1.3: enteros

1.3: enteros

Sumar y restar enteros

 

Hasta ahora en nuestros ejemplos, solo hemos usado los números de conteo y los números enteros.

 

[ begin {array} {ll} text {Contando números} y 1,2,3… \ text {Números enteros} 0,1,2,3…. end {array} ]

 

Nuestro trabajo con los opuestos nos da una manera de definir los enteros . Los números enteros y sus opuestos se llaman enteros. Los enteros son los números (… −3, −2, −1,0,1,2,3 … )

 
 

Definición: INTEGERS

 

Los números enteros y sus opuestos se llaman enteros .

 

Los enteros son los números

 

[… -3, -2, -1,0,1,2,3…, ]

 
 
 

La mayoría de los estudiantes se sienten cómodos con las operaciones de suma y resta para números positivos. Pero hacer sumas o restas con números positivos y negativos puede ser más desafiante.

 
 

Utilizaremos dos contadores de color para modelar la suma y la resta de negativos para que pueda visualizar los procedimientos en lugar de memorizar las reglas.

 

Dejamos que un color (azul) represente positivo. El otro color (rojo) representará los negativos.

 

Figure show two circles labeled positive blue and negative red.

 

Si tenemos un contador positivo y uno negativo, el valor del par es cero. Forman un par neutral. El valor de este par neutral es cero.

 

Figure shows a blue circle and a red circle encircled in a larger shape. This is labeled 1 plus minus 1 equals 0.

 

Utilizaremos los contadores para mostrar cómo agregar:

 

[5 + 3 ; ; ; ; ; ; −5 + (- 3) ; ; ; ; ; ; −5 + 3 ; ; ; ; ; ; ; 5 + (- 3) ]

 

El primer ejemplo, (5 + 3, ) agrega 5 positivos y 3 positivos, ambos positivos.

 

El segundo ejemplo, (- 5 + (- 3), ) agrega 5 negativos y 3 negativos, ambos negativos.

 

Cuando los signos son iguales, los contadores son todos del mismo color, por lo que los agregamos. En cada caso, obtenemos 8, ya sea 8 positivos u 8 negativos.

 

Figure on the left is labeled 5 plus 3. It shows 8 blue circles. 5 plus 3 equals 8. Figure on the right is labeled minus 5 plus open parentheses minus 3 close parentheses. It shows 8 blue circles labeled 8 negatives. Minus 5 plus open parentheses minus 3 close parentheses equals minus 8.

 

Entonces, ¿qué sucede cuando los signos son diferentes? Agreguemos (- 5 + 3 ) y (5 + (- 3) ).

 

Cuando usamos contadores para modelar la suma de enteros positivos y negativos, es fácil ver si hay más contadores positivos o negativos. Entonces sabemos si la suma será positiva o negativa.

 

Figure on the left is labeled minus 5 plus 3. It has 5 red circles and 3 blue circles. Three pairs of red and blue circles are formed. More negatives means the sum is negative. The figure on the right is labeled 5 plus minus 3. It has 5 blue and 3 red circles. Three pairs of red and blue circles are formed. More positives means the sum is positive.

 
 

EJEMPLO ( PageIndex {8} )

 

Agregue: ⓐ (- 2 + (- 4) ) ⓑ (- 2 + 4 ) ⓒ (2 + (- 4) ).

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ (- 6 ) ⓑ (2 ) ⓒ (- 2 )

     
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {9} )

 

Agregue: ⓐ (- 2 + (- 5) ) ⓑ (- 2 + 5 ) ⓒ (2 + (- 5) ).

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ (- 7 ) ⓑ (3 ) ⓒ (- 3 )

     
 
 
 
 
 

Continuaremos usando contadores para modelar la resta. Quizás cuando eras más joven, leías (“5−3” ) como “5 take away 3”. Cuando usas contadores, ¡puedes pensar en la resta de la misma manera!

 
 
 

Usaremos los contadores para mostrar para restar:

 

[5−3 ; ; ; ; ; ; −5 – (- 3) ; ; ; ; ; ; −5−3 ; ; ; ; ; ; 5 – (- 3) ]

 

El primer ejemplo, (5−3 ), restamos 3 positivos de 5 positivos y terminamos con 2 positivos.

 

En el segundo ejemplo, (- 5 – (- 3), ) restamos 3 negativos de 5 negativos y terminamos con 2 negativos.

 

Cada ejemplo usaba contadores de un solo color, y el modelo de sustracción «quitar» era fácil de aplicar.

 

Figure on the left is labeled 5 minus 3 equals 2. There are 5 blue circles. Three of these are encircled and an arrow indicates that they are taken away. The figure on the right is labeled minus 5 minus open parentheses minus 3 close parentheses equals minus 2. There are 5 red circles. Three of these are encircled and an arrow indicates that they are taken away.

 

¿Qué sucede cuando tenemos que restar un número positivo y uno negativo? Tendremos que usar contadores azules y rojos, así como algunos pares neutrales. Si no tenemos la cantidad de fichas necesarias para eliminar, agregamos pares neutrales. Agregar un par neutral no cambia el valor. Es como cambiar los cuartos a cinco centavos: el valor es el mismo, pero se ve diferente.

 

Veamos (- 5−3 ) y (5 – (- 3) ).

 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {11} )

 

Restar: ⓐ (6−4 ) ⓑ (- 6 – (- 4) ) ⓒ (- 6−4 ) ⓓ (6 – (- 4) ).

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ (2 ) ⓑ (- 2 ) ⓒ (- 10 ) ⓓ (10 ​​)

     
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {12} )

 

Restar: ⓐ (7−4 ) ⓑ (- 7 – (- 4) ) ⓒ (- 7−4 ) ⓓ (7 – (- 4) ).

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ (3 ) ⓑ (- 3 ) ⓒ (- 11 ) ⓓ (11 )

     
 
 
 
 
 

¿Has notado que la sustracción de números con signo se puede hacer agregando el opuesto ? En el último ejemplo, (- 3−1 ) es lo mismo que (- 3 + (- 1) ) y (3 – (- 1) ) es lo mismo que (3 + 1 ) . A menudo verá esta idea, la propiedad de resta, escrita de la siguiente manera:

 
 

Definición: PROPIEDAD DE SUBTRACCIÓN

 
 

[a − b = a + (- b) ]

 

Restar un número es lo mismo que sumar su opuesto.

 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {13} )

 

Simplifique: ⓐ (13−8 ) y (13 + (- 8) ) ⓑ (- 17−9 ) y (- 17 + (- 9) ) ⓒ (9− (−15) ) y (9 + 15 ) ⓓ (- 7 – (- 4) ) y (- 7 + 4 ).

 
     
Respuesta
     
     

     ( begin {array} {lccc} text {} & 13−8 & text {and} & 13 + (- 8) \ text {Subtract.} & 5 & text {} & 5 end {formación})      

     

( begin {array} {lccc} text {} & −17−9 & text {and} & −17 + (- 9) \ text {Subtract.} & −26 & text {} & −26 end {array} )

     

     

( begin {array} {lccc} text {} & 9 – (- 15) & text {and} & 9 + 15 \ text {Subtract.} & 24 & text {} & 24 end {array} )

     

     

( begin {array} {lccc} text {} & −7 – (- 4) & text {and} & −7 + 4 \ text {Subtract.} & −3 & text {} & −3 end {array} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {14} )

 

Simplifique: ⓐ (21−13 ) y (21 + (- 13) ) ⓑ (- 11−7 ) y (- 11 + (- 7) ) ⓒ (6− (−13) ) y (6 + 13 ) ⓓ (- 5 – (- 1) ) y (- 5 + 1 ).

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ (8,8 ) ⓑ (- 18, −18 )

     

ⓒ (19,19 ) ⓓ (- 4, −4 )

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {15} )

 

Simplifique: ⓐ (15−7 ) y (15 + (- 7) ) ⓑ (- 14−8 ) y (- 14 + (- 8) ) ⓒ (4− (−19) ) y (4 + 19 ) ⓓ (- 4 – (- 7) ) y (- 4 + 7 ).

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ (8,8 ) ⓑ (- 22, −22 )

     

ⓒ (23,23 ) ⓓ (3,3 )

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

¿Qué sucede cuando hay más de tres enteros? Simplemente usamos el orden de las operaciones como de costumbre.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {16} )

 

Simplifica: (7 – (- 4−3) −9. )

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {lc} text {} & 7 – (- 4−3) −9 \ text {Simplifique primero entre paréntesis.} & 7 – (- 7) −9 text {Restar de izquierda a derecha.} & 14−9 \ text {Restar.} & 5 end {array} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {17} )

 

Simplifica: (8 – (- 3−1) −9. )

 
     
Respuesta
     
     

3

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

EJEMPLO ( PageIndex {18} )

 

Simplifica: (12 – (- 9−6) −14. )

 
     
Respuesta
     
     

13

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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