Usemos lo que sabemos sobre paralelogramos para encontrar el área de triángulos.
Ejercicio ( PageIndex {1} ): composición de paralelogramos
Aquí está el Triángulo M.
Figura ( PageIndex {1} )
Han hizo una copia del Triángulo M y compuso tres paralelogramos diferentes usando la M original y la copia, como se muestra aquí.
Figura ( PageIndex {2} ): 3 paralelogramos diferentes en una cuadrícula compuesta de Triángulo M y una copia. Primer paralelogramo, Triángulo M y una copia a lo largo del lado inclinado del triángulo. Segundo paralelogramo, Triángulo M y una copia a lo largo del lado horizontal del triángulo. Tercer paralelogramo, Triángulo M y una copia a lo largo del lado vertical del triángulo.
- Para cada paralelogramo que Han compuso, identifique una base y una altura correspondiente, y escriba las medidas en el dibujo.
- Encuentra el área de cada paralelogramo que Han compuso. Muestra tu razonamiento.
Resumen
Podemos razonar sobre el área de un triángulo usando lo que sabemos sobre paralelogramos. Aquí hay tres formas generales de hacer esto:
- Haz una copia del triángulo y une el original y la copia a lo largo de un borde para crear un paralelogramo. Debido a que los dos triángulos tienen la misma área, una copia del triángulo tiene la mitad del área de ese paralelogramo.
Figura ( PageIndex {5} ): Cuatro figuras etiquetadas como A, B, C y D. La Figura A es un triángulo. La figura B es el mismo triángulo que la figura A con una copia a lo largo del borde del original para crear un rectángulo. El lado derecho del rectángulo está etiquetado con 2 unidades, y la parte inferior está etiquetado con 8 unidades. La figura C es otro triángulo, y la figura D es el mismo triángulo que la figura C, con una copia a lo largo del borde del original para crear un paralelogramo. La base izquierda del paralelogramo está etiquetada con 4 unidades, y la altura está etiquetada con 6 unidades.
El área del paralelogramo B es de 16 unidades cuadradas porque la base es de 8 unidades y la altura de 2 unidades. El área del Triángulo A es la mitad de eso, que es de 8 unidades cuadradas. El área del paralelogramo D es de 24 unidades cuadradas porque la base es de 4 unidades y la altura de 6 unidades. El área del Triángulo C es la mitad, que es de 12 unidades cuadradas.
- Descomponga el triángulo en pedazos más pequeños y compóngalos en un paralelogramo.
Figura ( PageIndex {6} ): Dos imágenes de un triángulo. La imagen de la derecha tiene una línea discontinua que corta la parte superior. En la imagen de la izquierda, la parte cortada se mueve junto a la parte inferior del triángulo para crear un paralelogramo. Una flecha que indica que la parte cortada de otra imagen se movió.
En el nuevo paralelogramo, (b = 6 ), (h = 2 ) y (6 cdot 2 = 12 ), entonces su área es de 12 unidades cuadradas. Debido a que el triángulo original y el paralelogramo están compuestos de las mismas partes, el área del triángulo original también es de 12 unidades cuadradas.
- Dibuja un rectángulo alrededor del triángulo. Algunas veces el triángulo tiene la mitad del área del rectángulo.
Figura ( PageIndex {7} )
El rectángulo grande se puede descomponer en rectángulos más pequeños. El de la izquierda tiene área (4 cdot 3 ) o 12 unidades cuadradas; el de la derecha tiene área (2 cdot 3 ) o 6 unidades cuadradas. El triángulo grande también se descompone en dos triángulos rectángulos. Cada uno de los triángulos rectángulos es la mitad de un rectángulo más pequeño, por lo que sus áreas son 6 unidades cuadradas y 3 unidades cuadradas. El triángulo grande tiene un área de 9 unidades cuadradas.
A veces, el triángulo es la mitad de lo que queda del rectángulo después de quitar dos copias de los triángulos rectángulos más pequeños.
Figura ( PageIndex {8} ): Tres imágenes del mismo triángulo. La primera imagen es solo el triángulo. El segundo es el triángulo rodeado por un rectángulo. La tercera imagen es del triángulo ahora con una copia compuesta en un paralelogramo dentro del rectángulo, con flechas que dibujan las partes restantes del rectángulo en un rectángulo más pequeño.
Los triángulos rectángulos que se eliminan se pueden componer en un pequeño rectángulo con unidades cuadradas de área ((2 cdot 3) ). Lo que queda es un paralelogramo con área (5 cdot 3-2 cdot 3 ), que equivale a (15-6 ) o (9 ) unidades cuadradas. ¡Tenga en cuenta que podemos componer el mismo paralelogramo con dos copias del triángulo original! El triángulo original es la mitad del paralelogramo, por lo que su área es ( frac {1} {2} cdot 9 ) o (4.5 ) unidades cuadradas.