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las matematicas

1.3: Usa el lenguaje de álgebra

                 

 

Objetivos de aprendizaje

 

Al final de esta sección, podrá:

 
         
  • Usar variables y símbolos algebraicos
  •      
  • Simplifique expresiones usando el orden de las operaciones
  •      
  • Evaluar una expresión
  •      
  • Identificar y combinar términos similares
  •      
  • Traducir una frase en inglés a una expresión algebraica
  •  
 
 

Usar variables y símbolos algebraicos

 

Supongamos que este año Greg tiene (20 ) años y Alex tiene (23 ). Sabes que Alex es (3 ) años mayor que Greg. Cuando Greg era (12 ), Alex era (15 ). Cuando Greg es (35 ), Alex será (38 ). No importa la edad de Greg, la edad de Alex siempre será 3 años más, ¿verdad? En el lenguaje del álgebra, decimos que la edad de Greg y la edad de Alex son variables y el (3 ) es una constante. Las edades cambian (“varían”) pero los (3 ) años entre ellas siempre se mantienen igual (“constante”). Dado que la edad de Greg y la edad de Alex siempre diferirán en (3 ) años, (3 ) es la constante. En álgebra, usamos letras del alfabeto para representar variables. Entonces, si llamamos a la edad de Greg (g ), entonces podríamos usar (g + 3g + 3 ) para representar la edad de Alex. Consulte la Tabla ( PageIndex {1} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                 
Tabla ( PageIndex {1} )
Edad de Greg Edad de Alex
(12 ) (15 )
(20 ) (23 )
(35 ) (38 )
(g ) (g + 3 )
 

Las letras utilizadas para representar estas edades cambiantes se denominan variables. Las letras más utilizadas para las variables son (x, y, a, b, ) y (c ).

 
 
 

Definición: VARIABLE

 

Una variable es una letra que representa un número cuyo valor puede cambiar.

 
 
 

Definición: CONSTANTE

 

Una constante es un número cuyo valor siempre permanece igual.

 
 
 

Para escribir algebraicamente, necesitamos algunos símbolos de operación, así como números y variables. Hay varios tipos de símbolos que usaremos.

 

Hay cuatro operaciones aritméticas básicas : suma, resta, multiplicación, y división . A continuación, enumeraremos los símbolos utilizados para indicar estas operaciones (Tabla ( PageIndex {2} )). Probablemente reconocerás algunos de ellos. ( require {enclosure} )

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             
Tabla ( PageIndex {2} )
Operación Notación Diga: El resultado es …
Adición (a + b ) (a ) más (b ) la suma de (a ) y (b )
Resta (a − b ) (a ) menos (b ) la diferencia de (a ) y (b )
Multiplicación (a · b, ab, (a) (b), (a) b, a (b) ) (a ) veces (b ) el producto de (a ) y (b )
División (a div {b}, a / b, dfrac {a} {b}, b enclosure {longdiv} {a} ) (a ) dividido por (b ) el cociente de (a ) y (b ), (a ) se llama dividendo y (b ) se llama divisor
 

Realizamos estas operaciones en dos números. Cuando traduzca de forma simbólica a inglés, o de inglés a forma simbólica, preste atención a las palabras “de” y “y”.

 
         
  • La diferencia de (9 ) y (2 ) significa restar (9 ) y (2 ), en otras palabras, (9 ) menos (2 ), que escribimos simbólicamente como (9−2 ).
  •      
  • El producto de (4 ) y (8 ) significa multiplicar (4 ) y (8 ), en otras palabras (4 ) veces (8 ), que escribimos simbólicamente como (4 cdot 8 ).
  •  
 

En álgebra, el símbolo de la cruz, ( times ), no se usa para mostrar la multiplicación porque ese símbolo puede causar confusión. ¿ (3xy ) significa (3 veces y ) (‘tres veces (y )’) o (3 cdot x cdot y ) (tres veces (x ) veces (y ))? Para que quede claro, use ( cdot ) o paréntesis para la multiplicación.

 

Cuando dos cantidades tienen el mismo valor, decimos que son iguales y las conectamos con un signo igual .

 
 
 

SÍMBOLO DE IGUALDAD

 

(a = b ) se lee ” (a ) es igual a (b )”

 

El símbolo (“=” ) se llama signo igual .

 
 

En la recta numérica, los números se hacen más grandes a medida que van de izquierda a derecha. La recta numérica se puede usar para explicar los símbolos (“<” ) y (“>” ).

 
 
 
 

DESIGUALDAD

 

(a  

(a ) está a la izquierda de (b ) en la línea numérica

 
No Alt Text  
Figura ( PageIndex {1} )
 
 

(a> b ) se lee ” (a ) es mayor que (b )”

 

(a ) está a la derecha de (b ) en la línea numérica

 
No Alt Text  
Figura ( PageIndex {2} )
 
 
 

Las expresiones (a b ) se pueden leer de izquierda a derecha o de derecha a izquierda, aunque en inglés solemos leer de izquierda a derecha la Tabla ( PageIndex {3} ). En general, (a a ). Por ejemplo, (7 <11 ) es equivalente a (11> 7 ). Y (a> b ) es equivalente a (b 4 ) es equivalente a (4 <17 ).

 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   
Tabla ( PageIndex {3} )
Símbolos de desigualdad Palabras
(a neq b ) (a ) no es igual a (b )
(a               (a ) es menor que (b )
(a leq b ) (a ) es menor o igual que (b )
(a> b ) (a ) es mayor que (b )
(a geq b ) (a ) es mayor o no igual a (b )
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Traducir del álgebra al inglés:

 
         
  1. (17 leq 26 )
  2.      
  3. (8 neq 17 – 3 )
  4.      
  5. (12> 27 div 3 )
  6.      
  7. (y + 7 <19 )
  8.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (17 leq 26 ), (17 ) es menor o igual que (26 )
  2.          
  3. (8 neq 17 – 3 ), (8 ) no es igual a (17 ) menos (3 )
  4.          
  5. (12> 27 div 3 ), (12 ) es mayor que (27 ) dividido por (3 )
  6.          
  7. (y + 7 <19 ), (y ) plus (7 ) es menor que (19 )
  8.      
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Traducir del álgebra al inglés:

 
         
  1. (14 leq 27 )
  2.      
  3. (19 – 2 neq 8 )
  4.      
  5. (12> 4 div 2 )
  6.      
  7. (x – 7 <1 )
  8.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (14 ) es menor o igual que (27 )
  2.          
  3. (19 ) menos (2 ) no es igual a (8 )
  4.          
  5. (12 ) es mayor que (4 ) dividido por (2 )
  6.          
  7. (x ) menos (7 ) es menor que (1 )
  8.      
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Traducir del álgebra al inglés:

 
         
  1. (19 leq 15 )
  2.      
  3. (7 = 12 – 5 )
  4.      
  5. (15 div 3 <8 )
  6.      
  7. (y + 3 <6 )
  8.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (19 ) es mayor o igual que (15 )
  2.          
  3. (7 ) es igual a (12 ) menos (5 )
  4.          
  5. (15 ) dividido por (3 ) es menor que (8 )
  6.          
  7. (y ) más (3 ) es mayor que (6 )
  8.      
     
 
 
 
 
 
 

Los símbolos de agrupación en álgebra son muy parecidos a las comas, los dos puntos y otros signos de puntuación en inglés. Ayudan a aclarar qué expresiones deben mantenerse juntas y separadas de otras expresiones. Introduciremos tres tipos ahora.

 
 

SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN

 

[ begin {align *} & text {Parentheses} & & () \ & text {Brackets} & & [] \ & text {Braces} & & {} end { alinear *} ]

 
 

Estos son algunos ejemplos de expresiones que incluyen símbolos de agrupación . Simplificaremos expresiones como estas más adelante en esta sección.

 
 

[8 (14−8) qquad 21−3 [2 + 4 (9−8)] qquad 24 div {13−2 [1 (6−5) +4] nonumber } ]

 

¿Cuál es la diferencia en inglés entre una frase y una oración? Una frase expresa un solo pensamiento que está incompleto por sí mismo, pero una oración hace una declaración completa. “Correr muy rápido” es una frase, pero “El jugador de fútbol corría muy rápido” es una oración. Una oración tiene un sujeto y un verbo. En álgebra, tenemos expresiones y ecuaciones .

 
 
 

EXPRESIÓN

 

Una expresión es un número, una variable o una combinación de números y variables que usan símbolos de operación.

 
 

Una expresión es como una frase en inglés. Estos son algunos ejemplos de expresiones:

 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       
Tabla ( PageIndex {4} )
Expresión Palabras Frase en inglés
(3 + 5 ) (3 ) más (5 ) la suma de tres y cinco
(n – 1 ) (n ) menos uno la diferencia de (n ) y uno
(6 cdot 7 ) (6 ) veces (7 ) el producto de seis y siete
( dfrac {x} {y} ) (x ) dividido por (y ) el cociente de (x ) y (y )
 

Observe que las frases en inglés no forman una oración completa porque la frase no tiene un verbo. Una ecuación es dos expresiones vinculadas con un signo igual . Cuando lees las palabras que los símbolos representan en una ecuación, tienes una oración completa en inglés. El signo igual da el verbo.

 
 
 

Definición: ECUACIÓN

 

Una ecuación son ​​dos expresiones conectadas por un signo igual.

 
 

Aquí hay algunos ejemplos de ecuaciones.

 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 
Tabla ( PageIndex {5} )
Ecuación Oración en inglés
(3 + 5 = 8 ) la suma de tres y cinco es igual a ocho
(n − 1 = 14 ) (n ) menos uno es igual a catorce
(6 cdot 7 = 42 ) El producto de seis y siete es igual a cuarenta y dos
(x = 53 ) (x ) es igual a cincuenta y tres
(y + 9 = 2y − 3 ) (y ) más nueve es igual a dos (y ) menos tres
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Determine si cada una es una expresión o una ecuación:

 
         
  1. (2 (x + 3) = 10 )
  2.      
  3. (4 (y – 1) + 1 )
  4.      
  5. (x div 25 )
  6.      
  7. (y + 8 = 40 )
  8.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (2 (x + 3) = 10 ). Esta es una ecuación: dos expresiones están conectadas con un signo igual.
  2.          
  3. (4 (y – 1) + 1 ). Esta es una expresión, sin signo igual.
  4.          
  5. (x div 25 ). Esta es una expresión, sin signo igual.
  6.          
  7. (y + 8 = 40 ). Esta es una ecuación: dos expresiones están conectadas con un signo igual.
  8.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Determine si cada una es una expresión o una ecuación:

 
         
  1. (3 (x – 7) = 27 )
  2.      
  3. (5 (4 años – 2) – 7 )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ecuación
  2.          
  3. expresión
  4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Determine si cada una es una expresión o una ecuación:

 
         
  1. (y ^ {3} div 14 )
  2.      
  3. (4x – 6 = 22 )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. expresión
  2.          
  3. ecuación
  4.      
     
 
 
 

Supongamos que necesitamos multiplicar nueve factores de (2 ). Podríamos escribir esto como (2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 ). Esto es tedioso y puede ser difícil hacer un seguimiento de todos esos 2s, por lo que usamos exponentes. Escribimos (2 cdot 2 cdot 2 ) como (2 ^ {3} ) y (2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 cdot 2 ) como (2 ^ {9} ). En expresiones como (2 ^ {3} ), el (2 ) se denomina base y el (3 ) se denomina exponente . El exponente nos dice cuántas veces necesitamos multiplicar la base.

 
 
 
The number two is shown with a superscipted number three to the right of it. an arrow is drawn to the number two and labeled “base” while another arrow is drawn to the superscripted three and labeled “exponent”. This means multiply three factors of 2, as in 2 times 2 times 2.  
Figura ( PageIndex {3} )
 
 

Leemos (2 ^ {3} ) como “dos a la tercera potencia” o “dos cubos”.

 

Decimos que (2 ^ {3} ) está en notación exponencial y (2 cdot 2 cdot 2 ) está en notación expandida.

 
 
 

NOTACIÓN EXPONENCIAL

 

(a ^ {n} ) significa el producto de (n ) factores de (a ).

 
a is shown with a superscripted n to the right of it. an arrow is drawn to a and labeled “base” while another arrow is drawn to the superscripted n and labeled “exponent”. Written below this is the equation a superscript n equals a times a times ellipsis times a, implying an indeterminate number of “a”s being multiplied. a bracket is drawn below the “a”s being multiplied and labeled “n factors”.  
Figura ( PageIndex {4} )
 
 

La expresión (a ^ {n} ) se lee (a ) a la potencia (n ^ {th} ).

 
 

Mientras leemos (a ^ {n} ) como “ (a ) al poder (n ^ {th} )”, solemos leer:

 
 
         
  • (a ^ {2} ) “un cuadrado”
  •      
  • (a ^ {3} ) “un cubo”
  •  
 

Más adelante veremos por qué (a ^ {2} ) y (a ^ {3} ) tienen nombres especiales.

 

La tabla ( PageIndex {6} ) muestra cómo leemos algunas expresiones con exponentes.

                                                                                                                                                                                                                                                                                 
Tabla ( PageIndex {6} )
Expresión En palabras
(7 ^ {2} ) (7 ) a la segunda potencia o (7 ) al cuadrado
(5 ^ {3} ) (5 ) a la tercera potencia o (5 ) en cubos
(9 ^ {4} ) (9 ) a la cuarta potencia
(12 ^ {5} ) (12 ) a la quinta potencia
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Simplificar: (3 ^ {4} )

 
     
Respuesta
     
     

[ quad 3 ^ {4} nonumber ]
[ begin {align *} & Expande la expresión & & 3 cdot 3 cdot 3 cdot 3 \ [5pt] [19459099 ] & Text {Multiplicar de izquierda a derecha} & & 9 cdot 3 cdot 3 \ [5pt]
& text {Multiply} & & 27 cdot 3 \ [5pt]
& text {Multiplicar} & & 81 end {align *} ]

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (5 ^ {3} )
  2.      
  3. (1 ^ {7} )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (125 )
  2.          
  3. (1 )
  4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 
         
  1. (7 ^ {2} )
  2.      
  3. (0 ^ {5} )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (49 )
  2.          
  3. (0 )
  4.      
     
 
 
 

Simplificar expresiones usando el orden de operaciones

 

Para simplificar una expresión significa hacer todos los cálculos posibles. Por ejemplo, para simplificar (4 cdot 2 + 1 ), primero debemos multiplicar (4 cdot 2 ) para obtener (8 ) y luego agregar (1 ) para obtener (9 ) Un buen hábito para desarrollar es trabajar en la página, escribiendo cada paso del proceso debajo del paso anterior. El ejemplo que se acaba de describir se vería así:

 

[4 cdot 2 + 1 nonumber ]

 

[8 + 1 nonumber ]

 

[9 nonumber ]

 

Al no usar un signo igual cuando simplifica una expresión, puede evitar confundir expresiones con ecuaciones.

 
 
 

SIMPLIFICAR UNA EXPRESIÓN

 

Para simplificar una expresión , realice todas las operaciones en la expresión.

 
 

Hemos introducido la mayoría de los símbolos y la notación utilizados en álgebra, pero ahora necesitamos aclarar el orden de las operaciones. De lo contrario, las expresiones pueden tener diferentes significados y pueden dar lugar a valores diferentes. Por ejemplo, considere la expresión:

 
 

[4 + 3 cdot 7 nonumber ]

 

Si simplificas esta expresión, ¿qué obtienes?

 

Algunos estudiantes dicen (49 ),

 

[4 + 3 cdot 7 nonumber ]

 

Dado que (4 + 3 ) da (7 ).

 

[7 cdot 7 nonumber ]

 

Y (7 cdot 7 ) es (49 ) [49 nonumber ]

 

Otros dicen (25 ),

 

[4 + 3 cdot 7 nonumber ]

 

Dado que (3 cdot 7 ) es (21 ).

 

[4 + 21 nonumber ]

 

Y (21 + 4 ) hace (25 ).

 

[25 nonumber ]

 

¡Imagine la confusión en nuestro sistema bancario si cada problema tuviera varias respuestas correctas diferentes!

 

La misma expresión debería dar el mismo resultado. Entonces, los matemáticos establecieron algunas pautas que se denominan Orden de Operaciones .

 
 
 

REALIZA EL ORDEN DE LAS OPERACIONES.

 
         
  1. Paréntesis y otros símbolos de agrupación      
               
    • Simplifique todas las expresiones dentro de los paréntesis u otros símbolos de agrupación, trabajando primero en los paréntesis más internos.
    •      
         
  2.      
  3. Exponentes      
               
    • Simplifica todas las expresiones con exponentes.
    •      
         
  4.      
  5. Multiplicación y división      
               
    • Realice todas las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha. Estas operaciones tienen la misma prioridad.
    •      
         
  6.      
  7. Suma y resta      
               
    • Realice todas las sumas y restas en orden de izquierda a derecha. Estas operaciones tienen la misma prioridad.
    •      
         
  8.  
 
 
 

Nota

 

Hacer la actividad de Matemáticas manipuladoras “Juego de 24” te dará práctica usando el orden de las operaciones.

 
 
 

Los estudiantes a menudo preguntan: “¿Cómo recordaré la orden?” Aquí hay una manera de ayudarlo a recordar: tome la primera letra de cada palabra clave y sustituya la frase tonta: “Por favor, disculpe a mi querida tía Sally”.

 

[ begin {align *} & textbf {P} text {arentheses} & & textbf {P} text {lease} \ [5pt]
& textbf {E} text {xponents} & & textbf {E} text {xcuse} \ [5pt]
& textbf {M} text {ultiplication} space textbf {D} text {ivision} & & textbf {M} text {y} space textbf {D} text {ear} \ [5pt]
& textbf {A} text {ddition} space textbf {S} text {ubtraction } & & textbf {A} text {unt} space textbf {S} text {ally} end {align *} ]

 

Es bueno que ” ( textbf {M} text {y} space textbf {D} text {ear} )” va de la mano, ya que esto nos recuerda que m [ 19459022] ultiplicación y d ivision tienen la misma prioridad. No siempre hacemos multiplicación antes de la división o siempre hacemos división antes de la multiplicación. Los hacemos en orden de izquierda a derecha.

 

Del mismo modo, ” ( textbf {A} text {unt} space textbf {S} text {ally} )” se une y nos recuerda que a ddition y s ubtraction también tienen la misma prioridad y las hacemos en orden de izquierda a derecha.

 

Probemos un ejemplo.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (4 + 3 cdot 7 )
  2.      
  3. ((4 + 3) cdot 7 )
  4.  
 
     
Respuesta
     
1.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               
(4 + 3 cdot 7 )
¿Hay alguna p arentheses? No.
¿Hay algún e xponentes? No.
¿Hay alguna m ultiplicación o d ivisión? Si.
Multiplica primero. (4 + { color {rojo} {3 cdot 7}} )
Agregar. (4 + 21 )
(25 )
     

2.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
((4 + 3) cdot 7 )
¿Hay alguna p arentheses? Si. ({ color {rojo} {(4 + 3)}} cdot 7 )
Simplifica dentro de los paréntesis. (({ color {red} {7}}) 7 )
¿Hay algún e xponentes? No.
¿Hay alguna m ultiplicación o d ivisión? Si.
Multiplica. (49 )
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (12 – 5 cdot 2 )
  2.      
  3. ((12 – 5) cdot 2 )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (2 )
  2.          
  3. (14 )
  4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (8 + 3 cdot 9 )
  2.      
  3. ((8 + 3) cdot 9 )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (35 )
  2.          
  3. (99 )
  4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Simplificar: (18 div 6 + 4 (5 – 2) )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Paréntesis? Sí, restar primero.                  

(18 div 6 + 4 (5 – 2) )
(18 div 6 + 4 (3) )

                 
Exponentes? No.
¿Multiplicación o división? Si. ({ color {rojo} {18 div 6}} + { color {rojo} {4 (3)}} )
Divide primero porque multiplicamos y dividimos de izquierda a derecha. (3 + { color {rojo} {4 (3)}} )
¿Alguna otra multiplicación o división? Si.
Multiplica. (3 + 12 )
¿Alguna otra multiplicación o división? No.
¿Alguna suma o resta? Si. (15 )
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Simplifica: (30 div 5 + 10 (3 – 2) )

 
     
Respuesta
     
     

(16 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Simplificar: (70 div 10 + 4 (6 – 2) )

 
     
Respuesta
     
     

(23 )

     
 
 
 

Cuando hay múltiples símbolos de agrupación, primero simplificamos los paréntesis más internos y trabajamos hacia afuera.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Simplifica: (5 + 2 ^ {3} + 3 [6 – 3 (4 – 2)] ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(5 + 2 ^ {3} + 3 [6 – 3 (4 – 2)] )
¿Hay paréntesis (u otro símbolo de agrupación)? Si.
Concéntrese en los paréntesis que están dentro de los corchetes. (5 + 2 ^ {3} + 3 [6 – 3 { color {rojo} {(4 – 2)}}] )
Restar. (5 + 2 ^ {3} + 3 [6 – { color {rojo} {3 (2)}}] )
Continúa dentro de los corchetes y multiplica. (5 + 2 ^ {3} + 3 [{ color {red} {6 – 6}}] )
Continúa dentro de los corchetes y resta. (5 + 2 ^ {3} + 3 [{ color {red} {0}}] )
La expresión dentro de los corchetes no requiere más simplificación.
¿Hay exponentes? Si. (5 + { color {rojo} {2 ^ {3}}} + 3 [0] )
Simplifica exponentes. (5 + 8 + { color {rojo} {3 [0]}} )
¿Hay alguna multiplicación o división? Si.
Multiplicar. ({ color {rojo} {5 + 8}} + 0 )
¿Hay alguna suma o resta? Si.
Agregar. ({ color {rojo} {13 + 0}} )
Agregar. (13 )
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Simplifica: (9 + 5 ^ {3} – [4 (9 + 3)] ).

 
     
Respuesta
     
     

(86 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Simplifica: (7 ^ {2} – 2 [4 (5 + 1)] ).

 
     
Respuesta
     
     

(1 )

     
 
 
 

Evaluar una expresión

 

En los últimos ejemplos, simplificamos expresiones usando el orden de las operaciones. Ahora evaluaremos algunas expresiones, nuevamente siguiendo el orden de las operaciones. Para evaluar una expresión significa encontrar el valor de la expresión cuando la variable se reemplaza por un número dado.

 
 
 

EVALUAR UNA EXPRESIÓN

 

Para evaluar una expresión significa encontrar el valor de la expresión cuando la variable se reemplaza por un número dado.

 
 

Para evaluar una expresión, sustituya ese número por la variable en la expresión y luego simplifique la expresión.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Evalúa (7x – 4 ), cuando

 
         
  1. (x = 5 )
  2.      
  3. (x = 1 )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
     
     
     

1.

                                                                                                                                                                                                                                                                                              
cuando (x = { color {red} {5}} ) (7x – 4 )
(7 ({ color {rojo} {5}}) – 4 )
Multiplica. (35 – 4 )
Restar. (31 )
     

2.

                                                                                                                                                                                                                                                                                              
cuando (x = { color {red} {1}} ) (7x – 4 )
(7 ({ color {rojo} {1}}) – 4 )
Multiplica. (7 – 4 )
Restar. (3 )
     
     
     
     
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Evalúa (8x – 3 ), cuando

 
         
  1. (x = 2 )
  2.      
  3. (x = 1 )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (13 )
  2.          
  3. (5 )
  4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} )

 

Evalúa (4y – 4 ), cuando

 
         
  1. (y = 3 )
  2.      
  3. (y = 5 )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (8 )
  2.          
  3. (16 )
  4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} )

 

Evalúa (x = 4 ), cuando

 
         
  1. (x ^ {2} )
  2.      
  3. (3 ^ {x} )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     

1.

                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(x ^ {2} )
Reemplace (x ) con ({ color {red} {4}} ). (({ color {red} {4}}) ^ {2} )
Usa la definición de exponente. (4 cdot 4 )
Simplificar. (16 )
     

2.

                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(3 ^ {x} )
Reemplace (x ) con ({ color {red} {4}} ). (3 ^
ParseError: DekiScript no válido (haga clic para más detalles)
 Callstack:
    en  (Estanterías / Álgebra / Libro: _Elementary_Algebra_ (OpenStax) /01:_Foundations/1.03:_Use_the_Language_of_Algebra), / content / body / div [4] / div [4] / dl / dd / table [2] / tbody / tr [2] / td [2] / span, línea 1, columna 1 
 
)
Usa la definición de exponente. (3 cdot3 cdot3 cdot3 )
Simplificar. (81 )
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {23} )

 

Evalúa (x = 3 ), cuando

 
         
  1. (x ^ {2} )
  2.      
  3. (4 ^ {x} )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (9 )
  2.          
  3. (64 )
  4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {24} )

 

Evalúa (x = 6 ), cuando

 
         
  1. (x ^ {3} )
  2.      
  3. (2 ^ {x} )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (216 )
  2.          
  3. (64 )
  4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {25} )

 

Evalúa (2x ^ {2} + 3x + 8 ) cuando (x = 4 ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(2x ^ {2} + 3x + 8 )
Sustituye (x = { color {red} {4}} ). ( small {2x ^ {2} + 3x + 8} )
(2 ({ color {red} {4}}) ^ {2} + 3 ({ color {red } {4}}) + 8 )
Siga el orden de las operaciones. (2 (16) +3 (4) +8 )
(32 + 12 + 8 )
(52 )
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {26} )

 

Evalúa (3x ^ {2} + 4x + 1 ) cuando (x = 3 ).

 
     
Respuesta
     
     

(40 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {27} )

 

Evalúa (6x ^ {2} – 4x – 7 ) cuando (x = 2 ).

 
     
Respuesta
     
     

(9 )

     
 
 
 

Identificar y combinar términos similares

 

Las expresiones algebraicas están formadas por términos. Un término es una constante, o el producto de una constante y una o más variables.

 
 
 

PLAZO

 

Un término es una constante, o el producto de una constante y una o más variables.

 
 

Ejemplos de términos son (7, y, 5x ^ {2}, 9a ) y (b ^ {5} ).

 
 

La constante que multiplica la variable se llama coeficiente .

 
 

COEFICIENTE

 

El coeficiente de un término es la constante que multiplica la variable en un término.

 
 
 

Piense en el coeficiente como el número frente a la variable. El coeficiente del término (3x ) es (3 ). Cuando escribimos (x ), el coeficiente es (1 ), ya que (x = 1 cdot x ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {28} )

 

Identifique el coeficiente de cada término:

 
         
  1. (14 años )
  2.      
  3. (15x ^ {2} )
  4.      
  5. (a )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. El coeficiente de (14y ) es (14 )
  2.          
  3. El coeficiente de (15x ^ {2} ) es (15 )
  4.          
  5. El coeficiente de (a ) es (1 ) ya que (a = 1a ).
  6.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {29} )

 

Identifique el coeficiente de cada término:

 
         
  1. (17x )
  2.      
  3. (41b ^ {2} )
  4.      
  5. (z )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (14 )
  2.          
  3. (41 )
  4.          
  5. (1 )
  6.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {30} )

 

Identifique el coeficiente de cada término:

 
         
  1. (9p )
  2.      
  3. (13a ^ {2} )
  4.      
  5. (y ^ {3} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (9 )
  2.          
  3. (13 )
  4.          
  5. (1 )
  6.      
     
 
 
 

Algunos términos comparten rasgos comunes. Mira los siguientes 6 términos. ¿Cuáles parecen tener rasgos en común?

 

[5x qquad 7 qquad n ^ {2} qquad 4 qquad 3x qquad 9n ^ {2} nonumber ]

 

El (7 ) y el (4 ) son términos constantes.

 

El (5x ) y el (3x ) son términos con (x ).

 

El (n ^ {2} ) y el (9n ^ {2} ) son términos con (n ^ {2} ).

 

Cuando dos términos son constantes o tienen la misma variable y exponente, decimos que son términos similares .

 
         
  • (7 ) y (4 ) son términos similares.
  •      
  • (5x ) y (3x ) son términos similares.
  •      
  • (x ^ {2} ) y (9x ^ {2} ) son términos similares.
  •  
 
 
 

COMO TÉRMINOS

 

Terms that are either constants or have the same variables raised to the same powers are called like terms .

 
 
 

Exercise (PageIndex{31})

 

Identify the like terms: (y^{3},7x^{2}, 14, 23, 4y^{3}, 9x, 5x^{2}).

 
     
Answer
     
     

(y^{3}) and (4y^{3}) are like terms because both have (y^{3}); the variable and the exponent match.

     

(7x^{2}) and (5x^{2}) are like terms because both have (x^{2}); the variable and the exponent match.

     

(14) and (23) are like terms because both are constants.

     

There is no other term like (9x).

     
 
 
 
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{32})

 

Identify the like terms: (9, 2x^{3},y^{2}, 8x^{3}, 15, 9y, 11y^{2}).

 
     
Answer
     
     

(9) and (15), (y^{2}) and (11y^{2}), (2x^{3}) and (8x^{3})

     
 
 
 
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{33})

 

Identify the like terms: (4x^{3},8x^{2}, 19, 3x^{3}, 24, 6x^{3}).

 
     
Answer
     
     

(19) and (24), (8x^{2}) and (3x^{2}), (4x^{3}) and (6x^{3})

     
 
 
 
 
Adding or subtracting terms forms an expression. In the expression (2x^{2} + 3x + 8), from Example , the three terms are (2x^{2}), (3x), and (8).
 
 
 

Exercise (PageIndex{34})

 

Identify the terms in each expression.

 
         
  1. (9x^{2}+7x+12)
  2.      
  3. (8x+3y)
  4.  
 
     
Answer
     
     
             
  1. The terms of (9x^{2}+7x+12) are (9x^{2}, 7x), and (12).
  2.          
  3. The terms of (8x+3y) are (8x) and (3y).
  4.      
     
 
 
 
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{35})

 

Identify the terms in the expression (4x^{2}+5x+17).

 
     
Answer
     
     

(4x^{2}, 5x, 17)

     
 
 
 
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{36})

 

Identify the terms in the expression (5x+2y).

 
     
Answer
     
     

(5x, 2y)

     
 
 
 
 
 

If there are like terms in an expression, you can simplify the expression by combining the like terms. What do you think (4x+7x+x) would simplify to? If you thought (12x), you would be right!

 

[begin{array} { c } { 4 x + 7 x + x } \ { x + x + x + x quad + x + x + x + x + x + x + x quad+ x } \ { 12 x } end{array}]

 

Add the coefficients and keep the same variable. It doesn’t matter what x is—if you have 4 of something and add 7 more of the same thing and then add 1 more, the result is 12 of them. For example, 4 oranges plus 7 oranges plus 1 orange is 12 oranges. Discutiremos las propiedades matemáticas detrás de esto más adelante.

 

Simplify: (4x+7x+x)

 

Add the coefficients. (12x)

 
 
 
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{37}): How To Combine Like Terms

 

Simplify: (2x^{2} + 3x + 7 + x^{2} + 4x + 5)

 
     
Answer
     
     

Three lines of instructions are listed in a column on the left side of the image while four algebraic expressions are listed on the right. The first line of instruction on the left says: “Step 1. Identify like terms.” Across from step 1 in the right column is the algebraic expression: 2x squared plus 3x plus 7 plus x squared plus 4x plus 5. One line down on the right, the same algebraic expression is repeated, except each of the terms appears in one of three colors to illustrate that these are like terms: 2x squared and x squared appear as red, illustrating that these are like terms; 3x and 4x appear as blue, illustrating that these are also like terms; 7 and 5 appear as green, illustrating that these are like terms as well.
The second line of instruction on the left says: “Step 2. Rearrange the expression so the like terms are together. Across from step 2 in the right column is the original algebraic expression with terms reordered so that like terms appear side by side: 2x squared plus x2, both written in red, plus 3x plus 4x, both written n blue, plus 7 plus 5, both written in green.
The third line of instruction on the left says: “Step 3. Combine like terms.” Across from step 3 in the right column is the algebraic expression with like terms combined: 3x squared in red, plus 7x in blue, plus 12 in green.

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{38})

 

Simplify: (3x^{2} + 7x + 9 + 7x^{2} + 9x + 8).

 
     
Answer
     
     

(10x^{2}+16x+17)

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{39})

 

Simplify: (4y^{2} + 5y + 2 + 8y^{2} + 4y + 5).

 
     
Answer
     
     

(12y^{2}+9y+7)

     
 
 
 
 

COMBINE LIKE TERMS.

 
         
  1. Identify like terms.
  2.      
  3. Rearrange the expression so like terms are together.
  4.      
  5. Add or subtract the coefficients and keep the same variable for each group of like terms.
  6.  
 
 
 

Translate an English Phrase to an Algebraic Expression

 

In the last section, we listed many operation symbols that are used in algebra, then we translated expressions and equations into English phrases and sentences. Ahora vamos a revertir el proceso. We’ll translate English phrases into algebraic expressions. Los símbolos y variables de los que hemos hablado nos ayudarán a hacerlo. Table (PageIndex{7}) summarizes them.

 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 
Operation Phrase Expression
Addition (a) plus (b)
the sum of (a) and (b)
(a) increased by (b)
(b) more than (a)
the total of (a) and (b)
(b) added to (a)
[a+b]
Subtraction (a) minus (b)
the difference of (a) and (b)
(a) decreased by (b)
(b) less than (a)
(b) subtracted from (a)
[a−b]
Multiplication (a) times (b)
the product of (a) and (b)
twice (a)
[acdot b, ab, a(b), (a)(b)]
[2a]
Division (a) divided by (b)
the quotient of (a) and (b)
the ratio of (a) and (b)
(b) divided into (a)
[adiv b, a/b, frac{a}{b}, b enclose{longdiv}{a}]
 

Table (PageIndex{7})

 

Look closely at these phrases using the four operations:

 
Four phrases are shown. The first reads “the sum of a and b”, where the words “of” and “and” are written in red. The second reads “the difference of a and b”, where the words “of” and “and” are written in red. The third reads “the product of a and b”, where the words “of” and “and” are written in red. The fourth reads “the quotient of a and b”, where the words “of” and “and” are written in red.  
Figure (PageIndex{5})
 
 

Each phrase tells us to operate on two numbers. Look for the words of and and to find the numbers.

 
 
 
 

Exercise (PageIndex{40})

 

Translate each English phrase into an algebraic expression:

 
         
  1. the difference of (17x) and (5)
  2.      
  3. the quotient of (10x^{2}) and (7).
  4.  
 
     
Answer
     
     
     
     
     
             
  1. The key word is difference , which tells us the operation is subtraction. Look for the words of and and t o find the numbers to subtract.
    The phrase “the difference of 17x and 5”, where the words “of” and “and” are written in red, is written above the phrase “17 x minus 5”. a final phrase written below reads “17 x, minus sign, 5”.
  2.          
  3. The key word is “quotient,” which tells us the operation is division.
  4.      
     

The phrase “the quotient of 10x squared and 7”, where the words “of” and “and” are written in red, is written above the expression “divide 10x squared by 7”. The expression written below reads “10x squared, division sign,v7”.

     

This can also be written (10x^{2}/7) or (dfrac{10x^{2}}{7}).

     
     
     
     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{41})

 

Translate each English phrase into an algebraic expression:

 
         
  1. the difference of (14x^{2}) and (13)
  2.      
  3. the quotient of (12x) and (2).
  4.  
 
     
Answer
     
     
             
  1. (14x^{2} – 13)
  2.          
  3. (12x div 2)
  4.      
     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{42})

 

Translate each English phrase into an algebraic expression:

 
         
  1. the sum of (17y^{2}) and (19)
  2.      
  3. the product of (7) and (y).
  4.  
 
     
Answer
     
     
             
  1. (17y^{2} + 19)
  2.          
  3. (7y)
  4.      
     
 
 
 

How old will you be in eight years? ¿Qué edad son ocho años más que tu edad ahora? Did you add 8 to your present age? Eight “more than” means 8 added to your present age. How old were you seven years ago? This is 7 years less than your age now. You subtract 7 from your present age. Seven “less than” means 7 subtracted from your present age.

 
 

Exercise (PageIndex{43})

 

Translate the English phrase into an algebraic expression:

 
         
  1. Seventeen more than (y)
  2.      
  3. Nine less than (9x^{2}).
  4.  
 
     
Answer
     
     
     
     
     
             
  1. The key words are more than. They tell us the operation is addition. More than means “added to.”          

    (begin{array} { c } { text { Seventeen more than } y } \ { text { Seventeen added to } y } \ { y + 17 } end{array})

             
  2.          
  3. The key words are less than . They tell us to subtract. Less than means “subtracted from.”          

    (begin{array} { c } { text { Nine less than } 9 x ^ { 2 } } \ { text { Nine subtracted from } 9 x ^ { 2 } } \ { 9 x ^ { 2 } – 9 } end{array})

             
  4.      
     
     
     
     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{44})

 

Translate the English phrase into an algebraic expression:

 
         
  1. Eleven more than x
  2.      
  3. Fourteen less than (11a).
  4.  
 
     
Answer
     
     
             
  1. (x+11)
  2.          
  3. (11a−14)
  4.      
     
 
 
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{45})

 

Translate the English phrase into an algebraic expression:

 
         
  1. (13) more than (z)
  2.      
  3. (18) less than (8x).
  4.  
 
     
Answer
     
     

1. (z+13)
2. (8x−18)

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{46})

 

Translate the English phrase into an algebraic expression:

 
         
  1. five times the sum of (m) and (n)
  2.      
  3. the sum of five times (m) and (n).
  4.  
 
     
Answer
     
     

There are two operation words— times tells us to multiply and sum tells us to add.
1. Because we are multiplying (5) times the sum we need parentheses around the sum of (m) and (n), ((m+n)). This forces us to determine the sum first. (Remember the order of operations.)

     

[begin{array} { c } { text { five times the sum of } m text { and } n } \ { 5 ( m + n ) } end{array}]

    2. To take a sum, we look for the words “of” and “and” to see what is being added. Here we are taking the sum of five times (m) and (n.)      

[begin{array} { c } { text { the sum of five times } m text { and } n } \ { 5 m + n } end{array}]

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{47})

 

Translate the English phrase into an algebraic expression:

 
         
  1. four times the sum of (p) and (q)
  2.      
  3. the sum of four times (p) and (q).
  4.  
 
     
Answer
     
     
             
  1. (4(p+q))
  2.          
  3. (4p+q)
  4.      
     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{48})

 

Translate the English phrase into an algebraic expression:

 
         
  1. the difference of two times x and (8),
  2.      
  3. two times the difference of x and (8).
  4.  
 
     
Answer
     
     
             
  1. (2x−8)
  2.          
  3. (2(x−8))
  4.      
     
 
 
 

Later in this course, we’ll apply our skills in algebra to solving applications. The first step will be to translate an English phrase to an algebraic expression. Veremos cómo hacer esto en los siguientes dos ejemplos.

 
 

Exercise (PageIndex{49})

 

The length of a rectangle is (6) less than the width. Deje que (w ) represente el ancho del rectángulo. Escribe una expresión para la longitud del rectángulo.

 
     
Answer
     
     

[begin{array} { l l } { text { Write a phrase about the length of the rectangle. } } &{ 6 text { less than the width } } \ { text { Substitute } w text { for “the width.” } } &{text{6 less then w}} \ { text { Rewrite “less than” as “subtracted from.” } } &{text{6 subtracted from w}} \ { text { Translate the phrase into algebra. } } &{w – 6} end{array}]

     
 
 
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{50})

 

The length of a rectangle is (7) less than the width. Deje que (w ) represente el ancho del rectángulo. Escribe una expresión para la longitud del rectángulo.

 
     
Answer
     
     

(w – 7)

     
 
 
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{51})

 

The width of a rectangle is (6) less than the length. Deje que (l ) represente la longitud del rectángulo. Escribe una expresión para el ancho del rectángulo.

 
     
Answer
     
     

(l – 6)

     
 
 
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{52})

 

June has dimes and quarters in her purse. The number of dimes is three less than four times the number of quarters. Deje que (q ) represente el número de trimestres. Escribe una expresión para el número de monedas de diez centavos.

 
     
Answer
     
     

[begin{array} { ll } { text { Write the phrase about the number of dimes. } } &{text{three less than four times the number of quarters}} \ { text { Substitute } q text { for the number of quarters. } } &{text{3 less than 4 times q}} \ { text { Translate “4 times } q text { .” } } &{text{3 less than 4q}} \ { text { Translate the phrase into algebra. } } &{text{4q – 3}} end{array}]

     
 
 
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{53})

 

Geoffrey has dimes and quarters in his pocket. The number of dimes is eight less than four times the number of quarters. Deje que (q ) represente el número de trimestres. Escribe una expresión para el número de monedas de diez centavos.

 
     
Answer
     
     

(4q – 8)

     
 
 
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{54})

 

Lauren has dimes and nickels in her purse. The number of dimes is three more than seven times the number of nickels. Deje que (n ) represente el número de monedas de cinco centavos. Escribe una expresión para el número de monedas de diez centavos.

 
     
Answer
     
     

(7n + 3)

     
 
 
 
 

Key Concepts

 
         
  • Notation                      The result is…
    (begin{array} { l l } {bullet space a + b } &{ text { the sum of } a text { and } b } \ { bullet space a – b } &{ text { the difference of } a text { and } b } \ {bulletspace a cdot b , a b , ( a ) ( b ) ( a ) b , a ( b ) } &{ text { the product of } a text { and } b } \ {bulletspace a div b , a / b , frac { a } { b } , b ) overline{a} } &{ text { the quotient of } a text { and } b } end{array})
  •      
  • Inequality
    (begin{array} { l l } { bullet space a < b text { is read "a is less than } b ^ { prime prime } } &{a text { is to the left of } b text { on the number line } } \ { bullet space a > b text { is read “a is greater than } b ^ { prime prime } } & { a text { is to the right of } b text { on the number line } } end{array})
  •      
  • Inequality Symbols                 Words
    (begin{array} {ll} { bullet a neq b } &{ a text { is not equal to } b } \ { bullet a < b } &{ a text { is less than } b } \ { bullet a leq b } &{ a text { is less than or equal to } b } \ { bullet a > b } & { a text { is greater than } b } \ { bullet a geq b } & { a text { is greater than or equal to } b } end{array})
  •      
  • Grouping Symbols      
               
    • Parentheses ()
    •          
    • Brackets []
    •          
    • Braces {}
    •      
         
  •      
  • Exponential Notation      
               
    • (a^{n}) means the product of (n) factors of (a). The expression (a^{n}) is read (a) to the (n^{th}) power.
    •      
         
  •      
  • Order of Operations: When simplifying mathematical expressions perform the operations in the following order:      
               
    1. Parentheses and other Grouping Symbols: Simplify all expressions inside the parentheses or other grouping symbols, working on the innermost parentheses first.
    2.          
    3. Exponents: Simplify all expressions with exponents.
    4.          
    5. Multiplication and Division: Perform all multiplication and division in order from left to right. Estas operaciones tienen la misma prioridad.
    6.          
    7. Addition and Subtraction: Perform all addition and subtraction in order from left to right. Estas operaciones tienen la misma prioridad.
    8.      
         
  •      
  • Combine Like Terms      
               
    1. Identify like terms.
    2.          
    3. Rearrange the expression so like terms are together.
    4.          
    5. Add or subtract the coefficients and keep the same variable for each group of like terms.
    6.      
         
  •  
 
 
 
 
 
 

 

 
 
 

Glossary

 
     
coefficient
     
The coefficient of a term is the constant that multiplies the variable in a term.
 
 
     
constant
     
A constant is a number whose value always stays the same.
 
 
     
equality symbol
     
The symbol “(=)” is called the equal sign. We read (a=b) as “(a) is equal to (b).”
 
 
     
equation
     
An equation is two expressions connected by an equal sign.
 
 
     
evaluate an expression
     
To evaluate an expression means to find the value of the expression when the variable is replaced by a given number.
 
 
     
expression
     
An expression is a number, a variable, or a combination of numbers and variables using operation symbols.
 
 
     
like terms
     
Terms that are either constants or have the same variables raised to the same powers are called like terms.
 
 
     
simplify an expression
     
To simplify an expression, do all operations in the expression.
 
 
     
term
     
A term is a constant or the product of a constant and one or more variables.
 
 
     
variable
     
A variable is a letter that represents a number whose value may change.
 
 
                                  
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