Ejemplo ( PageIndex {1} )

Reduzca (8/12 ) a los términos más bajos.

Solución

Tenga en cuenta que ( operatorname {GCD} (8,12) = 4 ). Divide el numerador y el denominador entre (4 ).

[ begin {alineado} dfrac {8} {12} & = dfrac {8 div 4} {12 div 4} quad color {Rojo} text {Divide el numerador y el denominador entre} operatorname {GCD} (8,12) = 4 \ & = dfrac {2} {3} quad color {Red} text {Simplifique el numerador y el denominador.} \ text {Por lo tanto,} 8 / 12 & = 2/3 end {alineado} nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Reduzca (10/40 ) a los términos más bajos.

Solución

Tenga en cuenta que ( operatorname {GCD} (10,40) = 10 ). Divide el numerador y el denominador entre (10 ​​).

[ begin {alineado} dfrac {10} {40} & = dfrac {10 div 10} {40 div 10} quad color {Rojo} text {Divide el numerador y el denominador entre} operatorname {GCD} (10,40) = 10 \ & = dfrac {1} {4} quad color {Red} text {Simplifique el numerador y el denominador.} \ text {Por lo tanto,} 10 / 40 & = 1/4 end {alineado} nonumber ]

Solución alternativa

Utilice árboles de factores para expresar tanto el numerador como el denominador como producto de factores primos.

Por lo tanto, (10 ​​= 2 cdot 5 ) y (40 = 2 cdot 2 cdot 2 cdot 5 ). Ahora, para reducir (10/40 ) a los términos más bajos, reemplace el numerador y el denominador con sus factorizaciones primas, luego cancele los factores que son comunes tanto al numerador como al denominador.

[ begin {alineado}
dfrac {10} {40} & = dfrac {2 cdot 5} {2 cdot 2 cdot 2 cdot 5} quad color {Rojo} text {Numerador y denominador de factor primo.} \
& = dfrac {{ color {Red} not} 2 cdot { color {Red} not} 5} {{ color {Red} not} 2 cdot 2 cdot 2 cdot { color {Red} not} 5} quad color {Red} text {Cancelar factores comunes.} \
& = dfrac {1} {4} quad color {Rojo} text {Simplificar numerador y denominador.}
end {alineado} ]

Cuando cancelamos un (2 ) tanto del numerador como del denominador, en realidad estamos dividiendo tanto el numerador como el denominador por (2 ). Se puede hacer una declaración similar sobre la cancelación de (5 ). Cancelar tanto (2 ) como a (5 ) es equivalente a dividir tanto el numerador como el denominador entre (10 ​​). Esto explica el (1 ) en el numerador cuando todos los factores se cancelan.

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Simplifique: (- dfrac {14} {20} cdot dfrac {10} {21} ).

Solución

Multiplica numeradores y denominadores, luego reduce a los términos más bajos.

[ begin {alineado}
– dfrac {14} {20} cdot dfrac {10} {21} & = – dfrac {140} {420} quad color {Rojo} text {Multiplicar numeradores y denominadores} \
& = – dfrac {2 cdot 2 cdot 5 cdot 7} {2 cdot 2 cdot 3 cdot 5 cdot 7} quad color { Rojo} text {Prime factor.} \
& = – dfrac {{ color {Red} not} 2 cdot { color {Red} not} 2 cdot { color {Red} not} 5 cdot { color {Red} not} 7} {{ color {Red} not} 2 cdot { color {Red} not} 2 cdot 3 cdot { color {Red { } not} 5 cdot { color {Red} not} 7} quad color {Red} text {Cancelar factores comunes.} \
& = – dfrac {1} {3} quad color {Red} text {Simplify.}
end {alineado} nonumber ]

Tenga en cuenta que cuando todos los factores se cancelan desde el numerador, queda un (1 ). Por lo tanto, ((- 14/20) cdot (10/21) = -1/3 ).

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Simplifique: ( dfrac {15} {8} cdot left (- dfrac {14} {9} right) ).

Solución

Factoriza numeradores y denominadores en su lugar, luego cancela factores comunes en los numeradores por factores comunes en los denominadores.

[ begin {alineado}
dfrac {15} {8} cdot left (- dfrac {14} {9} right) & = dfrac {3 cdot 5} {2 cdot 2 cdot 2} cdot left (- dfrac {2 cdot 7} {3 cdot 3} right) quad color {Red} text {Factor numeradores y denominadores.} \ [19459033 ] & = dfrac {{ color {Red} not} 3 cdot 5} {{ color {Red} not} 2 cdot 2 cdot 2} cdot left (- dfrac {{ color {Rojo} not} 2 cdot 7} {{ color {Red} not} 3 cdot 3} right) quad color {Red} text {Cancelar un factor en un numerador para un factor común en un denominador.} \
& = – dfrac {35} {12} quad color {Rojo} text {Multiplicar numeradores y denominadores.}
end {alineado} nonumber ] [19459002 ]  

Tenga en cuenta que, a diferencia de los signos, se obtiene un producto negativo. Por lo tanto, ((15/8) cdot (-14/9) = -35/12 ).

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Simplifique: (- dfrac {35} {21} div left (- dfrac {10} {12} right) ).

Solución

Invierte y multiplica, luego factoriza en el lugar y cancela factores comunes en un numerador para factores comunes en un denominador.

[ begin {alineado}
– dfrac {35} {21} div left (- dfrac {10} {12} right) & = – dfrac {35} {21} cdot left (- dfrac {12} {10} right) quad color {Red} text {Invertir y multiplicar.} \
& = – dfrac {5 cdot 7} {3 cdot 7} cdot left (- dfrac {2 cdot 2 cdot 3} {2 cdot 5} right) quad color {Red} text {Prime factor.} \
& = – dfrac {{ color {Red} not} 5 cdot { color {Red} not} 7} {{ color {Red} not} 3 cdot { color {Red} not} 7} cdot left (- dfrac {{ color {Red} not} 2 cdot 2 cdot { color {Red} not} 3} {{ color {Red} not} 2 cdot { color {Red} not} 5} right) quad color {Red} text {Cancelar factores comunes.} \
& = dfrac {2} {1} quad color {Red } text {Multiplicar numeradores y denominadores.} \ & = 2 quad color {Rojo} text {Simplificar.} end {alineado} nonumber ]

Tenga en cuenta que cuando se cancelan todos los factores en un denominador, queda un (1 ). Por lo tanto, ((- 35/21) ÷ (-10/12) = 2 ). Tenga en cuenta también que los signos similares producen un resultado positivo.

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Simplifique: (- dfrac {3} {8} + dfrac {5} {12} ).

Solución

El mínimo común denominador en este caso es el número más pequeño divisible por ambos (8 ) y (12 ). En este caso, ( mathrm {LCD} (8,12) = 24 ). Primero necesitamos hacer fracciones equivalentes con un denominador común de (24 ).

[ begin {alineado} – dfrac {3} {8} + dfrac {5} {12} & = – dfrac {3} {8} cdot dfrac { color {Red} 3 } { color {Red} 3} + dfrac {5} {12} cdot dfrac { color {Red} 2} { color {Red} 2} quad color {Red} text {Hacer equivalente fracción con un denominador común de} 24 \ & = – dfrac {9} {24} + dfrac {10} {24} quad color {Red} text {Multiplicar numeradores y denominadores.} \ & = dfrac {1} {24} quad color {Red} text {Add:} -9 + 10 = 1 end {alineado} nonumber ]

Observe cómo sumamos los numeradores en el último paso, colocando el resultado sobre el denominador común. Por lo tanto, (- 3/8 + 5/12 = 1/24 ).

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Dado (x = 2/3 ), (y = -3/5 ) y (z = 10/9 ), evalúa (xy + yz ).

Solución

Siguiendo Consejos para evaluar las expresiones algebraicas, reemplaza primero todas las ocurrencias de variables en la expresión (xy + yz ) con paréntesis abiertos. Luego, sustituya los valores dados de las variables ( (2/3 ) por (x ), (- 3/5 ) por (y ) y (10/9 ) por (z )) en paréntesis abiertos.

[ begin {alineado} x y + yz & = () (; 😉 + (; 😉 (; 😉 quad color {Rojo} text {Reemplazar variables con paréntesis} \ & = left ( dfrac {2} {3} right) left (- dfrac {3} {5} right) + left (- dfrac {3} {5} right ) left ( dfrac {10} {9} right) quad color {Red} text {Sustituir:} 2/3 text {para} x, -3 / 5 text {para} y, texto {y} 10/9 text {para} z end {alineado} nonumber ]

Utilice el Reglas para guiar el orden de operaciones para simplificar.

[ begin {alineado}
& = – dfrac {6} {15} + left (- dfrac {30} {45} right) quad color {Red} text { Multiplicar} \
& = – dfrac {2} {5} + left (- dfrac {2} {3} right) quad color {Red} text {Reduce} \ [19459033 ] & = – dfrac {2} {5} cdot dfrac {3} {3} + left (- dfrac {2} {3} cdot dfrac {5} {5} right) quad color {Rojo} text {Haga fracciones equivalentes con un} \
& = – dfrac {6} {15} + left (- dfrac {10} {15} right) quad color {Rojo} text {Mínimo común denominador} \
& = – dfrac {16} {15} quad color {Rojo} text {Agregar}
end {alineado} nonumber ]

Por lo tanto, si (x = 2/3, y = -3 / 5, ) y (z = 10/9, ) entonces (x y + yz = -16 / 15 ) [19459002 ]  

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Dado (x = -3 / 5 ), evalúa (- x ^ {3} ).

Solución

Primero, reemplace cada aparición de la variable (x ) con paréntesis abiertos, luego sustituya (- 3/5 ) por (x ).

[ begin {alineado}
-x ^ {3} & = – () ^ {3} quad color {Rojo} text {Reemplace x con paréntesis abiertos.} \
& = – left (- dfrac {3} {5} right) ^ {3} quad color {Red} text {Sustituya -3/5 por x} \
& = – left (- dfrac {3} {5} right) left (- dfrac {3} {5} right) left (- dfrac {3} {5} right) quad color {Red} text {Escriba -3/5 como factor tres veces} \
& = – left (- dfrac {27} {125} right) quad color {Red} text {El producto de Tres fracciones negativas son negativas. Multiplique numeradores y denominadores.} \
& = dfrac {27} {125} quad color {Red} text {El opuesto de -27/125 es 27/125}
end {alineado } nonumber ]

Por lo tanto, (- x ^ {3} = 27/125 ), dado (x = -3 / 5 ).

Ejemplo ( PageIndex {9} )

Dado (a = -4 / 3 ) y (b = -3 / 2 ), evalúa (a ^ {2} +2 a b-3 b ^ {2} ).

Solución

Siguiendo Consejos para evaluar las expresiones algebraicas , primero reemplace todas las ocurrencias de variables en la expresión (a ^ {2} +2 a b-3 b ^ {2} ) con paréntesis abiertos.

Luego, sustituya los valores dados de las variables ( (- 4/3 ) por (a ) y (- 3/2 ) por (b )) en los paréntesis abiertos.

[ begin {alineado} a ^ {2} +2 a b-3 b ^ {2} & = (; 😉 ^ {2} +2 (; 😉 (; 😉 – 3 (;) ^ {2} \ & = left (- dfrac {4} {3} right) ^ {2} +2 left (- dfrac {4} {3} right) left (- dfrac {3} {2} right) -3 left (- dfrac {3} {2} right) ^ {2} end {alineado} nonumber ]

A continuación, evalúe los exponentes: ((- 4/3) ^ {2} = 16/9 ) y ((- 3/2) ^ {2} = 9/4 )
[= dfrac {16} {9} + dfrac {2} {1} left (- dfrac {4} {3} right) left (- dfrac {3} {2} right) – dfrac {3} {1} left ( dfrac {9} {4} right) nonumber ]

Luego, realiza las multiplicaciones y reduce.

[ begin {array} {l} {= dfrac {16} {9} + dfrac {24} {6} – dfrac {27} {4}} \ {= dfrac {16 } {9} + 4- dfrac {27} {4}} end {array} nonumber ]

Haz fracciones equivalentes con un denominador común, luego suma.

[ begin {array} {l} {= dfrac {16} {9} cdot { color {Red} dfrac {4} {4}} + 4 cdot { color {Red} dfrac {36} {36}} – dfrac {27} {4} cdot { color {Red} dfrac {9} {9}}} \ {= dfrac {64} {36} + dfrac {144} {36} – dfrac {243} {36}} \ {= – dfrac {35} {36}} end {array} nonumber ]

Por lo tanto, si (a = -4 / 3 ) y (b = -3 / 2 ), entonces (a ^ {2} +2 a b-3 b ^ {2} = – 35 / 36 )

Ejemplo ( PageIndex {10} )

Usa la calculadora gráfica para simplificar cada uno de los siguientes Simplifica usando la calculadora gráfica:

     
1. ( dfrac {2} {3} + dfrac {1} {2} )
     
2. ( dfrac {2} {3} cdot dfrac {5} {7} )
     
3. ( dfrac {3} {5} div dfrac {1} {3} )
 

Solución

Ingresamos cada expresión a su vez.

     
1. El Reglas del orden de operaciones de orientación nos dice que debemos realizar divisiones antes de las adiciones. Por lo tanto, la expresión (2/3 + 1/2 ) es equivalente a:
   [ begin {alineado} 2/3 + 1/2 & = dfrac {2} {3} + dfrac { 1} {2} quad color {Rojo} text {Divide primero.} \ & = dfrac {4} {6} + dfrac {3} {6} quad color {Rojo} text { Fracciones equivalentes con LCD.} \ & = dfrac {7} {6} quad color {Rojo} text {Agregar.} End {alineado} nonumber ] Ingrese la expresión (2/3 + 1 / 2 ) en su calculadora, luego presione la tecla ENTER. El resultado se muestra en la primera imagen en la Figura ( PageIndex {2} ). Luego, presione el botón MATH, luego seleccione 1: Frac (vea la segunda imagen en la Figura ( PageIndex {2} )) y presione la tecla ENTER nuevamente. Tenga en cuenta que el resultado que se muestra en la tercera imagen en la Figura ( PageIndex {2} ) coincide con la respuesta correcta de (7/6 ) que se encuentra arriba.
 

     
2. El Reglas del orden de operaciones guía nos dice que no hay preferencia por la división sobre la multiplicación, o viceversa. Debemos realizar divisiones y multiplicaciones a medida que ocurren, moviéndonos de izquierda a derecha. Por lo tanto: [ begin {alineado}
   2/3 times 5/7 & = dfrac {2} {3} times 5/7 quad color {Red} text {Divide:} 2 / 3 = dfrac {2} {3} \
   & = dfrac {10} {3} / 7 quad color {Rojo} text {Multiplicar:} dfrac {2} {3} veces 5 = dfrac {10} {3} \
   & = dfrac {10} {3} times dfrac {1} {7} quad color {Red} text {Invertir y multiplicar.} \
   & = dfrac {10} {21} quad color {Rojo} text {Multiplicar:} dfrac {10} {3} veces dfrac {1} {7} = dfrac { 10} {21}
   end {alineado} nonumber ] Este es precisamente el mismo resultado que obtenemos cuando realizamos el siguiente cálculo. [ dfrac {2} {3} times dfrac {5} {7} = dfrac {10} {21} quad color {Red} text {Multiplicar numeradores y denominadores.} nonumber ] Por lo tanto : [2/3 times 5/7 quad text {es equivalente a} quad dfrac {2} {3} times dfrac {5} {7} nonumber ] Ingrese la expresión (2 / 3 × 5/7 ) en su calculadora, luego presione la tecla ENTER. El resultado se muestra en la primera imagen en la Figura ( PageIndex {3} ). Luego, presione el botón MATH, luego seleccione 1: Frac (vea la segunda imagen en la Figura ( PageIndex {3} )) y presione la tecla ENTER nuevamente. Tenga en cuenta que el resultado que se muestra en la tercera imagen en la Figura ( PageIndex {3} ) coincide con la respuesta correcta de (10/21 ) que se encuentra arriba.
 

     
3. Este ejemplo demuestra que necesitamos un recordatorio constante de la Orden de Operaciones de Reglas . Sabemos que necesitamos invertir y multiplicar en esta situación. [ begin {alineado} dfrac {3} {5} div dfrac {1} {3} & = dfrac {3} {5} times dfrac {3} {1} quad color { Rojo} text {Invertir y multiplicar. } \ & = dfrac {9} {5} quad color {Red} text {Multiplica numeradores y denominadores. } end {alineado} nonumber ]
   Entonces, la respuesta correcta es 9/5. Ingrese la expresión (3/5/1/3 ) en su calculadora, luego presione la tecla ENTER. Seleccione 1: Frac del menú MATH y presione la tecla ENTER nuevamente. Tenga en cuenta que el resultado en la primera imagen de la Figura ( PageIndex {4} ) no coincide con la respuesta correcta de (9/5 ) que se encuentra arriba. que hemos hecho mal? Si seguimos las Reglas del orden de operaciones de orientación exactamente , entonces: [ begin {alineado}
   3/5/1/3 & = dfrac {3} {5} / 1/3 quad color {Red} text {Divide:} 3/5 = dfrac {3} {5} \
   & = dfrac {3} {5} / 3 quad color {Red} texto {Divide:} dfrac {3} {5} / 1 = dfrac {3} {5} \
   & = dfrac {3} {5} times dfrac {1} {3} quad color {Red} text {Invertir y multiplicar.} \
   & = dfrac {1} {5} quad color {Red} text {Multiplicar:} dfrac {3} {5} times dfrac {1} {3} = dfrac {1} {5}
   end {alineado} nonumber ] Esto explica la respuesta que se encuentra en la primera imagen en la Figura ( PageIndex {4} ) Sin embargo, también muestra que: [3/5/1/3 quad text {no es equivalente a} quad dfrac {3} {5} div dfrac {1} {3} nonumber ] Podemos curar el problema mediante el uso de símbolos de agrupación. [ begin {alineado} (3/5) / (1/3) & = dfrac {3} {5} / dfrac {1} {3} quad color {Rojo} text {Paréntesis primero. } \ & = dfrac {3} {5} div dfrac {1} {3} quad color {Red} text {es equivalente a} div end {alineado} nonumber ] Por lo tanto: [(3/5) / (1/3) quad text {es equivalente a} quad dfrac {3} {5} div dfrac {1} {3} nonumber ] Ingrese la expresión ((3/5) / (1/3) ) en su calculadora, luego presione la tecla ENTER. Seleccione 1: Frac del menú MATH y presione la tecla ENTER nuevamente. Tenga en cuenta que el resultado en la segunda imagen en la Figura ( PageIndex {4} ) coincide con la respuesta correcta de (9/5 ).