1.2: Operaciones con números reales

Trabajando con números reales

En esta sección, continuamos revisando las propiedades de los números reales y sus operaciones. El resultado de sumar números reales se llama suma ⁵³ y el resultado de restar se llama diferencia ⁵⁴ . Dados los números reales a , b y c , tenemos las siguientes propiedades de adición:

Propiedad de identidad aditiva : ⁵⁵	a + 0 = 0 + a = a
Propiedad inversa aditiva : ⁵⁶	a + (- a) = (- a) + a = 0
Propiedad asociativa : ⁵⁷	(a + b) + c = a + (b + c)
Propiedad conmutativa : ⁵⁸	a + b = b + a

Tabla 1.2.1

Es importante tener en cuenta que la suma es conmutativa y la resta no lo es. En otras palabras, el orden en el que agregamos no importa y dará el mismo resultado. Sin embargo, esto no es cierto para la resta.

(5 + 10 = 10 + 5 ) (5−10 ≠ 10−5 )

(15 = 15 ) (- 5 ≠ 5 )

Utilizamos estas propiedades, junto con la propiedad doble negativa para números reales, para realizar operaciones secuenciales más complicadas. Para simplificar las cosas, haga una regla general reemplazar primero todas las operaciones secuenciales con sumas o restas y luego realice cada operación en orden de izquierda a derecha.

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

Simplifica: (- 10 – (- 10) + (- 5) ).

Solución

Reemplace las operaciones secuenciales y luego realice de izquierda a derecha.

(- 10 – (- 10) + (- 5) = – 10 + 10−5 ) ( color {Cerulean} {Reemplazar – (-) con la suma (+)} ).

( color {Cerulean} {Reemplazar + (-) con resta (-).} )

(= 0−5 )

(= – 5 )

Respuesta

(- 5 )

Sumar o restar fracciones requiere un denominador común ⁵⁹ . Suponga que el denominador común c es un entero distinto de cero y tenemos

( frac {a} {c} + frac {b} {c} = frac {a + b} {c} ) y ( frac {a} {c} – frac { b} {c} = frac {a − b} {c} )

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

Simplifique: ( frac {2} {9} – frac {1} {15} + frac {8} {45} ).

Solución

Primero determine el mínimo común múltiplo (LCM) de (9, 15 y 45 ). El mínimo común múltiplo de todos los denominadores se llama mínimo común denominador ⁶⁰ (LCD). Comenzamos enumerando los múltiplos de cada denominador dado:

( {9,18,27,36,45,54,63,72,81,90, dots } ) ( color {Cerulean} {Múltiplos de 9} )

( {15,30,45,60,75,90, dots } ) ( color {Cerulean} {Múltiplos de 15} )

( {45,90,135 dots } ) ( color {Cerulean} {Múltiplos de : 45} )

Aquí vemos que el MCM ((9, 15, 45) = 45 ). Multiplique el numerador y el denominador de cada fracción por valores que den como resultado fracciones equivalentes con el denominador común determinado.

( frac {2} {9} – frac {1} {15} + frac {8} {45} = frac {2} {9} ⋅ color {Cerulean} { frac { 5} {5}} ) (- frac {1} {15} ⋅ color {Cerulean} { frac {3} {3}} ) (+ frac {8} {45} )

(= frac {10} {45} – frac {3} {45} + frac {8} {45} )

Una vez que tenemos fracciones equivalentes, con un denominador común, podemos realizar las operaciones en los numeradores y escribir el resultado sobre el denominador común.

(= frac {10−3 + 8} {45} )

(= frac {15} {45} )

Y luego reducir si es necesario,

(= frac {15 color {Cerulean} {÷ 15}} {45 color {Cerulean} {÷ 15}} )

(= frac {1} {3} )

Respuesta

( frac {1} {3} )

Encontrar el LCM usando listas de múltiplos, como se describe en el ejemplo anterior, a menudo es muy engorroso. Por ejemplo, intente hacer una lista de múltiplos para (12 ) y (81 ). Podemos simplificar el proceso de encontrar el MCM utilizando factores primos.

(12 = 2 ^ {2} ⋅3 )

(81 = 3 ^ {4} )

El mínimo común múltiplo es el producto de cada factor primo elevado a la potencia más alta. En este caso,

(LCM (12,81) = 2 ^ {2} ⋅3 ^ {4} = 324 )

A menudo encontraremos la necesidad de traducir oraciones en inglés que involucren sumas y restas a enunciados matemáticos. A continuación hay algunas traducciones comunes.

(n + 2 color {Cerulean} {The : sum : of : a : number : and : 2.} )

(2 − n color {Cerulean} {La : diferencia : de : 2 : y : a : número.} )

(n − 2 color {Cerulean} {Aquí : 2 : is : substracted : from : a : number.} )

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

¿Qué se resta (8 ) de la suma de (3 ) y ( frac {1} {2} )?

Solución

Sabemos que la resta no es conmutativa; por lo tanto, debemos tener cuidado de restar en el orden correcto. Primero, agregue (3 ) y ( frac {1} {2} ) y luego reste (8 ) de la siguiente manera:

Realice las operaciones indicadas.

((3+ frac {1} {2}) – 8 = ( frac {3} {1} ⋅ color {Cerulean} { frac {2} {2}} ) (+ frac {1} {2}) – 8 )

(= ( frac {6 + 1} {2}) – 8 )

(= frac {7} {2} – frac {8} {1} ⋅ color {Cerulean} { frac {2} {2}} )

(= frac {7−16} {2} )

(= – frac {9} {2} )

Respuesta

(- frac {9} {2} )

El resultado de multiplicar números reales se llama producto ⁶¹ y el resultado de dividir se llama cociente ⁶² . Dados los números reales a , b y c , tenemos las siguientes propiedades de multiplicación:

Propiedad de factor cero : ⁶³	a⋅0 = 0⋅a = 0
Propiedad de identidad multiplicativa : ⁶⁴	a⋅1 = 1⋅a = a
Propiedad asociativa : ⁶⁵	(a⋅b) ⋅c = a⋅ (b⋅c)
Propiedad conmutativa : ⁶⁶	a⋅b = b⋅a

Tabla 1.2.2

Es importante tener en cuenta que la multiplicación es conmutativa y la división no. En otras palabras, el orden en que multiplicamos no importa y dará el mismo resultado. Sin embargo, esto no es cierto para la división.

(5⋅10 = 10⋅5 ) (5 ÷ 10 ≠ 10 ÷ 5 )

(50 = 50 ) (0.5 ≠ 2 )

Utilizaremos estas propiedades para realizar operaciones secuenciales que impliquen multiplicación y división. Recuerde que el producto de un número positivo y un número negativo es negativo. Además, el producto de dos números negativos es positivo.

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

Multiplicar: 5 (−3) (- 2) (- 4).

Solución

Multiplica dos números a la vez de la siguiente manera:

Respuesta

(- 120 )

Debido a que la multiplicación es conmutativa, el orden en que multiplicamos no afecta la respuesta final. Sin embargo, cuando las operaciones secuenciales implican multiplicación y división, el orden sí importa; por lo tanto, debemos trabajar las operaciones de de izquierda a derecha para obtener un resultado correcto.

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

Simplifica: 10 ÷ (−2) (- 5).

Solución

Realice la división primero; de lo contrario, el resultado será incorrecto.

Observe que el orden en que multiplicamos y dividimos afecta el resultado. Por lo tanto, es importante realizar las operaciones de multiplicación y división a medida que aparecen de izquierda a derecha.

Respuesta

(25 )

El producto de dos fracciones es la fracción formada por el producto de los numeradores y el producto de los denominadores. En otras palabras, para multiplicar fracciones, multiplica los numeradores y multiplica los denominadores:

( frac {a} {b} ⋅ frac {c} {d} = frac {ac} {bd} )

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

Multiplicar (- frac {4} {5} ⋅ frac {25} {12} ).

Solución

Multiplica los numeradores y multiplica los denominadores. Reduzca dividiendo cualquier factor común.

Respuesta :

(- frac {5} {3} )

Dos números reales cuyo producto es (1 ) se denominan recíprocos ⁶⁷ . Por lo tanto, ( frac {a} {b} ) y ( frac {b} {a} ) son recíprocos porque ( frac {a} {b} ⋅ frac {b} {a} = frac {ab} {ab} = 1 ). Por ejemplo,

( frac {2} {3} ⋅ frac {3} {2} = frac {6} {6} = 1 )

Debido a que su producto es (1, frac {2} {3} ) y ( frac {3} {2} ) son recíprocos. Algunos otros recíprocos se enumeran a continuación:

( frac {5} {8} ) y ( frac {8} {5} ) (7 ) y ( frac {1} {7} ) (- frac {4} {5} ) y (- frac {5} {4} )

Esta definición es importante porque dividir fracciones requiere que multiplique el dividendo por el recíproco del divisor.

( frac {a} {b} ÷ color {Cerulean} { frac {c} {d}} ) (= frac { frac {a} {b}} { frac { c} {d}} cdot color {OliveGreen} { frac { frac {d} {c}} { frac {d} {c}}} ) (= frac { frac {a} {b} cdot frac {d} {c}} {1} = frac {a} {b} cdot color {Cerulean} { frac {d} {c}} )

En general,

( frac {a} {b} div color {Cerulean} { frac {c} {d}} ) (= frac {a} {b} cdot color {Cerulean} { frac {d} {c}} ) (= frac {ad} {bc} )

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

Simplifique: ( frac {5} {4} ÷ frac {3} {5} ⋅ frac {1} {2} ).

Solución

Realiza la multiplicación y división de izquierda a derecha.

( frac {5} {4} ÷ color {Cerulean} { frac {3} {5}} ) (⋅ frac {1} {2} = frac {5} {4 } ⋅ color {Cerulean} { frac {5} {3}} ) (⋅ frac {1} {2} )

(= frac {5⋅5⋅1} {4⋅3⋅2} )

(= frac {25} {24} )

En álgebra, a menudo es preferible trabajar con fracciones impropias. En este caso, dejamos la respuesta expresada como una fracción impropia.

Respuesta

( frac {25} {24} )

Agrupación de símbolos y exponentes

En un cálculo en el que está involucrada más de una operación, los símbolos de agrupación nos ayudan a decir qué operaciones realizar primero. Los símbolos de agrupación ⁶⁸ comúnmente utilizados en álgebra son:

(() ) ( color {Cerulean} {Paréntesis} )

([] ) ( color {Cerulean} {Brackets} )

( {} ) ( color {Cerulean} {Braces} )

(- ) ( color {Cerulean} {Fraction : bar} )

Todos los símbolos de agrupación anteriores, así como el valor absoluto, tienen el mismo orden de precedencia. Realice primero las operaciones dentro del símbolo de agrupación más interno o el valor absoluto.

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

Simplifique: (2 – ( frac {4} {5} – frac {2} {15}) ).

Solución

Realice primero las operaciones entre paréntesis.

(2 – ( frac {4} {5} – frac {2} {15}) = 2 – ( frac {4} {5} ⋅ color {Cerulean} { frac {3} {3}} ) (- frac {2} {15}) )

(= 2 – ( frac {12} {15} – frac {2} {15}) )

(= 2 – ( frac {10} {15}) )

(= frac {2} {1} ⋅ color {Cerulean} { frac {3} {3}} ) (- frac {2} {3} )

(= frac {6-2} {3} )

(= frac {4} {3} )

Respuesta :

( frac {4} {3} )

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

Simplifique: ( frac {5 – | 4 – (- 3) |} {| – 3 | – (5 – 7)} ).

Solución

La barra de fracción agrupa el numerador y el denominador. Por lo tanto, deben simplificarse por separado.

( frac {5 – | 4 – (- 3) |} {| – 3 | – (5 – 7)} = frac {5 – | 4 + 3 |} {| – 3 | – ( – 2)} )

(= frac {5 – | 7 |} {| – 3 | + 2} )

(= frac {5 – 7} {3 + 2} )

(= frac {- 2} {5} )

(= – frac {2} {5} )

Respuesta :

(- frac {2} {5} )

Si un número se repite como factor varias veces, entonces podemos escribir el producto en una forma más compacta usando notación exponencial ⁶⁹ . Por ejemplo,

(5⋅5⋅5⋅5 = 54 )

La base ⁷⁰ es el factor y el entero positivo exponente ⁷¹ [194590010] [194590010] [194590010] [194590010] ] indica el número de veces que la base se repite como factor. En el ejemplo anterior, la base es (5 ) y el exponente es (4 ). Los exponentes a veces se indican con el símbolo de intercalación (^) que se encuentra en el teclado, (5 ^ 4 = 5 * 5 * 5 * 5 ). En general, si a es la base que se repite como factor n veces, entonces

Cuando el exponente es (2 ) llamamos al resultado un cuadrado ⁷² , y cuando el exponente es (3 ) llamamos el resultado es un cubo ⁷³ . Por ejemplo,

(5 ^ {2} = 5⋅5 = 25 ) ( color {Cerulean} {“5 : cuadrado”} )

(5 ^ {3} = 5⋅5⋅5 = 125 ) ( color {Cerulean} {“5 : cubed”} )

Si el exponente es mayor que (3 ), entonces se lee la notación (a ^ {n} ), “ a elevado a la enésima potencia “. La base puede ser cualquier número real,

((2.5) ^ {2} = (2.5) (2.5) = 6.25 )

((- frac {2} {3}) ^ {3} = (- frac {2} {3}) (- frac {2} {3}) (- frac {2} {3}) = – frac {8} {27} )

((- 2) ^ 4 = (- 2) (- 2) (- 2) (- 2) = 16 )

(- 2 ^ {4} = – 1⋅2⋅2⋅2⋅2 = −16 )

Observe que el resultado de una base negativa con un exponente par es positivo. El resultado de una base negativa con un exponente impar es negativo. Estos hechos a menudo se confunden cuando se trata de números negativos. Estudie los siguientes cuatro ejemplos cuidadosamente:

*La base es ((- 3) ).*	*La base es (3 ).*
((- 3) ^ {4} = (- 3) (- 3) (- 3) (- 3) = + 81 ) ((- 3) ^ {3} = (- 3) (- 3) (- 3) = – 27 )	(- 3 ^ {4} = – 1⋅3⋅3⋅3⋅3 = −81 ) (- 3 ^ {3} = – 1⋅3⋅3⋅3 = −27 )

La base es ((- 3) ).

La base es (3 ).

((- 3) ^ {4} = (- 3) (- 3) (- 3) (- 3) = + 81 )

((- 3) ^ {3} = (- 3) (- 3) (- 3) = – 27 )

(- 3 ^ {4} = – 1⋅3⋅3⋅3⋅3 = −81 )

(- 3 ^ {3} = – 1⋅3⋅3⋅3 = −27 )

Tabla 1.2.3

Los paréntesis indican que el número negativo se utilizará como base.

Ejemplo ( PageIndex {10} ):

Calcular:

((- frac {1} {3}) ^ {3} )
((- frac {1} {3}) ^ {4} )

Solución

Aquí (- frac {1} {3} ) es la base de ambos problemas.

1.Utilice la base como factor tres veces.

((- frac {1} {3}) ^ {3} = (- frac {1} {3}) (- frac {1} {3}) (- frac {1} {3}) )

(= – frac {1} {27} )

2.Utilice la base como factor cuatro veces.

((- frac {1} {3}) ^ {4} = (- frac {1} {3}) (- frac {1} {3}) (- frac {1} {3}) (- frac {1} {3})

(= + frac {1} {81} )

Respuestas :

– ( frac {12} {7} )
( frac {1} {81} )

Notas a pie de página

⁵³ El resultado de sumar.

⁵⁴ El resultado de la resta.

⁵⁵ Dado cualquier número real (a, a + 0 = 0 + a = a ).

⁵⁶ Dado cualquier número real (a, a + (−a) = (−a) + a = 0 ).

⁵⁷ Dados los números reales (a, b ) y (c, (a + b) + c = a + (b + c) ).

⁵⁸ Dados los números reales (a ) y (b ), (a + b = b + a ).

⁵⁹ Un denominador compartido por más de una fracción.

⁶⁰ El mínimo común múltiplo de un conjunto de denominadores.

⁶¹ El resultado de la multiplicación.

⁶² El resultado de dividir.

⁶³ Dado cualquier número real (a, a ⋅ 0 = 0 ⋅ a = 0. )

⁶⁴ Dado cualquier número real (a, a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a. )

⁶⁵ Dados los números reales (a, b ) y (c, (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c). )

⁶⁶ Dados los números reales (a ) y (b, a ⋅ b = b ⋅ a. )

⁶⁷ Dos números reales cuyo producto es (1 ).

⁶⁸ Los paréntesis, corchetes, llaves y la barra de fracción son los símbolos comunes utilizados para agrupar expresiones y operaciones matemáticas dentro de un cálculo.

⁶⁹ La notación compacta (a ^ {n} ) utilizada cuando un factor (a ) se repite (n ) veces.

⁷⁰ El factor (a ) en la notación exponencial (a ^ {n} ).

⁷¹ El entero positivo (n ) en la notación exponencial (a ^ {n} ) que indica el número de veces que la base se usa como factor .

⁷² El resultado cuando el exponente de cualquier número real es (2 ).

⁷³ El resultado cuando el exponente de cualquier número real es (3 ).

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Trabajando con números reales

Agrupación de símbolos y exponentes

Notas a pie de página

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