las matematicas

1.3.3: Fórmula para el área de un triángulo

1.3.3: Fórmula para el área de un triángulo

Lección

 

Vamos a escribir y usar una fórmula para encontrar el área de un triángulo.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} ): bases y alturas de un triángulo

 

Estudie los ejemplos y no ejemplos de bases y alturas en un triángulo.

 
         
  • Ejemplos: estos segmentos discontinuos representan las alturas del triángulo.
    •  
 

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Figura ( PageIndex {1} )

 
         
  • No ejemplos: estos segmentos punteados no representan alturas del triángulo.
    •  
 

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Figura ( PageIndex {2} )

 

Seleccione todas las declaraciones que son verdaderas sobre bases y alturas en un triángulo.

 
         
  1. Cualquier lado de un triángulo puede ser una base.
    2.      
  2. Solo hay una altura posible.
    3.      
  3. Una altura siempre es uno de los lados de un triángulo.
    4.      
  4. Una altura que corresponde a una base debe dibujarse en un ángulo agudo a la base.
    5.      
  5. Una altura que corresponde a una base debe dibujarse en ángulo recto con respecto a la base.
    6.      
  6. Una vez que elegimos una base, solo hay un segmento que representa la altura correspondiente.
    7.      
  7. Un segmento que representa una altura debe pasar por un vértice.
    8.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} ): Encontrar una fórmula para el área de un triángulo

 

Para cada triángulo:

 
         
  • Identifique una base y una altura correspondiente, y registre sus longitudes en la tabla.
    •      
  • Encuentra el área del triángulo y regístralo en la última columna de la tabla.
    •  
 

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Figura ( PageIndex {3} )

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   
triángulo base (unidades) altura (unidades) área (unidades cuadradas)
A
B
C
D
cualquier triángulo (b ) (h )
 

Tabla ( PageIndex {1} )

 

En la última fila, escribe una expresión para el área de cualquier triángulo, usando (b ) y (h ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} ): Aplicación de la fórmula para el área de triángulos

 

Para cada triángulo, encierra en un círculo una medida base que puedas usar para encontrar el área del triángulo. Luego, encuentra el área de cualquier tres triángulos. Muestra tu razonamiento.

 

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Figura ( PageIndex {4} )

 
 

Resumen

 
         
  • Podemos elegir cualquiera de los tres lados de un triángulo para llamar a la base . El término “base” se refiere tanto al lado como a su longitud (la medida).
    •      
  • La altura correspondiente es la longitud de un segmento perpendicular desde la base hasta el vértice opuesto al mismo. El vértice opuesto es el vértice que es no un punto final de la base.
    •  
 

Aquí hay tres pares de bases y alturas para el mismo triángulo. Los segmentos punteados en los diagramas representan alturas.

 

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Figura ( PageIndex {5} )

 

Un segmento que muestra una altura se debe dibujar en ángulo recto con la base, pero se puede dibujar en más de un lugar. No tiene que pasar por el vértice opuesto, siempre que conecte la base y una línea que sea paralela a la base y atraviese el vértice opuesto, como se muestra aquí.

 

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Figura ( PageIndex {6} )

 

Los pares de altura base en un triángulo están estrechamente relacionados con los de un paralelogramo. Recuerde que dos copias de un triángulo se pueden componer en uno o más paralelogramos. Cada paralelogramo comparte al menos una base con el triángulo.

 

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Figura ( PageIndex {7} ): Dos triángulos idénticos, cada uno con una copia que compone el triángulo en dos paralelogramos diferentes. En cada paralelogramo, el lado inferior está etiquetado como base y líneas discontinuas en ángulo recto con la base que indica la altura del paralelogramo.

 

Para cualquier base que compartan, la altura correspondiente también se comparte, como lo muestran los segmentos discontinuos.

 

Podemos usar las medidas de altura de base y nuestro conocimiento de paralelogramos para encontrar el área de cualquier triángulo.

 
         
  • La fórmula para el área de un paralelogramo con base (b ) y altura (h ) es (b cdot h ).
    •      
  • Un triángulo ocupa la mitad del área de un paralelogramo con la misma base y altura. Por lo tanto, podemos expresar el área (A ) de un triángulo como: (A = frac {1} {2} cdot b cdot h )
    •  
 

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Figura ( PageIndex {8} )

 
         
  • El área del Triángulo A es de 15 unidades cuadradas porque ( frac {1} {2} cdot 5 cdot 6 = 15 ).
    •      
  • El área del Triángulo B es de 4.5 unidades cuadradas porque ( frac {1} {2} cdot 3 cdot 3 = 4.5 ).
    •      
  • El área del Triángulo C es de 24 unidades cuadradas porque ( frac {1} {2} cdot 12 cdot 4 = 24 ).
    •  
 

En cada caso, un lado del triángulo es la base pero ninguno de los otros lados es la altura. Esto se debe a que el ángulo entre ellos no es un ángulo recto.

 

Sin embargo, en los triángulos rectángulos, los dos lados que son perpendiculares pueden ser una base y una altura.

 

El área de este triángulo es de 18 unidades cuadradas, ya sea que usemos 4 unidades o 9 unidades para la base.

 

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Figura ( PageIndex {9} )

 

Entradas en el glosario

 
 

Definición: Vértice opuesto

 

Para cada lado de un triángulo, hay un vértice que no está en ese lado. Este es el vértice opuesto.

 

Por ejemplo, el punto (A ) es el vértice opuesto al lado (BC ).

 

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Figura ( PageIndex {10} )

 
 

Práctica

 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Seleccione todos los dibujos en los que se identifique correctamente una altura correspondiente (h ) para una base dada (b ).

 

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Figura ( PageIndex {11} ): Seis imágenes del mismo triángulo, etiquetadas A, B, C, D, E y F. Triángulo A, el lado superior está etiquetado, b, y una línea discontinua etiquetada , h, se extiende hacia abajo desde el vértice derecho. Triángulo B, el lado superior está etiquetado b y una línea discontinua etiquetada, h, se extiende desde el centro del lado superior hasta el vértice opuesto. Triángulo C, el lado derecho está etiquetado, b, y una línea discontinua se extiende desde el vértice superior izquierdo hacia abajo hasta el nivel del vértice inferior etiquetado, h. El triángulo D del lado izquierdo está etiquetado, b, y una línea perpendicular etiquetada, h, se extiende hasta el vértice opuesto. Triángulo E, el lado izquierdo está etiquetado, b, y una línea discontinua etiquetada, h, se extiende desde el vértice inferior en ángulo recto con el lado derecho. Triángulo F, el lado derecho está etiquetado, b, y una línea discontinua perpendicular etiquetada, h, se extiende desde el lado etiquetado, b, hasta el vértice opuesto.

 
         
  1. A
    2.      
  2. B
    3.      
  3. C
    4.      
  4. D
    5.      
  5. E
    6.      
  6. F
    7.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Para cada triángulo, se etiquetan una base y su altura correspondiente.

 

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Figura ( PageIndex {12} ): 3 triángulos en una cuadrícula etiquetada A, B, C. A, base = 4, altura = 6. B, base = 8, altura = 4. C, base = 6, altura = 4.

 
         
  1. Encuentra el área de cada triángulo.
    2.      
  2. ¿Cómo se relaciona el área con la base y su altura correspondiente?
    3.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Aquí hay un triángulo rectángulo. Nombra una altura correspondiente para cada base.

 

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Figura ( PageIndex {13} )

 
         
  1. Lado (d )
    2.      
  2. Lado (e )
    3.      
  3. Lado (f )
    4.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Encuentra el área del triángulo sombreado. Muestra tu razonamiento.

 

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Figura ( PageIndex {14} ): Un cuadrado con un triángulo sombreado contenido en su interior. Los lados izquierdo e inferior del cuadrado están etiquetados 6, y el lado derecho está etiquetado 2 arriba del punto donde el vértice del triángulo sombreado se encuentra con el lado, y 4 debajo del punto donde el vértice se encuentra con el lado.

 

(De la Unidad 1.3.2)

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Andre dibujó una línea que conecta dos esquinas opuestas de un paralelogramo. Seleccione todas declaraciones verdaderas sobre los triángulos creados por la línea que dibujó Andre.

 

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Figura ( PageIndex {15} )

 
         
  1. Cada triángulo tiene dos lados que tienen 3 unidades de largo.
    2.      
  2. Cada triángulo tiene un lado que tiene la misma longitud que la línea diagonal.
    3.      
  3. Cada triángulo tiene un lado que tiene 3 unidades de largo.
    4.      
  4. Cuando un triángulo se coloca encima del otro y sus lados están alineados, veremos que un triángulo es más grande que el otro.
    5.      
  5. Los dos triángulos tienen la misma área entre sí.
    6.  
 

(De la Unidad 1.3.1)

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Aquí hay un octágono. (Nota: los lados diagonales del octágono son no 4 pulgadas de largo).

 

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Figura ( PageIndex {16} )

 
         
  1. Mientras estimaba el área del octágono, Lin razonó que debe ser menor a 100 pulgadas cuadradas. ¿Estás de acuerdo? Explica tu razonamiento.
    2.      
  2. Encuentra el área exacta del octágono. Muestra tu razonamiento.
    3.  
 

(De la Unidad 1.1.3)

 
 
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antonio1095

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