Saltar al contenido
las matematicas

1.3: Raíces cuadradas y en cubos de números reales

                 

 

Habilidades para desarrollar

 
         
  • Calcule el valor exacto y aproximado de la raíz cuadrada de un número real.
  •      
  • Calcule el valor exacto y aproximado de la raíz cúbica de un número real.
  •      
  • Simplifica la raíz cuadrada y el cubo de un número real.
  •      
  • Aplica el teorema de Pitágoras.
  •  
 
 

La definición de raíces cuadradas y en cubo

 

Una raíz cuadrada 74 de un número es un número que cuando se multiplica por sí mismo produce el número original. Por ejemplo, (4 ) es una raíz cuadrada de (16 ), porque (4 ^ {2} = 16 ). Como ((- 4) ^ {2} = 16 ), podemos decir que (- 4 ) también es una raíz cuadrada de (16 ). Cada número real positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa. Por esta razón, utilizamos el signo radical 75 (√ ) para denotar la raíz cuadrada principal (no negativa) [19459021 ] 76 y un signo negativo frente al radical (- √ ) para denotar la raíz cuadrada negativa.

 

( sqrt {16} = 4 color {Cerulean} {: Positivo : Cuadrado : Raíz : de : 16} )

 

(- sqrt {16} = – 4 color {Cerulean} {Negativo : Cuadrado : Raíz : de : 16} )

 

Cero es el único número real con exactamente una raíz cuadrada.

 

( sqrt {0} = 0 )

 

Si el radicando 77 , el número dentro del signo radical, es distinto de cero y puede factorizarse como el cuadrado de otro número distinto de cero, entonces el cuadrado La raíz del número es aparente. En este caso, tenemos la siguiente propiedad:

 

( sqrt {a ^ {2}} = a, text {if} a geq 0 )

 

Es importante señalar que se requiere (a ) para ser no negativo. Tenga en cuenta que ( sqrt {(- 3) ^ {2}} neq – 3 ) porque el radical denota la raíz cuadrada principal. En cambio,

 

( sqrt {(- 3) ^ {2}} = sqrt {9} = 3 )

 

Esta distinción será considerada cuidadosamente más adelante en el curso.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Encuentra la raíz cuadrada:

 
         
  1. ( sqrt {121} )
  2.      
  3. ( sqrt {0.25} )
  4.      
  5. ( sqrt { frac {4} {9}} )
  6.  
 

Solución

 
         
  1. ( sqrt {121} = sqrt {11 ^ {2}} = 11 )
  2.      
  3. ( sqrt {0.25} = sqrt {0.5 ^ {2}} = 0.5 )
  4.      
  5. ( sqrt { frac {4} {9}} = sqrt { left ( frac {2} {3} right) ^ {2}} = frac {2} {3} )
  6.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Encuentra la raíz cuadrada negativa:

 
         
  1. (- sqrt {64} )
  2.      
  3. (- sqrt {1} )
  4.  
 

Solución

 
         
  1. (- sqrt {64} = – sqrt {8 ^ {2}} = – 8 )
  2.      
  3. (- sqrt {1} = – sqrt {1 ^ {2}} = – 1 )
  4.  
 
 

El radicando puede no ser siempre un cuadrado perfecto. Si un entero positivo no es un cuadrado perfecto, entonces su raíz cuadrada será irracional. Considere ( sqrt {5} ), podemos obtener una aproximación limitándola usando los cuadrados perfectos (4 ) y (9 ) de la siguiente manera:

 

( begin {array} {c} { sqrt {4} < sqrt {5} < sqrt {9}} \ {2 < sqrt {5} <3} end {array} )

 

Con esto concluimos que ( sqrt {5} ) está en algún lugar entre (2 ) y (3 ). Este número se aproxima mejor en la mayoría de las calculadoras que usan el botón de raíz cuadrada, (√ ).

 

( sqrt {5} aprox 2.236 mathrm {porque} 2.236 wedge 2 aprox 5 )

 

Luego, considera la raíz cuadrada de un número negativo. Para determinar la raíz cuadrada de (- 9 ), debe encontrar un número que al cuadrado resulte en (- 9 ),

 

( sqrt {- 9} = color {Cerulean} {?} ) ( Text {or} ( color {Cerulean} {?} ) () ^ {2} = – 9 )

 

Sin embargo, cualquier número real al cuadrado siempre da como resultado un número positivo,

 

((3) ^ {2} = 9 text {y} (- 3) ^ {2} = 9 )

 

La raíz cuadrada de un número negativo actualmente no se define. Intente calcular ( sqrt {-9} ) en su calculadora; ¿Qué dice? Por ahora, indicaremos que ( sqrt {−9} ) no es un número real. La raíz cuadrada de un número negativo se define más adelante en el curso.

 

Un raíz cúbica 78 de un número es un número que cuando se multiplica por sí mismo tres veces produce el número original. Además, denotamos una raíz cúbica usando el símbolo ( sqrt [3] {} ), donde (3 ) se llama índice 79 [19459019 ] Por ejemplo,

 

( sqrt [3] {8} = 2, text {porque} 2 ^ {3} = 8 )

 

El producto de tres factores iguales será positivo si el factor es positivo y negativo si el factor es negativo. Por esta razón, cualquier número real tendrá solo una raíz cúbica real. Por lo tanto, los tecnicismos asociados con la raíz principal no se aplican. Por ejemplo,

 

( sqrt [3] {- 8} = – 2, text {porque} (- 2) ^ {3} = – 8 )

 

En general, dado cualquier número real (a ), tenemos la siguiente propiedad:

 

( sqrt [3] {a ^ {3}} = a )

 

Al simplificar las raíces cúbicas, busca factores que sean cubos perfectos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Encuentra la raíz cúbica:

 
         
  1. ( sqrt [3] {125} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] {0} )
  4.      
  5. ( sqrt [3] { frac {8} {27}} )
  6.  
 

Solución

 
         
  1. ( sqrt [3] {125} = sqrt [3] {5 ^ {3}} = 5 )
  2.      
  3. ( sqrt [3] {0} = sqrt [3] {0 ^ {3}} = 0 )
  4.      
  5. ( sqrt [3] { frac {8} {27}} = sqrt [3] { left ( frac {2} {3} right) ^ {3}} = frac { 2} {3} )
  6.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Encuentra la raíz cúbica:

 
         
  1. ( sqrt [3] {- 27} )
  2.      
  3. ( sqrt [3] {- 1} )
  4.  
 

Solución

 
         
  1. ( sqrt [3] {- 27} = sqrt [3] {(- 3) ^ {3}} = – 3 )
  2.      
  3. ( sqrt [3] {- 1} = sqrt [3] {(- 1) ^ {3}} = – 1 )
  4.  
 
 

Puede darse el caso de que el radicando no sea un cubo perfecto. Si este es el caso, entonces su raíz cúbica será irracional. Por ejemplo, ( sqrt [3] {2} ) es un número irracional, que se puede aproximar en la mayoría de las calculadoras usando el botón raíz ( sqrt [x] {} ). Dependiendo de la calculadora, normalmente escriba el índice antes de presionar el botón y luego la radio y así:

 

(3 : : : sqrt [x] {y} : : : 2 : : : = )

 

Por lo tanto, tenemos

 

( sqrt [3] {2} aprox 1.260, text {porque} 1.260 wedge 3 aprox 2 )

 

Ampliaremos estas ideas usando cualquier número entero como índice más adelante en este curso. Es importante señalar que una raíz cuadrada tiene un índice (2 ); por lo tanto, los siguientes son equivalentes:

 

( sqrt [2] {a} = sqrt {a} )

 

Simplificación de raíces cuadradas y cuadradas

 

No siempre será el caso que el radicando sea un cuadrado perfecto. Si no, usamos las siguientes dos propiedades para simplificar la expresión. Dados los números reales ( sqrt [n] {A} ) y ( sqrt [n] {B} ) donde (B ≠ 0 ),

 
         
  • Regla del producto para radicales : 80 [ sqrt [n] {A cdot B} = sqrt [n] {A} cdot sqrt [n] {B} ]
  •      
  • Regla del cociente para radicales : 81 [ sqrt [n] { frac {A} {B}} = frac { sqrt [n] {A}} { sqrt [n] {B}} ]
  •  
 

Un radical simplificado 82 es uno donde el radicando no consiste en ningún factor que pueda escribirse como potencia perfecta del índice. Dada una raíz cuadrada, la idea es identificar el factor cuadrado más grande del radicando y luego aplicar la propiedad que se muestra arriba. Como ejemplo, para simplificar ( sqrt {12} ), observe que (12 ) no es un cuadrado perfecto. Sin embargo, (12 ) tiene un factor cuadrado perfecto, (12 = 4 ⋅ 3 ). Aplique la propiedad de la siguiente manera:

 

[ begin {align *} sqrt {12} & = sqrt {4 cdot 3} quad color {Cerulean} {Apply : the : product : rule : for : radicales .} \ [4pt] & = sqrt {4} cdot sqrt {3} quad color {Cerulean} {Simplify} \ [4pt] & = 2 cdot sqrt {3} end {align *} ]

 

El número (2 sqrt {3} ) es un número irracional simplificado. A menudo se le pide que encuentre una respuesta aproximada redondeada a un cierto decimal. En ese caso, use una calculadora para encontrar la aproximación decimal usando el problema original o el equivalente simplificado.

 

( sqrt {12} = 2 sqrt {3} aprox 3.46 )

 

Como verificación, calcule ( sqrt {12} ) y (2 sqrt {3} ) en una calculadora y verifique que los resultados sean aproximadamente (3.46 ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Simplifique: ( sqrt {135} ).

 

Solución

 

Comienza por encontrar el factor cuadrado perfecto más grande de (135 ).

 

( begin {alineado} 135 & = 3 ^ {3} cdot 5 \ & = 3 ^ {2} cdot 3 cdot 5 \ & = 9 cdot 15 end {alineado} )

 

Por lo tanto,

 

[ begin {align *} sqrt {135} & = sqrt {9 cdot 15} quad color {Cerulean} {Apply : the : product : rule : for : radicales .} \ [4pt] & = sqrt {9} cdot sqrt {15} quad color {Cerulean} {Simplify.} \ [4pt] & = 3 cdot sqrt {15} end { alinear *} ]

 

Respuesta

 

(3 sqrt {15} )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Simplifique: ( sqrt { frac {108} {169}} ).

 

Solución

 

Comenzamos por encontrar las factorizaciones primas de ambos (108 ) y (169 ). Esto nos permitirá determinar fácilmente los factores cuadrados perfectos más grandes.

 

[ begin {align *} 108 & = 2 ^ {2} cdot 3 ^ {3} = 2 ^ {2} cdot 3 ^ {2} cdot 3 \ 169 & = 13 ^ { 2} end {align *} ]

 

Por lo tanto,

 

[ begin {align *} sqrt { frac {108} {169}} & = sqrt { frac {2 ^ {2} cdot 3 ^ {2} cdot 3} {13 ^ {2}}} color {Cerulean} {Aplicar : el : producto : y : cociente : regla : para : radicales.} \ [4pt] & = frac { sqrt {2 ^ {2}} cdot sqrt {3 ^ {2}} cdot sqrt {3}} { sqrt {13 ^ {2}}} color {Cerulean} {Simplify.} \ [4pt] & = frac {2 cdot 3 cdot sqrt {3}} {13} \ & = frac {6 sqrt {3}} {13} end {align *} ]

 

Respuesta

 

( frac {6 sqrt {3}} {13} )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Simplifique (- 5 sqrt {162} ).

 

Solución

 

[ begin {align *} – 5 sqrt {162} & = – 5 cdot sqrt {81 cdot 2} \ [4pt] & = – 5 cdot color {Cerulean} { sqrt {81} cdot sqrt {2}} \ [4pt] & = – 5 cdot color {Cerulean} {9 cdot sqrt {2}} \ [4pt] & = – 45 cdot sqrt {2} \ [4pt] & = – 45 sqrt {2} end {align *} ]

 

Respuesta

 

(- 45 sqrt {2} )

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Simplificar (4 sqrt {150} )

 
     
Respuesta
     
     

(20 sqrt {6} )

               
 
 
 
 

Una raíz cúbica se simplifica si no contiene ningún factor que pueda escribirse como cubos perfectos. La idea es identificar el factor de cubo más grande del radicando y luego aplicar la regla del producto o cociente para los radicales. Como ejemplo, para simplificar ( sqrt [3] {80} ), observe que (80 ) no es un cubo perfecto. Sin embargo, (80 = 8 ⋅ 10 ) y podemos escribir,

 

[ begin {align *} sqrt [3] {80} & = sqrt [3] {8 cdot 10} color {Cerulean} {Apply : the : product : rule : para : radicales.} \ 5pt] & = sqrt [3] {8} cdot sqrt [3] {10} color {Cerulean} {Simplify.} \ [4pt] & = 2 cdot sqrt [3] {10} end {align *} ]

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

 

Simplificar ( sqrt [3] {162} )

 

Solución

 

Comienza por encontrar el factor de cubo perfecto más grande de (162 ).

 

( begin {alineado} 162 & = 3 ^ {4} cdot 2 \ & = 3 ^ {3} cdot 3 cdot 2 \ & = 27 cdot 6 end {alineado} )

 

Por lo tanto,

 

( sqrt [3] {162} = sqrt [3] {27 cdot 6} color {Cerulean} {Apply : the : product : rule : for : radicales.} )

 

(= sqrt [3] {27} cdot sqrt [3] {6} color {Cerulean} {Simplify.} )

 

(= 3 cdot sqrt [3] {6} )

 

Respuesta

 

(3 sqrt [3] {6} )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

 

Simplifique: ( sqrt [3] {- frac {16} {343}} ).

 

Solución

 

( begin {alineado} sqrt [3] {- frac {16} {343}} & = frac { sqrt [3] {- 1 cdot 8 cdot 2}} { sqrt [3] {7 ^ {3}}} \ & = frac { sqrt [3] {- 1} cdot sqrt [3] {8} cdot sqrt [3] {2}} { sqrt [3] {7 ^ {3}}} \ & = frac {- 1 cdot 2 cdot sqrt [3] {2}} {7} \ & = frac {- 2 sqrt [ 3] {2}} {7} end {alineado} )

 

Respuesta

 

( frac {- 2 sqrt [3] {2}} {7} )

 
 

Considere los siguientes dos cálculos,

 

( begin {array} {l} { sqrt {81} = sqrt {9 ^ {2}} = 9} \ { sqrt {81} = sqrt {9 ^ {2}} = ( sqrt {9}) ^ {2} = (3) ^ {2} = 9} end {array} )

 

Tenga en cuenta que no importa si aplicamos primero el exponente o la raíz cuadrada primero. Esto es cierto para cualquier número real positivo. Tenemos lo siguiente,

 

( sqrt {a ^ {2}} = ( sqrt {a}) ^ {2} = a, text {if} a geq 0 )

 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ):

 

Simplifique: (( sqrt {10}) ^ {2} ).

 

Solución

 

Aplique el hecho de que (( sqrt {a}) ^ {2} = a ) if (a ) no es negativo.

 

(( sqrt {10}) ^ {2} = 10 )

 
 

Teorema de Pitágoras

 

A triángulo rectángulo 83 es un triángulo donde uno de los ángulos mide (90 ° ). El lado opuesto al ángulo recto es el lado más largo, llamado hipotenusa 84 , y los otros dos lados se llaman patas [19459056 ] 85 . Numerosas aplicaciones del mundo real involucran esta figura geométrica. El teorema de Pitágoras 86 establece que dado cualquier triángulo rectángulo con patas que miden (a ) y (b ) unidades, el cuadrado de la medida de la hipotenusa (c ) es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de las piernas, (a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} ). En otras palabras, la hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus patas.

 
a797ed6a31d772dd2dec1cb1a383f4c8.png
Figura 1.3.1
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} ):

 

Calcule la diagonal de un cuadrado con lados que miden (5 ) unidades.

 

Solución

 

La diagonal de un cuadrado formará un triángulo rectángulo isósceles donde las dos patas iguales miden (5 ) unidades cada una.

 
7780111b6ead279dc29155cdab2bc0f4.png
Figura 1.3.2
 

Podemos usar el teorema de Pitágoras para determinar la longitud de la hipotenusa.

 

( begin {alineado} c & = sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}} \ & = sqrt {5 ^ {2} + 5 ^ {2}} \ & = sqrt {25 + 25} \ & = sqrt {50} \ & = sqrt {25 cdot 2} \ & = sqrt {25} cdot sqrt {2} \ & = 5 cdot sqrt {2} end {alineado} )

 

Respuesta : (5 sqrt {2} ) unidades

 
 

El teorema de Pitágoras en realidad establece que tener longitudes laterales que satisfagan la propiedad (a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} ) es una condición necesaria y suficiente de los triángulos rectángulos. En otras palabras, si podemos demostrar que la suma de los cuadrados de las longitudes de las patas del triángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa, entonces debe ser un triángulo rectángulo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} ):

 

Determina si un triángulo con patas (a = 1 ) cm y (b = 2 ) cm e hipotenusa (b = sqrt {5} ) cm es un triángulo rectángulo.

 

Solución

 

Si las patas satisfacen la condición (a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} ), entonces el teorema de Pitágoras garantiza que el triángulo es un triángulo rectángulo.

 

( begin {alineado} a ^ {2} + b ^ {2} & = c ^ {2} \ (1) ^ {2} + (2) ^ {2} & = ( sqrt {5}) ^ {2} \ 1 + 4 & = 5 \ 5 & = 5 color {OliveGreen} {✓} end {alineado} )

 

Respuesta : Sí, el triángulo descrito es un triángulo rectángulo.

 
 

Puntos clave

 
         
  • La raíz cuadrada de un número es un número que cuando se eleva al cuadrado da como resultado el número original. La raíz cuadrada principal de un número real positivo es la raíz cuadrada positiva. La raíz cuadrada de un número negativo actualmente no se define.
  •      
  • Al simplificar la raíz cuadrada de un número, busca factores cuadrados perfectos del radicando. Aplique la regla del producto o cociente para radicales y luego simplifique.
  •      
  • La raíz cúbica de un número es un número que cuando se cubica da como resultado el número original. Cada número real tiene solo una raíz cúbica real.
  •      
  • Al simplificar las raíces cúbicas, busca factores de cubo perfectos del radicando. Aplique la regla del producto o cociente para radicales y luego simplifique.
  •      
  • El teorema de Pitágoras nos da una condición necesaria y suficiente de triángulos rectángulos: (a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} ) si y solo si (a, b ) y (c ) representa las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.
  •  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 
         
  1. ( sqrt {81} )
  2.      
  3. ( sqrt {49} )
  4.      
  5. (- sqrt {16} )
  6.      
  7. (- sqrt {100} )
  8.      
  9. ( sqrt { frac {25} {16}} )
  10.      
  11. ( sqrt { frac {9} {64}} )
  12.      
  13. ( sqrt { frac {1} {4}} )
  14.      
  15. ( sqrt { frac {1} {100}} )
  16.      
  17. ( sqrt {-1} )
  18.      
  19. ( sqrt {-25} )
  20.      
  21. ( sqrt {036} )
  22.      
  23. ( sqrt {1.21} )
  24.      
  25. ( sqrt {(- 5) ^ {2}} )
  26.      
  27. ( sqrt {(- 6) ^ {2}} )
  28.      
  29. (2 sqrt {64} )
  30.      
  31. (3 sqrt {36} )
  32.      
  33. (- 10 sqrt {4} )
  34.      
  35. (- 8 sqrt {25} )
  36.      
  37. ( sqrt [3] {64} )
  38.      
  39. ( sqrt [3] {125} )
  40.      
  41. ( sqrt [3] {-27} )
  42.      
  43. ( sqrt [3] {-1} )
  44.      
  45. ( sqrt [3] {0} )
  46.      
  47. ( sqrt [3] {0.008} )
  48.      
  49. ( sqrt [3] {0.064} )
  50.      
  51. (- sqrt [3] {-8} )
  52.      
  53. (- sqrt [3] {1000} )
  54.      
  55. ( sqrt [3] {(- 8) ^ {3}} )
  56.      
  57. ( sqrt [3] {(- 15) ^ {3}} )
  58.      
  59. ( sqrt [3] { frac {1} {216}} )
  60.      
  61. ( sqrt [3] { frac {27} {64}} )
  62.      
  63. ( sqrt [3] {- frac {1} {8}} )
  64.      
  65. ( sqrt [3] {- frac {1} {27}} )
  66.      
  67. (5 sqrt [3] {343} )
  68.      
  69. (4 sqrt [3] {512} )
  70.      
  71. (- 10 sqrt [3] {8} )
  72.      
  73. (- 6 sqrt [3] {- 64} )
  74.      
  75. (8 sqrt [3] {- 8} )
  76.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (9 )

     

3. (- 4 )

     

5. ( frac {5} {4} )

     

7. ( frac {1} {2} )

     

9. No es un número real.

     

11. (0.6 )

     

13. (5 )

     

15. (16 )

     

17. (- 20 )

     

19. (4 )

     

21. (- 3 )

     

23. (0 )

     

25. (0.4 )

     

27. (- 10 )

     

29. (- 15 )

     

31. ( frac {3} {4} )

     

33. (- frac {1} {3} )

     

35. (32 )

     

37. (24 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Usa una calculadora para aproximar la centésima más cercana.

 
         
  1. ( sqrt {3} )
  2.      
  3. ( sqrt {10} )
  4.      
  5. ( sqrt {19} )
  6.      
  7. ( sqrt {7} )
  8.      
  9. (3 sqrt {5} )
  10.      
  11. (- 2 sqrt {3} )
  12.      
  13. ( sqrt [3] {3} )
  14.      
  15. ( sqrt [3] {6} )
  16.      
  17. ( sqrt [3] {28} )
  18.      
  19. ( sqrt [3] {9} )
  20.      
  21. (4 sqrt [3] {10} )
  22.      
  23. (- 3 sqrt [3] {12} )
  24.      
  25. Determine el conjunto que consiste en los cuadrados de los primeros doce enteros positivos.
  26.      
  27. Determine el conjunto que consiste en los cubos de los primeros doce enteros positivos.
  28.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (1.73 )

     

3. (4.36 )

     

5. (6.71 )

     

7. (1.44 )

     

9. (3.04 )

     

11. (8.62 )

     

13. ( {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144 } )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Simplificar.

 
         
  1. ( sqrt {18} )
  2.      
  3. ( sqrt {50} )
  4.      
  5. ( sqrt {24} )
  6.      
  7. ( sqrt {40} )
  8.      
  9. ( sqrt { frac {50} {81}} )
  10.      
  11. ( sqrt { frac {54} {25}} )
  12.      
  13. (4 sqrt {72} )
  14.      
  15. (3 sqrt {27} )
  16.      
  17. (- 5 sqrt {80} )
  18.      
  19. (- 6 sqrt {128} )
  20.      
  21. (3 sqrt {-40} )
  22.      
  23. (5 sqrt {-160} )
  24.      
  25. ( sqrt [3] {16} )
  26.      
  27. ( sqrt [3] {54} )
  28.      
  29. ( sqrt [3] {81} )
  30.      
  31. ( sqrt [3] {24} )
  32.      
  33. ( sqrt [3] { frac {48} {125}} )
  34.      
  35. ( sqrt [3] { frac {135} {64}} )
  36.      
  37. (7 sqrt [3] {500} )
  38.      
  39. (25 sqrt [3] {686} )
  40.      
  41. (- 2 sqrt [3] {- 162} )
  42.      
  43. (5 sqrt [3] {- 96} )
  44.      
  45. (( sqrt {64}) ^ {2} )
  46.      
  47. (( sqrt {25}) ^ {2} )
  48.      
  49. (( sqrt {2}) ^ {2} )
  50.      
  51. (( sqrt {6}) ^ {2} )
  52.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (3 sqrt {2} )

     

3. (2 sqrt {6} )

     

5. ( frac {5 sqrt {2}} {9} )

     

7. (24 sqrt {2} )

     

9. (- 20 sqrt {5} )

     

11. No es un número real.

     

13. (2 sqrt [3] {2} )

     

15. (3 sqrt [3] {3} )

     

17. ( frac {2 sqrt [3] {6}} {5} )

     

19. (35 sqrt [3] {4} )

     

21. (6 sqrt [3] {6} )

     

23. 64

     

25. 2

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 
         
  1. Si las dos patas de un triángulo rectángulo miden (3 ) unidades y (4 ) unidades, entonces encuentre la longitud de la hipotenusa.
  2.      
  3. Si las dos patas de un triángulo rectángulo miden (6 ) unidades y (8 ) unidades, entonces encuentre la longitud de la hipotenusa.
  4.      
  5. Si las dos patas iguales de un triángulo rectángulo isósceles miden (7 ) unidades, encuentre la longitud de la hipotenusa.
  6.      
  7. Si las dos patas iguales de un triángulo rectángulo isósceles miden (10 ​​) unidades, entonces encuentre la longitud de la hipotenusa.
  8.      
  9. Calcula la diagonal de un cuadrado con lados que miden (3 ) centímetros.
  10.      
  11. Calcula la diagonal de un cuadrado con lados que miden (10 ​​) centímetros.
  12.      
  13. Calcula la diagonal de un cuadrado con lados que miden ( sqrt {6} ) centímetros.
  14.      
  15. Calcule la diagonal de un cuadrado con lados que miden ( sqrt {10} ) centímetros.
  16.      
  17. Calcule la longitud de la diagonal de un rectángulo con dimensiones (4 ) centímetros por (8 ) centímetros.
  18.      
  19. Calcule la longitud de la diagonal de un rectángulo con dimensiones (8 ) metros por (10 ​​) metros.
  20.      
  21. Calcule la longitud de la diagonal de un rectángulo con dimensiones ( sqrt {3} ) metros por (2 ) metros.
  22.      
  23. Calcule la longitud de la diagonal de un rectángulo con dimensiones ( sqrt {6} ) metros por ( sqrt {10} ) metros.
  24.      
  25. Para garantizar que una puerta recién construida sea cuadrada, la diagonal medida debe coincidir con la distancia calculada utilizando el teorema de Pitágoras. Si la puerta mide (4 ) pies por (4 ) pies, ¿qué debe medir la diagonal en pulgadas? (Redondee a la décima de pulgada más cercana.)
  26.      
  27. Si un marco de puerta mide (3.5 ) pies por (6.6 ) pies, ¿qué debe medir la diagonal para garantizar que el marco sea un rectángulo perfecto?
  28.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (5 ) unidades

     

3. (7 sqrt {2} ) unidades

     

5. (3 sqrt {2} ) centímetros

     

7. (2 sqrt {3} ) centímetros

     

9. (4 sqrt {5} ) centímetros

     

11. ( sqrt {7} ) metros

     

13. La diagonal debe medir aproximadamente (67.9 ) pulgadas.

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Determine si el triángulo dado con las patas ayb y la hipotenusa c es un triángulo rectángulo o no.

 
         
  1. (a = 3, b = 7, ) y (c = 10 )
  2.      
  3. (a = 5, b = 12, ) y (c = 13 )
  4.      
  5. (a = 8, b = 15, ) y (c = 17 )
  6.      
  7. (a = 7, b = 24, ) y (c = 30 )
  8.      
  9. (a = 3, b = 2, ) y (c = sqrt {13} )
  10.      
  11. (a = sqrt {7}, b = 4, ) y (c = sqrt {11} )
  12.      
  13. (a = 4, b = sqrt {3}, ) y (c = sqrt {19} )
  14.      
  15. (a = sqrt {6}, b = sqrt {15} y (c = 21 )
  16.  
 
     
Respuesta
     
     

1. No es un triángulo rectángulo.

     

3. Triángulo rectángulo.

     

5. Triángulo rectángulo.

     

7. Triángulo rectángulo.

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 
         
  1. ¿Qué dice tu calculadora después de sacar la raíz cuadrada de un número negativo? Comparta sus resultados en el panel de discusión y explique por qué dice eso.
  2.      
  3. Investigue y discuta la historia del teorema de Pitágoras.
  4.      
  5. Investiga y discute la historia de la raíz cuadrada.
  6.      
  7. Discuta la importancia de la raíz cuadrada principal. ¿Por qué es que el mismo problema no surge con las raíces cúbicas? Proporcione algunos ejemplos con su explicación.
  8.  
 
     
Respuesta
     
     

1. La respuesta puede variar

     

3. La respuesta puede variar

     
 
 
 
 

Notas a pie de página

 

74 Ese número que cuando se multiplica por sí mismo produce el número original.

 

75 El símbolo (√ ) usado para denotar una raíz cuadrada.

 

76 La raíz cuadrada no negativa.

 

77 El número dentro de un radical.

 

78 El número que cuando se multiplica por sí mismo tres veces produce el número original, denotado por ( sqrt [3] {} ).

 

79 El entero positivo (n ) en la notación ( sqrt [n] {} ) que se utiliza para indicar una enésima raíz.

 

80 Dados los números reales ( sqrt [n] {A} ) y ( sqrt [n] {B} ), ( sqrt [ n] {A cdot B} = sqrt [n] {A} cdot sqrt [n] {B} )

 

81 Dados los números reales ( sqrt [n] {A} ) y ( sqrt [n] {B} ), ( sqrt [ n] { frac {A} {B}} = frac { sqrt [n] {A}} { sqrt [n] {B}} ).

 

82 Un radical donde el radicando no consiste en ningún factor que pueda escribirse como potencia perfecta del índice.

 

83 Un triángulo con un ángulo que mide (90 ° ).

 

84 El lado más largo de un triángulo rectángulo; siempre será el lado opuesto al ángulo recto.

 

85 Los lados de un triángulo rectángulo que no son la hipotenusa.

 

86 La hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las longitudes de las patas del triángulo.

 
                                  
]]>