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las matematicas

1.3: Los números racionales

                 

Comenzamos con la definición de un número racional.

 
 

Números racionales

 

Cualquier número que se pueda expresar en la forma (p / q ), donde (p ) y (q ) son enteros, (q neq 0 ), se llama un número racional. La letra ( mathbb {Q} ) se usa para representar el conjunto de números racionales. Es decir:

 

[ mathbb {Q} = left { dfrac {p} {q}: p text {y} q text {son enteros,} q neq 0 right } nonumber ]

 
 

Porque (- 2/3 ), (4/5 ) y (123 / (- 12) ) tienen la forma (p / q ), donde (p ) y (q ) son enteros, cada uno es un ejemplo de un número racional. Si crees que escuchas la palabra “fracción” cuando decimos “número racional”, estás en lo correcto en tu pensamiento. Cualquier número que se puede expresar como una fracción, donde el numerador y el denominador son enteros, es un número racional. Cada entero es también un número racional. Tomemos, por ejemplo, el entero (- 12 ). Hay varias formas en que podemos expresar (- 12 ) como una fracción con numerador y denominador entero, (- 12/1 ), (24 / (- 2) ), y (- 36 / 3 ) siendo unos pocos.

 

Reducción de fracciones a los términos más bajos

 

Primero, definimos qué se entiende por el máximo divisor común de dos enteros.

 
 

El mayor divisor común

 

Dados dos enteros (a ) y (b ), el máximo común divisor de (a ) y (b ) es el entero más grande que se divide de manera uniforme (sin resto) en ambos ( a y B). La notación ( operatorname {GCD} (a, b) ) se usa para representar el máximo divisor común de (a ) y (b ).

 
 

Por ejemplo, ( operatorname {GCD} (12,18) = 6, operatorname {GCD} (32,40) = 8, ) y ( operatorname {GCD} (18,27) = 9 ).

 

Ahora podemos indicar cuándo una fracción se reduce a los términos más bajos.

 
 

Términos más bajos

 

Se dice que una fracción (a / b ) se reduce a los términos más bajos si y solo si ( operatorname {GCD} (a, b) = 1 ).

 
 

Una técnica común utilizada para reducir una fracción a los términos más bajos es dividir el numerador y el denominador entre su máximo divisor común.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Reduzca (8/12 ) a los términos más bajos.

 

Solución

 

Tenga en cuenta que ( operatorname {GCD} (8,12) = 4 ). Divide el numerador y el denominador entre (4 ).

 

[ begin {alineado} dfrac {8} {12} & = dfrac {8 div 4} {12 div 4} quad color {Rojo} text {Divide el numerador y el denominador entre} operatorname {GCD} (8,12) = 4 \ & = dfrac {2} {3} quad color {Red} text {Simplifique el numerador y el denominador.} \ text {Por lo tanto,} 8 / 12 & = 2/3 end {alineado} nonumber ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Reducir: (- 48/60 ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 4/5 )

     
 
 
 

Recordemos la definición de un número primo .

 
 

Número primo

 

Un número natural mayor que uno es primo si y solo si sus únicos divisores son uno y él mismo.

 
 

Por ejemplo, (7 ) es primo (sus únicos divisores son (1 ) y (7 )), pero (14 ) no lo es (sus divisores son (1 ), (2 ), (7 ) y (14 )). De manera similar, (2 ), (3 ) y (5 ) son primos, pero (6 ), (15 ) y (21 ) no son primos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Reduzca (10/40 ) a los términos más bajos.

 

Solución

 

Tenga en cuenta que ( operatorname {GCD} (10,40) = 10 ). Divide el numerador y el denominador entre (10 ​​).

 

[ begin {alineado} dfrac {10} {40} & = dfrac {10 div 10} {40 div 10} quad color {Rojo} text {Divide el numerador y el denominador entre} operatorname {GCD} (10,40) = 10 \ & = dfrac {1} {4} quad color {Red} text {Simplifique el numerador y el denominador.} \ text {Por lo tanto,} 10 / 40 & = 1/4 end {alineado} nonumber ]

 

Solución alternativa

 

Utilice árboles de factores para expresar tanto el numerador como el denominador como producto de factores primos.

 
fig 1.3.1a.png
Figura ( PageIndex {1} )
 

Por lo tanto, (10 ​​= 2 cdot 5 ) y (40 = 2 cdot 2 cdot 2 cdot 5 ). Ahora, para reducir (10/40 ) a los términos más bajos, reemplace el numerador y el denominador con sus factorizaciones primas, luego cancele los factores que son comunes tanto al numerador como al denominador.

 

[ begin {alineado}
dfrac {10} {40} & = dfrac {2 cdot 5} {2 cdot 2 cdot 2 cdot 5} quad color {Rojo} text {Numerador y denominador de factor primo.} \
& = dfrac {{ color {Red} not} 2 cdot { color {Red} not} 5} {{ color {Red} not} 2 cdot 2 cdot 2 cdot { color {Red} not} 5} quad color {Red} text {Cancelar factores comunes.} \
& = dfrac {1} {4} quad color {Rojo} text {Simplificar numerador y denominador.}
end {alineado} ]

 

Cuando cancelamos un (2 ) tanto del numerador como del denominador, en realidad estamos dividiendo tanto el numerador como el denominador por (2 ). Se puede hacer una declaración similar sobre la cancelación de (5 ). Cancelar tanto (2 ) como a (5 ) es equivalente a dividir tanto el numerador como el denominador entre (10 ​​). Esto explica el (1 ) en el numerador cuando todos los factores se cancelan.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Reduzca (18/24 ) a los términos más bajos. .

 
     
Respuesta
     
     

(3/4 )

     
 
 
 

El ejemplo ( PageIndex {2} ) demuestra un punto importante.

 
 

Cuando se cancelan todos los factores

 

Cuando todos los factores se cancelan en numerador o denominador, el numerador o denominador resultante es igual a uno.

 
 

Multiplicación de fracciones

 

Primero, la definición.

 
 

Multiplicación de fracciones

 

Si (a / b ) y (c / d ) son dos fracciones, entonces su producto se define de la siguiente manera:

 

[ dfrac {a} {b} cdot dfrac {c} {d} = dfrac {a c} {b d} nonumber ]

 
 

Por lo tanto, para encontrar el producto de (a / b ) y (c / d ), simplemente multiplique los numeradores y los denominadores. Por ejemplo:

 

[ dfrac {1} {2} cdot dfrac {3} {4} = dfrac {3} {8} quad text {y} quad – dfrac {2} {5} cdot dfrac {7} {3} = – dfrac {14} {15} quad text {y} quad – dfrac {5} {8} cdot left (- dfrac {1} { 6} right) = dfrac {5} {48} nonumber ]

 

Al igual que la multiplicación entera, los signos similares producen una respuesta positiva, a diferencia de los signos producen una respuesta negativa. Por supuesto, cuando sea necesario, recuerde reducir su respuesta a los términos más bajos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Simplifique: (- dfrac {14} {20} cdot dfrac {10} {21} ).

 

Solución

 

Multiplica numeradores y denominadores, luego reduce a los términos más bajos.

 

[ begin {alineado}
– dfrac {14} {20} cdot dfrac {10} {21} & = – dfrac {140} {420} quad color {Rojo} text {Multiplicar numeradores y denominadores} \
& = – dfrac {2 cdot 2 cdot 5 cdot 7} {2 cdot 2 cdot 3 cdot 5 cdot 7} quad color { Rojo} text {Prime factor.} \
& = – dfrac {{ color {Red} not} 2 cdot { color {Red} not} 2 cdot { color {Red} not} 5 cdot { color {Red} not} 7} {{ color {Red} not} 2 cdot { color {Red} not} 2 cdot 3 cdot { color {Red { } not} 5 cdot { color {Red} not} 7} quad color {Red} text {Cancelar factores comunes.} \
& = – dfrac {1} {3} quad color {Red} text {Simplify.}
end {alineado} nonumber ]

 

Tenga en cuenta que cuando todos los factores se cancelan desde el numerador, queda un (1 ). Por lo tanto, ((- 14/20) cdot (10/21) = -1/3 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Simplifique: (- dfrac {8} {9} cdot left (- dfrac {27} {20} right) ).

 
     
Respuesta
     
     

(6/5 )

     
 
 
 
 

Regla de cancelación

 

Al multiplicar fracciones, cancele los factores comunes de acuerdo con la siguiente regla: “Cancelar un factor en un numerador por un factor idéntico en un denominador”.

 
 

La regla es “cancelar algo en la parte superior por algo en la parte inferior”. Por lo tanto, un enfoque alternativo para multiplicar fracciones es factorizar numeradores y denominadores en su lugar, luego cancelar un factor en un numerador por un factor idéntico en un denominador.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Simplifique: ( dfrac {15} {8} cdot left (- dfrac {14} {9} right) ).

 

Solución

 

Factoriza numeradores y denominadores en su lugar, luego cancela factores comunes en los numeradores por factores comunes en los denominadores.

 

[ begin {alineado}
dfrac {15} {8} cdot left (- dfrac {14} {9} right) & = dfrac {3 cdot 5} {2 cdot 2 cdot 2} cdot left (- dfrac {2 cdot 7} {3 cdot 3} right) quad color {Red} text {Factor numeradores y denominadores.} \ [19459033 ] & = dfrac {{ color {Red} not} 3 cdot 5} {{ color {Red} not} 2 cdot 2 cdot 2} cdot left (- dfrac {{ color {Rojo} not} 2 cdot 7} {{ color {Red} not} 3 cdot 3} right) quad color {Red} text {Cancelar un factor en un numerador para un factor común en un denominador.} \
& = – dfrac {35} {12} quad color {Rojo} text {Multiplicar numeradores y denominadores.}
end {alineado} nonumber ] [19459002 ]  

Tenga en cuenta que, a diferencia de los signos, se obtiene un producto negativo. Por lo tanto, ((15/8) cdot (-14/9) = -35/12 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Simplifique: (- dfrac {6} {45} cdot left (- dfrac {35} {14} right) )

 
     
Respuesta
     
     

(1/3 )

     
 
 
 

División de fracciones

 

Cada número racional distinto de cero tiene un inverso multiplicativo o recíproco .

 
 

El recíproco

 

Si (a ) es cualquier número racional distinto de cero, entonces (1 / a ) se denomina inverso multiplicativo o recíproco de (a ), y:

 

[a cdot dfrac {1} {a} = 1 nonumber ]

 
 

Tenga en cuenta que:

 

[2 cdot dfrac {1} {2} = 1 quad text {y} quad dfrac {3} {5} cdot dfrac {5} {3} = 1 quad texto {y} quad – dfrac {4} {7} cdot left (- dfrac {7} {4} right) = 1 nonumber ]

 

Por lo tanto, el recíproco de (2 ) es (1/2 ), el recíproco de (3/5 ) es (5/3 ) y el recíproco de (- 4 / 7 ) es (- 7/4 ). Tenga en cuenta que para encontrar el recíproco de un número, simplemente invierta el número (déle la vuelta). Ahora podemos definir el cociente de dos fracciones.

 
 

División de fracciones

 

Si (a / b ) y (c / d ) son dos fracciones, entonces su cociente se define de la siguiente manera:

 

[ dfrac {a} {b} div dfrac {c} {d} = dfrac {a} {b} cdot dfrac {d} {c} nonumber ]

 
 

La definición de división anterior se resume en la frase “invertir y multiplicar”.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Simplifique: (- dfrac {35} {21} div left (- dfrac {10} {12} right) ).

 

Solución

 

Invierte y multiplica, luego factoriza en el lugar y cancela factores comunes en un numerador para factores comunes en un denominador.

 

[ begin {alineado}
– dfrac {35} {21} div left (- dfrac {10} {12} right) & = – dfrac {35} {21} cdot left (- dfrac {12} {10} right) quad color {Red} text {Invertir y multiplicar.} \
& = – dfrac {5 cdot 7} {3 cdot 7} cdot left (- dfrac {2 cdot 2 cdot 3} {2 cdot 5} right) quad color {Red} text {Prime factor.} \
& = – dfrac {{ color {Red} not} 5 cdot { color {Red} not} 7} {{ color {Red} not} 3 cdot { color {Red} not} 7} cdot left (- dfrac {{ color {Red} not} 2 cdot 2 cdot { color {Red} not} 3} {{ color {Red} not} 2 cdot { color {Red} not} 5} right) quad color {Red} text {Cancelar factores comunes.} \
& = dfrac {2} {1} quad color {Red } text {Multiplicar numeradores y denominadores.} \ & = 2 quad color {Rojo} text {Simplificar.} end {alineado} nonumber ]

 

Tenga en cuenta que cuando se cancelan todos los factores en un denominador, queda un (1 ). Por lo tanto, ((- 35/21) ÷ (-10/12) = 2 ). Tenga en cuenta también que los signos similares producen un resultado positivo.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Simplifique: (- dfrac {4} {9} div dfrac {27} {81} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 4/3 )

     
 
 
 

Agregando fracciones

 

Primero la definición.

 
 

Adición de fracciones

 

Si dos fracciones tienen un denominador en común, suma los numeradores y coloca el resultado sobre el denominador común. En símbolos:

 

[ dfrac {a} {c} + dfrac {b} {c} = dfrac {a + b} {c} nonumber ]

 
 

Por ejemplo:

 

[- dfrac {3} {5} + dfrac {7} {5} = dfrac {4} {5} quad text {y} quad- dfrac {4} {3} + left (- dfrac {7} {3} right) = – dfrac {11} {3} quad text {y} quad dfrac {4} {7} + left (- dfrac {5} {7} right) = – dfrac {1} {7} nonumber ]

 

Si las fracciones no poseen un denominador común, primero cree fracciones equivalentes con un mínimo común denominador, luego agregue de acuerdo con la regla anterior.

 
 

Mínimo común denominador

 

Si las fracciones (a / b ) y (c / d ) no comparten un denominador común, el mínimo común denominador para (b ) y (d ), escrito ( mathrm {LCD} (b, d) ), se define como el número más pequeño divisible por ambos (b ) y (d ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Simplifique: (- dfrac {3} {8} + dfrac {5} {12} ).

 

Solución

 

El mínimo común denominador en este caso es el número más pequeño divisible por ambos (8 ) y (12 ). En este caso, ( mathrm {LCD} (8,12) = 24 ). Primero necesitamos hacer fracciones equivalentes con un denominador común de (24 ).

 

[ begin {alineado} – dfrac {3} {8} + dfrac {5} {12} & = – dfrac {3} {8} cdot dfrac { color {Red} 3 } { color {Red} 3} + dfrac {5} {12} cdot dfrac { color {Red} 2} { color {Red} 2} quad color {Red} text {Hacer equivalente fracción con un denominador común de} 24 \ & = – dfrac {9} {24} + dfrac {10} {24} quad color {Red} text {Multiplicar numeradores y denominadores.} \ & = dfrac {1} {24} quad color {Red} text {Add:} -9 + 10 = 1 end {alineado} nonumber ]

 

Observe cómo sumamos los numeradores en el último paso, colocando el resultado sobre el denominador común. Por lo tanto, (- 3/8 + 5/12 = 1/24 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Simplifique: (- dfrac {5} {6} + dfrac {1} {9} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 13/18 )

     
 
 
 

Orden de operaciones

 

Los números racionales obedecen el mismo orden de operaciones de reglas que los enteros.

 
 

Reglas para guiar el orden de operaciones

 

Al evaluar expresiones, proceda en el siguiente orden.

 
         
  1. Evalúe las expresiones contenidas en los símbolos de agrupación primero. Si los símbolos de agrupación están anidados, primero evalúe la expresión en el par de símbolos de agrupación más interno.
  2.      
  3. Evalúa todos los exponentes que aparecen en la expresión.
  4.      
  5. Realice todas las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen en la expresión, moviéndose de izquierda a derecha.
  6.      
  7. Realice todas las sumas y restas en el orden en que aparecen en la expresión, moviéndose de izquierda a derecha.
  8.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Dado (x = 2/3 ), (y = -3/5 ) y (z = 10/9 ), evalúa (xy + yz ).

 

Solución

 

Siguiendo Consejos para evaluar las expresiones algebraicas, reemplaza primero todas las ocurrencias de variables en la expresión (xy + yz ) con paréntesis abiertos. Luego, sustituya los valores dados de las variables ( (2/3 ) por (x ), (- 3/5 ) por (y ) y (10/9 ) por (z )) en paréntesis abiertos.

 

[ begin {alineado} x y + yz & = () (; 😉 + (; 😉 (; 😉 quad color {Rojo} text {Reemplazar variables con paréntesis} \ & = left ( dfrac {2} {3} right) left (- dfrac {3} {5} right) + left (- dfrac {3} {5} right ) left ( dfrac {10} {9} right) quad color {Red} text {Sustituir:} 2/3 text {para} x, -3 / 5 text {para} y, texto {y} 10/9 text {para} z end {alineado} nonumber ]

 

Utilice el Reglas para guiar el orden de operaciones para simplificar.

 

[ begin {alineado}
& = – dfrac {6} {15} + left (- dfrac {30} {45} right) quad color {Red} text { Multiplicar} \
& = – dfrac {2} {5} + left (- dfrac {2} {3} right) quad color {Red} text {Reduce} \ [19459033 ] & = – dfrac {2} {5} cdot dfrac {3} {3} + left (- dfrac {2} {3} cdot dfrac {5} {5} right) quad color {Rojo} text {Haga fracciones equivalentes con un} \
& = – dfrac {6} {15} + left (- dfrac {10} {15} right) quad color {Rojo} text {Mínimo común denominador} \
& = – dfrac {16} {15} quad color {Rojo} text {Agregar}
end {alineado} nonumber ]

 

Por lo tanto, si (x = 2/3, y = -3 / 5, ) y (z = 10/9, ) entonces (x y + yz = -16 / 15 ) [19459002 ]  

 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Dado (a = -1 / 2, b = 2/3 ) y (c = -3 / 4 ), evalúa la expresión (a + bc ) y simplifica el resultado.

 
     
Respuesta
     
     

(- 1 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Dado (x = -3 / 5 ), evalúa (- x ^ {3} ).

 

Solución

 

Primero, reemplace cada aparición de la variable (x ) con paréntesis abiertos, luego sustituya (- 3/5 ) por (x ).

 

[ begin {alineado}
-x ^ {3} & = – () ^ {3} quad color {Rojo} text {Reemplace x con paréntesis abiertos.} \
& = – left (- dfrac {3} {5} right) ^ {3} quad color {Red} text {Sustituya -3/5 por x} \
& = – left (- dfrac {3} {5} right) left (- dfrac {3} {5} right) left (- dfrac {3} {5} right) quad color {Red} text {Escriba -3/5 como factor tres veces} \
& = – left (- dfrac {27} {125} right) quad color {Red} text {El producto de Tres fracciones negativas son negativas. Multiplique numeradores y denominadores.} \
& = dfrac {27} {125} quad color {Red} text {El opuesto de -27/125 es 27/125}
end {alineado } nonumber ]

 

Por lo tanto, (- x ^ {3} = 27/125 ), dado (x = -3 / 5 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Simplifique: ((- 1/3) ^ {4} ).

 
     
Respuesta
     
     

(1/81 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Dado (a = -4 / 3 ) y (b = -3 / 2 ), evalúa (a ^ {2} +2 a b-3 b ^ {2} ).

 

Solución

 

Siguiendo Consejos para evaluar las expresiones algebraicas , primero reemplace todas las ocurrencias de variables en la expresión (a ^ {2} +2 a b-3 b ^ {2} ) con paréntesis abiertos.

 

Luego, sustituya los valores dados de las variables ( (- 4/3 ) por (a ) y (- 3/2 ) por (b )) en los paréntesis abiertos.

 

[ begin {alineado} a ^ {2} +2 a b-3 b ^ {2} & = (; 😉 ^ {2} +2 (; 😉 (; 😉 – 3 (;) ^ {2} \ & = left (- dfrac {4} {3} right) ^ {2} +2 left (- dfrac {4} {3} right) left (- dfrac {3} {2} right) -3 left (- dfrac {3} {2} right) ^ {2} end {alineado} nonumber ]

 

A continuación, evalúe los exponentes: ((- 4/3) ^ {2} = 16/9 ) y ((- 3/2) ^ {2} = 9/4 )
[= dfrac {16} {9} + dfrac {2} {1} left (- dfrac {4} {3} right) left (- dfrac {3} {2} right) – dfrac {3} {1} left ( dfrac {9} {4} right) nonumber ]

 

Luego, realiza las multiplicaciones y reduce.

 

[ begin {array} {l} {= dfrac {16} {9} + dfrac {24} {6} – dfrac {27} {4}} \ {= dfrac {16 } {9} + 4- dfrac {27} {4}} end {array} nonumber ]

 

Haz fracciones equivalentes con un denominador común, luego suma.

 

[ begin {array} {l} {= dfrac {16} {9} cdot { color {Red} dfrac {4} {4}} + 4 cdot { color {Red} dfrac {36} {36}} – dfrac {27} {4} cdot { color {Red} dfrac {9} {9}}} \ {= dfrac {64} {36} + dfrac {144} {36} – dfrac {243} {36}} \ {= – dfrac {35} {36}} end {array} nonumber ]

 

Por lo tanto, si (a = -4 / 3 ) y (b = -3 / 2 ), entonces (a ^ {2} +2 a b-3 b ^ {2} = – 35 / 36 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Dado (x = -3 / 4 ) y (y = -4 / 5 ), evalúe (x ^ {2} -y ^ {2} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 31/400 )

     
 
 
 

Fracciones en la calculadora gráfica

 

Siempre debemos recordar que la calculadora gráfica es una “máquina aproximada”. En un pequeño número de situaciones, es capaz de dar una respuesta exacta, pero para la mayoría de los cálculos, lo mejor que podemos esperar es una respuesta aproximada.

 

Sin embargo, la calculadora proporciona resultados precisos para operaciones que involucran fracciones, siempre que no usemos fracciones con denominadores que sean demasiado grandes para que la calculadora responda con una respuesta exacta.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Usa la calculadora gráfica para simplificar cada uno de los siguientes Simplifica usando la calculadora gráfica:

 
         
  1. ( dfrac {2} {3} + dfrac {1} {2} )
  2.      
  3. ( dfrac {2} {3} cdot dfrac {5} {7} )
  4.      
  5. ( dfrac {3} {5} div dfrac {1} {3} )
  6.  
 

Solución

 

Ingresamos cada expresión a su vez.

 
         
  1. El Reglas del orden de operaciones de orientación nos dice que debemos realizar divisiones antes de las adiciones. Por lo tanto, la expresión (2/3 + 1/2 ) es equivalente a:
    [ begin {alineado} 2/3 + 1/2 & = dfrac {2} {3} + dfrac { 1} {2} quad color {Rojo} text {Divide primero.} \ & = dfrac {4} {6} + dfrac {3} {6} quad color {Rojo} text { Fracciones equivalentes con LCD.} \ & = dfrac {7} {6} quad color {Rojo} text {Agregar.} End {alineado} nonumber ] Ingrese la expresión (2/3 + 1 / 2 ) en su calculadora, luego presione la tecla ENTER. El resultado se muestra en la primera imagen en la Figura ( PageIndex {2} ). Luego, presione el botón MATH, luego seleccione 1: Frac (vea la segunda imagen en la Figura ( PageIndex {2} )) y presione la tecla ENTER nuevamente. Tenga en cuenta que el resultado que se muestra en la tercera imagen en la Figura ( PageIndex {2} ) coincide con la respuesta correcta de (7/6 ) que se encuentra arriba.
  2.  
 
fig 1.3.2.png
Figura ( PageIndex {2} ): Cálculo (2/3 + 1/2 ).
 
         
  1. El Reglas del orden de operaciones guía nos dice que no hay preferencia por la división sobre la multiplicación, o viceversa. Debemos realizar divisiones y multiplicaciones a medida que ocurren, moviéndonos de izquierda a derecha. Por lo tanto: [ begin {alineado}
    2/3 times 5/7 & = dfrac {2} {3} times 5/7 quad color {Red} text {Divide:} 2 / 3 = dfrac {2} {3} \
    & = dfrac {10} {3} / 7 quad color {Rojo} text {Multiplicar:} dfrac {2} {3} veces 5 = dfrac {10} {3} \
    & = dfrac {10} {3} times dfrac {1} {7} quad color {Red} text {Invertir y multiplicar.} \
    & = dfrac {10} {21} quad color {Rojo} text {Multiplicar:} dfrac {10} {3} veces dfrac {1} {7} = dfrac { 10} {21}
    end {alineado} nonumber ] Este es precisamente el mismo resultado que obtenemos cuando realizamos el siguiente cálculo. [ dfrac {2} {3} times dfrac {5} {7} = dfrac {10} {21} quad color {Red} text {Multiplicar numeradores y denominadores.} nonumber ] Por lo tanto : [2/3 times 5/7 quad text {es equivalente a} quad dfrac {2} {3} times dfrac {5} {7} nonumber ] Ingrese la expresión (2 / 3 × 5/7 ) en su calculadora, luego presione la tecla ENTER. El resultado se muestra en la primera imagen en la Figura ( PageIndex {3} ). Luego, presione el botón MATH, luego seleccione 1: Frac (vea la segunda imagen en la Figura ( PageIndex {3} )) y presione la tecla ENTER nuevamente. Tenga en cuenta que el resultado que se muestra en la tercera imagen en la Figura ( PageIndex {3} ) coincide con la respuesta correcta de (10/21 ) que se encuentra arriba.
  2.  
 
fig 1.3.3.png
Figura ( PageIndex {3} ): Cálculo (2/3 × 1/2 ).
 
         
  1. Este ejemplo demuestra que necesitamos un recordatorio constante de la Orden de Operaciones de Reglas . Sabemos que necesitamos invertir y multiplicar en esta situación. [ begin {alineado} dfrac {3} {5} div dfrac {1} {3} & = dfrac {3} {5} times dfrac {3} {1} quad color { Rojo} text {Invertir y multiplicar. } \ & = dfrac {9} {5} quad color {Red} text {Multiplica numeradores y denominadores. } end {alineado} nonumber ]
    Entonces, la respuesta correcta es 9/5. Ingrese la expresión (3/5/1/3 ) en su calculadora, luego presione la tecla ENTER. Seleccione 1: Frac del menú MATH y presione la tecla ENTER nuevamente. Tenga en cuenta que el resultado en la primera imagen de la Figura ( PageIndex {4} ) no coincide con la respuesta correcta de (9/5 ) que se encuentra arriba. que hemos hecho mal? Si seguimos las Reglas del orden de operaciones de orientación exactamente , entonces: [ begin {alineado}
    3/5/1/3 & = dfrac {3} {5} / 1/3 quad color {Red} text {Divide:} 3/5 = dfrac {3} {5} \
    & = dfrac {3} {5} / 3 quad color {Red} texto {Divide:} dfrac {3} {5} / 1 = dfrac {3} {5} \
    & = dfrac {3} {5} times dfrac {1} {3} quad color {Red} text {Invertir y multiplicar.} \
    & = dfrac {1} {5} quad color {Red} text {Multiplicar:} dfrac {3} {5} times dfrac {1} {3} = dfrac {1} {5}
    end {alineado} nonumber ] Esto explica la respuesta que se encuentra en la primera imagen en la Figura ( PageIndex {4} ) Sin embargo, también muestra que: [3/5/1/3 quad text {no es equivalente a} quad dfrac {3} {5} div dfrac {1} {3} nonumber ] Podemos curar el problema mediante el uso de símbolos de agrupación. [ begin {alineado} (3/5) / (1/3) & = dfrac {3} {5} / dfrac {1} {3} quad color {Rojo} text {Paréntesis primero. } \ & = dfrac {3} {5} div dfrac {1} {3} quad color {Red} text {es equivalente a} div end {alineado} nonumber ] Por lo tanto: [(3/5) / (1/3) quad text {es equivalente a} quad dfrac {3} {5} div dfrac {1} {3} nonumber ] Ingrese la expresión ((3/5) / (1/3) ) en su calculadora, luego presione la tecla ENTER. Seleccione 1: Frac del menú MATH y presione la tecla ENTER nuevamente. Tenga en cuenta que el resultado en la segunda imagen en la Figura ( PageIndex {4} ) coincide con la respuesta correcta de (9/5 ).
  2.  
 
fig 1.3.4.png
Figura ( PageIndex {4} ): Cálculo ((3/5) / (1/3) ).
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Simplifique usando la calculadora gráfica: (- dfrac {4} {5} + dfrac {8} {3} ).

 
     
Respuesta
     
     

(28/15 )

     
 
 
 
                                  
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