de operaciones

 

Cuando multiplicamos un número por sí mismo, lo cuadramos o lo elevamos a una potencia de (2 ). Por ejemplo, (4 ^ 2 = 4 times4 = 16 ). Podemos elevar cualquier número a cualquier potencia. En general, la notación exponencial an significa que el número o variable (a ) se usa como factor (n ) veces.

 

[a ^ n = a cdot a cdot a cdots a qquad text {n factor} nonumber ]

 

En esta notación, (a ^ n ) se lee como el poder (n ^ {th} ) de (a ), donde (a ) se llama base y (n ) se llama exponente. Un término en notación exponencial puede ser parte de una expresión matemática, que es una combinación de números y operaciones. Por ejemplo, (24 + 6 cdot 23 – 42 ) es una expresión matemática.

 

Para evaluar una expresión matemática, realizamos varias operaciones. Sin embargo, no los realizamos en ningún orden aleatorio. Usamos el orden de las operaciones. Esta es una secuencia de reglas para evaluar tales expresiones.

 

Recordemos que en matemáticas usamos paréntesis (), corchetes [] y llaves {} para agrupar números y expresiones para que todo lo que aparezca dentro de los símbolos se trate como una unidad. Además, las barras de fracción, los radicales y las barras de valor absoluto se tratan como símbolos de agrupación. Al evaluar una expresión matemática, comience simplificando las expresiones dentro de los símbolos de agrupación.

 

El siguiente paso es abordar cualquier exponente o radical. Luego, realice la multiplicación y división de izquierda a derecha y finalmente suma y resta de izquierda a derecha.

 

Veamos la expresión proporcionada.

 

[24 + 6 veces dfrac {2} {3} – 4 ^ 2 nonumber ]

 

No hay símbolos de agrupación, por lo que pasamos a exponentes o radicales. El número (4 ) se eleva a una potencia de (2 ), así que simplifique (42 ) como (16 ).

 

[24 + 6 veces dfrac {2} {3} – 4 ^ 2 nonumber ]

 

[24 + 6 veces dfrac {2} {3} – 16 nonumber ]

 

Luego, realiza la multiplicación o división, de izquierda a derecha.

 

[24 + 6 veces dfrac {2} {3} – 16 nonumber ]

 

[24 + 4-16 nonumber ]

 

Por último, realiza sumas o restas, de izquierda a derecha.

 

[24 + 4−16 nonumber ]

 

[28−16 nonumber ]

 

[12 nonumber ]

 

Por lo tanto,

 

[24 + 6 veces dfrac {2} {3} – 4 ^ 2 = 12 nonumber ]

 

Para algunas expresiones complicadas, se necesitarán varios pasos a través del orden de las operaciones. Por ejemplo, puede haber una expresión radical dentro de paréntesis que debe simplificarse antes de evaluar los paréntesis. Seguir el orden de las operaciones asegura que cualquiera que simplifique la misma expresión matemática obtendrá el mismo resultado.

 
 
 

ORDEN DE OPERACIONES

 

Las operaciones en expresiones matemáticas deben evaluarse en un orden sistemático, que puede simplificarse utilizando el acrónimo PEMDAS :

 
         
  • P (arentheses)
    •      
  • E (xponentes)
    •      
  • M ( ultiplicación) y D (ivision)
    •      
  • A (ddition) y S (ubtraction)
    •  
 
 
 

CÓMO: Dada una expresión matemática, simplifíquela usando el orden de las operaciones.

 
         
  1. Simplifique cualquier expresión dentro de los símbolos de agrupación.
    2.      
  2. Simplifique cualquier expresión que contenga exponentes o radicales.
    3.      
  3. Realice cualquier multiplicación y división en orden, de izquierda a derecha.
    4.      
  4. Realice cualquier suma y resta en orden, de izquierda a derecha.
    5.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Uso del orden de operaciones

 

Use el orden de las operaciones para evaluar cada una de las siguientes expresiones.

 
         
  1. ((3 + 2) ^ 2 + 4 veces (6 + 2) )
    2.      
  2. ( dfrac {5 ^ 2-4} {7} – sqrt {11-2} )
    3.      
  3. (6− | 5−8 | +3 veces (4−1) )
    4.      
  4. ( dfrac {14-3 times2} {2 times5-3 ^ 2} )
    5.      
  5. (7 veces (5 veces3) −2 veces [(6−3) −4 ^ 2] +1 )
    6.  
 

Solución

 
         
  1. [ begin {align *} (3 times2) ^ 2-4 times (6 + 2) & = (6) ^ 2-4 times (8) qquad text {Simplificar paréntesis} & = 36-4 times8 qquad text {Simplificar exponente} \ & = 36-32 qquad text {Simplificar multiplicación} \ & = 4 qquad text {Simplificar sustracción} \ end {alinear *} ]
    2.      
  2. [ begin {align *} dfrac {5 ^ 2-4} {7} – sqrt {11-2} & = dfrac {5 ^ 2-4} {7} – sqrt {9 } qquad text {Simplificar símbolos de agrupación (radical)} \ & = dfrac {5 ^ 2-4} {7} -3 qquad text {Simplificar radical} \ & = dfrac {25-4} {7} -3 qquad text {Simplificar exponente} \ & = dfrac {21} {7} -3 qquad text {Simplificar resta en el numerador} \ & = 3-3 qquad text {Simplificar division} \ & = 0 qquad text {Simplificar sustracción} end {align *} ]
    3.  
 

Tenga en cuenta que en el primer paso, el radical se trata como un símbolo de agrupación, como paréntesis. Además, en el tercer paso, la barra de fracción se considera un símbolo de agrupación, por lo que se considera que el numerador está agrupado.

 
         
  1. [ begin {align *} 6- mid 5-8 mid +3 times (4-1) & = 6- | -3 | +3 times3 qquad text {Simplifique dentro de los símbolos de agrupación } \ & = 6-3 + 3 times3 qquad text {Simplifique el valor absoluto} \ & = 6-3 + 9 qquad text {Simplifique la multiplicación} \ & = 3 + 9 qquad text { Simplificar la resta} \ & = 12 qquad text {Simplificar la suma} \ end {align *} ]
    2.      
  2. [ begin {align *} dfrac {14-3 times2} {2 times5-3 ^ 2} & = dfrac {14-3 times2} {2 times5-9} qquad texto {Simplificar exponente} \ & = dfrac {14-6} {10-9} qquad text {Simplificar productos} \ & = dfrac {8} {1} qquad text {Simplificar diferencias} & = 8 qquad text {Simplificar el cociente} \ end {align *} ]
    3.  
 

En este ejemplo, la barra de fracción separa el numerador y el denominador, que simplificamos por separado hasta el último paso.

 
         
  1. [ begin {align *} 7 ​​times (5 times3) -2 times [(6-3) -4 ^ 2] + 1 & = 7 times (15) -2 times [(3 ) -4 ^ 2] +1 qquad text {Simplificar entre paréntesis} \ & = 7 times (15) -2 times (3-16) +1 qquad text {Simplificar exponente} \ & = 7 times (15) -2 times (-13) +1 qquad text {Subtract} \ & = 105 + 26 + 1 qquad text {Multiply} \ & = 132 qquad text {Agregar } end {align *} ]
    2.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Use el orden de las operaciones para evaluar cada una de las siguientes expresiones.

 
         
  1. ( sqrt {5 ^ 2-4 ^ 2} +7 veces (5-4) ^ 2 )
    2.      
  2. (1+ dfrac {7 times5-8 times4} {9-6} )
    3.      
  3. (| 1.8-4.3 | +0.4 times sqrt {15 + 10} )
    4.      
  4. ( dfrac {1} {2} times [5 times3 ^ 2-7 ^ 2] + dfrac {1} {3} times9 ^ 2 )
    5.      
  5. ([(3-8 ^ 2) -4] – (3-8) )
    6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (10 ​​)
    2.          
  2. (2 )
    3.          
  3. (4,5 )
    4.          
  4. (25 )
    5.          
  5. (26 )
    6.      
     
 
 
 

Uso de propiedades de números reales

 

Para algunas actividades que realizamos, el orden de ciertas operaciones no importa, pero el orden de otras operaciones sí. Por ejemplo, no hay diferencia si nos ponemos el zapato derecho antes que el izquierdo o viceversa. Sin embargo, importa si nos ponemos zapatos o medias primero. Lo mismo es cierto para las operaciones en matemáticas.

 

Propiedades conmutativas

 

La propiedad conmutativa de la suma establece que se pueden agregar números en cualquier orden sin afectar la suma.

 

[a + b = b + a ]

 

Podemos ver mejor esta relación cuando usamos números reales.

 

((- 2) +7 = 5 text {y} 7 + (- 2) = 5 )

 

Del mismo modo, la propiedad conmutativa de la multiplicación establece que los números pueden multiplicarse en cualquier orden sin afectar el producto.

 

[a times b = b times a ]

 

Nuevamente, considere un ejemplo con números reales.

 

((- 11) times (−4) = 44 ) y ((- 4) times (−11) = 44 )

 

Es importante tener en cuenta que ni la resta ni la división son conmutativas. Por ejemplo, (17−5 ) no es lo mismo que (5−17 ). Del mismo modo, (20 ÷ 5 ≠ 5 ÷ 20 ).

 

Propiedades asociativas

 

La propiedad asociativa de la multiplicación nos dice que no importa cómo agrupamos los números al multiplicar. Podemos mover los símbolos de agrupación para facilitar el cálculo, y el producto sigue siendo el mismo.

 

[a (bc) = (ab) c ]

 

Considere este ejemplo.

 

((3 times4) times5 = 60 text {y} 3 times (4 times5) = 60 )

 

La propiedad asociativa de la suma nos dice que los números pueden agruparse de manera diferente sin afectar la suma.

 

[a + (b + c) = (a + b) + c ]

 

Esta propiedad puede ser especialmente útil cuando se trata de enteros negativos. Considera este ejemplo.

 

([15 + (- 9)] + 23 = 29 text {y} 15 + [(- 9) +23] = 29 )

 

¿Son la resta y la división asociativas? Revisa estos ejemplos.

 

[ begin {align *} 8- (3-15) overset {?} {=} & (8-3) -15 \ 8 – (- 12) overset {?} {=} & 5-15 \ 20 eq & 20-10 \ 64 div (8 div 4) overset {?} {=} & (64 div 8) div 4 \ 64 div 2 overset {?} {=} & 8 div 4 \ 32 eq & 2 end {align *} ]

 

Como podemos ver, ni la resta ni la división son asociativas.

 

Propiedad distributiva

 

La propiedad distributiva establece que el producto de un factor multiplicado por una suma es la suma del factor multiplicado por cada término de la suma.

 

[a times (b + c) = a times b + a times c ]

 

Esta propiedad combina la suma y la multiplicación (y es la única propiedad que lo hace). Consideremos un ejemplo.

 

The number four is separated by a multiplication symbol from a bracketed expression reading: twelve plus negative seven. Arrows extend from the four pointing to the twelve and negative seven separately. This expression equals four times twelve plus four times negative seven. Under this line the expression reads forty eight plus negative twenty eight. Under this line the expression reads twenty as the answer.

 

Tenga en cuenta que (4 ) está fuera de los símbolos de agrupación, por lo que distribuimos el (4 ) multiplicándolo por (12 ), multiplicándolo por (- 7 ) y agregando los productos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Para ser más precisos al describir esta propiedad, decimos que la multiplicación se distribuye sobre la suma. Lo contrario no es cierto, como podemos ver en este ejemplo.

 

[ begin {align *} 6+ (3 times5) overset {?} {=} & (6 + 3) times (6 times5) \ 6+ (15) overset {? } {=} & (9) times (11) \ 21 eq & 99 end {align *} ]

 
 

La multiplicación no se distribuye sobre la resta, y la división se distribuye sobre la suma ni la resta.

 

Un caso especial de la propiedad distributiva ocurre cuando se resta una suma de términos.

 

[a − b = a + (- b) ]

 

Por ejemplo, considere la diferencia (12− ​​(5 + 3) ). Podemos reescribir la diferencia de los dos términos (12 ) y ((5 + 3) ) al convertir la expresión de resta en la suma del opuesto. Entonces, en lugar de restar ((5 + 3) ), agregamos lo contrario.

 

(12 + (- 1) veces (5 + 3) ])

 

Ahora, distribuya (- 1 ) y simplifique el resultado.

 

[ begin {align *} 12- (5 + 3) & = 12 + (- 1) times (5 + 3) \ & = 12 + [(- 1) times5 + (- 1) times3] \ & = 12 + (- 8) \ & = 4 end {align *} ]

 

Esto parece un gran problema para una suma simple, pero ilustra un resultado poderoso que será útil una vez que introduzcamos términos algebraicos. Para restar una suma de términos, cambie el signo de cada término y agregue los resultados. Con esto en mente, podemos reescribir el último ejemplo.

 

[ begin {align *} 12- (5 + 3) & = 12 + (- 5-3) \ & = 12-8 \ & = 4 end {align *} ] [19459003 ]  

Propiedades de identidad

 

La propiedad de identidad de la suma establece que hay un número único, llamado identidad aditiva ((0) ) que, cuando se agrega a un número, da como resultado el número original.

 

[a + 0 = a ]

 

La propiedad de identidad de multiplicación establece que hay un número único, llamado identidad multiplicativa ((1) ) que, cuando se multiplica por un número, da como resultado el número original.

 

[a times 1 = a ]

 

Por ejemplo, tenemos ((−6) + 0 = −6 ) y (23 times1 = 23 ). No hay excepciones para estas propiedades; funcionan para cada número real, incluidos (0 ) y (1 ).

 

Propiedades inversas

 

La propiedad inversa de la suma establece que, para cada número real a, hay un número único, llamado inverso aditivo (u opuesto), denotado (- a ), que, cuando se agrega al número original, da como resultado en la identidad aditiva, (0 ).

 

[a + (- a) = 0 ]

 

Por ejemplo, si (a = −8 ), el inverso aditivo es (8 ), ya que ((- 8) + 8 = 0 ).

 

La propiedad inversa de la multiplicación es válida para todos los números reales excepto (0 ) porque el recíproco de (0 ) no está definido. La propiedad establece que, para cada número real (a ), hay un número único, llamado inverso multiplicativo (o recíproco), denotado (1a ), que, cuando se multiplica por el número original, da como resultado el multiplicativo identidad, (1 ).

 

[a times dfrac {1} {a} = 1 ]

 

Por ejemplo, si (a = – dfrac {2} {3} ), el recíproco, denotado ( dfrac {1} {a} ), es (- dfrac {3} { 2} ) porque

 

(a⋅ dfrac {1} {a} = left (- dfrac {2} {3} right) times left (- dfrac {3} {2} right) = 1 )

 
 
 

PROPIEDADES DE NÚMEROS REALES

 
 

Las siguientes propiedades son válidas para números reales (a ), (b ) y (c ).

 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       
Tabla ( PageIndex {1} )
Adición Multiplicación
Propiedad conmutativa (a + b = b + a ) (a times b = b times a )
Propiedad asociativa (a + (b + c) = (a + b) + c ) (a (bc) = (ab) c )
Propiedad distributiva              

(a times (b + c) = a times b + a times c )

             
Propiedad de identidad              

Existe un número real único llamado identidad aditiva, 0, de modo que, para cualquier número real a

             

(a + 0 = a )

             		              

Existe un número real único llamado identidad multiplicativa, 1, de modo que, para cualquier número real a

             

(a times 1 = a )

             
Propiedad inversa              

Cada número real a tiene un inverso aditivo u opuesto, denotado –a, tal que

             

(a + (- a) = 0 )

             		              

Cada número real distinto de cero tiene un inverso multiplicativo, o recíproco, denotado 1a, de modo que

             

(a times left ( dfrac {1} {a} right) = 1 )

             
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Uso de propiedades de números reales

 
Use the properties of real numbers to rewrite and simplify each expression. State which properties apply.  
         
  1. (3times 6+3times 4)
    2.      
  2. ((5+8)+(−8))
    3.      
  3. (6−(15+9))
    4.      
  4. (dfrac{4}{7}timesleft(dfrac{2}{3}times dfrac{7}{4}right))
    5.      
  5. (100times[0.75+(−2.38)])
    6.  
 

Solution

 
         
  1. [begin{align*} 3times6+3times4&=3times(6+4)qquad text{Distributive property}\ &=3times10qquad text{Simplify}\ &=30qquad text{Simplify}\ end{align*}]
    2.      
  2. [begin{align*} (5+8)+(-8)&=5+[8+(-8)]qquad text{Associative property of addition}\ &=5+0qquad text{Inverse property of addition}\ &=5qquad text{Identity property of addition}\ end{align*}]
    3.      
  3. [begin{align*} 6-(15+9)&=6+[(-15)+(-9)]qquad text{Distributive property}\ &=6+(-24)qquad text{Simplify}\ &=-18qquad text{Simplify}\ end{align*}]
    4.      
  4. [begin{align*} dfrac{4}{7}timesleft(dfrac{2}{3}timesdfrac{7}{4}right)&=dfrac{4}{7}timesleft(dfrac{7}{4}timesdfrac{2}{3}right)qquad text{Commutative property of multiplication}\ &=left(dfrac{4}{7}timesdfrac{7}{4}right)timesdfrac{2}{3}qquad text{Associative property of multiplication}\ &=1timesdfrac{2}{3}qquad text{Inverse property of multiplication}\ &=dfrac{2}{3}qquad text{Identity property of multiplication}\ end{align*}]
    5.      
  5. [begin{align*} 100times[0.75+(-2.38)]&=100times0.75+100times(-2.38)qquad text{Distributive property}\ &=75+(-238)qquad text{Simplify}\ &=-163qquad text{Simplify} end{align*}]
    6.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Use the properties of real numbers to rewrite and simplify each expression. State which properties apply.

 
         
  1. (left(-dfrac{23}{5}right)timesleft[11timesleft(-dfrac{5}{23}right)right])
    2.      
  2. (5times(6.2+0.4))
    3.      
  3. (18-(7-15))
    4.      
  4. (dfrac{17}{18}+left[dfrac{4}{9}+left(-dfrac{17}{18}right)right])
    5.      
  5. (6times(-3)+6times3)
    6.  
 
     
Answer
     
     
             
  1. (11), commutative property of multiplication, associative property of multiplication, inverse property of multiplication, identity property of multiplication
    2.          
  2. (33), distributive property
    3.          
  3. (26), distributive property
    4.          
  4. (dfrac{4}{9}) , commutative property of addition, associative property of addition, inverse property of addition, identity property of addition
    5.          
  5. (0), distributive property, inverse property of addition, identity property of addition
    6.      
     
 
 
 

Evaluating Algebraic Expressions

 

So far, the mathematical expressions we have seen have involved real numbers only. In mathematics, we may see expressions such as (x +5), (dfrac{4}{3}pi r^3), or (sqrt{2m^3 n^2}). In the expression (x +5), (5) is called a constant because it does not vary and (x) is called a variable because it does. (In naming the variable, ignore any exponents or radicals containing the variable.) An algebraic expression is a collection of constants and variables joined together by the algebraic operations of addition, subtraction, multiplication, and division.

 

We have already seen some real number examples of exponential notation, a shorthand method of writing products of the same factor. When variables are used, the constants and variables are treated the same way.

 

[begin{align*} (-3)^5 &=(-3)times(-3)times(-3)times(-3)times(-3)Rightarrow x^5=xtimes xtimes xtimes xtimes x\ (2times7)^3&=(2times7)times(2times7)times(2times7)qquad ; ; Rightarrow (yz)^3=(yz)times(yz)times(yz) end{align*}]

 

In each case, the exponent tells us how many factors of the base to use, whether the base consists of constants or variables.

 

Any variable in an algebraic expression may take on or be assigned different values. When that happens, the value of the algebraic expression changes. To evaluate an algebraic expression means to determine the value of the expression for a given value of each variable in the expression. Replace each variable in the expression with the given value, then simplify the resulting expression using the order of operations. If the algebraic expression contains more than one variable, replace each variable with its assigned value and simplify the expression as before.

 
 

Example (PageIndex{9}): Describing Algebraic Expressions

 
 

List the constants and variables for each algebraic expression.

 
         
  1. (x + 5)
    2.      
  2. (dfrac{4}{3}pi r^3)
    3.      
  3. (sqrt{2m^3 n^2})
    4.  
 

Solution

                                                                                                                                                                                                                                                                                   
  Constants Variables
a. (x + 5) (5) (x)
b. (dfrac{4}{3}pi r^3) (dfrac{4}{3}), (pi) (r)
c. (sqrt{2m^3 n^2}) (2) (m),(n)
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

List the constants and variables for each algebraic expression.

 
         
  1. (2pi r(r+h))
    2.      
  2. (2(L + W))
    3.      
  3. (4y^3+y)
    4.  
 
     
Answer
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           
  Constants Variables
a. (2pi r(r+h)) (2),(pi) (r),(h)
b. (2(L + W)) (2) (L), (W)
c. (4y^3+y) (4) (y)
     
 
 
 
 
 
 

Example (PageIndex{10}): Evaluating an Algebraic Expression at Different Values

 
Evaluate the expression(2x−7)for each value for (x).
 
 
         
  1. (x=0)
    2.      
  2. (x=1)
    3.      
  3. (x=12)
    4.      
  4. (x=−4)
    5.  
 

Solution

 
         
  1. Substitute (0) for (x). [begin{align*} 2x-7 &= 2(0)-7 \ &= 0-7\ &= -7\ end{align*}]
    2.      
  2. Substitute (1) for (x). [begin{align*} 2x-7 &= 2(1)-7 \ &= 2-7\ &= -5\ end{align*}]
    3.      
  3. Substitute (dfrac{1}{2}) for (x). [begin{align*} 2x-7 &= 2left (dfrac{1}{2} right )-7 \ &= 1-7\ &= -6\ end{align*}]
    4.      
  4. Substitute (-4) for (x). [begin{align*} 2x-7 &= 2(-4)-7 \ &= -8-7\ &= -15\ end{align*}]
    5.  
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Evaluate the expression (11−3y) for each value for (y).

 
         
  1. (y=2)
    2.      
  2. (y=0)
    3.      
  3. (y=dfrac{2}{3})
    4.      
  4. (y=−5)
    5.  
 
     
Answer
     
     
             
  1. (5)
    2.          
  2. (11)
    3.          
  3. (9)
    4.          
  4. (26)
    5.      
     
 
 
 
 

Example (PageIndex{11}): Evaluating Algebraic Expressions

 

Evaluate each expression for the given values.

 
         
  1. ​(x+5) for (x=-5)
    2.      
  2. (dfrac{t}{2t-1}) for (t=10)
    3.      
  3. (dfrac{4}{3}pi r^3) for (r=5)
    4.      
  4. (a+ab+b) for (a=11) , (b=-8)
    5.      
  5. (sqrt{2m^3 n^2}) for (m=2) , (n=3)
    6.  
 

Solution

 
         
  1. Substitute (-5) for (x). [begin{align*} x+5 &= (-5)+5 \ &= 0\ end{align*}]
    2.      
  2. Substitute (10) for (t). [begin{align*} dfrac{t}{2t-1} &= dfrac{(10)}{2(10)-1} \ &= dfrac{10}{20-1}\ &= dfrac{10}{19}\ end{align*}]
    3.      
  3. Substitute (5) for (r) . [begin{align*} dfrac{4}{3} pi r^3 &= dfrac{4}{3}pi (5)^3 \ &= dfrac{4}{3}pi (125)\ &= dfrac{500}{3}pi\ end{align*}]
    4.      
  4. Substitute (11) for (a) and (-8) for (b) . [begin{align*} a+ab+b &= (11)+(11)(-8)+(-8) \ &= 11-88-8 \ &= -85\ end{align*}]
    5.      
  5. Substitute (2) for (m) and (3) for (n). [begin{align*} sqrt{2m^3 n^2} &= sqrt{2(2)^3 (3)^2} \ &= sqrt{2(8)(9)} \ &= sqrt{144} \ &= 12 end{align*}]
    6.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Evaluate each expression for the given values.

 
         
  1. (dfrac{y+3}{y-3}) for (y=5)
    2.      
  2. (7-2t) for (t=-2)
    3.      
  3. (dfrac{1}{3}pi r^2) for (r=11)
    4.      
  4. ((p^2 q)^3) for (p=-2), (q=3)
    5.      
  5. (4(m-n)-5(n-m)) for (m=dfrac{2}{3}) (n=dfrac{1}{3})
    6.  
 
     
Answer
     
     
             
  1. (4)
    2.          
  2. (11)
    3.          
  3. (dfrac{121}{3}pi)
    4.          
  4. (1728)
    5.          
  5. (3)
    6.      
     
 
 
 

Formulas

 

An equation is a mathematical statement indicating that two expressions are equal. The expressions can be numerical or algebraic. The equation is not inherently true or false, but only a proposition. The values that make the equation true, the solutions, are found using the properties of real numbers and other results. For example, the equation (2x +1= 7) has the unique solution of (3) because when we substitute (3) for (x) in the equation, we obtain the true statement (2(3)+1=7).

 

A formula is an equation expressing a relationship between constant and variable quantities. Very often, the equation is a means of finding the value of one quantity (often a single variable) in terms of another or other quantities. One of the most common examples is the formula for finding the area (A) of a circle in terms of the radius (r) of the circle: ( A= pi r^2) . For any value of (r) , the area (A) can be found by evaluating the expression (pi r^2).

 
 

Example (PageIndex{12}): Using a Formula

 

A right circular cylinder with radius (r) and height (h) has the surface area (S) (in square units) given by the formula (S=2pi r(r+h)). Ver Figura ( PageIndex {3} ). Find the surface area of a cylinder with radius (6) in. and height (9) in. Leave the answer in terms of (pi).

 
Fig 1.2.3.png  
Figure (PageIndex{3})
 
 

Evaluate the expression (2pi r(r+h)) for (r=6) and (h=9).

 

Solution

 

[begin{align*} S &= 2pi r(r+h) \ &= 2pi (6)[(6)+(9)] \ &= 2pi(6)(15) \ &= 180pi end{align*}]

 

The surface area is (180pi) square inches.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

A photograph with length (L) and width (W) is placed in a matte of width (8) centimeters (cm). The area of the matte (in square centimeters, or (cm^2) is found to be (A=(L+16)(W+16) – L)⋅W .See Figure (PageIndex{4}). Find the area of a matte for a photograph with length (32)cm and width (24)cm.

 
fig 1.2.4.png  
Figure (PageIndex{4})
 
 
     
Answer
     
     

(1152cm^2)

     
 
 
 

Simplifying Algebraic Expressions

 

Sometimes we can simplify an algebraic expression to make it easier to evaluate or to use in some other way. To do so, we use the properties of real numbers. We can use the same properties in formulas because they contain algebraic expressions.

 
 

Example (PageIndex{13}): Simplifying Algebraic Expressions

 

Simplify each algebraic expression.

 
         
  1. (3x-2y+x-3y-7)
    2.      
  2. (2r-5(3-r)+4)
    3.      
  3. (left(4t-dfrac{5}{4}sright)-left(dfrac{2}{3}t+2sright))
    4.      
  4. (2mn-5m+3mn+n)
    5.  
 

Solution

 
         
  1. [begin{align*} 3x-2y+x-3y-7&=3x+x-2y-3y-7qquad text{Commutative property of addition}\ &=4x-5y-7qquad text{Simplify}\ end{align*}]
    2.      
  2. [begin{align*} 2r-5(3-r)+4&=2r-15+5r+4qquad text {Distributive property}\ &=2r+5y-15+4qquad text{Commutative property of addition}\ &=7r-11qquad text{Simplify}\ end{align*}]
    3.      
  3. [begin{align*} left(4t-dfrac{5}{4}sright)-left(dfrac{2}{3}t+2sright)&=4t-dfrac{5}{4}s-dfrac{2}{3}t-2sqquad text{ Distributive property}\ &=4t-dfrac{2}{3}t-dfrac{5}{4}s-2sqquad text{Commutative property of addition}\ &=dfrac{10}{3}t-dfrac{13}{4}sqquad text{Simplify}\ end{align*}]
    4.      
  4. [begin{align*} 2mn-5m+3mn+n&=2mn+3mn-5m+nqquad text{Commutative property of addition}\ &=5mn-5m+nqquad text{Simplify}\ end{align*}]
    5.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Simplify each algebraic expression.

 
         
  1. (dfrac{2}{3}y−2left(dfrac{4}{3}y+zright))
    2.      
  2. (dfrac{5}{t}−2−dfrac{3}{t}+1)
    3.      
  3. (4p(q−1)+q(1−p))
    4.      
  4. (9r−(s+2r)+(6−s))
    5.  
 
     
Answer
     
     
             
  1. (−2y−2z) or (−2(y+z))
    2.          
  2. (dfrac{2}{t}−1)
    3.          
  3. (3pq−4p+q)
    4.          
  4. (7r−2s+6)
    5.      
     
 
 
 
 

Example (PageIndex{14}): Simplifying a Formula

 
 

A rectangle with length (L) and width (W) has a perimeter (P) given by (P =L+W+L+W) . Simplify this expression.

 

Solution

 

[begin{align*} P &=L+W+L+W\ P &=L+L+W+Wqquad text{Commutative property of addition}\ P &=2L+2Wqquad text{Simplify}\ P &=2(L+W)qquad text{Distributive property} end{align*}]  

 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

If the amount (P) is deposited into an account paying simple interest (r) for time (t) , the total value of the deposit (A) is given by (A =P+Prt) . Simplify the expression. (This formula will be explored in more detail later in the course.)

 
     
Answer
     
     

(A=P(1+rt))

     
 
 
 

Access these online resources for additional instruction and practice with real numbers.

 
 

Key Concepts

 
         
  • Rational numbers may be written as fractions or terminating or repeating decimals. See Example and Example .
    •      
  • Determine whether a number is rational or irrational by writing it as a decimal. See Example .
    •      
  • The rational numbers and irrational numbers make up the set of real numbers. See Example . A number can be classified as natural, whole, integer, rational, or irrational. See Example .
    •      
  • The order of operations is used to evaluate expressions. See Example .
    •      
  • The real numbers under the operations of addition and multiplication obey basic rules, known as the properties of real numbers. These are the commutative properties, the associative properties, the distributive property, the identity properties, and the inverse properties. See Example .
    •      
  • Algebraic expressions are composed of constants and variables that are combined using addition, subtraction, multiplication, and division. See Example . They take on a numerical value when evaluated by replacing variables with constants. See Example , Example , and Example
    •      
  • Formulas are equations in which one quantity is represented in terms of other quantities. They may be simplified or evaluated as any mathematical expression. See Example and Example .
    •  
 
 
 

Verbal

 
 
 

Is (sqrt{2}) an example of a rational terminating, rational repeating, or irrational number? Tell why it fits that category.

 
 
 
 

irrational number. The square root of two does not terminate, and it does not repeat a pattern. It cannot be written as a quotient of two integers, so it is irrational.

 
 
 
 
 
 
 

What is the order of operations? What acronym is used to describe the order of operations, and what does it stand for?

 
 
 
 
 

What do the Associative Properties allow us to do when following the order of operations? Explain your answer.

 
 
 
 

The Associative Properties state that the sum or product of multiple numbers can be grouped differently without affecting the result. This is because the same operation is performed (either addition or subtraction), so the terms can be re-ordered.

 
 
 
 

Numeric

 

For the following exercises, simplify the given expression.

 

Algebraic

 

For the following exercises, solve for the variable.

 

For the following exercises, simplify the expression.

 

Real-World Applications

 

For the following exercises, consider this scenario: Fred earns $40 mowing lawns. He spends $10 on mp3s, puts half of what is left in a savings account, and gets another $5 for washing his neighbor’s car.

 
 
 

Write the expression that represents the number of dollars Fred keeps (and does not put in his savings account). Remember the order of operations.

 
 
 
 
 

How much money does Fred keep?

 
 
 

For the following exercises, solve the given problem.

 
 
 

According to the U.S. Mint, the diameter of a quarter is 0.955 inches. The circumference of the quarter would be the diameter multiplied by π . Is the circumference of a quarter a whole number, a rational number, or an irrational number?

 
 
 
 
 

Jessica and her roommate, Adriana, have decided to share a change jar for joint expenses. Jessica put her loose change in the jar first, and then Adriana put her change in the jar. We know that it does not matter in which order the change was added to the jar. What property of addition describes this fact?

 
 
 

For the following exercises, consider this scenario: There is a mound of g pounds of gravel in a quarry. Throughout the day, 400 pounds of gravel is added to the mound. Two orders of 600 pounds are sold and the gravel is removed from the mound. At the end of the day, the mound has 1,200 pounds of gravel.

 
 
 

Write the equation that describes the situation.

 
 
 

For the following exercise, solve the given problem.

 
 
 

Ramon runs the marketing department at his company. His department gets a budget every year, and every year, he must spend the entire budget without going over. If he spends less than the budget, then his department gets a smaller budget the following year. At the beginning of this year, Ramon got $2.5 million for the annual marketing budget. He must spend the budget such that 2 ,500,000 − x = 0. What property of addition tells us what the value of x must be?

 
 
 
 

inverse property of addition

 
 
 
 

Technology

 

For the following exercises, use a graphing calculator to solve for x . Round the answers to the nearest hundredth.

 
 
 

( 0.25 − 0.75 ) 2 x − 7.2 = 9.9

 
 
 

Extensions

 
 
 

If a whole number is not a natural number, what must the number be?

 
 
 
 
 

Determine whether the statement is true or false: The multiplicative inverse of a rational number is also rational.

 
 
 
 
 

Determine whether the statement is true or false: The product of a rational and irrational number is always irrational.

 
 
 
 
 

Determine whether the simplified expression is rational or irrational: −18 − 4 ( 5 ) ( −1 ) ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ √ .

 
 
 
 
 

Determine whether the simplified expression is rational or irrational: −16 + 4 ( 5 ) + 5 ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ ‾ √ .

 
 
 
 
 

The division of two whole numbers will always result in what type of number?

 
 
 
 
 

What property of real numbers would simplify the following expression: 4 + 7 ( x − 1 ) ?

 
 
 

Glossary

 
     
algebraic expression
     
constants and variables combined using addition, subtraction, multiplication, and division
 
 
     
associative property of addition
     
the sum of three numbers may be grouped differently without affecting the result; in symbols, a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
 
 
     
associative property of multiplication
     
the product of three numbers may be grouped differently without affecting the result; in symbols, a ⋅ ( b ⋅ c ) = ( a ⋅ b ) ⋅ c
 
 
     
base
     
in exponential notation, the expression that is being multiplied
 
 
     
commutative property of addition
     
two numbers may be added in either order without affecting the result; in symbols, a + b = b + a
 
 
     
commutative property of multiplication
     
two numbers may be multiplied in any order without affecting the result; in symbols, a ⋅ b = b ⋅ a
 
 
     
constant
     
a quantity that does not change value
 
 
     
distributive property
     
the product of a factor times a sum is the sum of the factor times each term in the sum; in symbols, a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c
 
 
     
equation
     
a mathematical statement indicating that two expressions are equal
 
 
     
exponent
     
in exponential notation, the raised number or variable that indicates how many times the base is being multiplied
 
 
     
exponential notation
     
a shorthand method of writing products of the same factor
 
 
     
formula
     
an equation expressing a relationship between constant and variable quantities
 
 
     
identity property of addition
     
there is a unique number, called the additive identity, 0, which, when added to a number, results in the original number; in symbols, a + 0 = a
 
 
     
identity property of multiplication
     
there is a unique number, called the multiplicative identity, 1, which, when multiplied by a number, results in the original number; in symbols, a ⋅ 1 = a
 
 
     
integers
     
the set consisting of the natural numbers, their opposites, and 0: { … , −3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3 ,… }
 
 
     
inverse property of addition
     
for every real number a , there is a unique number, called the additive inverse (or opposite), denoted − a , which, when added to the original number, results in the additive identity, 0; in symbols, a + ( − a ) = 0
 
 
     
inverse property of multiplication
     
for every non-zero real number a , there is a unique number, called the multiplicative inverse (or reciprocal), denoted 1 a , which, when multiplied by the original number, results in the multiplicative identity, 1; in symbols, a ⋅ 1 a = 1
 
 
     
irrational numbers
     
the set of all numbers that are not rational; they cannot be written as either a terminating or repeating decimal; they cannot be expressed as a fraction of two integers
 
 
     
natural numbers
     
the set of counting numbers: { 1 , 2 , 3 ,… }
 
 
     
order of operations
     
a set of rules governing how mathematical expressions are to be evaluated, assigning priorities to operations
 
 
     
rational numbers
     
the set of all numbers of the form m n , where m and n [1945 9021] are integers and n ≠ 0. Any rational number may be written as a fraction or a terminating or repeating decimal.
 
 
     
real number line
     
a horizontal line used to represent the real numbers. An arbitrary fixed point is chosen to represent 0; positive numbers lie to the right of 0 and negative numbers to the left.
 
 
     
real numbers
     
the sets of rational numbers and irrational numbers taken together
 
 
     
variable
     
a quantity that may change value
 
 
     
whole numbers
     
the set consisting of 0 plus the natural numbers: { 0 , 1 , 2 , 3 ,… }
 
 
                                  
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antonio1095

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