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las matematicas

1.3: Lógica

                 

Dos de las palabras más sutiles en el idioma inglés son las palabras “y” y “o”. Una tiene solo tres letras, las otras dos, pero es absolutamente sorprendente cuánta confusión pueden causar estas dos pequeñas palabras. Nuestra intención en esta sección es aclarar el misterio que rodea estas palabras y prepararlo para las matemáticas que dependen de una comprensión profunda de las palabras “y” y “o”.

 

Establecer notación

 

Comenzamos con la definición de un conjunto.

 
 

Definición 1

 

Un conjunto es una colección de objetos.

 
 

Los objetos en el conjunto podrían ser cualquier cosa: números, letras, nombres, ciudades, lo que sea. En esta sección nos enfocaremos en conjuntos de números, pero es importante entender que los objetos en un conjunto pueden ser lo que usted elija.

 

Si el número de objetos en un conjunto es finito y lo suficientemente pequeño, podemos describir el conjunto simplemente enumerando los elementos (objetos) en el conjunto. Esto generalmente se realiza encerrando la lista de objetos en el conjunto con llaves. Por ejemplo, deje que

 

[A = {1,3,5,7,9,11 } ]

 

Ahora, cuando nos referimos al conjunto A en la narración, todos deberían saber que estamos hablando del conjunto de números 1, 3, 5, 7, 9 y 11.

 

También es posible describir el conjunto A con palabras. Aunque hay muchas maneras de hacer esto, una descripción posible podría ser “Sea A el conjunto de números naturales impares entre 1 y 11, inclusive”. Esta técnica descriptiva es particularmente eficiente cuando el conjunto que está describiendo es infinito o demasiado grande para enumerarlo en una lista.

 

Por ejemplo, podríamos decir “que A sea el conjunto de todos los números reales que son mayores que 4”. Esto es mucho mejor que tratar de enumerar cada uno de los números en el conjunto A, lo que sería inútil en este caso. Otra posibilidad es combinar la notación de llaves con una descripción textual y escribir algo como

 

[A = {números reales que son mayores que 4 } ]

 

Si se nos pide que leamos esta notación en voz alta, diríamos “A es el conjunto de todos los números reales que son mayores que 4” o algo similar.

 

Hay varios métodos más sofisticados que podemos usar para describir un conjunto. Una descripción que usaremos a menudo se llama notación de generador de conjuntos y tiene la siguiente apariencia.

 

[A = {x: alguna declaración que describe x } ]

 

Es estándar leer la notación ( {x: quad } ) en voz alta de la siguiente manera: “El conjunto de todas las x tal que”. Es decir, el colon se pronuncia “tal que”. Luego leerías la descripción que sigue a los dos puntos. Por ejemplo, el conjunto

 

[A = {x: x <3 } ]

 

se lee en voz alta “A es el conjunto de todas las x, de modo que x es menor que 3.” Algunas personas prefieren usar una “barra” en lugar de dos puntos y escriben

 

[A = {x | text {alguna declaración que describe} x } ]

 

Esto también se pronuncia “A es el conjunto de todas las x tales que”, y luego leería la descripción del texto que sigue a la “barra”. Así, la notación

 

[A = {x | x <3 } ]

 

es idéntico a la notación (A = {x: x <3 } ) utilizada anteriormente y se lee exactamente de la misma manera, “A es el conjunto de todas las x de manera que x es menor que 3. " Preferimos la notación de colon, pero siéntase libre de usar la "barra" si le gusta más. Significa lo mismo.

 

Un momento de reflexión revelará el hecho de que la notación (A = {x: x <3 } ) no es lo suficientemente descriptiva. Probablemente sea seguro decir, ya que la descripción de x es "x <3", que esta notación se refiere a números que son menores que 3, pero ¿qué tipo de números? ¿Números naturales? Enteros? ¿Numeros racionales? ¿Numeros irracionales? ¿Numeros reales? La notación (A = {x: x <3 } ) realmente no cuenta toda la historia.

 

Solucionaremos esta deficiencia en un momento, pero primero recordemos que en nuestro capítulo preliminar, usamos símbolos específicos para representar ciertos conjuntos de números. De hecho, utilizamos lo siguiente:

 

[ begin {alineado} mathbb {N} & = { text {números naturales} } \ mathbb {Z} & = { text {integers} } \ mathbb { Q} & = { text {números racionales} } \ mathbb {R} & = { text {números reales} } end {alineado} ]

 

Podemos usar estos símbolos para ayudar a denotar el tipo de número descrito con nuestra notación de creador de conjuntos. Por ejemplo, si escribimos

 

[A = {x in mathbb {N}: x <3 } ]

 

luego decimos “A es el conjunto de todas las x en los números naturales, de modo que x es menor que 3”, o más simplemente, “el conjunto de todos los números naturales que son menores que 3”. El símbolo ∈ es la letra griega “épsilon”, y cuando se usa en notación de generador de conjuntos, se pronuncia “es un elemento de” o “está en”. Por supuesto, los únicos números naturales ( mathbb {N} = {1,2,3, ldots } ) que son menores que 3 son los números naturales 1 y 2. Por lo tanto, (A = {1 , 2} ), el “conjunto cuyos miembros son 1 y 2”.

 

Por otro lado, si escribimos

 

[A = {x in mathbb {Z}: x <3 } ]

 

luego decimos que “A es el conjunto de x en el conjunto de enteros de modo que x es menor que 3”, o más informalmente, “A es el conjunto de todos los enteros menor que 3.” Por supuesto, los enteros ( mathbb {Z} = {0, pm 1, pm 2, pm 3, ldots } ^ {2} ) menores que 3 son infinitos en número. No podemos enumerarlos a todos a menos que apelemos a la imaginación con algo como

 

[A = { ldots, -3, -2, -1,0,1,2 } ]

 

Los puntos suspensivos. . . significa “etc.” Hemos enumerado suficientes números para establecer un patrón, por lo que se nos permite decir “y así sucesivamente”. El lector intuye que los números anteriores en la lista son −4, −5, etc.

 

Veamos otro ejemplo. Supongamos que escribimos [A = {x in mathbb {R}: x <3 } ]

 

Luego decimos “A es el conjunto de todas las x en el conjunto de números reales, de modo que x es menor que 3”, o más informalmente, “A es el conjunto de todos los números reales menores que 3”. Por supuesto, este es otro conjunto infinito y no es difícil imaginar que la notación ( {x in mathbb {R}: x <3 } ) utilizada anteriormente ya sea óptima para describir este conjunto de números reales.

 

En este texto, trataremos principalmente con conjuntos de números reales. Por lo tanto, a partir de este momento, si escribimos

 

[A = {x: x <3 } ]

 

asumiremos que queremos decir que “A es el conjunto de todos los números reales menores que 3”. Es decir, si escribimos (A = {x: x <3 } ), entendemos que esto significa (A = {x in mathbb {R}: x <3 } ). En el caso en que queramos usar un conjunto específico de números, indicaremos que, como lo hicimos anteriormente, por ejemplo, en (A = {x in mathbb {N}: x <3 } ).

 

La línea real y la notación de intervalo

 

Supongamos que dibujamos una línea (conocida cariñosamente como la “línea real”), luego trazamos un punto en cualquier lugar de esa línea, luego asignamos el número cero a ese punto (llamado “origen”), como se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ). En segundo lugar, decida una unidad de distancia y asigne el número 1 a ese punto, nuevamente mostrado en la Figura ( PageIndex {1} ).

 
F1.jpg
Figura ( PageIndex {1} ) Estableciendo el origen y una unidad de longitud en la línea real.
 

Ahora que hemos establecido una unidad de distancia, cada número real corresponde a un punto en la línea real. Viceversa, cada punto en la línea real corresponde a un número real. Esto define una correspondencia uno a uno entre los números reales en ( mathbb {R} ) y los puntos en la línea real. De esta manera, el punto en la línea y el número real pueden considerarse sinónimos. La figura ( PageIndex {2} ) muestra varios números reales trazados en la línea real.

 

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Figura ( PageIndex {2} ) Números de muestra en la línea real.

 

Ahora, supongamos que se nos pide que sombreemos todos los números reales en el conjunto ( {x: x> 3 } ). Debido a que esto requiere que sombreemos cada número real que sea mayor que 3 (a la derecha de 3), usamos el sombreado que se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ) para representar el conjunto ( {x: x> 3 } ).

 
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Figura ( PageIndex {3} ). Sombrear todos los números reales mayores que 3.
 

Aunque técnicamente correcto, la imagen en la Figura 3 contiene más información de la que realmente se necesita. La imagen es aceptable, pero llena de gente. La información realmente importante es el hecho de que el sombreado comienza en 3 y luego se mueve hacia la derecha. Además, debido a que 3 no está en el conjunto ({x: x> 3} ), es decir, 3 no es mayor que 3, no sombreamos el punto correspondiente al número real 3. Tenga en cuenta que hemos indicado este hecho con un círculo “vacío” en 3 en la línea real.

 

Por lo tanto, al sombrear el conjunto ({x: x> 3} ) en la línea real, solo necesitamos etiquetar el punto final en 3, usar un círculo “vacío” en 3 y sombrear todos los números reales para a la derecha de 3, como se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ).

 

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Figura ( PageIndex {4} ). Sombrear todos los números reales mayores que 3. El punto final es la única información que debe etiquetarse. No es necesario mostrar otros puntos de verificación y / o etiquetas.

 

Debido a que estamos sombreando todos los números del 3 al infinito positivo en la Figura ( PageIndex {4} ), usaremos la siguiente notación de intervalo para representar este “intervalo” de números (todo entre 3 y el infinito positivo )

 

[(3, infty) = {x: x> 3 } ]

 

Del mismo modo, la Tabla ( PageIndex {1} ) enumera el generador de conjuntos y las anotaciones de intervalo, así como el sombreado de los conjuntos en la línea real, para varias situaciones, incluida la que se acaba de discutir.

 

Hay varios puntos de énfasis con respecto a los intervalos en la Tabla ( PageIndex {1} ).

 

1. Cuando queremos enfatizar que no estamos incluyendo un punto en la línea real, usamos un “círculo vacío”. Por el contrario, un “círculo lleno” significa que estamos incluyendo el punto en la línea real. Por lo tanto, las líneas reales en las dos primeras filas de la Tabla ( PageIndex {1} ) no incluyen el número 3, pero las líneas reales en las últimas dos filas en la Tabla ( PageIndex {1} ) sí incluyen el número 3.

 

2. El uso de un paréntesis en notación de intervalo significa que no estamos incluyendo ese punto final en el intervalo. Por lo tanto, el uso de paréntesis en ((- infty, 3) ) en la segunda fila de la Tabla ( PageIndex {1} ) significa que no estamos incluyendo el número 3 en el intervalo.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 
Línea numérica Notación de generador de conjuntos Notación de intervalo
WeChat60fa9f83dbd7d990596f8ef291ef3a48.png {x: x> 3} ((3, infty) )
WeChat5c2e27817c0c16536c5a4dcd8a304417.png {x: x <3} ((- infty, 3) )
WeChat1545c7003d775d30aa8df34d5bd762f0.png ( {x: x geq 3 } ) ([3, infty) )
WeChat25bf7fea68d20816b1419bdf8b5274cf.png ( {x: x leq 3 } ) ((- infty, 3] )
 

Tabla ( PageIndex {1} ) Líneas de números, notación de generador de conjuntos y notación de intervalo.

 

3. El uso de un paréntesis en notación de intervalo significa que estamos incluyendo el número entre paréntesis en el intervalo. Por lo tanto, el corchete utilizado en ([3, infty) ), como se ve en la tercera fila de la Tabla ( PageIndex {1} ), significa que estamos incluyendo el número 3 en el intervalo.

 

4. El uso de ( infty ) en ((3, infty) ) en la fila uno de la Tabla ( PageIndex {1} ) significa que estamos incluyendo cada número real mayor que 3 El uso de (- infty ) en ((- infty, 3] ) significa que estamos incluyendo todos los números reales menores o iguales que 3. Como (- infty ) y ( infty ) no son números reales, no tiene sentido incluirlos entre corchetes. Por lo tanto, siempre debe usar un paréntesis con (- infty ) o ( infty ).

 

Unión e intersección

 

La intersección de dos conjuntos A y B se define como sigue.

 
 

Definición 3

 

La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los objetos que están en A y en B. En símbolos, escribimos

 

[A cap B = {x: x en A text {y} x en B } ]

 
 

Para comprender esta definición, es absolutamente crucial que comprendamos el significado de la palabra “y”. La palabra “y” es una conjunción, utilizada entre las declaraciones P y Q, como en “Hoy está lloviendo y mi mejor amigo es el Llanero Solitario”. Para determinar la verdad o falsedad de esta declaración, primero debe examinar la verdad o falsedad de las declaraciones P y Q en cada lado de la palabra “y”.

 

La única forma en que el hablante dice la verdad es si ambas afirmaciones P y Q son verdaderas. En otras palabras, la afirmación “Está lloviendo hoy y mi mejor amigo es el Llanero Solitario” es verdadera si y solo si la afirmación “Está lloviendo hoy” es cierta y la afirmación “Mi mejor amigo es el Llanero Solitario” también es cierto cierto. A los lógicos les gusta inventar una construcción llamada tabla de verdad, como la que se muestra en la Tabla ( PageIndex {2} ).

 

Puntos en la Tabla ( PageIndex {2} ) a considerar:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 
P Q P y Q
T T T
T F F
F T F
F F F
 

Tabla ( PageIndex {2} ) Tabla de verdad para la conjunción “y”.

 
         
  • En la primera fila (después de la fila del encabezado) de la Tabla ( PageIndex {2} ), si las declaraciones P y Q son ambas verdaderas (indicadas con una T), entonces la declaración “P y Q” también es cierto.
  •      
  • En las filas restantes de la Tabla ( PageIndex {2} ), una u otra de las declaraciones P o Q son falsas (indicadas con una F), por lo que la declaración “P y Q” también es falsa.
  •  
 

Por lo tanto, la afirmación “P y Q” es verdadera si y solo si P es verdadera y Q es verdadera.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Si A = {1, 3, 5, 7, 9} y B = {2, 5, 7, 8, 11}, encuentre la intersección de A y B.

 

Solución

 

Como recordatorio, la intersección de A y B es

 

[A cap B = {x: x en A text {y} x en B } ]

 

Por lo tanto, estamos buscando los objetos que están en A y en B. Los únicos objetos que están en A y en B (recuerde, ambas afirmaciones “en A” y “en B” deben ser verdaderas) son 5 y 7, entonces escribimos:

 

[A cap B = {5,7 } ]

 

Los matemáticos y los lógicos usan una ayuda visual llamada Diagrama de Venn para representar conjuntos. John Venn fue un matemático inglés que ideó esta visualización de las relaciones lógicas. Considere la elipse A en la Figura ( PageIndex {5} ). Todo dentro del límite de esta elipse constituye el conjunto A = {1, 3, 5, 7, 9}. Es por eso que ves estos números dentro del límite de esta elipse.

 

Considere la elipse B en la Figura ( PageIndex {5} ). Todo dentro del límite de esta elipse constituye el conjunto B = {2, 5, 7, 8, 11}. Es por eso que ves estos números dentro del límite de esta elipse.

 
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Figura ( PageIndex {5} ) Diagrama de Venn
 

Ahora, tenga en cuenta que solo dos números, 5 y 7, están contenidos dentro de los límites de A y B. Estos son los números que están en la intersección de los conjuntos A y B.

 
 

La región sombreada en la Figura ( PageIndex {6} ) es el área que pertenece a ambos conjuntos A y B. Observe cómo esta región sombreada se denomina acertadamente “la intersección de los conjuntos A y B”. Esta es la región que es común a los conjuntos A y B, la región donde los conjuntos A y B se superponen o “se cruzan”.

 
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Figura ( PageIndex {6} ) La región sombreada es la intersección de los conjuntos A y B. Es decir, la región sombreada es (A cap B ).
 

Esto lleva al siguiente consejo importante.

 
 

Nota

 

Cuando se le pide que encuentre la intersección de dos conjuntos A y B, mire para ver dónde se intersecan o se superponen los conjuntos. Es decir, mira para ver los elementos que están en ambos conjuntos A y B.

 
 

Pasemos a la definición de la unión de dos conjuntos A y B.

 
 

Definición

 

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los objetos que están en A o en B. En símbolos, escribimos

 

[A cup B = {x: x en A text {o} x en B } ]

 
 

Para comprender esta definición, es fundamental que comprendamos el significado de la palabra “o”. La palabra “o” es una disyunción, utilizada entre las declaraciones P y Q, como en “Hoy está lloviendo o mi mejor amigo es el Llanero Solitario”. Para determinar la verdad o falsedad de esta declaración, primero debe examinar la verdad o falsedad de las declaraciones P y Q en cada lado de la palabra “o”.

 

El hablante dice la verdad si la afirmación P es verdadera o la afirmación Q es verdadera. En otras palabras, la afirmación “Está lloviendo hoy o mi mejor amigo es el Llanero Solitario” es verdadera si y solo si la afirmación “Está lloviendo hoy” es cierta o la afirmación “Mi mejor amigo es el Llanero Solitario” es verdadera . A los lógicos les gusta inventar una construcción llamada tabla de verdad, como la que se muestra en la Tabla ( PageIndex {3} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 
P Q P o Q
T T T
T F T
F T T
F F F
 

Tabla ( PageIndex {3} ) Tabla de verdad para la conjunción “o”.

 

Puntos en la Tabla ( PageIndex {3} ) a considerar:

 
         
  • En la última fila de la Tabla ( PageIndex {3} ), ambas declaraciones P y Q son falsas (indicadas con una F), por lo que la declaración P o Q también es falsa.
  •      
  • En las primeras tres filas (después de la fila del encabezado) de la Tabla ( PageIndex {3} ), la declaración P es verdadera o la declaración Q es verdadera (indicada con una T), por lo que la declaración P o Q es También cierto.
  •  
 

Por lo tanto, la afirmación “P o Q” es verdadera si y solo si cualquiera de las afirmaciones, P o Q, es verdadera.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Si A = {1, 3, 5, 7, 9} y B = {2, 5, 7, 8, 11}, encuentre la unión de A y B.

 

Solución

 

Como recordatorio, la unión de A y B es [A cup B = {x: x en A text {o} x en B } ]

 

Por lo tanto, un objeto está en la unión de A y B si y solo si está en cualquiera de los conjuntos. Los números que están en cualquier conjunto son los números [A cup B = {1,2,3,5,7,8,9,11 } ]

 

Si volvemos a mirar el diagrama de Venn en la figura ( PageIndex {5} ), vemos que esta unión (A cup B ) = {1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 11} enumera cada número que está en cualquiera de los conjuntos en la Figura ( PageIndex {5} ).

 
 

Por lo tanto, la región sombreada en la Figura ( PageIndex {7} ) es la unión de los conjuntos A y B. Observe cómo esta región está bien nombrada, ya que eso es lo que realmente está haciendo, tomando la “unión ”De los dos conjuntos A y B. Es decir, la unión contiene todos los elementos que pertenecen a A o B. Menos formalmente, la unión es una forma de combinar todo lo que ocurre en cualquiera de los conjuntos.

 
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Figura ( PageIndex {7} ). La región sombreada es la unión de los conjuntos A y B. Es decir, la región sombreada es (A cup B ).
 

Esto lleva al siguiente consejo importante.

 
 

Nota

 

Cuando se le pide que encuentre la unión de dos conjuntos A y B, en su respuesta, incluya todo de ambos conjuntos.

 
 

Desigualdades compuestas simples

 

Apliquemos lo que hemos aprendido para encontrar las uniones y / o intersecciones de intervalos de números reales. El enfoque más fácil es a través de una serie de ejemplos. Vamos a empezar.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

En la línea real, dibuje el conjunto de números reales en el conjunto {x: x <3 o x <5}. Use la notación de intervalo para describir su respuesta final.

 

Solución

 

Primero, dibujemos dos conjuntos, {x: x <3} y {x: x <5}, en líneas reales separadas, una encima de la otra como se muestra en la Figura ( PageIndex {8} ).

 
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Figura ( PageIndex {8} ) Dibuje cada conjunto por separado.
 

Ahora, para esbozar la solución, observe la palabra “o” en el conjunto {x: x <3 o x <5}. Por lo tanto, necesitamos tomar la unión de las dos líneas reales sombreadas en la Figura ( PageIndex {8} ). Es decir, necesitamos sombrear todo lo que está sombreado en cualquiera de las dos líneas numéricas. Por supuesto, esto sería todo menos de 5, como se muestra en la Figura ( PageIndex {9} ).

 
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Figura ( PageIndex {9} ) La solución final es la unión de los dos conjuntos sombreados en la Figura ( PageIndex {8} ).
 

Por lo tanto, la solución final es {x: x <5}, que en notación de intervalo es ((- infty, 5) ).

 
 

Veamos otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

En la línea real, dibuje el conjunto de números reales en el conjunto {x: x <3 y x <5}. Use la notación de intervalo para describir su respuesta final.

 

Solución

 

En el ejemplo ( PageIndex {3} ), se le pidió que sombreara el conjunto {x: x <3 o x <5} en la línea real. En este ejemplo, se nos pide que esbocemos el conjunto {x: x <3 y x <5}. Tenga en cuenta que las anotaciones del generador de conjuntos son idénticas, excepto por un cambio, la "o" del Ejemplo ( PageIndex {3} ) ha sido reemplazada por la palabra "y".

 

Nuevamente, dibuje dos conjuntos, {x: x <3} y {x: x <5}, en líneas reales separadas, una encima de la otra como se muestra en la Figura ( PageIndex {10} ).

 
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Figura ( PageIndex {10} ). Dibuja cada conjunto por separado.
 

Ahora, para esbozar la solución, observe la palabra “y” en el conjunto {x: x <3 y x <5}. Por lo tanto, necesitamos tomar la intersección de las dos líneas reales sombreadas en la Figura ( PageIndex {10} ) .. Es decir, necesitamos sombrear todo lo que es común a las dos líneas numéricas. Por supuesto, esto sería todo menos de 3, como se muestra en la Figura ( PageIndex {11} ).

 
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Figura ( PageIndex {11} ). La solución final es la intersección de los dos conjuntos sombreados en la Figura ( PageIndex {10} ).
 

Por lo tanto, la solución final es {x: x <3}, que en notación de intervalo es ((- infty, 3) ).

 
 
 

Nota

 

Si responde “o” cuando la respuesta requiere “y”, o viceversa, no ha cometido un error menor. De hecho, este es un gran error, como se demuestra en el Ejemplo ( PageIndex {3} ) y el Ejemplo ( PageIndex {4} ).

 
 

Antes de intentar otro ejemplo, hacemos una pausa para definir un poco de notación que será extremadamente importante en nuestro próximo trabajo.

 
 

Definición

 

La notación

 

[a  

se interpreta que significa

 

[x> a text {y} x  

 

Alternativamente, podríamos haber dicho que a a”. Preferimos decir “x> a y x  

El punto realmente clave para hacer aquí es el hecho de que la declaración a  

Veamos un ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

En la línea real, dibuje el conjunto de números reales en el conjunto {x: 3  

Solución

 

Primero, escriba lo que significa la notación {x: 3  

[ {x: x> 3 text {y} x <5 } ]

 

Por lo tanto, el primer paso es dibujar los conjuntos {x: x> 3} y {x: x <5} en líneas reales individuales, apiladas una encima de la otra, como se muestra en la Figura ( PageIndex {12} ).

 
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Figura ( PageIndex {12} ). Dibuja cada conjunto por separado.
 

Ahora, para esbozar la solución, observe la palabra “y” en el conjunto {x: x> 3 y x <5}. Por lo tanto, necesitamos tomar la intersección de las dos líneas en la Figura ( PageIndex {12} ). Es decir, necesitamos sombrear los números en la línea real que son comunes a las dos líneas que se muestran en la Figura ( PageIndex {12} ). Los números 3 y 5 no están sombreados en ambos conjuntos en la Figura ( PageIndex {12} ), por lo que no estarán sombreados en nuestra solución final. Sin embargo, todos los números reales entre 3 y 5 están sombreados en ambos conjuntos en la Figura ( PageIndex {12} ), por lo que estos números estarán sombreados en la solución final que se muestra en la Figura ( PageIndex {13} ).

 
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Figura ( PageIndex {13} ). La solución final es la intersección de los dos conjuntos sombreados en la Figura ( PageIndex {12} ).
 

De la manera más natural, la notación de intervalo para la solución sombreada en la Figura ( PageIndex {13} ) es (3, 5). Es decir,

 

[(3,5) = {x: 3  

 

Del mismo modo, aquí están las anotaciones de generador de conjuntos y de intervalo, así como el sombreado de los conjuntos en la línea real, para varias situaciones, incluida la que se acaba de discutir.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
Línea numérica Notación de generador de conjuntos Notación de intervalo
WeChatbda14c0e8f5c8d2cdca47a2ae2711cd8.png ( {x: 3               ((3,5) )
WeChata8fd3db058b13b5147fbb57ffbfa6eb7.png              

( {x: 3 leq x leq 5 } )

             
([3,5] )
WeChat817ee4b8a9e4af7c63ab82d72557a784.png ( {x: 3 leq x <5 } ) ([3,5) )
WeChatf49ae38c11cba9912f6c2f7b15f4671e.png ( {x: 3               ((3,5] )
 

Tabla ( PageIndex {4} ). Líneas numéricas, notación de generador de conjuntos y notación de intervalo.

 

Hay varios puntos de énfasis con respecto a los intervalos en la Tabla ( PageIndex {4} ).

 
         
  1. Cuando queremos enfatizar que no estamos incluyendo un punto en la línea real, usamos un “círculo vacío”. Por el contrario, un “círculo lleno” significa que estamos incluyendo el punto en la línea real. Por lo tanto, el intervalo en la primera fila de la Tabla ( PageIndex {4} ) no incluye los puntos finales en 3 y 5, pero el intervalo en la segunda fila de la Tabla ( PageIndex {4} ) incluye el puntos finales en 3 y 5.
  2.      
  3. El uso de un paréntesis en notación de intervalo significa que no estamos incluyendo ese punto final en el intervalo. Por lo tanto, los paréntesis utilizados en (3, 5) en la primera fila de la Tabla ( PageIndex {4} ) significa que no estamos incluyendo los números 3 y 5 en ese intervalo.
  4.      
  5. El uso de un paréntesis en notación de intervalo significa que estamos incluyendo el número entre paréntesis en el intervalo. Por lo tanto, los corchetes utilizados en [3, 5], como se ve en la segunda fila de la Tabla ( PageIndex {4} ), significa que estamos incluyendo los números 3 y 5 en el intervalo.
  6.      
  7. Finalmente, tenga en cuenta que algunos de nuestros intervalos están “abiertos” en un extremo pero “cerrados” (rellenos) en el otro extremo, como los de las filas 3 y 4 de la Tabla ( PageIndex {4} ).
  8.  
 
 

Definición

 

Alguna terminología:

 
         
  • El intervalo (3, 5) está abierto en cada extremo. Por lo tanto, llamamos al intervalo (3, 5) un intervalo abierto.
  •      
  • El intervalo [3, 5] está cerrado (lleno) en cada extremo. Por lo tanto, llamamos al intervalo [3, 5] un intervalo cerrado.
  •      
  • Los intervalos (3, 5] y [3, 5) no están abiertos ni cerrados.
  •  
 
 

Veamos otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

En la línea real, dibuje el conjunto de todos los números reales en el conjunto ( {x: x> 3 o x <5 } ). Use la notación de intervalo para describir su respuesta.

 

Solución

 

Tenga en cuenta que la única diferencia entre este ejemplo actual y el conjunto sombreado en el Ejemplo ( PageIndex {4} ) es el hecho de que hemos reemplazado la palabra “y” en ( {x: x> 3 y x <5 } ) con la palabra "o" en ( {x: x> 3 o x <5 } ). Pero, como hemos visto antes, esto puede marcar una gran diferencia.

 
 

Por lo tanto, el primer paso es dibujar los conjuntos ( {x: x> 3 } ) y ( {x: x <5 } ) en líneas reales individuales, apiladas una encima de la otra , como se muestra en la Figura ( PageIndex {14} ).

 
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Figura ( PageIndex {14} ). Dibuje cada conjunto por separado
 

Ahora, para esbozar la solución, tenga en cuenta la palabra “o” en el conjunto ( {x: x> 3 o x <5 } ). Por lo tanto, necesitamos tomar la unión de las dos líneas en la Figura ( PageIndex {14} ). Es decir, necesitamos sombrear los números en la línea real que están sombreados en cualquiera de las dos líneas que se muestran en la Figura ( PageIndex {14} ). Sin embargo, esto significa que tendremos que sombrear cada número en la línea, como se muestra en la Figura ( PageIndex {15} ). Notará que no hay etiquetas para 3 y 5 en la línea real en la Figura ( PageIndex {15} ), ya que no hay puntos finales en esta solución. Los puntos finales, si lo desea, están en infinito negativo y positivo.

 
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Figura ( PageIndex {15} ). La solución final es la unión de los dos conjuntos sombreados en la Figura ( PageIndex {14} ).
 

Por lo tanto, de la manera más natural, la notación de intervalo para la solución sombreada en la Figura ( PageIndex {15} ) es ((- infty, infty) ).

 

Veamos otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

En la línea real, dibuje el conjunto de todos los números reales en el conjunto ( {x: x <−1 or x> 3 } ). Use la notación de intervalo para describir su respuesta.

 

Solución

 

El primer paso es dibujar los conjuntos ( {x: x <−1 } ) y ( {x: x> 3 } ) en líneas reales separadas, apiladas una encima de la otra, como se muestra en la Figura ( PageIndex {16} ).

 
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Figura ( PageIndex {16} ). Dibuja cada conjunto por separado.
 

Para esbozar la solución, tenga en cuenta la palabra “o” en el conjunto ( {x: x <−1 o x> 3 } ). Por lo tanto, necesitamos tomar la unión de las dos líneas reales sombreadas en la Figura ( PageIndex {16} ). Es decir, necesitamos sombrear los números en la línea real que están sombreados en cualquier línea real en la Figura ( PageIndex {16} ). Por lo tanto, cada número menor que -1 está sombreado, así como cada número mayor que 3. El resultado se muestra en la Figura ( PageIndex {17} ).

 
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Figura ( PageIndex {17} ). La solución final es la unión de las líneas reales sombreadas en la Figura ( PageIndex {16} ).
 
 

Here is an important tip.

 
 

Note

 

If you wish to use interval notation correctly, follow one simple rule: Always sweep your eyes from left to right describing what you see shaded on the real line.

 
 

If we follow this advice, as we sweep our eyes from left to right across the real line shaded in Figure (PageIndex{17}), we see that numbers are shaded from negative infinity to −1, and from 3 to positive infinity. Thus, in a most natural way, the interval notation for the shaded solution set in Figure (PageIndex{17}) is

 

[(-infty,-1) cup(3, infty)]

 

There are several important points to make here:

 

Note how we used the union symbol (cup) to join the two intervals in ((-infty,-1) cup(3, infty)) in a natural manner.

 

The union symbol is used between sets of numbers, while the word “or” is used between statements about numbers. It is incorrect to exchange the roles of the union symbol and the word “or.” Thus, writing ({x : x<-1 cup x>3}) is incorrect, as it would also be to write ((-infty,-1)) or ((3, infty)).

 

We reinforce earlier discussion about the difference between “filled” and “open” circles, brackets, and parentheses in Table 5, where we include several comparisons of interval and set-builder notation, including the current solution to Example (PageIndex{7}).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 
Number line Set-builder notation Interval notation
WeChatf53d03f738331879eb0692dd8625d2f2.png ({x : x<-1) or (x>3}) ((-infty,-1) cup(3, infty))
WeChatba514ec0bdd1cb5c3f4d99acace2bb81.png ({x : x leq-1) or (x geq 3}) ((-infty,-1] cup[3, infty))
WeChat7b6757d8d32d2358f013f72f6cfbf85e.png ({x : x leq-1) or (x>3}) ((-infty,-1] cup(3, infty))
WeChat5608eb1ed2eb2db2316c100c505f1e6d.png ({x : x<-1) or (x geq 3}) ((-infty,-1) cup[3, infty))
 

Again, we reinforce the following points.

 
         
  • Note how sweeping your eyes from left to right, describing what is shaded on the real line, insures that you write the interval notation in the correct order.
  •      
  • A bracket is equivalent to a filled dot and includes the endpoint, while a parenthesis is equivalent to an open dot and does not include the endpoint.
  •  
 

Let’s do one last example that should forever cement the notion that there is a huge difference between the words “and” and “or.”

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

On the real line, sketch the set of all real numbers in the set ({x : x<-1) and (x>3}). Describe your solution.

 

Solution

 

First and foremost, note that the only difference between this example and Example (PageIndex{6}) is the fact that we changed the “or” in ({x : x<-1) or (x>3}) to an “and” in ({x : x<-1) and (x>3}). The preliminary sketches are identical to those in Figure 16.

 
WeChat408b237856b9c3870780b38d247eec26.png
Figure (PageIndex{18}). Sketch ({x : x<-1}) and ({x : x > 3}) on separate real lines.
 

Now, note the word “and” in ({x : x < −1 and x > 3}). Thus, we need to take the intersection of the shaded real lines in Figure (PageIndex{18}). That is, we need to shade on a single real line all of the numbers that are shaded on both real lines in Figure (PageIndex{18}). However, there are no points shaded in common on the real lines in Figure 18, so the solution set is empty, as shown in Figure (PageIndex{19}).

 
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Figure (PageIndex{19}). The solution is empty so we leave the real line blank.
 
 

Pretty impressive! The last two examples clearly demonstrate that if you interchange the roles of “and” and “or,” you have not made a minor mistake. Indeed, you’ve changed the whole meaning of the problem. So, be careful with your “ands” and “ors.”

 
                                  
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