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las matematicas

1.2: Usa el lenguaje de álgebra

Encuentra factores, factorizaciones primas y múltiplos menos comunes

 

Los números 2, 4, 6, 8, 10, 12 se llaman múltiplos de 2. Un múltiplo de 2 se puede escribir como el producto de un número de conteo y 2.

 

Multiples of 2: 2 times 1 is 2, 2 times 2 is 4, 2 times 3 is 6, 2 times 4 is 8, 2 times 5 is 10, 2 times 6 is 12 and so on.

 

Del mismo modo, un múltiplo de 3 sería el producto de un número de conteo y 3.

 

Multiples of 3: 3 times 1 is 3, 3 times 2 is 6, 3 times 3 is 9, 3 times 4 is 12, 3 times 5 is 15, 3 times 6 is 18 and so on.

 

Podríamos encontrar los múltiplos de cualquier número continuando este proceso.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
Número de recuento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Múltiplos de 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Múltiplos de 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36
Múltiplos de 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
Múltiplos de 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
Múltiplos de 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72
Múltiplos de 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84
Múltiplos de 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96
Múltiplos de 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108
 
 
 

MÚLTIPLES DE UN NÚMERO

 

Un número es un múltiplo de (n ) si es el producto de un número de conteo y (n ).

 
 
 

Otra forma de decir que 15 es un múltiplo de 3 es decir que 15 es divisible por 3. Eso significa que cuando dividimos 3 en 15, obtenemos un número de conteo. De hecho, (15 ÷ 3 ) es (5 ), entonces (15 ) es (5⋅3 ).

 
 

DIVISIBLE POR UN NÚMERO

 

Si un número m es múltiplo de n , entonces m es divisible por n .

 
 
 

Si tuviéramos que buscar patrones en los múltiplos de los números del 2 al 9, descubriríamos las siguientes pruebas de divisibilidad:

 
 

PRUEBAS DE DIVISIBILIDAD

 

Un número es divisible por:

 
         
  • 2 si el último dígito es 0, 2, 4, 6 u 8.
  •      
  • 3 si la suma de los dígitos es divisible por 3.
  •      
  • 5 si el último dígito es 5 o 0.
  •      
  • 6 si es divisible entre 2 y 3.
  •      
  • 10 si termina con 0.
  •  
 
 
 
 
 
 

ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Es 5,625 divisible por

 
         
  1. 2?
  2.      
  3. 3?
  4.      
  5. 5 o 10?
  6.      
  7. 6?
  8.  
 
     
Respuesta
     
     

     

( text {¿Es 5.625 divisible por 2?} )

     ( begin {array} {ll} text {¿Termina en 0, 2, 4, 6 u 8?} & { text {No.} \ text {5.625 no es divisible por 2.}} end {array} )
     
ⓑ      

( text {5.625 divisible por 3?} )

     ( begin {array} {ll} { text {¿Cuál es la suma de los dígitos?} \ text {¿Es la suma divisible por 3?}} & {5 + 6 + 2 + 5 = 18 \ text {Sí.} \ text {5.625 es divisible por 3.}} end {array} )
     
ⓒ      

( text {¿Es 5.625 divisible por 5 o 10?} )

     ( begin {array} {ll} text {¿Cuál es el último dígito? Es 5.} & text {5.625 es divisible por 5 pero no por 10.} end {array} ) ⓓ      

( text {¿Es 5.625 divisible por 6?} )

     ( begin {array} {ll} text {¿Es divisible por 2 y 3?} & { text {No, 5.625 no es divisible por 2, entonces 5.625 es} \ text {no divisible por 6 .}} end {array} )
 
 
 
 
 
 

ejemplo ( PageIndex {2} )

 

¿Es 4.962 divisible por ⓐ 2? Ⓑ 3? Ⓒ 5? Ⓓ 6? Ⓔ 10?

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ sí ⓑ sí ⓒ no ⓓ sí ⓔ no

     
 
 
 
 
 
 

ejemplo ( PageIndex {3} )

 

¿Es 3.765 divisible por ⓐ 2? Ⓑ 3? Ⓒ 5? Ⓓ 6? Ⓔ 10?

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ no ⓑ sí ⓒ sí ⓓ no ⓔ no

     
 
 
 
 

En matemáticas, a menudo hay varias formas de hablar sobre las mismas ideas. Hasta ahora, hemos visto que si m es un múltiplo de n , podemos decir que m es divisible por n . Por ejemplo, dado que 72 es múltiplo de 8, decimos que 72 es divisible por 8. Dado que 72 es múltiplo de 9, decimos que 72 es divisible por 9. Podemos expresar esto aún de otra manera.

 
 

Dado que ( mathrm {8 · 9 = 72} ), decimos que 8 y 9 son factores de 72. Cuando escribimos (72 = 8 · 9 ), decimos que hemos factorizado 72. [ 19459007]  

8 times 9 is 72. 8 and 9 are factors. 72 is the product.

 

Otras formas de factorizar 72 son ( mathrm {1 · 72, ; 2 · 36, ; 3 · 24, ; 4 · 18,} ) y ( mathrm {6⋅12} ) El número 72 tiene muchos factores: ( mathrm {1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,} ) y ( mathrm {72} ).

 
 

FACTORES

 

Si (a ) y (b ) son números que cuentan, y (a · b = m ), entonces (a ) y (b ) son factores de (m ).

 
 
 

Algunos números, como 72, tienen muchos factores. Otros números tienen solo dos factores. Un número primo es un número de conteo mayor que 1 cuyos únicos factores son 1 y él mismo.

 
 

NÚMERO PRIMERO Y NÚMERO COMPUESTO

 

Un número primo es un número de conteo mayor que 1 cuyos únicos factores son 1 y el número mismo.

 

Un número compuesto es un número de cuenta que no es primo. Un número compuesto tiene factores distintos de 1 y el número en sí.

 
 
 
 

Los números de conteo del 2 al 20 se enumeran en la tabla con sus factores. ¡Asegúrese de estar de acuerdo con la etiqueta “prime” o “composite” para cada una!

 
 

This table has three columns, 19 rows and a header row. The header row labels each column: number, factors and prime or composite. The values in each row are as follows: number 2, factors 1, 2, prime; number 3, factors 1, 3, prime; number 4, factors 1, 2, 4, composite; number 5, factors, 1, 5, prime; number 6, factors 1, 2, 3, 6, composite; number 7, factors 1, 7, prime; number 8, factors 1, 2, 4, 8, composite; number 9, factors 1, 3, 9, composite; number 10, factors 1, 2, 5, 10, composite; number 11, factors 1, 11, prime; number 12, factors 1, 2, 3, 4, 6, 12, composite; number 13, factors 1, 13, prime; number 14, factors 1, 2, 7, 14, composite; number 15, factors 1, 3, 5, 15, composite; number 16, factors 1, 2, 4, 8, 16, composite; number 17, factors 1, 17, prime; number 18, factors 1, 2, 3, 6, 9, 18, composite; number 19, factors 1, 19, prime; number 20, factors 1, 2, 4, 5, 10, 20, composite.

 

Los números primos menores que 20 son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19. Observe que el único número primo par es 2.

 

Un número compuesto puede escribirse como un producto único de primos. Esto se llama factorización prima del número. Encontrar la factorización prima de un número compuesto será útil en muchos temas en este curso.

 
 

FACTORIZACIÓN PRIMERA

 

La factorización prima de un número es el producto de números primos que es igual al número.

 
 
 

Para encontrar la factorización prima de un número compuesto, encuentre dos factores del número y úselos para crear dos ramas. Si un factor es primo, esa rama está completa. Encierra en un círculo ese primo. De lo contrario, es fácil perder la noción de los números primos.

 
 

Si el factor no es primo, encuentre dos factores del número y continúe el proceso. Una vez que todas las ramas tienen círculos primos al final, la factorización se completa. El número compuesto ahora se puede escribir como un producto de números primos.

 
 
 

ejemplo ( PageIndex {4} ): Cómo encontrar la factorización prima de un número compuesto

 

Factor 48.

 
     
Respuesta
     
     

Step 1 is to find two factors whose product is 48 and use these numbers to create two branches. The two branches originating from 48 are formed by the factors 2 and 24.
Step 2.  If a factor is prime that branch is complete.  Circle the prime.  Here 2 is prime, so we circle it.
Step 3 is to treat the composite factor as a product, break it into two more factors and continue the process. 24 is not prime. It is broken into 4 and 6. 4 and 6 are not prime. 4 is broken into its factors 2 and 2, both of which are circled. 6 is not prime. It is broken into factors 2 and 3, both of which are circled.

     

Decimos que (2⋅2⋅2⋅2⋅3 ) es la factorización prima de 48. Generalmente escribimos los números primos en orden ascendente. Asegúrese de multiplicar los factores para verificar su respuesta. (2⋅2⋅2⋅2⋅3 ) es la factorización prima de 48. Generalmente escribimos los números primos en orden ascendente. Asegúrese de multiplicar los factores para verificar su respuesta.

     

Si primero factorizáramos 48 de una manera diferente, por ejemplo como (6 · 8 ), el resultado sería el mismo. Termine la factorización prima y verifíquelo usted mismo.

     
 
 
 
 
 
 

ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Encuentre la factorización prima de ( mathrm {80} ).

 
     
Respuesta
     
     

( mathrm {2⋅2⋅2⋅2⋅5} )

     
 
 
 
 
 
 

ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Encuentre la factorización prima de ( mathrm {60} ).

 
     
Respuesta
     
     

( mathrm {2⋅2⋅3⋅5} )

     
 
 
 
 
 
 
 

ENCUENTRE LA PRIMERA FACTORIZACIÓN DE UN NÚMERO COMPUESTO

 
 
         
  1. Encuentra dos factores cuyo producto es el número dado, y usa estos números para crear dos ramas.
  2.      
  3. Si un factor es primo, esa rama está completa. Encierra en un círculo la prima, como una hoja en el árbol.
  4.      
  5. Si un factor no es primo, escríbelo como el producto de dos factores y continúa el proceso.
  6.      
  7. Escribe el número compuesto como el producto de todos los números primos en un círculo.
  8.  
 
 
 
 
 
 
     
 
 

Una de las razones por las que miramos los primos es utilizar estas técnicas para encontrar el mínimo común múltiplo de dos números. Esto será útil cuando sumemos y restemos fracciones con diferentes denominadores.

 
 

MENOS MÚLTIPLES COMUNES

 

El mínimo común múltiplo (LCM) de dos números es el número más pequeño que es un múltiplo de ambos números.

 
 
 

Para encontrar el mínimo común múltiplo de dos números, utilizaremos el Método de factores primos. Encontremos el MCM de 12 y 18 usando sus factores primos.

 
 
 

ejemplo ( PageIndex {7} ): Cómo encontrar el mínimo común múltiplo utilizando el método de los factores primos

 

Encuentra el mínimo común múltiplo (MCM) de 12 y 18 usando el método de los factores primos.

 
     
Respuesta
     
     

Step 1 is to write each number as a product of primes. The number 12 is written as a product of 2, 2 and 3. The number 18 is written as a product of 2, 3 and 3. Step 2.  List the prime factors of each number.  Here we find that 12 equals 2 times 2 times 3 and 18 equals 2 times 3 times 3. Step 3 is to bring down the number from each column. When a column has the same number at the top and the bottom, that number is brought down. When a column has only one number that number is brought down. The numbers brought down are 2, 2, 3 and 3. Step 4.  Multiply the factors.  Here we find that the LCM equals 36.

     
 
 
 
 
 
 
 

Observe que los factores primos de 12 ( mathrm {(2 · 2 · 3)} ) y los factores primos de 18 ( mathrm {(2⋅3⋅3)} ) están incluidos en el LCM ( mathrm {(2 · 2 · 3 · 3)} ). Entonces 36 es el mínimo común múltiplo de 12 y 18.

 
 
 

Al combinar los primos comunes, cada factor primo común se usa solo una vez. De esta manera, está seguro de que 36 es el mínimo múltiplo común.

 
 
 

ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Encuentra el MCM de 9 y 12 usando el Método de factores primos.

 
     
Respuesta
     
     

36

     
 
 
 
 
 
 

ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Encuentre el MCM de 18 y 24 utilizando el Método de factores primos.

 
     
Respuesta
     
     

72

     
 
 
 
 
 
 
 
 

ENCUENTRE EL MÚLTIPLE MENOR COMÚN USANDO EL MÉTODO DE FACTORES PRIMER

 
 
         
  1. Escribe cada número como un producto de primos.
  2.      
  3. Enumera los primos de cada número. Une los números primos verticalmente cuando sea posible.
  4.      
  5. Baja las columnas.
  6.      
  7. Multiplica los factores.
  8.  
 
 
 
 
 
 
 
 
     
 
 
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