1.4: Radicales y expresiones racionales

1.4: Radicales y expresiones racionales

Una ferretería vende escaleras de (16 ) pies y escaleras de (24 ) pies. Una ventana se encuentra (12 ) pies sobre el suelo. Se debe comprar una escalera que llegue a la ventana desde un punto en el suelo (5 ) pies del edificio. Para averiguar la longitud de la escalera necesaria, podemos dibujar un triángulo rectángulo como se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ), y usar el Teorema de Pitágoras .

[ begin {align *} a ^ 2 + b ^ 2 & = c ^ 2 label {1.4.1} \ [4pt] 5 ^ 2 + 12 ^ 2 & = c ^ 2 label {1.4.2} \ [4pt] 169 & = c ^ 2 label {1.4.3} end {align *} ]

Ahora, necesitamos averiguar la longitud que, al cuadrado , es (169 ), para determinar qué escalera elegir. En otras palabras, necesitamos encontrar una raíz cuadrada. En esta sección, investigaremos métodos para encontrar soluciones a problemas como este.

Evaluación de raíces cuadradas

 

Cuando la raíz cuadrada de un número es cuadrada, el resultado es el número original. Dado que (4 ^ 2 = 16 ), la raíz cuadrada de (16 ) es (4 ). La función de raíz cuadrada es la inversa de la función de cuadrado al igual que la resta es la inversa de la suma. Para deshacer la cuadratura, tomamos la raíz cuadrada.

 

En términos generales, si (a ) es un número real positivo, entonces la raíz cuadrada de (a ) es un número que, cuando se multiplica por sí mismo, da (a ). La raíz cuadrada podría ser positivo o negativo porque multiplicar dos números negativos da un número positivo. La raíz cuadrada principal es el número no negativo que cuando se multiplica por sí mismo es igual a (a ). La raíz cuadrada obtenida usando una calculadora es la raíz cuadrada principal.

 

La raíz cuadrada principal de (a ) se escribe como ( sqrt {a} ). El símbolo se llama radical, el término debajo del símbolo se llama radicando, y toda la expresión se llama expresión radical .

 

The expression: square root of twenty-five is enclosed in a circle. The circle has an arrow pointing to it labeled: Radical expression. The square root symbol has an arrow pointing to it labeled: Radical. The number twenty-five has an arrow pointing to it labeled: Radicand.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

¿ ( sqrt {25} = pm 5 )?

 

Solución

 

No. Aunque tanto (5 ^ 2 ) como ((- 5) ^ 2 ) son (25 ), el símbolo radical implica solo una raíz no negativa , el cuadrado principal raíz. La raíz cuadrada principal de (25 ) es ( sqrt {25} = 5 ).

 
 

La raíz cuadrada principal de (a ) es el número no negativo que, cuando se multiplica por sí mismo, es igual a (a ). Está escrito como una expresión radical, con un símbolo llamado radical sobre el término llamado radical y : ( sqrt {a} ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Evaluación de raíces cuadradas

 

Evalúa cada expresión.

 
         
  1. ( sqrt {100} )
  2.      
  3. ( sqrt { sqrt {16}} )
  4.      
  5. ( sqrt {25 + 144} )
  6.      
  7. ( sqrt {49} ) – ( sqrt {81} )
  8.  
 

Solución

 
         
  1. ( sqrt {100} = 10 ) porque (10 ​​^ 2 = 100 )
  2.      
  3. ( sqrt { sqrt {16}} = sqrt {4} = 2 ) porque (4 ^ 2 = 16 ) y (2 ^ 2 = 4 )
  4.      
  5. ( sqrt {25 + 144} = sqrt {169} = 13 ) porque (13 ^ 2 = 169 )
  6.      
  7. ( sqrt {49} – sqrt {81} = 7−9 = −2 ) porque (7 ^ 2 = 49 ) y (9 ^ 2 = 81 )
  8.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Para ( sqrt {25 + 144} ), ¿podemos encontrar las raíces cuadradas antes de sumar?

 

Solución

 

No. ( sqrt {25} + sqrt {144} = 5 + 12 = 17 ). Esto no es equivalente a ( sqrt {25 + 144} = 13 ). El orden de las operaciones requiere que agreguemos los términos en el radicando antes de encontrar la raíz cuadrada.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Evalúa cada expresión.

 
         
  1. ( sqrt {25} )
  2.      
  3. ( sqrt { sqrt {81}} )
  4.      
  5. ( sqrt {25-9} )
  6.      
  7. ( sqrt {36} + sqrt {121} )
  8.  
 
     
Responda a
     
     

(5 )

     
     
Respuesta b
     
     

(3 )

     
     
Respuesta c
     
     

(4 )

     
     
Respuesta d
     
     

(17 )

     
 
 
 

Uso de la regla del producto para simplificar las raíces cuadradas

 
 

Para simplificar una raíz cuadrada, la reescribimos de manera tal que no haya cuadrados perfectos en el radicando. Hay varias propiedades de las raíces cuadradas que nos permiten simplificar expresiones radicales complicadas. La primera regla que veremos es la regla del producto para simplificar las raíces cuadradas, que nos permite separar la raíz cuadrada de un producto de dos números en el producto de dos expresiones racionales separadas. Por ejemplo, podemos reescribir ( sqrt {15} ) como ( sqrt {3} times sqrt {5} ). También podemos usar la regla del producto para expresar el producto de múltiples expresiones radicales como una sola expresión radical.

 
 
 

La regla del producto para simplificar las raíces cuadradas

 

Si (a ) y (b ) no son negativas, la raíz cuadrada del producto (ab ) es igual al producto de las raíces cuadradas de (a ) y (b )

 

[ sqrt {ab} = sqrt {a} times sqrt {b} ]

 
 
 

CÓMO: Dada una expresión radical de raíz cuadrada, usa la regla del producto para simplificarla.

 
         
  1. Factoriza cualquier cuadrado perfecto del radicando.
  2.      
  3. Escribe la expresión radical como producto de expresiones radicales.
  4.      
  5. Simplificar.
  6.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Uso de la regla del producto para simplificar las raíces cuadradas

 

Simplifica la expresión radical.

 
         
  1. ( sqrt {300} )
  2.      
  3. ( sqrt {162a ^ 5b ^ 4} )
  4.  
 

Solución

 

a. ( sqrt {100 times3} ) Factoriza el cuadrado perfecto a partir del radicando.

 

( sqrt {100} times sqrt {3} ) Escribe la expresión radical como producto de expresiones radicales.

 

(10 ​​ sqrt {3} ) Simplificar

 

b. ( sqrt {81a ^ 4b ^ 4 times2a} ) Factoriza el cuadrado perfecto a partir del radicando

 

( sqrt {81a ^ 4b ^ 4} times sqrt {2a} ) Escribir expresión radical como producto de expresiones radicales

 

(9a ^ 2b ^ 2 sqrt {2a} ) Simplificar

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Simplificar ( sqrt {50x ^ 2y ^ 3z} )

 
     
Respuesta
     
     

(5 | x || y | sqrt {2yz} )

     

¿Observe los signos de valor absoluto alrededor de (x ) y (y )? ¡Eso es porque su valor debe ser positivo!

     
 
 
 
 

Cómo: dado el producto de múltiples expresiones radicales, usa la regla del producto para combinarlas en una expresión radical

 
         
  1. Exprese el producto de múltiples expresiones radicales como una sola expresión radical.
  2.      
  3. Simplificar.
  4.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Uso de la regla del producto para simplificar el producto de múltiples raíces cuadradas

 

Simplifica la expresión radical.

 

( sqrt {12} times sqrt {3} )

 

Solución

 

( begin {align *} & sqrt {12 times3} & & text {Exprese el producto como una expresión radical única} \ [5pt] & sqrt {36} & & text {Simplify } \ [5pt] y 6 end {align *} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Simplifique ( sqrt {50x} times sqrt {2x} ) suponiendo (x> 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

(10 ​​| x | )

     
 
 
 

Usando la regla del cociente para simplificar las raíces cuadradas

 

Así como podemos reescribir la raíz cuadrada de un producto como producto de raíces cuadradas, también podemos reescribir la raíz cuadrada de un cociente como cociente de raíces cuadradas, utilizando la regla del cociente para simplificar las raíces cuadradas. Puede ser útil separar el numerador y el denominador de una fracción debajo de un radical para que podamos tomar sus raíces cuadradas por separado. Podemos reescribir

 

[ sqrt { dfrac {5} {2}} = dfrac { sqrt {5}} { sqrt {2}}. nonumber ]

 
 
 

LA REGLA DEL COCIENTE PARA SIMPLIFICAR LAS RAÍCES CUADRADAS

 

La raíz cuadrada del cociente ( dfrac {a} {b} ) es igual al cociente de las raíces cuadradas de (a ) y (b ), donde (b ≠ 0 )

 

[ sqrt { dfrac {a} {b}} = dfrac { sqrt {a}} { sqrt {b}} ]

 
 
 

Howto: Dada una expresión radical, usa la regla del cociente para simplificarla

 
         
  1. Escribe la expresión radical como el cociente de dos expresiones radicales.
  2.      
  3. Simplifique el numerador y el denominador.
  4.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Uso de la regla del cociente para simplificar las raíces cuadradas

 

Simplifica la expresión radical.

 

( sqrt { dfrac {5} {36}} )

 

Solución

 

( begin {align *} & dfrac { sqrt {5}} { sqrt {36}} & & text {Escribir como cociente de dos expresiones radicales} \ [5pt] & dfrac { sqrt {5}} {6} & & text {Simplificar denominador} end {align *} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Simplificar ( sqrt { dfrac {2x ^ 2} {9y ^ 4}} )

 
     
Respuesta
     
     

( dfrac {x sqrt {2}} {3y ^ 2} )

     

No necesitamos los signos de valor absoluto para (y ^ 2 ) porque ese término siempre será no negativo.

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Uso de la regla del cociente para simplificar una expresión con dos raíces cuadradas

 

Simplifica la expresión radical.

 

( dfrac { sqrt {234x ^ {11} y}} { sqrt {26x ^ ​​7y}} )

 

Solución

 

( begin {align *} & sqrt { dfrac {234x ^ {11} y} {26x ^ ​​7y}} & & text {Combinar numerador y denominador en una expresión radical} \ [5pt] & sqrt {9x ^ 4} & & text {Simplificar fracción} \ [5pt] & 3x ^ 2 & & text {Simplificar la raíz cuadrada} end {align *} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Simplificar ( dfrac { sqrt {9a ^ 5b ^ {14}}} { sqrt {3a ^ 4b ^ 5}} )

 
     
Respuesta
     
     

(b ^ 4 sqrt {3ab} )

     
 
 
 

Sumar y restar raíces cuadradas

 

Podemos sumar o restar expresiones radicales solo cuando tienen el mismo radicando y cuando tienen el mismo tipo de radical, como las raíces cuadradas. Por ejemplo, la suma de ( sqrt {2} ) y (3 sqrt {2} ) es (4 sqrt {2} ). Sin embargo, a menudo es posible simplificar expresiones radicales, y eso puede cambiar el radicando. La expresión radical ( sqrt {18} ) se puede escribir con un (2 ) en el radicando, como (3 sqrt {2} ), entonces ( sqrt {2} + sqrt { 18} = sqrt {2} +3 sqrt {2} = 4 sqrt {2} )

 
 

Howto: Dada una expresión radical que requiere la suma o resta de raíces cuadradas, resuelve

 
         
  1. Simplifica cada expresión radical.
  2.      
  3. Suma o resta expresiones con radicandos iguales.
  4.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Agregar raíces cuadradas

 

Agregar (5 sqrt {12} +2 sqrt {3} ).

 

Solución

 

Podemos reescribir (5 sqrt {12} ) como (5 sqrt {4 times3} ). De acuerdo con la regla del producto, esto se convierte en (5 sqrt {4} sqrt {3} ). La raíz cuadrada de ( sqrt {4} ) es (2 ), por lo que la expresión se convierte en (5 times2 sqrt {3} ), que es (10 ​​ sqrt {3} ). Ahora podemos que los términos tengan el mismo radicando y así poder agregar.

 

[10 sqrt {3} +2 sqrt {3} = 12 sqrt {3} nonumber ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Agregar ( sqrt {5} +6 sqrt {20} )

 
     
Respuesta
     
     

(13 sqrt {5} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ): Restando raíces cuadradas

 

Restar (20 sqrt {72a ^ 3b ^ 4c} -14 sqrt {8a ^ 3b ^ 4c} )

 

Solución

 

Reescribe cada término para que tengan radicandos iguales.

 

[ begin {align *} 20 sqrt {72a ^ 3b ^ 4c} & = 20 sqrt {9} sqrt {4} sqrt {2} sqrt {a} sqrt {a ^ 2 } sqrt {(b ^ 2) ^ 2} sqrt {c} \ & = 20 (3) (2) | a | b ^ 2 sqrt {2ac} \ & = 120 | a | b ^ 2 sqrt {2ac} end {align *} ]

 

[ begin {align *} 14 sqrt {8a ^ 3b ^ 4c} & = 14 sqrt {2} sqrt {4} sqrt {a} sqrt {a ^ 2} sqrt {( b ^ 2) ^ 2} sqrt {c} \ & = 14 (2) | a | b ^ 2 sqrt {2ac} \ & = 28 | a | b ^ 2 sqrt {2ac} end { alinear *} ]

 

Ahora los términos tienen el mismo radicando para que podamos restar.

 

[120 | a | b ^ 2 sqrt {2ac} -28 | a | b ^ 2 sqrt {2ac} = 92 | a | b ^ 2 sqrt {2ac} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Restar (3 sqrt {80x} -4 sqrt {45x} )

 
     
Respuesta
     
     

(0 )

     
 
 
 

Racionalización de denominadores

 

Cuando una expresión que involucra radicales de raíz cuadrada se escribe en la forma más simple, no contendrá un radical en el denominador. Podemos eliminar radicales de los denominadores de fracciones usando un proceso llamado racionalizar el denominador.

 

Sabemos que multiplicar por (1 ) no cambia el valor de una expresión. Usamos esta propiedad de multiplicación para cambiar expresiones que contienen radicales en el denominador. Para eliminar radicales de los denominadores de fracciones, multiplique por la forma de (1 ) que eliminará el radical.

 

Para un denominador que contiene un solo término, multiplique por el radical en el denominador sobre sí mismo. En otras palabras, si el denominador es (b sqrt {c} ), multiplique por ( dfrac { sqrt {c}} { sqrt {c}} ).

 

Para un denominador que contiene la suma o diferencia de un término racional e irracional, multiplique el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, que se encuentra cambiando el signo de la porción radical del denominador. Si el denominador es (a + b sqrt {c} ), entonces el conjugado es (a-b sqrt {c} ).

 
 

HowTo: Dada una expresión con un solo término radical de raíz cuadrada en el denominador, racionalice el denominador

 
         
  1. Multiplica el numerador y el denominador por el radical en el denominador.
  2.      
  3. Simplificar.
  4.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ): Racionalizar un denominador que contiene un solo término

 

Escriba ( dfrac {2 sqrt {3}} {3 sqrt {10}} ) en la forma más simple.

 

Solución

 

El radical en el denominador es ( sqrt {10} ). Entonces multiplique la fracción por ( dfrac { sqrt {10}} { sqrt {10}} ). Entonces simplifica.

 

[ begin {align *} & dfrac {2 sqrt {3}} {3 sqrt {10}} times dfrac { sqrt {10}} { sqrt {10}} \ [5pt] y dfrac {2 sqrt {30}} {30} \ [5pt] y dfrac { sqrt {30}} {15} end {align *} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Escriba ( dfrac {12 sqrt {3}} { sqrt {2}} ) en la forma más simple.

 
     
Respuesta
     
     

(6 sqrt {6} )

     
 
 
 
 

Cómo: dada una expresión con un término radical y una constante en el denominador, racionalizar el denominador

 
         
  1. Encuentra el conjugado del denominador.
  2.      
  3. Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado.
  4.      
  5. Usa la propiedad distributiva.
  6.      
  7. Simplificar.
  8.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} ): Racionalizar un denominador que contiene dos términos

 

Escriba ( dfrac {4} {1+ sqrt {5}} ) en la forma más simple.

 

Solución

 

Comienza por encontrar el conjugado del denominador escribiendo el denominador y cambiando el signo. Entonces el conjugado de (1+ sqrt {5} ) es (1- sqrt {5} ). Luego, multiplique la fracción por ( dfrac {1- sqrt {5}} {1- sqrt {5}} ).

 

[ begin {align *} & dfrac {4} {1+ sqrt {5}} times dfrac {1- sqrt {5}} {1- sqrt {5}} \ [5pt] & dfrac {4-4 sqrt {5}} {- 4} & & text {Use la propiedad distributiva} \ [5pt] & sqrt {5} -1 & & text {Simplify} end {align *} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Escriba ( dfrac {7} {2+ sqrt {3}} ) en la forma más simple.

 
     
Respuesta
     
     

(14-7 sqrt {3} )

     
 
 
 

Uso de raíces racionales

 

Aunque las raíces cuadradas son las raíces racionales más comunes, también podemos encontrar raíces cúbicas, raíces (4 ^ {th} ), raíces (5 ^ {th} ) y más. Así como la función de raíz cuadrada es la inversa de la función de cuadratura, estas raíces son las inversas de sus respectivas funciones de potencia. Estas funciones pueden ser útiles cuando necesitamos determinar el número que, cuando se eleva a cierta potencia, da un cierto número.

 

Comprensión (n ^ {th} ) Raíces

 

Supongamos que sabemos que (a ^ 3 = 8 ). Queremos encontrar qué número elevado a la potencia (3 ^ {rd} ) es igual a (8 ). Como (2 ^ 3 = 8 ), decimos que (2 ) es la raíz cúbica de (8 ).

 

La raíz (n ^ {th} ) de (a ) es un número que, cuando se eleva a la potencia (n ^ {th} ), da a. Por ejemplo, (- 3 ) es la raíz (5 ^ {th} ) de (- 243 ) porque ({(- 3)} ^ 5 = -243 ). Si (a ) es un número real con al menos una raíz (n ^ {th} ), entonces la raíz principal (n ^ {th} ) de (a ) es el número con el mismo firme como (a ) que, cuando se eleva a la potencia (n ^ {th} ), es igual a (a ).

 

La raíz principal (n ^ {th} ) de (a ) se escribe como ( sqrt [n] {a} ), donde (n ) es un entero positivo mayor que o igual a (2 ). En la expresión radical, (n ) se llama índice del radical.

 
 

Principal (n ^ {th} ) Raíz

 

Si (a ) es un número real con al menos una raíz (n ^ {th} ), entonces la raíz principal (n ^ {th} ) de ( a ), escrito como ( sqrt [n] {a} ), es el número con el mismo signo que (a ) que, cuando se eleva a la potencia (n ^ {th} ), es igual (una). El índice del radical es (n ).

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} ): Simplificando (n ^ {th} ) Raíces

 

Simplifique cada uno de los siguientes:

 
         
  1. ( sqrt [5] {- 32} )
  2.      
  3. ( sqrt [4] {4} veces sqrt [4] {10234} )
  4.      
  5. (- sqrt [3] { dfrac {8x ^ 6} {125}} )
  6.      
  7. (8 sqrt [4] {3} – sqrt [4] {48} )
  8.  
 

Solución

 

a. ( sqrt [5] {- 32} = – 2 ) porque ((- 2) ^ 5 = -32 )

 

b. Primero, exprese el producto como una expresión radical única. ( sqrt [4] {4096} = 8 ) porque (8 ^ 4 = 4096 )

 

c. ( begin {align *} & dfrac {- sqrt [3] {8x ^ 6}} { sqrt [3] {125}} & & text {Escribir como cociente de dos expresiones radicales} \ [ 5pt] & dfrac {-2x ^ 2} {5} & & text {Simplify} end {align *} )

 

d. ( begin {align *} & 8 sqrt [4] {3} -2 sqrt [4] {3} & & text {Simplifique para obtener radicandos iguales} \ [5pt] y 6 sqrt [4] { 3} & & text {Agregar} end {align *} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Simplificar

 
         
  1. ( sqrt [3] {- 216} )
  2.      
  3. ( dfrac {3 sqrt [4] {80}} { sqrt [4] {5}} )
  4.      
  5. (6 sqrt [3] {9000} +7 sqrt [3] {576} )
  6.  
 
     
Responda a
     
     

(- 6 )

     
     
Respuesta b
     
     

(6 )

     
     
Respuesta c
     
     

(88 sqrt [3] {9} )

     
 
 
 
 

Usando exponentes racionales

 

Las expresiones radicales también se pueden escribir sin usar el símbolo radical. Podemos usar exponentes racionales (fraccionarios). El índice debe ser un entero positivo. Si el índice (n ) es par, entonces a no puede ser negativo.

 

[a ^ { tfrac {1} {n}} = sqrt [n] {a} ]

 

También podemos tener exponentes racionales con numeradores distintos de (1 ). En estos casos, el exponente debe ser una fracción en los términos más bajos. Elevamos la base a una potencia y tomamos una enésima raíz. El numerador nos dice la potencia y el denominador nos dice la raíz.

 

[a ^ { tfrac {m} {n}} = ( sqrt [n] {a}) ^ m = sqrt [n] {a ^ m} ]

 

Todas las propiedades de los exponentes que aprendimos para los exponentes enteros también son válidas para los exponentes racionales.

 
 
 

Exponentes racionales

 

Los exponentes racionales son otra forma de expresar las raíces principales (n ^ {th} ). La forma general para convertir entre una expresión radical con un símbolo radical y una con un exponente racional es

 

[a ^ { tfrac {m} {n}} = ( sqrt [n] {a}) ^ m = sqrt [n] {a ^ m} ]

 
 
 

Howto: Dada una expresión con un exponente racional, escribe la expresión como radical

 
         
  1. Determine la potencia mirando el numerador del exponente.
  2.      
  3. Determine la raíz mirando el denominador del exponente.
  4.      
  5. Usando la base como el radicando, eleve el radicando a la potencia y use la raíz como índice.
  6.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} ): Escribir exponentes racionales como radicales

 

Escribe (343 ^ { tfrac {2} {3}} ) como radical. Simplificar.

 

Solución

 

El (2 ) nos dice el poder y el (3 ) nos dice la raíz.

 

(343 ^ { tfrac {2} {3}} = {( sqrt [3] {343})} ^ 2 = sqrt [3] {{343} ^ 2} )

 

Sabemos que ( sqrt [3] {343} = 7 ) porque (7 ^ 3 = 343 ). Debido a que la raíz cúbica es fácil de encontrar, es más fácil encontrar la raíz cúbica antes de cuadrar para este problema. En general, es más fácil encontrar la raíz primero y luego elevarla a un poder.

 

[343 ^ { tfrac {2} {3}} = {( sqrt [3] {343})} ^ 2 = 7 ^ 2 = 49 ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Escribe (9 ^ { tfrac {5} {2}} ) como radical. Simplificar.

 
     
Respuesta
     
     

({( sqrt {9})} ^ 5 = 3 ^ 5 = 243 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {14} ): Escribir radicales como exponentes racionales

 

Escribe ( dfrac {4} { sqrt [7] {a ^ 2}} ) usando un exponente racional.

 

Solución

 

El poder es (2 ) y la raíz es (7 ), por lo que el exponente racional será ( dfrac {2} {7} ). Obtenemos ( dfrac {4} {a ^ { tfrac {2} {7}}} ). Usando las propiedades de exponentes, obtenemos ( dfrac {4} { sqrt [7] {a ^ 2}} = 4a ^ { tfrac {-2} {7}} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Escribe (x sqrt {{(5y)} ^ 9} ) usando un exponente racional.

 
     
Respuesta
     
     

(x (5y) ^ { dfrac {9} {2}} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {15} ): Simplificando exponentes racionales

 

Simplificar:

 

a. (5 (2x ^ { tfrac {3} {4}}) (3x ^ { tfrac {1} {5}}) )

 

b. ( left ( dfrac {16} {9} right) ^ {- tfrac {1} {2}} )

 

Solución

 

a.

 

( begin {align *} & 30x ^ { tfrac {3} {4}} : x ^ { tfrac {1} {5}} & & text {Multiplica los coeficientes} \ [5pt ] & 30x ^ { tfrac {3} {4} + tfrac {1} {5}} & & text {Usar propiedades de exponentes} \ [5pt] y 30x ^ { tfrac {19} {20}} & & Text {Simplify} end {align *} )

 

b.

 

( begin {align *} & { left ( dfrac {9} {16} right)} ^ { tfrac {1} {2}} & & text {Use la definición de exponentes negativos} \ [5pt] & sqrt { dfrac {9} {16}} & & text {Reescribir como radical} \ [5pt] y dfrac { sqrt {9}} { sqrt {16}} & & Text {Usar la regla del cociente} \ [5pt] & dfrac {3} {4} & & text {Simplify} end {align *} )

 
 

 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Simplificar ({(8x)} ^ { tfrac {1} {3}} left (14x ^ { tfrac {6} {5}} right) )

 
     
Respuesta
     
     

(28x ^ { tfrac {23} {15}} )

     
 
 
 

Acceda a estos recursos en línea para instrucción adicional y práctica con radicales y exponentes racionales.

 
 

Conceptos clave

 
         
  • La raíz cuadrada principal de un número (a ) es el número no negativo que cuando se multiplica por sí mismo es igual a (a ) [19459092 ] .
  •      
  • Si (a ) y (b ) no son negativas, la raíz cuadrada del producto (ab ) es igual al producto de las raíces cuadradas de (a ) y B).
  •      
  • Si (a ) y (b ) no son negativas, la raíz cuadrada del cociente ( dfrac {a} {b} ) es igual al cociente del cuadrado raíces de (a ) y (b ).
  •      
  • Podemos sumar y restar expresiones radicales si tienen el mismo radicando y el mismo índice.
  •      
  • Las expresiones radicales escritas en la forma más simple no contienen un radical en el denominador. Para eliminar el radical raíz cuadrada del denominador, multiplique tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador.
  •      
  • La raíz principal (n ^ {th} ) de (a ) es el número con el mismo signo que (a ) que cuando se eleva a la potencia (n ^ {th} ) es igual a (una). Estas raíces tienen las mismas propiedades que las raíces cuadradas.
  •      
  • Los radicales pueden reescribirse como exponentes racionales y los exponentes racionales pueden reescribirse como radicales.
  •      
  • Las propiedades de los exponentes se aplican a exponentes racionales.
  •  
 
 
 
 
]]>


Deja una respuesta