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las matematicas

1.4: Desigualdades compuestas

Esta sección discute una técnica que se usa para resolver desigualdades compuestas, que es una frase que generalmente se refiere a un par de desigualdades conectadas por la palabra “y” o la palabra “o”. Antes de comenzar con el trabajo avanzado de resolver estas desigualdades, primero pasemos una o dos palabras (para fines de revisión) discutiendo la solución de las desigualdades lineales simples.

Desigualdades lineales simples

 

Al igual que al resolver ecuaciones, puedes sumar o restar la misma cantidad a ambos lados de una desigualdad.

 
 

Propiedad ( PageIndex {1} )

 

Sea a y b números reales con (a  

[a + c  

y

 

[a-c  

 

Esta utilidad es igualmente válida si reemplaza el símbolo “menor que” con (>, leq ) o ( geq ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Resuelve la desigualdad (x + 3 <8 ) para x.

 

Solución

 

Resta 3 de ambos lados de la desigualdad y simplifica.

 

[ begin {alineado} x + 3 y <8 \ x + 3-3 y <8-3 \ x & <5 end {alineado} ]

 

Por lo tanto, todos los números reales menores que 5 son soluciones de la desigualdad. Es tradicional esbozar el conjunto de soluciones de desigualdades en una recta numérica.

 

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Podemos describir el conjunto de soluciones usando el generador de conjuntos y la notación de intervalo. La solución es

 

[(- infty, 5) = {x: x <5 } ]

 
 

Un concepto importante es la idea de desigualdades equivalentes.

 
 

Desigualdades equivalentes.

 

Se dice que dos desigualdades son equivalentes si y solo si tienen el mismo conjunto de soluciones.

 
 

Tenga en cuenta que esta definición es similar a la definición de ecuaciones equivalentes. Es decir, dos desigualdades son equivalentes si todas las soluciones de la primera desigualdad son también soluciones de la segunda desigualdad, y viceversa.

 

Por lo tanto, en el Ejemplo ( PageIndex {1} ), restar tres de ambos lados de la desigualdad original produjo una desigualdad equivalente. Es decir, las desigualdades (x + 3 <8 ) y (x <5 ) tienen el mismo conjunto de soluciones, a saber, todos los números reales que son menores que 5. No es casualidad que las herramientas en la Propiedad ( PageIndex {1} ) produce desigualdades equivalentes. Cada vez que sumas o restas la misma cantidad de ambos lados de una desigualdad, la desigualdad resultante es equivalente a la original (tienen el mismo conjunto de soluciones).

 

Veamos otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Resuelve la desigualdad (x-5 geq 4 ) para x.

 

Solución

 

Agregue 5 a ambos lados de la desigualdad y simplifique.

 

[ begin {alineado} x-5 & geq 4 \ x-5 + 5 & geq 4 + 5 \ x & geq 9 end {alineado} ]

 

Sombrea la solución en una recta numérica.

 

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En el generador de conjuntos y la notación de intervalo, la solución es

 

[[9, infty) = {x: x geq 9 } ]

 
 

También puedes multiplicar o dividir ambos lados por el mismo número positivo.

 
 

Propiedad ( PageIndex {2} )

 

Sea a y b números reales con (a positivo , entonces

 

[a c  

y

 

[ frac {a} {c} < frac {b} {c} ]

 
 

Nuevamente, esta utilidad es igualmente válida si reemplaza el símbolo “menor que” por (>, leq, text {o} geq. ) Las herramientas en la Propiedad 4 siempre producen desigualdades equivalentes.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Resuelve la desigualdad (3x leq −18 ) para x

 

Solución

 

Divide ambos lados de la desigualdad entre 3 y simplifica.

 

[ begin {alineado} 3 x & leq-18 \ frac {3 x} {3} & leq frac {-18} {3} \ x & leq-6 end {alineado} ]

 

Dibuje la solución en una recta numérica.

 

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En el generador de conjuntos y la notación de intervalo, la solución es

 

[(- infty, -6] = {x: x leq-6 } ]

 
 

Hasta el momento, aparentemente no hay diferencia entre la técnica empleada para resolver desigualdades y la utilizada para resolver ecuaciones. Sin embargo, hay una excepción importante. Considere por un momento la verdadera declaración

 

[- 2 <6 ]

 

Si multiplicas ambos lados de (6) por 3, aún tienes una declaración verdadera; es decir,

 

[- 6 <18 ]

 

Pero si multiplica ambos lados de (6) por −3, debe “revertir el símbolo de desigualdad” para mantener una declaración verdadera; es decir,

 

[6> -18 ]

 

Esta discusión conduce a la siguiente propiedad.

 
 

Propiedad ( PageIndex {3} )

 

Sea a y b números reales con (a negativo , entonces

 

[a c> b c ]

 

y

 

[ frac {a} {c}> frac {b} {c} ]

 
 

Tenga en cuenta que “invierte el símbolo de desigualdad” cuando multiplica o divide ambos lados de una desigualdad por un número negativo. Nuevamente, esta utilidad es igualmente válida si reemplaza el símbolo “menor que” por (>, leq, ) o ( geq ). Las herramientas en Property Property ( PageIndex {3} ) siempre producen desigualdades equivalentes.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Resuelve la desigualdad (- 5x> 10 ) para x.

 

Solución

 

Divide ambos lados de la desigualdad por −5 e invierte el símbolo de desigualdad. Simplificar.

 

[ begin {array} {r} {- 5 x> 10} \ { frac {-5 x} {- 5} < frac {10} {- 5}} \ { quad x <-2} end {array} ]

 

Dibuje la solución en una recta numérica.

 

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En el generador de conjuntos y la notación de intervalo, la solución es

 

[(- infty, -2) = {x: x <-2 } ]

 
 

Desigualdades compuestas

 

Ahora dirigimos nuestra atención al negocio de resolver desigualdades compuestas. En la sección anterior, estudiamos las sutilezas de intersección y unión “y” y “o”, y observamos algunas desigualdades compuestas simples. En esta sección, nos basamos en esos fundamentos y centramos nuestra atención en ejemplos más complejos.

 

En este caso, la mejor forma de aprender es haciendo. Comencemos con un ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Resuelve la siguiente desigualdad compuesta para x.

 

[3-2 x <-1 quad text {o} quad 3-2 x> 1 ]

 

Solución

 

Primero, resuelve cada una de las desigualdades de forma independiente. Con la primera desigualdad, agregue −3 a ambos lados de la desigualdad, luego divida por −2, invirtiendo el signo de desigualdad.

 

[ begin {alineado} 3-2 x & <- 1 \ - 2 x & <- 4 \ x &> 2 end {alineado} ]

 

Sombrea la solución en una recta numérica.

 

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La misma secuencia exacta de operaciones se puede utilizar para resolver la segunda desigualdad

 

[ begin {alineado} 3-2 x &> 1 \ – 2 x &> – 2 \ x & <1 end {alineado} ]

 

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Aunque resuelva cada lado de la desigualdad de forma independiente, querrá organizar su trabajo de la siguiente manera, apilando la solución de la recta numérica para la primera desigualdad por encima de la segunda desigualdad.

 

[ begin {array} {rlllrll} {3-2 x} & {<} & {- 1} & { text {or}} y { quad 3-2 x} & {>} & {1} \ {-2 x} y {<} y {- 4} y & {- 2 x} y {>} y {- 2} \ {x} y {>} y {2} && { x} & {<} & {1} end {array} ]

 
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Figura ( PageIndex {1} ).
 
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Figura ( PageIndex {1} ). La solución de la desigualdad compuesta (3 – 2x <−1 ) o (3 - 2x> 1 )
 

La solución, en notación de intervalo y generador de conjuntos, es [(- infty, 1) cup (2, infty) = {x: x <1 text {or} x> 2 } ]

 
 

Veamos otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Resuelve la siguiente desigualdad compuesta para x.

 

[- 1 <3-2 x <1 ]

 

Solución

 

Recuerde que a a y x  

[3-2 x> -1 quad text {y} quad 3-2 x <1 ]

 

Resuelve cada desigualdad de forma independiente, organizando tu trabajo de la siguiente manera.

 

[ begin {array} {rlllrll} {3-2 x} & {>} & {- 1} & { text {and}} & { quad 3-2 x} & {<} & {1} \ {-2 x} y {>} y {- 4} y & {- 2 x} y {<} y {- 2} \ {x} y {<} y {2} && { x} & {>} & {1} end {array} ]

 

Sombrea la solución de cada desigualdad en líneas reales separadas, una encima de la otra

 
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Figura ( PageIndex {2} ).
 
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Figura ( PageIndex {2} ). La solución de la desigualdad compuesta −1 <3 - 2x <1.
 

La solución, tanto en notación de intervalos como de creación de conjuntos, es

 

[(1,2) = {x: 1  

Tenga en cuenta que utilizamos la forma compacta de la desigualdad compuesta en nuestra respuesta. También podríamos haber usado

 

[(1,2) = {x: x> 1 text {y} x <2 } ]

 

Ambas formas de notación de generador de conjuntos son igualmente válidas. Puede usar cualquiera de los dos, pero debe comprender ambos.

 

Enfoque alternativo. Es posible que haya notado que al resolver la segunda desigualdad en (14), se encontró repitiendo las operaciones idénticas utilizadas para resolver la primera desigualdad. Es decir, restaste 3 de ambos lados de la desigualdad, luego dividiste ambos lados de la desigualdad por −2, invirtiendo el signo de desigualdad.

 

Esta repetición es molesta y sugiere un posible atajo en esta situación particular. En lugar de dividir la desigualdad compuesta (12) en dos partes (como en (13)), mantengamos la desigualdad unida, como en

 

[- 1 <3-2 x <1 ]

 

Ahora, aquí están las reglas para trabajar con este formulario.

 
 

Propiedad ( PageIndex {4} )

 

Cuando se trabaja con una desigualdad compuesta que tiene la forma

 

[a  

puede sumar (o restar) la misma cantidad a (de) las tres partes de la desigualdad, como en

 

[a + c  

o

 

[a-c  

También puede multiplicar las tres partes por el mismo positivo número c> 0, como en

 

[c a  

Sin embargo, si multiplica las tres partes por el mismo negativo número c <0, no olvide invertir los signos de desigualdad, como en

 

[c a> c x> c b ]

 

Las reglas para la división son idénticas a las reglas de multiplicación. Si c> 0 (positivo), entonces

 

[ frac {a} {c} < frac {x} {c} < frac {b} {c} ]

 

Si c <0 (negativo), invierte los signos de desigualdad cuando divides.

 

[ frac {a} {c}> frac {x} {c}> frac {b} {c} ]

 
 

Cada una de las herramientas en la Propiedad ( PageIndex {4} ) siempre produce desigualdades equivalentes.

 

Entonces, volvamos a la desigualdad compuesta (16) y restemos 3 de los tres miembros de la desigualdad.

 

[ begin {array} {c} {- 1 <3-2 x <1} \ {-1-3 <3-2 x-3 <1-3} \ {-4 <- 2 x <-2} end {array} ]

 

Luego, divide los tres miembros entre −2, invirtiendo los signos de desigualdad mientras lo haces.

 

[ begin {array} {c} {- 4 <-2 x <-2} \ { frac {-4} {- 2}> frac {-2 x} {- 2}> frac {-2} {- 2}} \ {2> x> 1} end {array} ]

 

Es convencional cambiar el orden de esta última desigualdad. Al leer la desigualdad de derecha a izquierda, obtenemos

 

[1  

que describe los números reales que son mayores que 1 y menores que 2. La solución se dibuja en la siguiente línea real.

 
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Figura ( PageIndex {3} ). La solución de la desigualdad compuesta (- 1 <3 - 2x <1 ).
 

Tenga en cuenta que esto es idéntico a la solución establecida en la línea real en la Figura ( PageIndex {2} ). Tenga en cuenta también que este segundo método alternativo es más eficiente, especialmente si hace un poco de trabajo mental. Considere la siguiente secuencia donde restamos tres de los tres miembros, luego dividimos los tres miembros por −2, invirtiendo los signos de desigualdad, y finalmente leemos la desigualdad en la dirección opuesta.

 

[ begin {array} {c} {- 1 <3-2 x <1} \ {-4 <-2 x <-2} \ { quad 2> x> 1} \ { quad 1  

 

Veamos otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Resuelve la siguiente desigualdad compuesta para x.

 

[- 1  

Solución

 

Primero, multipliquemos los tres miembros por 2 para eliminar las fracciones.

 

[2 (-1) <2 left (x- frac {x + 1} {2} right) leq 2 (2) ]

 

[- 2 <2 (x) -2 left ( frac {x + 1} {2} right) leq 4 ]

 

Cancelar. Tenga en cuenta el uso de paréntesis, que es crucial cuando se trata de un signo menos.

 

[- 2 <2 x- not {2} left ( frac {x + 1} { not {2}} right) leq 4 ]

 

[- 2 <2 x- (x + 1) leq 4 ]

 

Distribuya el signo menos y simplifique.

 

[ begin {array} {c} {- 2 <2 x-x-1 leq 4} \ {-2  

Agregue 1 a los tres miembros.

 

[- 1  

Esta solución describe los números reales que son mayores que -1 y menores que 5, incluido 5. Es decir, los números reales que se encuentran entre -1 y 5, incluido 5, sombreados en la línea real en la Figura ( Índice de página {4} ).

 
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Figura ( PageIndex {4} ). El conjunto de soluciones de (- 1
 

La respuesta, descrita tanto en notación de intervalos como de creación de conjuntos, sigue

 

[(- 1,5] = {x: -1  

 

Veamos otro ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Resuelve la siguiente desigualdad compuesta para x.

 

[x leq 2 x-3 leq 5 ]

 

Solución

 

Supongamos que intentamos aislar x como lo hicimos en el Ejemplo 25. Quizás intentemos agregar −x a los tres miembros.

 

[ begin {array} {c} {x leq 2 x-3 leq 5} \ {xx leq 2 x-3-x leq 5-x} \ {0 leq x -3 leq 5-x} end {array} ]
Bueno, eso no ayudó mucho, simplemente transfirió el problema con x al otro extremo de la desigualdad. Intentos similares no ayudarán a aislar x. ¿Asi que que hacemos?

 

La solución es dividir la desigualdad (con la palabra “y”, por supuesto).

 

[x leq 2 x-3 quad text {y} quad 2 x-3 leq 5 ]

 

Podemos resolver la primera desigualdad restando 2x de ambos lados de la desigualdad, luego multiplicando ambos lados por −1, invirtiendo la desigualdad en el proceso

 

[ begin {alineado} x & leq 2 x-3 \ – x & leq-3 \ x & geq 3 end {alineado} ]

 

Para resolver la segunda desigualdad, suma 3 a ambos lados, luego divide ambos lados por 2

 

[ begin {alineado} 2 x-3 & leq 5 \ 2 x & leq 8 \ x & leq 4 end {alineado} ]
Por supuesto, probablemente desea organizar su trabajo de la siguiente manera

 

[ begin {array} {rllrl} x & leq 2 x-3 & text {y} & 2 x-3 & leq 5 \ -x & leq-3 && 2 x & leq 8 \ x & geq 3 & & x & leq 4 end {array} ]

 

Por lo tanto, necesitamos sombrear en una recta numérica todos los números reales que sean mayores o iguales a 3 y menores o iguales a 4, como se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ).

 
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Figura ( PageIndex {5} ) Al sombrear la solución de (x leq 2 x-3 leq 5 ), “rellenamos” los puntos finales.
 

La solución, descrita tanto en notación de intervalos como de creación de conjuntos, es

 

[[3,4] = {x: 3 leq x leq 4 } ]

 
 
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