En esta sección, revisamos las habilidades para resolver ecuaciones que son un requisito previo para completar con éxito el material de este texto. Antes de enumerar las herramientas utilizadas en el proceso de resolución de ecuaciones, asegurémonos de comprender lo que significa la frase “resolver para x”.
Resuelve para x.
Utilizando las propiedades que proporcionamos, debe “aislar x” para que su solución final tome la forma
[ text {x = “Cosas”,} ]
donde “Cosas” puede ser una expresión que contiene números, constantes, otras variables y operadores matemáticos como suma, resta, multiplicación, división, raíz cuadrada y similares.
“Cosas” puede incluso contener otras funciones matemáticas, como exponenciales, logaritmos o funciones trigonométricas. Sin embargo, es esencial que comprenda que hay una cosa que “Cosas” no debe contener, y esa es la variable que está resolviendo, en este caso, x. Entonces, en cierto sentido, desea aislar x en un lado de la ecuación y poner todas las demás “Cosas” en el otro lado de la ecuación.
Ahora, proporcionemos las herramientas para ayudarlo con esta tarea.
Propiedad 1.
Sea ayb cualquier número tal que a = b. Entonces, si c es cualquier número,
[a + c = b + c ]
y,
[a-c = b-c ]
En palabras, la primera de estas herramientas nos permite agregar la misma cantidad a ambos lados de una ecuación sin afectar la igualdad. La segunda afirmación nos dice que podemos restar la misma cantidad de ambos lados de una ecuación y aún así tener igualdad.
Veamos un ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {1} )
Resuelve la ecuación (x + 5 = 7 ) para (x ).
Solución
El objetivo es “aislar x en un lado de la ecuación. Para ese fin, restemos 5 de ambos lados de la ecuación, luego simplifiquemos.
[ begin {alineado} x + 5 & = 7 \ x + 5-5 & = 7-5 \ x & = 2 end {alineado} ]
Es importante verificar su solución mostrando que x = 2 “satisface” la ecuación original. Para ese fin, sustituya x = 2 en la ecuación original y simplifique ambos lados del resultado.
[ begin {alineado} x + 5 & = 7 \ 2 + 5 & = 7 \ 7 & = 7 end {alineado} ]
Esta última declaración (es decir, 7 = 7) es una declaración verdadera, entonces x = 2 es una solución de la ecuación x + 5 = 7.
Un concepto importante es la idea de ecuaciones equivalentes.
Ecuaciones equivalentes.
Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si y solo si tienen el mismo conjunto de soluciones. Es decir, dos ecuaciones son equivalentes si cada una de las soluciones de la primera ecuación es también una solución de la segunda ecuación, y viceversa.
Por lo tanto, en el Ejemplo ( PageIndex {1} ), las ecuaciones x + 5 = 7 yx = 2 son equivalentes, porque ambas tienen el mismo conjunto de soluciones {2}. No es casualidad que las herramientas de la Propiedad 1 produzcan ecuaciones equivalentes. Cada vez que agrega la misma cantidad a ambos lados de una ecuación, la ecuación resultante es equivalente a la ecuación original (tienen el mismo conjunto de soluciones). Esto también es cierto para la resta. Cuando resta la misma cantidad de ambos lados de una ecuación, la ecuación resultante tiene las mismas soluciones que la ecuación original.
Veamos otro ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {2} )
Resuelve la ecuación x – 7 = 12 para x.
Solución
Queremos “aislar x” en un lado de la ecuación, por lo que agregamos 7 a ambos lados de la ecuación y simplificamos.
[ begin {alineado} x-7 & = 12 \ x-7 + 7 & = 12 + 7 \ x & = 19 end {alineado} ]
Dejaremos que nuestros lectores verifiquen que x = 19 es una solución de x – 7 = 12.
Hagamos una pausa por un momento y definamos qué significa un monomio.
Definición 4
Un monomio es una expresión algebraica que es el producto de un número y cero o más variables, cada una elevada a un exponente arbitrario.
Ejemplos de monomios son:
[3 x ^ {2}, quad text {o} quad-4 ab ^ {2}, quad text {o} quad 25 x ^ {3} y ^ {5}, quad text {o} quad 17, quad text {o} quad-11 x ]
Los monomios se conocen comúnmente como “términos”. A menudo usamos expresiones algebraicas que son la suma de dos o más términos. Por ejemplo, la expresión
[3 x ^ {3} +2 x ^ {2} -7 x + 8 quad text {o equivalente} quad 3 x ^ {3} +2 x ^ {2} + (- 7 x) +8 ]
es la suma de cuatro términos, a saber, (3 x ^ {3}, 2 x ^ {2}, – 7 x, text {y} 8 ). Tenga en cuenta que los términos son aquellas partes de la expresión que están separadas por símbolos de suma.
Algunos matemáticos prefieren usar la palabra “término” de una manera más relajada, simplemente afirmando que los términos de una expresión algebraica son aquellos componentes de la expresión que están separados por símbolos de suma. Por ejemplo, los términos de la expresión
[3 x ^ {2} – frac {1} {x} + frac {2 x ^ {2}} {x + 3} quad text {o equivalente}} quad 3 x ^ { 2} + left (- frac {1} {x} right) + frac {2 x ^ {2}} {x + 3} ]
son (3 x ^ {2}, – 1 / x, ) y 2 (x ^ {2} / (x + 3) ). Este es el significado que usaremos en este texto.
Habiendo definido lo que se entiende por “término”, volvamos a nuestra discusión sobre la resolución de ecuaciones.
Ejemplo ( PageIndex {3} )
Resuelve la ecuación 3x – 3 = 2x + 4 para x.
Solución
Aislaremos todos los términos que contengan una x en el lado izquierdo de esta ecuación (también podríamos haber elegido aislar los términos que contienen x en el lado derecho de la ecuación). Para este fin, no queremos el −3 en el lado izquierdo de la ecuación (lo queremos en el derecho), por lo que agregamos 3 a ambos lados de la ecuación y simplificamos.
[ begin {alineado} 3 x-3 & = 2 x + 4 \ 3 x-3 + 3 & = 2 x + 4 + 3 \ 3 x & = 2 x + 7 end {alineado } ]
Recuerde que hemos elegido aislar todos los términos que contienen x en el lado izquierdo de la ecuación. Entonces, para nuestro próximo paso, elegimos restar 2x de ambos lados de la ecuación (esto lo “moverá” de derecha a izquierda), luego simplificaremos.
[ begin {alineado} 3 x & = 2 x + 7 \ 3 x-2 x & = 2 x + 7-2 x \ x & = 7 end {alineado} ]
Para verificar la solución, sustituya x = 7 en la ecuación original para obtener
[ begin {alineado} 3 x-3 & = 2 x + 4 \ 3 (7) -3 & = 2 (7) +4 \ 21-3 & = 14 + 4 \ 18 & = 18 end {alineado} ]
La última línea es una declaración verdadera, entonces x = 7 verifica y es una solución de 3x – 3 = 2x + 4.
Si usa la técnica del Ejemplo ( PageIndex {3} ) repetidamente, llega un punto en el que se cansa de mostrar la suma o resta de la misma cantidad en ambos lados de su ecuación. Aquí hay una herramienta que, si se usa con cuidado, simplificará enormemente su trabajo.
Atajo útil
Cuando mueve un término de un lado de una ecuación al otro, es decir, cuando mueve un término de un lado del signo igual al otro lado, simplemente cambie su signo.
Veamos cómo aplicaríamos este acceso directo a la ecuación del Ejemplo ( PageIndex {3} ). Comience con la ecuación original,
[3 x-3 = 2 x + 4 ]
luego mueva todos los términos que contengan una x al lado izquierdo de la ecuación, y mueva todos los demás términos al lado derecho de la ecuación. Recuerde cambiar el signo de un término si se mueve de un lado del signo igual al otro. Si un término no se mueve de un lado de la ecuación al otro, deje solo su signo. El resultado sería
[3 x-2 x = 4 + 3 ]
Por lo tanto, x = 7 y ya está.
Es importante tener en cuenta que cuando movemos el −3 del lado izquierdo de la ecuación anterior al lado derecho de la ecuación y cambiamos su signo, lo que en realidad estamos haciendo es sumar 3 a ambos lados de la ecuación. Una declaración similar explica que moverse 2x del lado derecho al lado izquierdo y cambiar su signo es simplemente un atajo para restar 2x de ambos lados de la ecuación.
Aquí hay dos herramientas más útiles para resolver ecuaciones.
Propiedad 6
Sea ayb cualquier número tal que a = b. Entonces, si c es cualquier número distinto de cero,
[ac = bc ]
Si c es cualquier número distinto de cero, entonces
[ frac {a} {c} = frac {b} {c} ]
En palabras, la primera de estas herramientas nos permite multiplicar ambos lados de una ecuación por el mismo número. Una declaración similar es válida para la división, siempre que no dividamos por cero (la división por cero no tiene sentido). Ambas herramientas producen ecuaciones equivalentes.
Veamos un ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {4} )
Resuelve la ecuación 5x = 15 para x.
Solución
En este caso, solo un término contiene la variable x y este término ya está aislado en un lado de la ecuación. Dividiremos ambos lados de esta ecuación por 5, luego simplificaremos, obteniendo
[ begin {alineado} 5 x & = 15 \ frac {5 x} {5} & = frac {15} {5} \ x & = 3 end {alineado} ] [ 19459002]
Dejaremos que nuestros lectores verifiquen esta solución.
Ejemplo ( PageIndex {5} )
Resuelve la ecuación x / 2 = 7 para x
Solución
Nuevamente, solo hay un término que contiene x y ya está aislado en un lado de la ecuación. Multiplicaremos ambos lados de la ecuación por 2, luego simplificaremos, obteniendo
[ begin {alineado} frac {x} {2} & = 7 \ 2 left ( frac {x} {2} right) & = 2 (7) \ x & = 14 end {alineado} ]
Nuevamente, dejaremos que nuestros lectores verifiquen esta solución.
Apliquemos todo lo que hemos aprendido en el siguiente ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {6} )
Resuelve la ecuación 7x – 4 = 5 – 3x para x.
Solución
Tenga en cuenta que tenemos términos que contienen x en ambos lados de la ecuación. Por lo tanto, el primer paso es aislar los términos que contienen x en un lado de la ecuación (izquierda o derecha, a su elección) .3 Moviremos los términos que contienen x al lado izquierdo de la ecuación, todo lo demás se moverá a la lado derecho de la ecuación. Recuerde la regla, si un término se mueve de un lado del signo igual al otro, cambie el signo del término que está moviendo. Por lo tanto,
[ begin {alineado} 7 x-4 & = 5-3 x \ 7 x + 3 x & = 5 + 4 end {alineado} ]
Simplificar
[10 x = 9 ]
Divide ambos lados de este último resultado entre 10.
[ begin {alineado} 10 x & = 9 \ frac {10 x} {10} & = frac {9} {10} \ x & = frac {9} {10} final {alineado} ]
Para verificar esta solución, sustituya x = 9/10 en ambos lados de la ecuación original y simplifique.
[ begin {alineado} 7 x-4 & = 5-3 x \ 7 left ( frac {9} {10} right) -4 & = 5-3 left ( frac { 9} {10} right) \ frac {63} {10} -4 & = 5- frac {27} {10} end {alineado} ]
Necesitaremos un denominador común para verificar que nuestra solución sea correcta. Es decir,
[ begin {alineado} frac {63} {10} – frac {40} {10} & = frac {50} {10} – frac {27} {10} \ frac {23} {10} & = frac {23} {10} end {alineado} ]
Por lo tanto, x = 9/10 comprueba y es una solución de 7x – 4 = 5 – 3x.
Tenga en cuenta que la verificación a veces puede ser más difícil que resolver la ecuación. Esta es una de las razones por las que tendemos a ser flojos y no verificamos nuestras soluciones. Sin embargo, no deberíamos necesitar decirle lo que probablemente sucederá si no verifica su trabajo.
Hay una solución alternativa que implica el uso de la calculadora gráfica. Primero almacenamos la solución para x en nuestra calculadora, luego calculamos cada lado de la ecuación original y comparamos los resultados.
1. Ingrese 9/10 en la ventana de su calculadora, luego
2. presione la tecla STO ( blacktriangleright ), luego
3. presione la tecla X seguida de la tecla ENTER.
El resultado se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ) (a).
Ahora que hemos almacenado x = 9/10 en la memoria de la calculadora, evaluemos cada lado de la ecuación 7x – 4 = 5 – 3x a este valor de x. Ingrese 7 * X-4 en su calculadora y presione ENTER. El resultado se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ) (b), donde vemos que 7x – 4, evaluado en x = 9/10, es igual a 2.3.
Luego, ingrese 5-3 * X y presione ENTER. El resultado se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ) (c), donde vemos que 5 – 3x, evaluado en x = 9/10, también es igual a 2.3 (por cierto, esto es equivalente a 23 / 10 que encontramos en nuestro cheque de mano arriba).
Debido a que las expresiones en cada lado de la ecuación son iguales cuando x = 9/10 (ambas equivalen a 2.3), la solución verifica.
Si necesita resolver una ecuación que contiene fracciones, una estrategia muy útil es borrar las ecuaciones de fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador.
Ejemplo ( PageIndex {7} )
Resuelve la ecuación [ frac {2} {3} x- frac {3} {4} = frac {1} {4} – frac {3} {2} x ] para x.
Solución
El mínimo común denominador es 12, por lo que multiplicamos ambos lados de esta ecuación por 12.
[12 left ( frac {2} {3} x- frac {3} {4} right) = 12 left ( frac {1} {4} – frac {3} { 2} x derecha) ]
Distribuya los 12 y simplifique.
[ begin {alineado} 12 left ( frac {2} {3} x right) -12 left ( frac {3} {4} right) & = 12 left ( frac {1} {4} right) -12 left ( frac {3} {2} x right) \ 8 x-9 & = 3-18 x end {alineado} ]
Mueve todos los términos que contengan x al lado izquierdo de la ecuación, todo lo demás a la derecha, luego simplifica.
[ begin {alineado} 8 x + 18 x & = 3 + 9 \ 26 x & = 12 end {alineado} ]
Divide ambos lados de este último resultado entre 26 y simplifica (siempre reduce a los términos más bajos; en este caso, podemos dividir el numerador y el denominador entre 2).
[ begin {alineado} frac {26 x} {26} & = frac {12} {26} \ x & = frac {6} {13} end {alineado} ] [ 19459002]
Dejamos a nuestros lectores que verifiquen esta solución. Use su calculadora gráfica como se muestra en el Ejemplo ( PageIndex {6} ).
Puede borrar decimales de una ecuación multiplicando por la potencia apropiada de 10.
Ejemplo ( PageIndex {8} )
Resuelve la ecuación 1.23x – 5.46 = 3.72x para x.
Solución
Multiplicamos ambos lados de esta ecuación por 100, que mueve el decimal dos lugares a la derecha, lo cual es suficiente para eliminar los decimales de este problema.
[100 (1.23 x-5.46) = 100 (3.72 x) ]
Distribuir y simplificar.
[ begin {alineado} 100 (1.23 x) -100 (5.46) & = 100 (3.72 x) \ 123 x-546 & = 372 x end {alineado} ]
Mueve cada término que contenga una x al lado derecho de la ecuación (la primera vez que elegimos hacer esto, evita un signo negativo en el coeficiente de x) y simplifica.
[ begin {array} {l} {- 546 = 372 x-123 x} \ {-546 = 249 x} end {array} ]
Divide ambos lados de la ecuación entre 249 y simplifica (en este caso podemos reducir, dividiendo el numerador y el denominador entre 3).
[ begin {array} {l} { frac {-546} {249} = frac {249 x} {249}} \ {- frac {182} {83} = x} end {array} ]
Reescribe tu respuesta, colocando x en el lado izquierdo de la ecuación.
[x = – frac {182} {83} ]
Verifique su resultado con su calculadora. Es importante asegurarse de que siempre use el problema original cuando verifique su resultado. Los pasos se muestran en la Figura ( PageIndex {2} ) (a), (b) y (c).
Fórmulas
La ciencia está llena de fórmulas que involucran más de una variable y varias constantes. En química y física, el instructor esperará que pueda manipular estas ecuaciones, resolviendo una variable o constante en términos de las demás en la ecuación.
No hay nada nuevo que decir aquí, ya que debes seguir las mismas reglas que hemos dado hasta ahora cuando la única variable era x. Sin embargo, los estudiantes generalmente encuentran esto un poco intimidante debido a la presencia de múltiples variables y constantes, así que tomemos nuestro tiempo y veamos algunos ejemplos.
Ejemplo ( PageIndex {9} )
A Isaac Newton se le atribuye la fórmula que determina la magnitud F de la fuerza de atracción entre dos planetas. La fórmula es
[F = frac {G m M} {r ^ {2}} ]
donde m es la masa del planeta más pequeño, M es la masa del planeta más grande, r es la distancia entre los dos planetas y G es una constante gravitacional universal. Resuelve esta ecuación para G.
Solución
Primero, una palabra de precaución.
Advertencia: Al usar fórmulas de la ciencia, nunca cambie el caso de una variable o constante. Si es mayúscula, escríbala en mayúscula en su tarea. La misma directiva se aplica si la variable o constante se presenta en minúsculas. Escríbelo en minúscula en tu tarea.
Esta ecuación tiene fracciones, por lo que comenzaremos multiplicando ambos lados de la ecuación por el denominador común, que en este caso es (r ^ 2 ).
[r ^ {2} (F) = r ^ {2} left ( frac {G m M} {r ^ {2}} right) ]
Esto nos da
[r ^ {2} F = G m M ]
En este caso, solo hay un término con G, y ese término ya está aislado en un lado de la ecuación. El siguiente paso es dividir ambos lados de la ecuación por el coeficiente de G, luego simplificar
[ begin {alineado} frac {r ^ {2} F} {m M} & = frac {G m M} {m M} \ frac {r ^ {2} F} { m M} & = G end {alineado} ]
Por lo tanto,
[G = frac {r ^ {2} F} {m M} ]
Tenga en cuenta que tenemos G = “Stuff”, y lo más importante, “Stuff” no tiene presencia de la variable G. Esto es lo que significa “resolver para G.”
Veamos un ejemplo final.
Ejemplo ( PageIndex {10} )
El agua se congela a (0 ^ { circ} ) Celsius y hierve a (100 ^ { circ} ) Celsius. Los estadounidenses probablemente estén más familiarizados con la temperatura Fahrenheit, donde el agua se congela a (32 ^ { circ} ) Fahrenheit y hierve a (212 ^ { circ} ) Fahrenheit. La fórmula para convertir la temperatura C en grados Celsius en la temperatura F en Fahrenheit es
[ (F = frac {9} {5} C + 32 ) ]
Resuelve esta ecuación para C.
Solución
Una vez más, la ecuación tiene fracciones, por lo que nuestro primer movimiento será eliminar las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el denominador común (5 en este caso).
[ begin {alineado} 5 F & = 5 left ( frac {9} {5} C + 32 right) \ 5 F & = 5 left ( frac {9} {5} C right) +5 (32) \ 5 F & = 9 C + 160 end {alineado} ]
Estamos resolviendo para C, así que mueva todos los términos que contengan una C a un lado de la ecuación, y todos los demás términos al otro lado de la ecuación.
[5 F-160 = 9 C ]
Divide ambos lados de esta última ecuación entre 9.
[ begin {alineado} frac {5 F-160} {9} & = frac {9 C} {9} \ frac {5 F-160} {9} & = C end {alineado} ]
Por lo tanto,
[C = frac {5 F-160} {9} ]
Tenga en cuenta que tenemos C = “Stuff”, y lo más importante, “Stuff” no tiene presencia de la variable C. Esto es lo que significa resolver para C.
Una vez que haya resuelto una fórmula de la ciencia para una variable en particular, puede usar el resultado para realizar conversiones o predicciones.
Ejemplo ( PageIndex {11} )
En el ejemplo ( PageIndex {10} ), la relación entre las temperaturas Fahrenheit y Celsius viene dada por el resultado
[C = frac {5 F-160} {9} ]
Sobre el banco en Eureka, California, un letrero proclama que la temperatura Fahrenheit es (40 ^ { circ} F ). ¿Cuál es la temperatura Celsius?
Solución
Sustituir la temperatura Fahrenheit en la fórmula (16). Es decir, sustituir F = 40.
[C = frac {5 F-160} {9} = frac {5 (40) -160} {9} = frac {40} {9} aprox 4.44 ]
Por lo tanto, la temperatura Celsius es aproximadamente (4.44 ^ { circ} mathrm {C} ). Tenga en cuenta que siempre debe incluir unidades con su respuesta final.