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las matematicas

1.4: notación decimal

                 

Cada número racional se puede expresar usando la notación decimal . Para cambiar una fracción a su equivalente decimal, divida el numerador de la fracción por su denominador. En algunos casos el proceso terminará, dejando un resto cero. Sin embargo, en otros casos, los restos comenzarán a repetirse, proporcionando una representación decimal que se repite en bloques.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Cambia cada una de las siguientes fracciones a decimales.

 
         
  1. ( dfrac {39} {80} )
  2.      
  3. ( dfrac {4} {11} )
  4.  
 

Solución

 

Realizamos dos divisiones, la de la izquierda para cambiar (39/80 ) a un decimal, la de la derecha para encontrar una representación decimal para (4/11 ).

 

fig 1.4.1a.png

 

A la izquierda, el proceso de división termina con un resto cero. Por lo tanto, (39/80 = 0.4875 ) se llama terminando decimal. A la derecha, los restos se repiten en un patrón y el cociente también se repite en bloques de dos. Por lo tanto, (4/11 = 0.3636 puntos ) se llama un decimal repetitivo. También podemos usar una barra de repetición para escribir (4/11 = 0. Overline {36} ). El bloque debajo de la barra de repetición se repite indefinidamente.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Cambie (24/7 ) a un decimal.

 
     
Respuesta
     
     

(3. Overline {428571} )

     
 
 
 

Viceversa, cualquier decimal final puede expresarse como una fracción. Solo necesita contar el número de dígitos después del punto decimal y usar el mismo número de ceros en su denominador.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Expresa cada uno de los siguientes decimales como fracciones. Reduce tus respuestas a los términos más bajos.

 
         
  1. (0,055 )
  2.      
  3. (3.36 )
  4.  
 

Solución

 

En cada caso, cuente el número de dígitos después del punto decimal e incluya un número igual de ceros en el denominador.

 
         
  1. En este ejemplo, hay tres dígitos después del punto decimal, por lo que colocamos el número sobre (1000 ), que tiene tres ceros después del uno. [ Begin {alineado} 0.055 & = dfrac {55 } {1000} \ & = dfrac {11} {200} end {alineado} nonumber ]
  2.      
  3. En este ejemplo, hay dos dígitos después del punto decimal, por lo que colocamos el número sobre (100 ), que tiene dos ceros después del uno. [ Begin {alineado} 3.36 & = dfrac {336 } {100} \ & = dfrac {84} {25} end {alineado} nonumber ]
  4.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Cambiar (0,45 ) a una fracción. Reducir a los términos más bajos.

 
     
Respuesta
     
     

(9/20 )

     
 
 
 

Como vimos en el Ejemplo ( PageIndex {1} ) , el decimal repetido (0. Overline {36} ) es equivalente a la fracción (4/11 ) . De hecho, cualquier decimal repetitivo puede escribirse como una fracción. Por ejemplo, (0. Overline {3} = 1/3 ) y (0. Overline {142857} = 1/7 ). En futuros cursos aprenderá una técnica para cambiar cualquier decimal periódico en una fracción equivalente. Sin embargo, no todos los decimales terminan o se repiten. Por ejemplo, considere el decimal (0.42422422242222 ldots ), que no termina ni se repite. Este número no se puede expresar utilizando la notación de barra de repetición porque cada iteración genera un (2 ) adicional. Debido a que este número no se repite ni termina, no se puede expresar como una fracción. Por lo tanto, (0.42422422242222 ldots ) ​​es un ejemplo de un número irracional.

 
 

Números irracionales

 

Si un número no puede expresarse en la forma (p / q ), donde (p ) y (q ) son enteros, (q neq 0 ), entonces el número se llama numero irracional.

 
 
 

Números reales

 

Al incluir todos los números racionales e irracionales en un conjunto, formamos lo que se conoce como el conjunto de números reales.

 
 

El conjunto de números reales incluye cada número que usaremos en este libro de texto y curso.

 

Sumar y restar decimales

 

Al agregar decimales con signo, use las mismas reglas que aprendió a usar al agregar enteros o fracciones con signo.

 
 

Reglas de firma para la adición

 

Al agregar dos números decimales, use las siguientes reglas:

 
         
  • Para agregar dos decimales con signos similares, agregue sus magnitudes y prefije su signo común.
  •      
  • Para sumar dos decimales con signos diferentes, reste la magnitud más pequeña de la más grande, luego fije el signo del número decimal que tiene la magnitud más grande.
  •  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (- 2.3 + (- 0.015) )
  2.      
  3. (- 8.4 + 6 .95 )
  4.  
 

Solución

 
         
  1. En este problema, tenga en cuenta que tenemos signos similares. Por lo tanto, agregamos las magnitudes y prefijamos el signo común. [- 2.3 + (- 0.015) = – 2.315 nonumber ] [ begin {array} {r} {2.300} \ {+0.015} \ hline 2.315 end {array} nonumber ] [ 19459010]      
  2. En este problema , tenga en cuenta que tenemos signos diferentes. Por lo tanto, primero restamos la magnitud más pequeña de la magnitud más grande, luego prefijamos el signo del número decimal con la magnitud más grande. [- 8.4 + 6.95 = -1.45 nonumber ] [ begin {array} {r} {8.40} \ {-6.95} \ hline 1.45 end {array} nonumber ]
  3.  
 

Por lo tanto, (- 2.3 + (- 0.015) = -2.315 ) y (- 8.4 + 6 .95 = -1.45 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Simplifique: (- 22.6 + 18.47 ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 4.13 )

     
 
 
 

Restar aún significa “agregar lo contrario”.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (- 5.6-8.4 )
  2.      
  3. (- 7,9 – (- 5,32) )
  4.  
 

Solución

 
         
  1. En este problema, primero agregamos el opuesto. Luego notamos que tenemos signos similares. Por lo tanto, agregamos las magnitudes y prefijamos el signo común. [ begin {alineado} -5.6-8.4 & = – 5.6 + (- 8.4) \ & = – 14.0 end {alineado} nonumber ] [ begin {array} {r} {5.6} \ {+8.4} \ hline 14.0 end {array} nonumber ]
  2.      
  3. En este problema , primero agregamos lo contrario. Luego notamos que tenemos signos diferentes. Por lo tanto, primero restamos la magnitud más pequeña de la magnitud más grande, luego prefijamos el signo del número decimal con la magnitud más grande. [ Begin {alineado} -7.9 – (- 5.32) & = – 7.9 + 5.32 \ & = -2.58 end {alineado} nonumber ] [ begin {array} {r} {7.90} \ {-5.32} \ hline 2.58 end {array} nonumber ]
  4.  
 

Por lo tanto, (- 5.6-8.4 = -14.0 ) y (- 7.9 – (- 5.32) = -2.58 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Simplifique: (- 22.6-18.47 ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 41.07 )

     
 
 
 

Multiplicación y división de decimales

 

Las reglas de signos para la multiplicación y división decimal son las mismas que las reglas de signos utilizadas para enteros y fracciones.

 
 

Reglas de signos para multiplicación y división

 

Al multiplicar o dividir dos números decimales, use las siguientes reglas:

 
         
  • Los signos similares dan un resultado positivo
  •      
  • A diferencia de los signos dan un resultado negativo
  •  
 
 

La multiplicación de números decimales es bastante sencilla. Primero multiplique las magnitudes de los números, ignorando los puntos decimales, luego cuente el número de dígitos a la derecha del punto decimal en cada factor. Coloque el punto decimal en el producto de modo que el número de dígitos a la derecha de los puntos decimales sea igual a la suma del número de dígitos a la derecha del punto decimal en cada factor.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Simplifique: ((- 1.96) (2.8) ).

 

Solución

 

Multiplica las magnitudes. El primer número decimal tiene dos dígitos a la derecha del punto decimal, el segundo tiene un dígito a la derecha del punto decimal. Por lo tanto, debemos colocar un total de tres dígitos a la derecha del punto decimal en el producto.

 

[(- 1.96) (2.8) = – 5.488 nonumber ]

 

[ begin {array} {r} {1.96} \ { times 2.8} \ hline 1568 \ {392 ; ;} \ hline 5.488 end {array} nonumber ]

 

Tenga en cuenta que, a diferencia de los signos, se obtiene un producto negativo.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Simplifique: ((- 12.5) (- 23.4) ).

 
     
Respuesta
     
     

(292.50 )

     
 
 
 

Al dividir números decimales con signo, ignore los signos y divida las magnitudes. Empuje el punto decimal en el divisor hasta el final del divisor, luego mueva el punto decimal en el dividendo un número igual de espacios. Esto establece el punto decimal en el cociente.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Simplifique: (- 4.392 div (-0.36) ).

 

Solución

 

Divide las magnitudes. Mueve el decimal en el divisor al final del divisor. Mueva el decimal en el dividendo un número igual de lugares (dos lugares) a la derecha.

 

fig 1.4.1b.png

 

Coloque el punto decimal en el cociente directamente encima de la nueva posición del punto decimal en el dividendo, luego divida.

 

fig 1.4.1c.png

 

Los signos similares producen un resultado positivo. Por lo tanto, (- 4.392 div (-0.36) = 12.2 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Simplifique: (- 5.76 / 3.2 ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 1,8 )

     
 
 
 

Orden de operaciones

 

Los números decimales obedecen lo mismo Reglas que rigen el orden de operaciones como lo hacen los enteros y las fracciones.

 
 

Reglas para guiar el orden de operaciones

 

Al evaluar expresiones, proceda en el siguiente orden.

 
         
  • Evalúe las expresiones contenidas en los símbolos de agrupación primero. Si los símbolos de agrupación están anidados, primero evalúe la expresión en el par de símbolos de agrupación más interno.
  •      
  • Evalúa todos los exponentes que aparecen en la expresión.
  •      
  • Realice todas las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen en la expresión, moviéndose de izquierda a derecha.
  •      
  • Realice todas las sumas y restas en el orden en que aparecen en la expresión, moviéndose de izquierda a derecha.
  •  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Dado (x = -0.12 ), evalúa (- x ^ {2} ).

 

Solución

 

Siguiendo Consejos para evaluar las expresiones algebraicas , primero reemplace todas las ocurrencias de la variable (x ) en la expresión (- x ^ 2 ) con paréntesis abiertos. Luego, sustituya (- 0.12 ) por (x ) en los paréntesis abiertos, luego simplifique.

 

[ begin {alineado} -x ^ {2} & = – ( quad) ^ {2} quad color {Rojo} text {Reemplazar} x text {con paréntesis abiertos. } \ & = – (- 0.12) ^ {2} quad color {Rojo} text {Sustituir} -0.12 text {para} x. \ & = – (0.0144) quad color {Red} text {Exponente:} (- 0.12) ^ {2} = 0.0144 \ & = – 0.0144 quad color {Red} text {Negate. } end {alineado} nonumber ]

 

Tenga en cuenta que primero cuadramos, luego negamos segundo. Por lo tanto, si (x = -0.12 ), entonces (- x ^ {2} = – 0.0144 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Dado (y = -0.2 ), evalúe: (- y ^ {4} ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 0,0016 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Dado (x = -0.3 ), evalúa (1.2 x ^ {2} -3.4 x ).

 

Solución

 

Siguiendo Consejos para evaluar expresiones algebraicas , primero reemplace todas las ocurrencias de la variable (x ) en la expresión (1.2 x ^ {2} -3.4 x ) con paréntesis abiertos. Luego, sustituya (- 0.3 ) por (x ) en los paréntesis abiertos, luego simplifique.

 

[ begin {alineado} 1.2 x ^ {2} -3.4 x & = 1.2 ( quad) ^ {2} -3.4 ( quad) quad color {Rojo} text {Reemplazar} x texto {entre paréntesis. } \ & = 1.2 (-0.3) ^ {2} -3.4 (-0.3) quad color {Rojo} text {Sustituir} -0.3 text {para} x. \ & = 1.2 (0.09) -3.4 (-0.3) quad color {Rojo} text {Exponente:} (- 0.3) ^ {2} = 0.09 \ & = 0.108 – (- 1.02) quad color {Rojo} text {Multiplicar:} 1.2 (0.09) = 0.108 text {y} \ & = 0.108 + 1.02 quad color {Red} text {Agregue el opuesto. } \ & = 1.128 quad color {Rojo} text {Simplificar. } end {alineado} nonumber ]

 

Por lo tanto, si (x = -0.3 ), entonces (1.2 x ^ {2} -3.4 x = 1.128 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Dado (y = -0.15 ), ( text {evalúe:} -1.4 y ^ {2} +2.2 y ).

 
     
Respuesta
     
     

(- 0,3615 )

     
 
 
 

Vimos anteriormente que podemos cambiar una fracción a un decimal dividiendo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Dado (x = 2/5 ), evalúa (- 3.2 x + 5 ).

 

Solución

 

Siguiendo Consejos para evaluar las expresiones algebraicas , primero reemplace todas las ocurrencias de la variable (x ) en la expresión (- 3.2x + 5 ) con paréntesis abiertos. Luego, sustituya (2/5 ) por (x ) en los paréntesis abiertos.

 

[ begin {alineado} -3.2 x + 5 & = – 3.2 (;) +5 quad color {Rojo} text {Reemplazar} x text {con paréntesis abiertos. } \ & = – 3.2 left ( dfrac {2} {5} right) +5 quad color {Red} text {Substitute} 2/5 text {for} x end {alineado} no número ]

 

Un enfoque es cambiar (2/5 ) a un decimal dividiendo el numerador por el denominador. Por lo tanto, (2/5 = 0 .4 ).

 

[ begin {alineado} & = – 3.2 (0.4) +5 quad color {Rojo} { text {Reemplazar} 2/5 text {con} 0.4} \ & = – 1.28 + 5 quad color {Rojo} text {Multiplicar:} -3.2 (0.4) = – 1.28 \ & = 3.72 quad color {Rojo} text {Agregar:} -1.28 + 5 = 3.72 end {alineado} nonumber ]

 

Por lo tanto, si (x = 2/5 ), entonces (- 3.2x + 5 = 3 .72 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Dado (y = -3 / 4 ), evalúa (- 2.3 y + 7 ).

 
     
Respuesta
     
     

(8.725 )

     
 
 
 

Como vimos en el Ejemplo ( PageIndex {2} ) , podemos cambiar fácilmente un decimal final en una fracción colocando el número (sin el punto decimal) sobre la potencia correcta de diez . La elección de la potencia de diez debe coincidir con el número de dígitos a la derecha del punto decimal. Por ejemplo:

 

[0.411 = dfrac {411} {1000} quad text {y} quad 3.11 = dfrac {311} {100} quad text {y} quad 15.1111 = dfrac {151111} {10000} nonumber ]

 

Tenga en cuenta que el número de ceros en cada denominador coincide con el número de dígitos a la derecha del punto decimal.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Dado (y = -0.25 ), evalúe (- dfrac {3} {5} y + 4 ).

 

Solución

 

Siguiendo los consejos para evaluar las expresiones algebraicas, primero reemplace todas las apariciones de la variable (y ) en la expresión (- (3/5) y + 4 ) con paréntesis abiertos. Luego, sustituya (- 0.25 ) por (y ) en los paréntesis abiertos.

 

[ begin {alineado} – dfrac {3} {5} y + 4 & = – dfrac {3} {5} ( quad) +4 quad color {Rojo} text {Reemplazar } y text {con paréntesis abiertos. } \ & = – dfrac {3} {5} (- 0.25) +4 quad color {Rojo} text {Sustituir} -0.25 text {para} y end {alineado} nonumber ] [ 19459004]  

Coloque (25 ) sobre (100 ) para determinar que (- 0.25 = -25/100 ), o después de la reducción, (- 0.25 = -1 / 4 ).

 

[ begin {alineado}
& = – dfrac {3} {5} left (- dfrac {1} {4} right) +4 quad color {Red} text {Reemplazar} -0.25 text {con} -1/4 \
& = dfrac {3} {20} +4 quad color {Rojo} text {Multiplicar:} – dfrac {3} {5} left (- dfrac {1} {4} right) = dfrac {3} {20} \
& = dfrac {3} {20} + dfrac {80} {20 } quad color {Red} text {Haga fracciones equivalentes con LCD. } \
& = dfrac {83} {20} quad color {Rojo} text {Agregar. }
end {alineado} nonumber ]

 

Por lo tanto, si (y = -0.25 ), entonces (- (3/5) y + 4 = 83/20 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Dado (z = -0.4 ), evalúe: (5- dfrac {4} {5} z ).

 
     
Respuesta
     
     

(133/25 )

     
 
 
 

Redondeo usando la calculadora gráfica

 

Aquí está el algoritmo para redondear un número decimal a un lugar en particular.

 
 

Reglas para redondeo

 

Para redondear un número a un lugar en particular, sigue estos pasos:

 
         
  1. Marque el lugar al que desea redondear. El dígito en este lugar se llama el dígito de redondeo.
  2.      
  3. Marque el dígito en el lugar a la derecha inmediata del dígito de redondeo. Esto se llama el dígito de prueba.      
               
    1. Si el dígito de prueba es mayor o igual que (5 ), agregue (1 ) al dígito de redondeo, luego reemplace todos los dígitos a la derecha del dígito de redondeo con ceros. Se pueden eliminar los ceros a la derecha del punto decimal.
    2.          
    3. Si el dígito de prueba es menor que (5 ), mantenga el dígito de redondeo igual, luego reemplace todos los dígitos a la derecha del dígito de redondeo con ceros. Se pueden eliminar los ceros a la derecha del punto decimal.
    4.      
         
  4.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} )

 

Usa tu calculadora gráfica para evaluar (125 x ^ {3} -17.5 x + 44.8 ) en (x = -3.13 ). Redondea tu respuesta a la décima más cercana.

 

Solución

 

Primero, almacene (- 3.13 ) en la variable (X ) con las siguientes pulsaciones de teclas.

 
fig 1.4.1d.png
Figura ( PageIndex {1} ). Luego, ingrese la expresión (125 x ^ {3} -17.5 x + 44.8 ) con las siguientes teclas.
 
fig 1.4.1e.png
Figura ( PageIndex {1} ). Por lo tanto, la respuesta es aproximadamente (- 3733.462125 ). Ahora necesitamos redondear esta respuesta a la décima más cercana. Marque el dígito de redondeo en el lugar de las décimas y el dígito de prueba a su derecha inmediata.
 

fig 1.4.1f.png

 
fig 1.4.1.png
Figura ( PageIndex {1} ): Evalúe (125 x ^ {3} -17.5 x + 44.8 ) en (x = -3.13 )
[19459067 ]  

Debido a que el dígito de prueba es mayor o igual que (5 ), agregue (1 ) al dígito de redondeo, luego reemplace todos los dígitos a la derecha del dígito de redondeo con ceros.

 

[- 3733.462125 aprox-3733.500000 nonumber ]

 

Elimine los ceros finales del final de la parte fraccionaria de un decimal. Esto no cambia el valor de nuestra respuesta.

 

[- 3733.462125 aprox-3733.5 nonumber ]

 

Por lo tanto, si (x = -3.13 ). luego a la décima más cercana:

 

[125 x ^ {3} -17.5 x + 44.8 aprox-3733.5 nonumber ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Evalúe (x ^ {3} -3 x ) en (x = -1.012 ). Redondea a la centésima más cercana.

 
     
Respuesta
     
     

(2.0 )

     
 
 
 
                                  
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