1.4: Expresiones y fórmulas algebraicas

1.4: Expresiones y fórmulas algebraicas

Expresiones algebraicas y la propiedad distributiva

 

En álgebra, las letras llamadas variables se usan para representar números. Las combinaciones de variables y números junto con operaciones matemáticas forman expresiones algebraicas 87 , o simplemente expresiones . Los siguientes son algunos ejemplos de expresiones con una variable, (x ):

                                                                                          
             

(2x + 3 )

             
             

(x ^ {2} −9 )

             
             

( frac {1} {x} + frac {x} {x + 2} )

             
             

(3 sqrt {x} + x )

             
 

Tabla 1.4.1

 

Términos 88 en una expresión algebraica están separados por operadores de suma y factores 89 89 89 están separados por operadores de multiplicación. El factor numérico de un término se denomina coeficiente 90 . Por ejemplo, la expresión algebraica (x ^ {2} y ^ {2} + 6xy – 3 ) puede considerarse como (x ^ {2} y ^ {2} + 6xy + (−3) ) y tiene tres términos. El primer término, (x ^ {2} y ^ {2} ), representa la cantidad (1x ^ {2} y ^ {2} = 1 ⋅ x ⋅ x ⋅ y ⋅ y ) donde (1 ) es el coeficiente y x e y son las variables. Todos los factores variables con sus exponentes forman la parte variable de un término 91 . Si un término se escribe sin un factor variable, se llama término constante 92 . Considere los componentes de (x ^ {2} y ^ {2} + 6xy – 3 ),

                                                                                                                                                                                                                                                                                   
             

Términos

             
             

Coeficiente

             
             

Parte variable

             
             

(x ^ {2} y ^ {2} )

             
             

(1 )

             
             

(x ^ {2} y ^ {2} )

             
             

(6xy )

             
             

(6 )

             
             

(xy )

             
             

(- 3 )

             
             

(- 3 )

             
             

             

 

Tabla 1.4.2

 

El tercer término en esta expresión, (- 3 ), se llama un término constante porque se escribe sin un factor variable. Mientras que una variable representa una cantidad desconocida y puede cambiar, el término constante no cambia.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Lista todos los coeficientes y partes variables de cada término: (10a ^ {2} −5ab − b ^ {2} ).

 

Solución

 

Queremos pensar en el tercer término en este ejemplo (- b ^ {2} ) como (- 1b ^ {2} ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                     
             

Términos

             
             

Coeficiente

             
             

Parte variable

             
             

(10a ^ {2} )

             
             

(10 ​​)

             
             

(a ^ {2} )

             
             

(- 5ab )

             
             

(- 5 )

             
             

(ab )

             
             

(- b ^ {2} )

             
             

(- 1 )

             
             

(b ^ {2} )

             
 

Tabla 1.4.3

 

Respuesta : Coeficientes: ( {- 5, −1, 10 } ); Partes variables: ( {a ^ {2}, ab, b ^ {2} } )

 
 

En nuestro estudio de álgebra, encontraremos una amplia variedad de expresiones algebraicas. Normalmente, las expresiones usan las dos variables más comunes, (x ) y (y ). Sin embargo, las expresiones pueden usar cualquier letra (o símbolo) para una variable, incluso letras griegas, como alfa ( ( alpha )) y beta ( ( beta )). Algunas letras y símbolos están reservados para constantes, como (π ≈ 3.14159 ) y (e ≈ 2.71828 ). Como solo hay un número limitado de letras, también usará subíndices, (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, …, ) para indicar diferentes variables.

 

Las propiedades de los números reales son importantes en nuestro estudio del álgebra porque una variable es simplemente una letra que representa un número real. En particular, la propiedad distributiva 93 establece que si se le da algún número real (a, b ) y (c ), entonces, [19459011 ]  

( color {Cerulean} {a} ) ((b + c) = color {Cerulean} {a} ) (b + color {Cerulean} {a} ) (c )

 

Esta propiedad es una que aplicamos a menudo al simplificar expresiones algebraicas. Para demostrar cómo se usará, simplificamos (2 (5 – 3) ) de dos maneras y observamos el mismo resultado correcto.

                                                                                                                           
             

Paréntesis de trabajo primero.

             
             

Usando la propiedad distributiva.

             
             

(2 ( color {OliveGreen} {5−3} ) () = 2 (2) )

             

(= 4 )

             
             

(2 (5−3) = ) ( color {Cerulean} {2} ) (⋅5− color {Cerulean} {2} ) (⋅3 )

             

(= 10−6 )

             

(= 4 )

             
 

Tabla 1.4.4

 

Ciertamente, si el contenido de los paréntesis puede simplificarse, deberíamos hacerlo primero. Por otro lado, cuando el contenido de los paréntesis no se puede simplificar más, multiplicamos cada término dentro de él por el factor externo usando la propiedad distributiva. La aplicación de la propiedad distributiva nos permite multiplicar y eliminar los paréntesis.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Simplifica: (5 (−2a + 5b) −2c ).

 

Solución

 

Multiplica solo los términos agrupados entre paréntesis para los que estamos aplicando la propiedad distributiva.

 
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Figura 1.4.1
 
 

(= color {Cerulean} {5} ) (⋅ (−2a) + color {Cerulean} {5} ) (⋅5b − 2c )

 

(= – 10a + 25b − 2c )

 

Respuesta : (- 10a + 25b − 2c )

 
 

Recuerde que la multiplicación es conmutativa y, por lo tanto, podemos escribir la propiedad distributiva de la siguiente manera, ((b + c) a = ba + ca ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Simplifica: ((3x − 4y + 1) ⋅3 ).

 

Solución

 

Multiplica todos los términos dentro del paréntesis por (3 ).

 

((3x − 4y + 1) ⋅3 = 3x color {Cerulean} {⋅3} ) (- 4y color {Cerulean} {⋅3} ) (+ 1 color {Cerulean } {⋅3} )

 

(= 9x − 12y + 3 )

 

Respuesta : (9x − 12y + 3 )

 
 

Los términos cuyas partes variables tienen las mismas variables con los mismos exponentes se denominan términos similares 94 o términos similares [19459063 ] 95 . Además, los términos constantes se consideran términos similares. Si una expresión algebraica contiene términos similares, aplique la propiedad distributiva de la siguiente manera:

 

(5 color {Cerulean} {x} ) (+ 7 color {Cerulean} {x} ) (= (5 + 7) color {Cerulean} {x} ) ( = 12 color {Cerulean} {x} )

 

(4 color {Cerulean} {x ^ {2}} ) (+ 5 color {Cerulean} {x ^ {2}} ) (- 7 color {Cerulean} {x ^ {2}} ) (= (4 + 5 – 7) color {Cerulean} {x ^ {2}} ) (= 2 color {Cerulean} {x ^ {2}} ) [19459011 ]  

En otras palabras, si las partes variables de los términos son exactamente iguales, entonces podemos sumar o restar los coeficientes para obtener el coeficiente de un solo término con la misma parte variable. Este proceso se llama combinando términos similares 96 . Por ejemplo,

 

(12 x ^ {2} y ^ {3} + 3 x ^ {2} y ^ {3} = 15 x ^ {2} y ^ {3} )

 

Observe que los factores variables y sus exponentes no cambian. La combinación de términos similares de esta manera, para que la expresión no contenga otros términos similares, se llama , simplificando la expresión 97 . Use esta idea para simplificar expresiones algebraicas con múltiples términos similares.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Simplificar:

 

(x ^ {2} – 10 x + 8 + 5 x ^ {2} – 6 x – 1 ).

 

Solución

 

Identifique los términos similares y agregue los coeficientes correspondientes.

 

( color {Cerulean} { underline {1x ^ {2}}} ) (- color {OliveGreen} { underline { underline {10x}}} ) (+ underline { underline { underline {8}}} + color {Cerulean} { underline {5 x ^ {2}}} ) (- color {OliveGreen} { underline { underline {6x}}} ) (- underline { underline { underline {1}}} ) ( color {Cerulean} {Combine : like : terms.} )

 

(= 6 x ^ {2} – 16 x + 7 )

 

Respuesta : (6 x ^ {2} – 16 x + 7 )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Simplifique: (a ^ {2} b ^ {2} – a b – 2 left (2 a ^ {2} b ^ {2} – 5 a b + 1 right) ).

 

Solución

 

Distribuya (- 2 ) y luego combine términos similares.

 

( begin {alineado} a ^ {2} b ^ {2} – ab – 2 left (2 a ^ {2} b ^ {2} – 5 ab + 1 right) & = a ^ {2} b ^ {2} – ab – 4 a ^ {2} b ^ {2} + 10 ab – 2 \ & = – 3 a ^ {2} b ^ {2} + 9 ab – 2 end {alineado} )

 

Respuesta : (- 3 a ^ {2} b ^ {2} + 9 a b – 2 )

 
 

Evaluación de expresiones algebraicas

 

Una expresión algebraica puede considerarse como una generalización de operaciones aritméticas particulares. La realización de estas operaciones después de sustituir valores dados por variables se llama evaluación 98 . En álgebra, una variable representa un valor desconocido. Sin embargo, si el problema asigna específicamente un valor a una variable, puede reemplazar esa letra con el número dado y evaluar utilizando el orden de las operaciones.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Evaluar:

 
         
  1. (5x – 2 ) donde (x = frac {2} {3} )
  2.      
  3. (y ^ {2} – y – 6 ) donde (y = −4 )
  4.  
   

Solución

 

Para evitar errores comunes, es una buena práctica reemplazar primero todas las variables con paréntesis, y luego reemplazar o sustituir 99 , lo apropiado valor.

 

a.

 

( begin {alineado} 5 x – 2 & = 5 (: 🙂 – 2 \ & = 5 left ( color {OliveGreen} { frac {2} {3}} right ) – 2 \ & = frac {10} {3} – frac {2} {1} cdot color {Cerulean} { frac {3} {3}} \ & = frac {10 – 6} {3} \ & = frac {4} {3} end {alineado} )

 

b.

 

(y ^ {2} – y – 6 = (: 🙂 ^ {2} – (: 🙂 – 6 )

 

(= ( color {OliveGreen} {- 4} ) () ^ {2} – ( color {OliveGreen} {- 4} ) () – 6 )

 

( begin {array} {l} {= 16 + 4 – 6} \ {= 14} end {array} )

 

 

Respuesta :

 

a. ( frac {4} {3} )

 

b. (14 )

 
 

A menudo, las expresiones algebraicas involucrarán más de una variable.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

 

Evalúe (a ^ {3} – 8 b ^ {3} ) donde (a = −1 ) y (b = frac {1} {2} ).

 

Solución

 

Después de sustituir los valores apropiados, debemos tener cuidado de simplificar usando el orden correcto de operaciones.

 

(a ^ {3} – 8 b ^ {3} = (: 🙂 ^ {3} – 8 (: 🙂 ^ {3} color {Cerulean} {Reemplazar : variables : con : paréntesis.} )

 

(= ( color {OliveGreen} {- 1} ) () ^ {3} -8 ( color {OliveGreen} { frac {1} {2}} ) () ^ { 3} color {Cerulean} {Sustituir : en : el : apropiado : valores.} )

 

(= – 1 – 8 left ( frac {1} {8} right) color {Cerulean} {Simplify.} )

 

( begin {array} {l} {= – 1 – 1} \ {= – 2} end {array} )

 

Respuesta : (- 2 )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

 

Evalúe ( frac {x ^ {2} – y ^ {2}} {2 x – 1} ) donde (x = – frac {3} {2} ) y (y = −3 ).

 

Solución

 

( frac {x ^ {2} – y ^ {2}} {2 x – 1} = frac {(: 🙂 ^ {2} – (: 🙂 ^ {2 }} {2 (: 🙂 – 1} )

 

(= frac { left ( color {OliveGreen} {- frac {3} {2}} right) ^ {2} – ( color {OliveGreen} {- 3} color {Black { } {) ^ {2}}} {2 left (- color {OliveGreen} { frac {3} {2}} right) – 1} )

 

(= frac { frac {9} {4} – 9} {- 3 – 1} )

 

En este punto tenemos una fracción compleja. Simplifique el numerador y luego multiplique por el recíproco del denominador.

 

( begin {alineado} & = frac { frac {9} {4} – frac {9} {1} cdot color {Cerulean} { frac {4} {4}}} {- 4} \ & = frac { frac {- 27} {4}} {{ frac {- 4} {1}}} \ & = frac {- 27} {4} left ( – frac {1} {4} right) \ & = frac {27} {16} end {alineado} )

 

Respuesta : ( frac {27} {16} )

 
 

La respuesta al ejemplo anterior se puede escribir como un número mixto, ( frac {27} {16} = 1 frac {11} {16} ). A menos que el problema original tenga números mixtos, o sea una respuesta a una aplicación del mundo real, las soluciones se expresarán como fracciones impropias reducidas.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

 

Evalúe ( sqrt {b ^ {2} – 4 ac} ) donde (a = −1, b = −7 ) y (c = frac {1} {4} ) .

 

Solución

 

Sustituir en los valores apropiados y luego simplificar.

 

( sqrt {b ^ {2} – 4 ac} = sqrt {(: 🙂 ^ {2} – 4 (: 🙂 : : (: :)} )

 

(= sqrt {( color {OliveGreen} {- 7} color {Black} {) ^ {2} – 4 (} color {OliveGreen} {- 1} color {Black} {) (} color {OliveGreen} { frac {1} {4}} color {Black} {)}} )

 

( begin {alineado} & = sqrt {49 + 4 ( frac {1} {4})} \ & = sqrt {49 + 1} \ & = sqrt {50} & = sqrt {25 cdot 2} \ & = 5 sqrt {2} end {alineado} )

 

Alineado : (5 sqrt {2} )

 
 

Uso de fórmulas

 

La principal diferencia entre álgebra y aritmética es el uso organizado de variables. Esta idea lleva a fórmulas reutilizables 100 , que son modelos matemáticos que utilizan expresiones algebraicas para describir aplicaciones comunes. Por ejemplo, el volumen de un cono circular recto depende de su radio (r ) y altura (h ) y está modelado por la fórmula:

 

(V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h )

 

 

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Figura 1.4.1
 
 

En esta ecuación, se usan variables y constantes para describir la relación entre el volumen y la longitud de la base y la altura. Si el radio de la base mide (3 ) metros y la altura mide (5 ) metros, entonces el volumen puede calcularse utilizando la fórmula de la siguiente manera:

 

( begin {alineado} V & = frac {1} {3} pi r ^ {2} h \ & = frac {1} {3} pi (3 m) ^ {2 } (5 m) \ & = frac {1} { bcancel {3}} pi cdot stackrel { color {Cerulean} {3}} { bcancel {9}} cdot 5 m ^ { 3} \ & = 15 pi mathrm {m} ^ {3} end {alineado} )

 

Usando (π ≈ 3.14 ), podemos aproximar el volumen: (V ≈ 15 (3.14) = 47.1 ) metros cúbicos.

 

A continuación, se incluye una lista de fórmulas que describen el área y el perímetro de figuras planas comunes. La letra P representa el perímetro y se mide en unidades lineales. La letra A representa el área y se mide en unidades cuadradas.

 
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Figura 1.4.2
 
 
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Figura 1.4.3
 
 

A continuación se incluye una lista de fórmulas que describen el área de superficie y el volumen de figuras comunes. Aquí SA representa el área de superficie y se mide en unidades cuadradas. La letra V representa el volumen y se mide en unidades cúbicas.

 
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Figura 1.4.4
 
 
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Figura 1.4.5
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ):

 

El diámetro de un globo esférico es de (10 ​​) pulgadas. Determine el volumen redondeado a la centésima más cercana.

 

Solución

 

La fórmula para el volumen de una esfera es

 

(V = frac {4} {3} pi r ^ {3} )

 

Esta fórmula da el volumen en términos del radio, (r ). Por lo tanto, divida el diámetro entre (2 ) y luego sustitúyalo en la fórmula. Aquí, (r = frac {10} {2} = 5 ) pulgadas y tenemos

 

( begin {alineado} V & = frac {4} {3} pi r ^ {3} \ & = frac {4} {3} pi (5 mathrm {in}) ^ {3} \ & = frac {4} {3} pi cdot 125 mathrm {in} ^ {3} \ & = frac {500 pi} {3} mathrm {in} ^ {3} aprox. 523.60 mathrm {in} ^ {3} end {alineado} )

 

Respuesta : El volumen del globo es aproximadamente (523.60 ) pulgadas cúbicas.

 
 

Las fórmulas se pueden encontrar en una multitud de temas. Por ejemplo, movimiento uniforme 101 está modelado por la fórmula (D = rt ), que expresa la distancia (D ), en términos de tasa promedio, o velocidad, (r ) y el tiempo recorrido a esa tasa, (t ). Esta fórmula, (D = rt ), se usa con frecuencia y se lee, « la distancia es igual a la tasa multiplicada por el tiempo «.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} ):

 

El viaje por carretera de Jim tomó (2 : frac {1} {2} ) horas a una velocidad promedio de (66 ) millas por hora. ¿Qué tan lejos viajó?

 

Solución

 

Sustituye los valores apropiados en la fórmula y luego simplifica.

 

( begin {alineado} D & = r cdot t \ & = ( color {Cerulean} {66 frac { mathrm {mi}} { mathrm {hr}}} color {Black } {) cdot (} color {Cerulean} {2 frac {1} {2} mathrm {hr}} color {Black} {)} \ & = frac {66} {1} cdot frac {5} {2} mathrm {mi} \ & = 33 cdot 5 mathrm {mi} \ & = 165 mathrm {mi} end {alineado} )

 

Respuesta : Jim viajó (165 ) millas.

 
 

Interés simple 102 (I ) viene dado por la fórmula (I = prt ), donde (p ) representa el monto del capital invertido a una tasa de interés anual (r ) por (t ) años.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} ):

 

Calcule el interés simple ganado en una inversión de (2 ) años de ($ 1,250 ) a una tasa de interés anual de (3 : frac {3} {4}% ).

 

Solución

 

Convierta (3 : frac {3} {4}% ) a un número decimal antes de usarlo en la fórmula.

 

(r = 3 frac {3} {4} % = 3.75 % = 0.0375 )

 

Use esto y el hecho de que (p = $ 1,250 ) y (t = 2 ) años para calcular el interés simple.

 

( begin {alineado} I & = prt \ & = ( color {Cerulean} {1,250} color {Black} {) (} color {Cerulean} {0.0375} color {Black} { ) (} color {Cerulean} {2} color {Black} {)} \ & = 93.75 end {alineado} )

 

Respuesta : El interés simple devengado es ($ 93.75 ).

 
 

Notas a pie de página

 

87 Combinaciones de variables y números junto con operaciones matemáticas utilizadas para generalizar operaciones aritméticas específicas.

 

88 Componentes de una expresión algebraica separados por operadores de suma.

 

89 Componentes de un término separados por operadores de multiplicación.

 

90 El factor numérico de un término.

 

91 Todos los factores variables con sus exponentes.

 

92 Un término escrito sin un factor variable.

 

93 Dados los números reales (a, b, ) y (c, a (b + c) = ab + ac ) o ((b + c) a = ba + ca ).

 

94 Términos constantes o términos cuyas partes variables tienen las mismas variables con los mismos exponentes.

 

95 Se usa cuando se hace referencia a términos similares.

 

96 Sumar o restar términos similares dentro de una expresión algebraica para obtener un solo término con la misma parte variable.

 

97 El proceso de combinar términos similares hasta que la expresión no contenga más términos similares.

 

98 El proceso de realizar las operaciones de una expresión algebraica para valores dados de las variables.

 

99 El acto de reemplazar una variable con una cantidad equivalente.

 

100 Un modelo matemático reutilizable que usa expresiones algebraicas para describir una aplicación común.

 

101 La distancia (D ) después de viajar a una tasa promedio (r ) durante algún tiempo (t ) se puede calcular usando la fórmula ( D = rt ).

 

102 Modelado por la fórmula (I = prt ), donde (p ) representa el monto del capital invertido a una tasa de interés anual (r ) para (t ) años.

 
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