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las matematicas

1.3: Exponentes y notación científica

                 

 

Objetivos de aprendizaje

 
         
  • Varias reglas de exponentes
  •      
  • Notación científica
  •  
 
 

Los matemáticos, científicos y economistas comúnmente encuentran números muy grandes y muy pequeños. Pero puede no ser obvio cuán comunes son tales figuras en la vida cotidiana. Por ejemplo, un píxel es la unidad de luz más pequeña que puede ser percibida y grabada por una cámara digital. Una cámara en particular puede grabar una imagen que tenga (2,048 ) píxeles por (1,536 ) píxeles, que es una imagen de muy alta resolución. También puede percibir una profundidad de color (gradaciones en colores) de hasta (48 ) bits por cuadro, y puede disparar el equivalente de (24 ) cuadros por segundo. El número máximo posible de bits de información utilizados para filmar una película digital de una hora ( (3,600 ) – segundo) es entonces un número extremadamente grande.

 

Usando una calculadora, ingresamos (2,048 × 1 ), (536 × 48 × 24 × 3 ), (600 ) y presionamos ENTER. La calculadora muestra (1.304596316E13 ). ¿Qué significa esto? La porción ” (E13 )” del resultado representa el exponente (13 ) de diez, por lo que hay un máximo de aproximadamente (1.3 times10 ^ {13} ) bits de datos en esa película de una hora . En esta sección, primero revisamos las reglas de los exponentes y luego las aplicamos a los cálculos que involucran números muy grandes o pequeños.

 

Usando la regla del producto de exponentes

 

Considere el producto (x ^ 3 times x ^ 4 ). Ambos términos tienen la misma base, (x ), pero se elevan a exponentes diferentes. Expande cada expresión y luego reescribe la expresión resultante.

 

[ begin {align *} x ^ 3 times x ^ 4 & = overbrace {x times x times x} ^ { text {3 divisores}} times overbrace {x times x times x times x} ^ { text {4 factores}} \ [4pt] & = overbrace {x times x times x times x times x times x times x} ^ { text {7 factores}} \ [4pt] & = x ^ 7 end {align *} ]

 

El resultado es que (x ^ 3 times x ^ 4 = x ^ {3 + 4} = x ^ 7 ).

 

Observe que el exponente del producto es la suma de los exponentes de los términos. En otras palabras, al multiplicar expresiones exponenciales con la misma base, escribimos el resultado con la base común y sumamos los exponentes. Esta es la regla del producto de exponentes.

 

[a ^ m veces a ^ n = a ^ {m + n} ]

 

Ahora considere un ejemplo con números reales.

 

(2 ^ 3 times2 ^ 4 = 2 ^ {3 + 4} = 2 ^ 7 )

 

Siempre podemos verificar que esto sea cierto simplificando cada expresión exponencial. Encontramos que (2 ^ 3 ) es (8 ), (2 ^ 4 ) es (16 ) y (2 ^ 7 ) es (128 ). El producto (8 times16 ) es igual a (128 ), por lo que la relación es verdadera. Podemos usar la regla del producto de exponentes para simplificar expresiones que son producto de dos números o expresiones con la misma base pero diferentes exponentes.

 
 
 

LA REGLA DEL PRODUCTO DE EXPONENTES

 

Para cualquier número real ay números naturales (m ) y (n ), la regla del producto de exponentes establece que

 

[a ^ m veces a ^ n = a ^ {m + n} label {prod} ]

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Uso de la regla del producto

  
Escriba cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplificar más.  
         
  1. (t ^ 5 veces t ^ 3 )
  2.      
  3. ((- 3) ^ 5 veces (−3) )
  4.      
  5. (x ^ 2 veces x ^ 5 veces x ^ 3 )
  6.  
 

Solución

 

Use la regla del producto (Ecuación ref {prod}) para simplificar cada expresión.

 
         
  1. (t ^ 5 veces t ^ 3 = t ^ {5 + 3} = t ^ 8 )
  2.      
  3. ((- 3) ^ 5 times (−3) = (- 3) ^ 5 times (−3) ^ 1 = (- 3) ^ {5 + 1} = (- 3) ^ 6 )
  4.      
  5. (x ^ 2 veces x ^ 5 veces x ^ 3 )
  6.  
 

Al principio, puede parecer que no podemos simplificar un producto de tres factores. Sin embargo, utilizando la propiedad asociativa de la multiplicación, comience simplificando los dos primeros.

 

[x ^ 2 veces x ^ 5 veces x ^ 3 = (x ^ 2 veces x ^ 5) veces x ^ 3 = (x ^ {2 + 5}) veces x ^ 3 = x ^ 7 veces x ^ 3 = x ^ {7 + 3} = x ^ {10} nonumber ]

 

Observe que obtenemos el mismo resultado al agregar los tres exponentes en un solo paso.

 

[x ^ 2 veces x ^ 5 veces x ^ 3 = x ^ {2 + 5 + 3} = x ^ {10} nonumber ]

 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Escriba cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplificar más.

 
         
  1. (k ^ 6 veces k ^ 9 )
  2.      
  3. ( left ( dfrac {2} {y} right) ^ 4 times left ( dfrac {2} {y} right) )
  4.      
  5. (t ^ 3 veces t ^ 6 veces t ^ 5 )
  6.  
 
     
Responda a
     
     

(k ^ {15} )

     
     
Respuesta b
     
     

( left ( dfrac {2} {y} right) ^ 5 )

     
     
Respuesta c
     
     

(t ^ {14} )

     
 
 
 

Usando la regla del cociente de exponentes

 

La regla del cociente de exponentes nos permite simplificar una expresión que divide dos números con la misma base pero diferentes exponentes. De manera similar a la regla del producto, podemos simplificar una expresión como ( dfrac {y ^ m} {y ^ n} ), donde (m> n ). Considere el ejemplo ( dfrac {y ^ 9} {y ^ 5} ). Realice la división cancelando factores comunes.

 

[ begin {align *} dfrac {y ^ 9} {y ^ 5} & = dfrac {y cdot y cdot y cdot y cdot y cdot y cdot y cdot y cdot y} {y cdot y cdot y cdot y cdot y} \ & = dfrac {y cdot y cdot y cdot y} {1} \ & = y ^ 4 end { alinear *} ]

 

Observe que el exponente del cociente es la diferencia entre los exponentes del divisor y el dividendo.

 

[ dfrac {a ^ m} {a ^ n} = a ^ {m − n} ]

 

En otras palabras, al dividir expresiones exponenciales con la misma base, escribimos el resultado con la base común y restamos los exponentes.

 

( dfrac {y ^ 9} {y ^ 5} = y ^ {9−5} = y ^ 4 )

 

Por el momento, debemos ser conscientes de la condición (m> n ). De lo contrario, la diferencia (m-n ) podría ser cero o negativa. Esas posibilidades serán exploradas en breve. Además, en lugar de calificar las variables como distintas de cero cada vez, simplificaremos las cosas y asumiremos de aquí en adelante que todas las variables representan números reales distintos de cero.

 
 
 

LA REGLA DE LOS EXPONENTES COTIENTES

 

Para cualquier número real (a ) y números naturales (m ) y (n ), de modo que (m> n ), la regla del cociente de exponentes establece que

 

[ dfrac {a ^ m} {a ^ n} = a ^ {m − n} label {quot} ]

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Uso de la regla del cociente

 

Escriba cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplificar más.

 
         
  1. ( dfrac {(- 2) ^ {14}} {(- 2) ^ {9}} )
  2.      
  3. ( dfrac {t ^ {23}} {t ^ {15}} )
  4.      
  5. ( dfrac {(z sqrt {2}) ^ 5} {z sqrt {2}} )
  6.  
 

Solución

 

Usa la regla del cociente (Ecuación ref {quot}) para simplificar cada expresión.

 
 
         
  1. ( dfrac {(- 2) ^ {14}} {(- 2) ^ {9}} = (- 2) ^ {14−9} = (- 2) ^ 5 )
  2.      
  3. ( dfrac {t ^ {23}} {t ^ {15}} ) = t ^ {23−15} = t ^ 8 )
  4.      
  5. ( dfrac {(z sqrt {2}) ^ 5} {z sqrt {2}} = (z sqrt {2}) ^ {5−1} = (z sqrt {2} ) ^ 4 )
  6.  
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Escriba cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplificar más.

 
         
  1. ( dfrac {s ^ {75}} {s ^ {68}} )
  2.      
  3. ( dfrac {(- 3) ^ 6} {- 3} )
  4.      
  5. ( dfrac {(ef ^ 2) ^ 5} {(ef ^ 2) ^ 3} )
  6.  
 
     
Responda a
     
     

(s ^ 7 )

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

((- 3) ^ 5 )

     
 
 
     
Respuesta c
     
     

((ef ^ 2) ^ 2 )

     
 
 
 

Usando la regla de poder de los exponentes

 

Suponga que una expresión exponencial se eleva a algún poder. ¿Podemos simplificar el resultado? Si. Para hacer esto, usamos la regla de potencia de los exponentes. Considere la expresión ((x ^ 2) ^ 3 ). La expresión dentro de los paréntesis se multiplica dos veces porque tiene un exponente de (2 ). Luego, el resultado se multiplica tres veces porque toda la expresión tiene un exponente de (3 ).

 

[ begin {align *} (x ^ 2) ^ 3 & = (x ^ 2) times (x ^ 2) times (x ^ 2) \ & = x times x times x times x times x times x \ & = x ^ 6 end {align *} ]

 

El exponente de la respuesta es el producto de los exponentes: ((x ^ 2) ^ 3 = x ^ {2⋅3} = x ^ 6 ). En otras palabras, al elevar una expresión exponencial a una potencia, escribimos el resultado con la base común y el producto de los exponentes.

[(a ^ m) ^ n = a ^ {m⋅n} ]  

Tenga cuidado de distinguir entre los usos de la regla del producto y la regla del poder. Cuando se usa la regla del producto, los diferentes términos con las mismas bases se elevan a exponentes. En este caso, agregas los exponentes. Cuando se usa la regla de potencia, un término en notación exponencial se eleva a una potencia. En este caso, multiplicas los exponentes.

                                                                                                                                                                                                                                 
Tabla ( PageIndex {1} )
Regla del producto Regla de poder
(5 ^ 3 veces5 ^ 4 = 5 ^ {3 + 4} = 5 ^ 7 ) ((5 ^ 3) ^ 4 = 5 ^ {3 times4} = 5 ^ {12} )
(x ^ 5 veces x ^ 2 = x ^ {5 + 2} = x ^ 7 ) ((x ^ 5) ^ 2 = x ^ {5 times2} = x ^ {10} )
((3a) ^ 7 times (3a) ^ {10} = (3a) ^ {7 + 10} = (3a) ^ {17} ) (((3a) ^ 7) ^ {10} = (3a) ^ {7 times10} = (3a) ^ {70} )
 
 
 

LA REGLA DE PODER DE LOS EXPONENTES

 

Para cualquier número real a y enteros positivos myn, la regla de potencia de los exponentes establece que

 

[(a ^ m) ^ n = a ^ {m⋅n} label {power} ]

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Uso de la regla de potencia

 

Escriba cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplificar más.

 
         
  1. ((x ^ 2) ^ 7 )
  2.      
  3. (((2t) ^ 5) ^ 3 )
  4.      
  5. (((- 3) ^ 5) ^ {11} )
  6.  
 

Solución

 

Usa la regla de potencia (Ecuación ref {potencia}) para simplificar cada expresión.

 
 
         
  1. ((x ^ 2) ^ 7 = x ^ {2⋅7} = x ^ {14} )
  2.      
  3. (((2t) ^ 5) ^ 3 = (2t) ^ {5⋅3} = (2t) ^ {15} )
  4.      
  5. (((- 3) ^ 5) ^ {11} = (- 3) ^ {5⋅11} = (- 3) ^ {55} )
  6.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Escriba cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplificar más.

 
         
  1. (((3y) ^ 8) ^ 3 )
  2.      
  3. ((t ^ 5) ^ 7 )
  4.      
  5. (((- g) ^ 4) ^ 4 )
  6.  
 
     
Responda a
     
     

((3 años) ^ {24} )

     
 
 
     
Respuesta b
     
     

(t ^ {35} )

     
 
 
     
Respuesta c
     
     

((- g) ^ {16} )

     
 
 
 

Usando la regla de exponentes de cero exponente

 

Regrese a la regla del cociente. Hicimos la condición de que (m> n ) para que la diferencia (m − n ) nunca fuera cero o negativa. ¿Qué pasaría si (m = n )? En este caso, usaríamos la regla de exponente de exponente cero para simplificar la expresión a (1 ). Para ver cómo se hace esto, comencemos con un ejemplo.

 

[ dfrac {t ^ 8} {t ^ 8} = 1 nonumber ]

 

Si tuviéramos que simplificar la expresión original usando la regla del cociente, tendríamos

 

[ dfrac {t ^ 8} {t ^ 8} = t ^ {8−8} = t ^ 0 nonumber ]

 

Si equiparamos las dos respuestas, el resultado es (t ^ 0 = 1 ). Esto es cierto para cualquier número real distinto de cero o cualquier variable que represente un número real.

 

[a ^ 0 = 1 nonumber ]

 

La única excepción es la expresión (0 ^ 0 ). Esto aparece más tarde en cursos más avanzados, pero por ahora, consideraremos que el valor no está definido.

 
 
 

LA REGLA DE EXPONENTES CERO EXPONENTE

 

Para cualquier número real distinto de cero a, la regla de exponentes de exponente cero establece que

 

[a ^ 0 = 1 ]

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Uso de la regla de exponente cero

  
Simplifica cada expresión usando la regla de exponente de cero exponente.  
         
  1. ( dfrac {c ^ 3} {c ^ 3} )
  2.      
  3. ( dfrac {-3x ^ 5} {x ^ 5} )
  4.      
  5. ( dfrac {(j ^ 2k) ^ 4} {(j ^ 2k) times (j ^ 2k) ^ 3} )
  6.      
  7. ( dfrac {5 (rs ^ 2) ^ 2} {(rs ^ 2) ^ 2} )
  8.  
 

Solución

 

Usa el exponente cero y otras reglas para simplificar cada expresión.

 

a. [ begin {align *} dfrac {c ^ 3} {c ^ 3} & = c ^ {3-3} \ & = c ^ 0 \ & = 1 end {align *} ] [ 19459003]  

b. [ begin {align *} dfrac {-3x ^ 5} {x ^ 5} & = -3 times dfrac {x ^ 5} {x ^ 5} \ & = -3 times x ^ { 5-5} \ & = -3 times x ^ 0 \ & = -3 times 1 \ & = -3 end {align *} ]

 

c. [ begin {align *} dfrac {(j ^ 2k) ^ 4} {(j ^ 2k) times (j ^ 2k) ^ 3} & = dfrac {(j ^ 2k) ^ 4} {( j ^ 2k) ^ {1 + 3}} text {Use la regla del producto en el denominador} \ & = dfrac {(j ^ 2k) ^ 4} {(j ^ 2k) ^ 4} text {Simplify } \ & = (j ^ 2k) ^ {4-4} text {Use la regla del cociente} \ & = (j ^ 2k) ^ 0 text {Simplify} \ & = 1 end {align * } ]

 

d. [ begin {align *} dfrac {5 (rs ^ 2) ^ 2} {(rs ^ 2) ^ 2} & = 5 (rs ^ 2) ^ {2-2} text {Use la regla del cociente } \ & = 5 (rs ^ 2) ^ 0 text {Simplify} \ & = 5 times1 text {Use la regla de exponente cero} \ & = 5 text {Simplify} end {align *} ]

 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Simplifica cada expresión usando la regla de exponente cero exponente.

 
         
  1. ( dfrac {t ^ 7} {t ^ 7} )
  2.      
  3. ( dfrac {(de ^ 2) ^ {11}} {2 (de ^ 2) ^ {11}} )
  4.      
  5. ( dfrac {w ^ 4 veces w ^ 2} {w ^ 6} )
  6.      
  7. ( dfrac {t ^ 3 veces t ^ 4} {t ^ 2 veces t ^ 5} )
  8.  
 
     
Responda a
     
     

(1 )

     
     
Respuesta b
     
     

( dfrac {1} {2} )

     
     
Respuesta c
     
     

(1 )

     
     
Respuesta d
     
     

(1 )

     
 
 
 

Usando la regla negativa de los exponentes

 

Otro resultado útil ocurre si relajamos la condición que (m> n ) en la regla del cociente aún más. Por ejemplo, ¿podemos simplificar ( dfrac {t ^ 3} {t ^ 5} )? Cuando (m  

Divide una expresión exponencial por otra con un exponente más grande. Use nuestro ejemplo, ( dfrac {t ^ 3} {t ^ 5} ).

 

[ begin {align *} dfrac {t ^ 3} {t ^ 5} & = dfrac {t times t times t} {t times t times t times t times t } \ & = dfrac {1} {t times t} \ & = dfrac {1} {h ^ 2} end {align *} ]

 

Si tuviéramos que simplificar la expresión original usando la regla del cociente, tendríamos

 

[ begin {align *} dfrac {t ^ 3} {t ^ 5} & = h ^ {3-5} \ & = h ^ {- 2} end {align *} ]

 

Al unir las respuestas, tenemos (h ^ {- 2} = dfrac {1} {h ^ 2} ). Esto es cierto para cualquier número real distinto de cero o cualquier variable que represente un número real distinto de cero.

 

Un factor con un exponente negativo se convierte en el mismo factor con un exponente positivo si se mueve a través de la barra de fracción, de numerador a denominador o viceversa.

 

(a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ n} ) y (a ^ n = dfrac {1} {a ^ {- n}} )

 

Hemos demostrado que la expresión exponencial an se define cuando (n ) es un número natural, (0 ) o el negativo de un número natural. Eso significa que se define un para cualquier entero (n ). Además, las reglas de producto y cociente y todas las reglas que veremos pronto se mantienen para cualquier número entero (n ).

 
 
 

LA REGLA NEGATIVA DE LOS EXPONENTES

 

Para cualquier número real distinto de cero ay número natural n, la regla negativa de los exponentes establece que

 
 

[a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ n} ]

 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Uso de la regla del exponente negativo

 

Escribe cada uno de los siguientes cocientes con una sola base. No simplificar más. Escribe respuestas con exponentes positivos.

 
         
  1. ( dfrac { theta ^ 3} { theta ^ {10}} )
  2.      
  3. ( dfrac {z ^ 2 times z} {z ^ 4} )
  4.      
  5. ( dfrac {(- 5t ^ 3) ^ 4} {(- 5t ^ 3) ^ 8} )
  6.  
 

Solución

 
         
  1. ( dfrac { theta ^ 3} { theta ^ {10}} = theta ^ {3-10} = theta ^ {- 7} = dfrac {1} { theta ^ 7} )
  2.      
  3. ( dfrac {z ^ 2 times z} {z ^ 4} = dfrac {z ^ {2 + 1}} {z ^ 4} = dfrac {z ^ 3} {z ^ 4} = z ^ {3-4} = z ^ {- 1} = dfrac {1} {z} )
  4.      
  5. ( dfrac {(- 5t ^ 3) ^ 4} {(- 5t ^ 3) ^ 8} = (- 5t ^ 3) ^ {4-8} = (- 5t ^ 3) ^ {- 4} = dfrac {1} {(- 5t ^ 3) ^ 4} )
  6.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Escribe cada uno de los siguientes cocientes con una sola base. No simplificar más. Escribe respuestas con exponentes positivos.

 
         
  1. ( dfrac {(- 3t) ^ 2} {(- 3t) ^ 8} )
  2.      
  3. ( dfrac {f ^ {47}} {f ^ {49} veces f} )
  4.      
  5. ( dfrac {2k ^ 4} {5k ^ 7} )
  6.  
 
     
Responda a
     
     

( dfrac {1} {(- 3t) ^ 6} )

     
     
Respuesta b
     
     

( dfrac {1} {f ^ 3} )

     
     
Respuesta c
     
     

( dfrac {2} {5k ^ 3} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Uso de las reglas de producto y cociente

 

Escriba cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplificar más. Escribe respuestas con exponentes positivos.

 
         
  1. (b ^ 2 veces b ^ {- 8} )
  2.      
  3. ((- x) ^ 5 veces (-x) ^ {- 5} )
  4.      
  5. ( dfrac {-7z} {(- 7z) ^ 5} )
  6.  
 

Solución

 
         
  1. (b ^ 2 veces b ^ {- 8} = b ^ {2-8} = b ^ {- 6} = dfrac {1} {b ^ 6} )
  2.      
  3. ((- x) ^ 5 veces (-x) ^ {- 5} = (- x) ^ {5-5} = (- x) ^ 0 = 1 )
  4.      
  5. ( dfrac {-7z} {(- 7z) ^ 5} = dfrac {(- 7z) ^ 1} {(- 7z) ^ 5} = (- 7z) ^ {1-5} = (-7z) ^ {- 4} = dfrac {1} {(- 7z) ^ 4} )
  6.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Escriba cada uno de los siguientes productos con una sola base. No simplificar más. Escribe respuestas con exponentes positivos.

 
         
  1. (t ^ {- 11} veces t ^ 6 )
  2.      
  3. ( dfrac {25 ^ {12}} {25 ^ {13}} )
  4.  
 
     
Responda a
     
     

(t ^ {- 5} = dfrac {1} {t ^ 5} )

     
     
Respuesta b
     
     

( dfrac {1} {25} )

     
 
 
 

Encontrar el poder de un producto

 

Para simplificar el poder de un producto de dos expresiones exponenciales, podemos usar el poder de una regla de producto de exponentes, que divide el poder de un producto de factores en el producto de los poderes de los factores. Por ejemplo, considere ((pq) ^ 3 ). Comenzamos usando las propiedades asociativas y conmutativas de la multiplicación para reagrupar los factores.

 

[ begin {align *} (pq) ^ 3 & = (pq) times (pq) times (pq) \ & = p times q times p times q times p times q \ & = p ^ 3 times q ^ 3 end {align *} ]

 

En otras palabras, ((pq) ^ 3 = p ^ 3 times q ^ 3 ).

 
 

EL PODER DE UNA REGLA DE EXPONENTES DEL PRODUCTO

 
 

Para cualquier número real a y by cualquier número entero n, la potencia de una regla de producto de exponentes establece que

 
 

[(ab) ^ n = a ^ nb ^ n ]

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Uso del poder de una regla de producto

  
Simplifique cada uno de los siguientes productos tanto como sea posible utilizando el poder de una regla de producto. Escribe respuestas con exponentes positivos.  
         
  1. ((ab ^ 2) ^ 3 )
  2.      
  3. ((2t) ^ {15} )
  4.      
  5. ((- 2w ^ 3) ^ 3 )
  6.      
  7. ( dfrac {1} {(- 7z) ^ 4} )
  8.      
  9. ((e ^ {- 2} f ^ 2) ^ 7 )
  10.  
 

Solución

 

Use las reglas de producto y cociente y las nuevas definiciones para simplificar cada expresión.

 

a. ((ab ^ 2) ^ 3 = (a) ^ 3 times (b ^ 2) ^ 3 = a ^ {1 times3} times b ^ {2 times3} = a ^ 3b ^ 6 ) [ 19459003]  

b. ((2t) ^ {15} = (2) ^ {15} times (t) ^ {15} = 2 ^ {15} t ^ {15} = 32,768t ^ {15} )

 

c. ((- 2w ^ 3) ^ 3 = (- 2) ^ 3 times (w ^ 3) ^ 3 = −8 times w ^ {3 times3} = – 8w ^ 9 )

 

d. ( dfrac {1} {(- 7z) ^ 4} = dfrac {1} {(- 7) ^ 4 times (z) ^ 4} = dfrac {1} {2401z ^ 4} ) [ 19459003]  

e. ((e ^ {- 2} f ^ 2) ^ 7 = (e ^ {- 2}) ^ 7 times (f ^ 2) ^ 7 = e ^ {- 2 times7} times f ^ {2 times7} = e ^ {- 14} f ^ {14} = dfrac {f ^ {14}} {e ^ {14}} )

 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Simplifique cada uno de los siguientes productos tanto como sea posible utilizando el poder de una regla de producto. Escribe respuestas con exponentes positivos.

 
         
  1. ((g ^ 2h ^ 3) ^ 5 )
  2.      
  3. ((5t) ^ 3 )
  4.      
  5. ((- 3 años ^ 5) ^ 3 )
  6.      
  7. ( dfrac {1} {(a ^ 6b ^ 7) ^ 3} )
  8.      
  9. ((r ^ 3s ^ {- 2}) ^ 4 )
  10.  
 
     
Responda a
     
     

(g ^ {10} h ^ {15} )

     
     
Respuesta b
     
     

(125t ^ 3 )

     
     
Respuesta c
     
     

(- 27 años ^ {15} )

     
     
Respuesta d
     
     

( dfrac {1} {a ^ {18} b ^ {21}} )

     
     
Respuesta e
     
     

( dfrac {r ^ {12}} {s ^ 8} )

     
 
 
 

Encontrar el poder de un cociente

 

Para simplificar el poder de un cociente de dos expresiones, podemos usar el poder de una regla de cociente, que establece que el poder de un cociente de factores es el cociente de los poderes de los factores. Por ejemplo, veamos el siguiente ejemplo.

[(e ^ {- 2} f ^ 2) ^ 7 = dfrac {f ^ {14}} {e ^ {14}} ]  

Reescribamos el problema original de manera diferente y veamos el resultado.

 

[ begin {align *} (e ^ {- 2} f ^ 2) ^ 7 & = left ( dfrac {f ^ 2} {e ^ 2} right) ^ 7 \ & = dfrac {f ^ {14}} {e ^ {14}} end {align *} ]

 

Parece de los dos últimos pasos que podemos usar el poder de una regla de producto como un poder de una regla de cociente.

[ begin {align *} (e ^ {- 2} f ^ 2) ^ 7 & = left ( dfrac {f ^ 2} {e ^ 2} right) ^ 7 \ & = dfrac { (f ^ 2) ^ 7} {(e ^ 2) ^ 7} \ & = dfrac {f ^ {2 times7}} {e ^ {2 times7}} \ & = dfrac {f ^ {14}} {e ^ {14}} end {align *} ]    
 
 

EL PODER DE UNA REGLA DE EXPONENTES COTIENTE

 
 

Para cualquier número real a y by cualquier número entero n, el poder de una regla de cociente de exponentes establece que

 
 

[ left ( dfrac {a} {b} right) ^ n = dfrac {a ^ n} {b ^ n} ]

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Uso del poder de una regla de cociente

 

Simplifique cada uno de los siguientes cocientes tanto como sea posible utilizando el poder de una regla de cociente. Escribe respuestas con exponentes positivos.

 
         
  1. ( left ( dfrac {4} {z ^ {11}} right) ^ 3 )
  2.      
  3. ( left ( dfrac {p} {q ^ 3} right) ^ 6 )
  4.      
  5. ( left ( dfrac {-1} {t ^ 2} right) ^ {27} )
  6.      
  7. ((j ^ 3k ^ {- 2}) ^ 4 )
  8.      
  9. ((m ^ {- 2} n ^ {- 2}) ^ 3 )
  10.  
 

Solución

 

a. ( left ( dfrac {4} {z ^ {11}} right) ^ 3 = dfrac {(4) ^ 3} {(z ^ {11}) ^ 3} = dfrac {64} { z ^ {11 times3}} = dfrac {64} {z ^ {33}} )

 

b. ( left ( dfrac {p} {q ^ 3} right) ^ 6 = dfrac {(p) ^ 6} {(q ^ 3) ^ 6} = dfrac {p ^ {1 times6} } {q ^ {3 times6}} = dfrac {p ^ 6} {q ^ {18}} )

 

c. ( left ( dfrac {-1} {t ^ 2} right) ^ {27} = dfrac {(- 1) ^ {27}} {(t ^ 2) ^ {27}} = dfrac {-1} {t ^ {2 times27}} = dfrac {-1} {t ^ {54}} = – dfrac {1} {t ^ {54}} )

 

d. ((j ^ 3k ^ {- 2}) ^ 4 = left ( dfrac {j ^ 3} {k ^ 2} right) ^ 4 = dfrac {(j ^ 3) ^ 4} {(k ^ 2) ^ 4} = dfrac {j ^ {3 times4}} {k ^ {2 times4}} = dfrac {j ^ {12}} {k ^ 8} )

 

e. ((m ^ {- 2} n ^ {- 2}) ^ 3 = left ( dfrac {1} {m ^ 2n ^ 2} right) ^ 3 = dfrac {(1) ^ 3} { (m ^ 2n ^ 2) ^ 3} = dfrac {1} {(m ^ 2) ^ 3 (n ^ 2) ^ 3} = dfrac {1} {m ^ {2 times3} n ^ {2 times3}} = dfrac {1} {m ^ 6n ^ 6} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Simplifique cada uno de los siguientes cocientes tanto como sea posible utilizando el poder de una regla de cociente. Escribe respuestas con exponentes positivos.

 
         
  1. ( left ( dfrac {b ^ 5} {c} right) ^ 3 )
  2.      
  3. ( left ( dfrac {5} {u ^ 8} right) ^ 4 )
  4.      
  5. ( left ( dfrac {-1} {w ^ 3} right) ^ {35} )
  6.      
  7. ((p ^ {- 4} q ^ 3) ^ 8 )
  8.      
  9. ((c ^ {- 5} d ^ {- 3}) ^ 4 )
  10.  
 
     
Responda a
     
     

( dfrac {b ^ {15}} {c ^ 3} )

     
     
Respuesta b
     
     

( dfrac {625} {u ^ {32}} )

     
     
Respuesta c
     
     

( dfrac {-1} {w ^ {105}} )

     
     
Respuesta d
     
     

( dfrac {q ^ {24}} {p ^ {32}} )

     
     
Respuesta e
     
     

( dfrac {1} {c ^ {20} d ^ {12}} )

     
 
 
 

Simplificación de expresiones exponenciales

 

Recuerde que simplificar una expresión significa reescribirla combinando términos o exponentes; en otras palabras, escribir la expresión de manera más simple con menos términos. Las reglas para exponentes se pueden combinar para simplificar expresiones.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ): Simplificación de expresiones exponenciales

  
Simplifique cada expresión y escriba la respuesta solo con exponentes positivos.  
         
  1. ((6m ^ 2n ^ {- 1}) ^ 3 )
  2.      
  3. (17 ^ 5 times17 ^ {- 4} times17 ^ {- 3} )
  4.      
  5. ( left ( dfrac {u ^ {- 1} v} {v ^ {- 1}} right) ^ 2 )
  6.      
  7. ((- 2a ^ 3b ^ {- 1}) (5a ^ {- 2} b ^ 2) )
  8.      
  9. ((x ^ 2 sqrt {2}) ^ 4 (x ^ 2 sqrt {2}) ^ {- 4} )
  10.      
  11. ( dfrac {(3w ^ 2) ^ 5} {(6w ^ {- 2}) ^ 2} )
  12.  
 

Solución

 

a. [ begin {align *} (6m ^ 2n ^ {- 1}) ^ 3 & = (6) ^ 3 (m ^ 2) ^ 3 (n ^ {- 1}) ^ 3 text {El poder de una regla de producto} \ & = 6 ^ 3m ^ {2 times3} n ^ {- 1 times3} text {La regla de poder} \ & = 216m ^ 6n ^ {- 3} text {La regla de poder } \ & = dfrac {216m ^ 6} {n ^ 3} text {La regla del exponente negativo} end {align *} ]

 

b. [ begin {align *} 17 ^ 5 times17 ^ {- 4} times17 ^ {- 3} & = 17 ^ {5-4-3} text {La regla del producto} \ & = 17 ^ { -2} text {Simplify} \ & = dfrac {1} {17 ^ 2} text {or} dfrac {1} {289} text {La regla del exponente negativo} end {align *} ]

 

c. [ begin {align *} left ( dfrac {u ^ {- 1} v} {v ^ {- 1}} right) ^ 2 & = dfrac {(u ^ {- 1} v) ^ 2} {(v ^ {- 1}) ^ 2} text {El poder de una regla de cociente} \ & = dfrac {u ^ {- 2} v ^ 2} {v ^ {- 2}} text {El poder de una regla de producto} \ & = u ^ {- 2} v ^ {2 – (- 2)} text {La regla del cociente} \ & = u ^ {- 2} v ^ 4 text {Simplify} \ & = dfrac {v ^ 4} {u ^ 2} text {La regla del exponente negativo} end {align *} ]

 

d. [ begin {align *} left (-2a ^ 3b ^ {- 1} right) left (5a ^ {- 2} b ^ 2 right) & = left (x ^ 2 sqrt {2 } right) ^ {4-4} text {Leyes conmutativas y asociativas de la multiplicación} \ & = -10 times a ^ {3-2} times b ^ {- 1 + 2} text {El producto regla} \ & = -10ab text {Simplify} end {align *} ]

 

e. [ begin {align *} left (x ^ 2 sqrt {2}) ^ 4 (x ^ 2 sqrt {2} right) ^ {- 4} & = left (x ^ 2 sqrt { 2} right) ^ {4-4} text {La regla del producto} \ & = left (x ^ 2 sqrt {2} right) ^ 0 text {Simplify} \ & = 1 text {La regla del exponente cero} end {align *} ]

 

f. [ begin {align *} dfrac {(3w ^ 2) ^ 5} {(6w ^ {- 2}) ^ 2} & = dfrac {(3) ^ 5 times (w ^ 2) ^ 5 } {(6) ^ 2 times (w ^ {- 2}) ^ 2} text {El poder de una regla de producto} \ & = dfrac {3 ^ 5w ^ {2 times5}} {6 ^ 2w ^ {- 2 times2}} text {The power rule} \ & = dfrac {243w ^ {10}} {36w ^ {- 4}} text {Simplify} \ & = dfrac {27w ^ {10 – (- 4)}} {4} text {La regla del cociente y la fracción reducida} \ & = dfrac {27w ^ {14}} {4} text {Simplify} end {align *} ]

 

Uso de la notación científica

 

Recuerde al comienzo de la sección que encontramos el número (1.3 times10 ^ {13} ) al describir bits de información en imágenes digitales. Otros números extremos incluyen el ancho de un cabello humano, que es aproximadamente (0.00005 ; m ), y el radio de un electrón, que es aproximadamente (0.00000000000047 ; m ). ¿Cómo podemos trabajar efectivamente para leer, comparar y calcular con números como estos?

 

Un método abreviado para escribir números muy pequeños y muy grandes se llama notación científica, en la cual expresamos los números en términos de exponentes de (10 ​​). Para escribir un número en notación científica, mueva el punto decimal a la derecha del primer dígito en el número. Escriba los dígitos como un número decimal entre (1 ) y (10 ​​). Cuente el número de lugares (n ) que movió el punto decimal. Multiplique el número decimal por (10 ​​) elevado a una potencia de (n ). Si movió el decimal a la izquierda como en un número muy grande, (n ) es positivo. Si movió el decimal a la derecha como en un pequeño número grande, (n ) es negativo.

 

Por ejemplo, considere el número (2,780,418 ). Mueva el decimal a la izquierda hasta que esté a la derecha del primer dígito distinto de cero, que es (2 ).

 

The number 2,780,418 is written with an arrow extending to another number: 2.780418. An arrow tracking the movement of the decimal point runs underneath the number. Above the number a label on the number reads: 6 places left.

 

Obtenemos (2.780418 ) moviendo el punto decimal (6 ) lugares a la izquierda. Por lo tanto, el exponente de (10 ​​) es (6 ), y es positivo porque movimos el punto decimal a la izquierda. Esto es lo que deberíamos esperar para un gran número.

 

(2.780418 veces {10} ^ 6 )

 

Trabajar con números pequeños es similar. Tome, por ejemplo, el radio de un electrón, (0.00000000000047 ; m ). Realice la misma serie de pasos que el anterior, excepto que mueva el punto decimal a la derecha.

 

The number 0.00000000000047 is written with an arrow extending to another number: 00000000000004.7. An arrow tracking the movement of the decimal point runs underneath the number. Above the number a label on the number reads: 13 places right.

 

Tenga cuidado de no incluir el (0 ) inicial en su recuento. Movimos el punto decimal (13 ) lugares a la derecha, por lo que el exponente de (10 ​​) es (13 ). El exponente es negativo porque movimos el punto decimal a la derecha. Esto es lo que deberíamos esperar para un pequeño número.

 

(4,7 veces {10} ^ {- 13} )

 
 
 

NOTACIÓN CIENTÍFICA

 

Un número se escribe en notación científica si se escribe en la forma (a times {10} ^ n ), donde (1≤ | a | <10 ) y (n ) es un entero.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ): Convertir notación estándar en notación científica

 

Escribe cada número en notación científica.

 
         
  1. Distancia a la galaxia de Andrómeda desde la Tierra: (24,000,000,000,000,000,000,000 ; m )
  2.      
  3. Diámetro de la galaxia de Andrómeda: (1,300,000,000,000,000,000,000 ; m )
  4.      
  5. Número de estrellas en la galaxia de Andrómeda: (1,000,000,000,000 )
  6.      
  7. Diámetro del electrón: (0.00000000000094 ; m )
  8.      
  9. Probabilidad de ser alcanzado por un rayo en cualquier año: (0.00000143 )
  10.  
 

Solución

 

a. (24,000,000,000,000,000,000,000 ; m ) (22 ) lugares

 

(2,4 veces {10} ^ {22} ; m )

 

b. (1,300,000,000,000,000,000,000 ; m ) (21 ) lugares

 

(1.3 veces {10} ^ {21} ; m )

 

c. (1,000,000,000,000 ) (12 ) lugares

 

(1 veces {10} ^ {12} )

 

d. (0.00000000000094 ; m ) (13 ) lugares

 

(9,4 veces {10} ^ {- 13} ; m )

 

e. (0.00000143 ) (6 ) lugares

 

(1.43 veces {10} ^ 6 )

  Análisis
 

Observe que, si el número dado es mayor que (1 ), como en los ejemplos a – c, el exponente de (10 ​​) es positivo; y si el número es menor que (1 ), como en los ejemplos d – e, el exponente es negativo.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Escribe cada número en notación científica.

 
         
  1. Deuda nacional de EE. UU. Por contribuyente (abril de 2014): ( $ 152,000 )
  2.      
  3. Población mundial (abril de 2014): (7,158,000,000 )
  4.      
  5. Ingreso nacional bruto mundial (abril de 2014): ( $ 85,500,000,000,000 )
  6.      
  7. Tiempo para que la luz viaje (1 ; m: 0.00000000334 ; s )
  8.      
  9. Probabilidad de ganar la lotería (partido (6 ) de (49 ) números posibles): (0.0000000715 )
  10.  
 
     
Responda a
     
     

($1.52times{10}^5)

     
 
 
     
Answer b
     
     

(7.158times{10}^9)

     
 
 
     
Answer c
     
     

($8.55times{10}^{13})

     
 
 
     
Answer d
     
     

(3.34times{10}^{-9})

     
 
 
     
Answer e
     
     

(7.15times{10}^{-8})

     
 
 
 

Converting from Scientific to Standard Notation

 

To convert a number in scientific notation to standard notation, simply reverse the process. Move the decimal n places to the right if (n) is positive or (n) places to the left if (n) is negative and add zeros as needed. Remember, if (n) is positive, the value of the number is greater than (1), and if (n) is negative, the value of the number is less than one.

 
 

Example (PageIndex{11}): Converting Scientific Notation to Standard Notation

 

Convert each number in scientific notation to standard notation.

 
         
  1. (3.547times{10}^{14})
  2.      
  3. (−2times{10}^6)
  4.      
  5. (7.91times{10}^{−7})
  6.      
  7. (−8.05times{10}^{−12})
  8.  
 

Solution:

 

a. (3.547times{10}^{14})

 

(3.54700000000000)

 

(rightarrow14) places

 

(354,700,000,000,000)

 

b. (−2times{10}^6)

 

(−2.000000)

 

(rightarrow6) places

 

(−2,000,000)

 

c. (7.91times{10}^{−7})

 

(0000007.91)

 

(rightarrow7) places

 

(0.000000791)

 

d. (−8.05times{10}^{−12})

 

(−000000000008.05)

 

(rightarrow12) places

 

(−0.00000000000805)

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Convert each number in scientific notation to standard notation.

 
         
  1. (7.03times{10}^5)
  2.      
  3. (−8.16times{10}^{11})
  4.      
  5. (−3.9times{10}^{−13})
  6.      
  7. (8times{10}^{−6})
  8.  
 
     
Answer a
     
     

(703,000)

     
 
 
     
Answer b
     
     

(−816,000,000,000)

     
 
 
     
Answer c
     
     

(−0.00000000000039)

     
 
 
     
Answer d
     
     

(0.000008)

     
 
 
 

Using Scientific Notation in Applications

 

Scientific notation, used with the rules of exponents, makes calculating with large or small numbers much easier than doing so using standard notation. For example, suppose we are asked to calculate the number of atoms in (1; L) of water. Each water molecule contains (3) atoms ((2) hydrogen and (1) oxygen). The average drop of water contains around (1.32times{10}{21}) molecules of water and (1; L) of water holds about (1.22times{10}^{4}) average drops. Therefore, there are approximately (3⋅(1.32times{10}^{21})⋅(1.22times{10}^4)≈4.83times{10}^{25}) atoms in (1; L) of water. We simply multiply the decimal terms and add the exponents. Imagine having to perform the calculation without using scientific notation!

 

When performing calculations with scientific notation, be sure to write the answer in proper scientific notation. For example, consider the product ((7times{10}^4)⋅(5times{10}^6)=35times{10}^{10}). The answer is not in proper scientific notation because (35) is greater than (10). Consider (35) as (3.5times10). That adds a ten to the exponent of the answer.

 

((35)times{10}^{10}=(3.5times10)times{10}^{10}=3.5times(10times{10}^{10})=3.5times{10}^{11})

 
 

Example (PageIndex{12}): Using Scientific Notation

 

Perform the operations and write the answer in scientific notation.

 
         
  1. ((8.14times{10}^{−7})(6.5times{10}^{10}))
  2.      
  3. ((4times{10}^5)÷(−1.52times{10}^{9}))
  4.      
  5. ((2.7times{10}^5)(6.04times{10}^{13}))
  6.      
  7. ((1.2times{10}^8)÷(9.6times{10}^5))
  8.      
  9. ((3.33times{10}^4)(−1.05times{10}^7)(5.62times{10}^5))
  10.  
 

Solutions

 

a. [begin{align*} (8.14times{10}^{-7})(6.5times{10}^{10}) &= (8.14times6.5)({10}^{-7}times{10}^{10}) text{ Commutative and associative properties of multiplication}\ &= (52.91)({10}^3) text{ Product rule of exponents}\ &= 5.291times{10}^4 text{ Scientific notation} end{align*}]

 

b. [begin{align*} (4times{10}^5)div (-1.52times{10}^{9}) &= left(dfrac{4}{-1.52}right)left(dfrac{{10}^5}{{10}^9}right) text{ Commutative and associative properties of multiplication}\ &approx (-2.63)({10}^{-4}) text{ Quotient rule of exponents}\ &= -2.63times{10}^{-4} text{ Scientific notation} end{align*}]

 

c. [begin{align*} (2.7times{10}^5)(6.04times{10}^{13}) &= (2.7times6.04)({10}^5times{10}^{13}) text{ Commutative and associative properties of multiplication}\ &= (16.308)({10}^{18}) text{ Product rule of exponents}\ &= 1.6308times{10}^{18} text{ Scientific notation} end{align*}]

 

d. [begin{align*} (1.2times{10}^8)÷(9.6times{10}^5) &= left(dfrac{1.2}{9.6}right)left(dfrac{{10}^8}{{10}^5}right) text{ Commutative and associative properties of multiplication}\ &= (0.125)({10}^3) text{ Quotient rule of exponents}\ &= 1.25times{10}^2 text{ Scientific notation} end{align*}]

 

e. [begin{align*} (3.33times{10}^4)(-1.05times{10}^7)(5.62times{10}^5) &= [3.33times(-1.05)times5.62]({10}^4times{10}^7times{10}^5)\ &approx (-19.65)({10}^{16})\ &= -1.965times{10}^{17} end{align*}]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Perform the operations and write the answer in scientific notation.

 
         
  1. ((−7.5times{10}^8)(1.13times{10}^{−2}))
  2.      
  3. ((1.24times{10}^{11})÷(1.55times{10}^{18}))
  4.      
  5. ((3.72times{10}^9)(8times{10}^3))
  6.      
  7. ((9.933times{10}^{23})÷(−2.31times{10}^{17}))
  8.      
  9. ((−6.04times{10}^9)(7.3times{10}^2)(−2.81times{10}^2))
  10.  
 
     
Answer a
     
     

(−8.475times{10}^6)

     
 
 
     
Answer b
     
     

(8times{10}^{−8})

     
 
 
     
Answer c
     
     

(2.976times{10}^{13})

     
 
 
     
Answer d
     
     

(−4.3times{10}^6)

     
 
 
     
Answer e
     
     

(≈1.24times{10}^{15})

     
 
 
 
 

Example (PageIndex{13}): Applying Scientific Notation to Solve Problems

 

In April 2014, the population of the United States was about (308,000,000) people. The national debt was about ($17,547,000,000,000). Write each number in scientific notation, rounding figures to two decimal places, and find the amount of the debt per U.S. citizen. Write the answer in both scientific and standard notations.

 

Solution

 

The population was (308,000,000=3.08times{10}^8).

 

The national debt was ($17,547,000,000,000≈$1.75times{10}^{13}).

 

To find the amount of debt per citizen, divide the national debt by the number of citizens.

 

[begin{align*} (1.75times{10}^{13})div (3.08times{10}^8)&=left(dfrac{1.75}{3.08}right)({10}^5)\ &approx 0.57times{10}^5\ &=5.7times{10}^4 end{align*}]

 

The debt per citizen at the time was about ($5.7times{10}^4), or ($57,000).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

An average human body contains around (30,000,000,000,000) red blood cells. Each cell measures approximately (0.000008; m) long. Write each number in scientific notation and find the total length if the cells were laid end-to-end. Write the answer in both scientific and standard notations.

 
     
Answer
     
     

Number of cells: (3times{10}^{13}); length of a cell: (8times{10}^{−6}; m); total length: (2.4times{10}^8; m) or (240,000,000; m).

     
 
 
 

Access these online resources for additional instruction and practice with exponents and scientific notation.

 

Exponential Notation

 

Properties of Exponents

 

Zero Exponent

 

Simplify Exponent Expressions

 

Quotient Rule for Exponents

 

Scientific Notation

 

Converting to Decimal Notation

 
 

Key Equations

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                
Rules of Exponents                           For nonzero real numbers a and b and integers m and n
Product rule (a^m⋅a^n=a^{m+n})
Quotient rule (dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n})
Power rule ((a^m)^n=a^{m⋅n})
Zero exponent rule (a^0=1)
Negative rule (a^{−n}=dfrac{1}{a^n})
Power of a product rule ((a⋅b)^n=a^n⋅b^n)
Power of a quotient rule (left(dfrac{a}{b}right)^n=dfrac{a^n}{b^n})
 
 
 

Key Concepts

 
         
  • Products of exponential expressions with the same base can be simplified by adding exponents. See Example .
  •      
  • Quotients of exponential expressions with the same base can be simplified by subtracting exponents. See Example .
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  • Powers of exponential expressions with the same base can be simplified by multiplying exponents. See Example .
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  • An expression with exponent zero is defined as 1. See Example .
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  • An expression with a negative exponent is defined as a reciprocal. See Example and Example .
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  • The power of a product of factors is the same as the product of the powers of the same factors. See Example .
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  • The power of a quotient of factors is the same as the quotient of the powers of the same factors. See Example .
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  • The rules for exponential expressions can be combined to simplify more complicated expressions. See Example .
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  • Scientific notation uses powers of 10 to simplify very large or very small numbers. See Example and Example .
  •      
  • Scientific notation may be used to simplify calculations with very large or very small numbers. See Example and Example .
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