1.4: Sumar y restar enteros

1.4: Sumar y restar enteros

Agregar enteros

 

La mayoría de los estudiantes se sienten cómodos con las operaciones de suma y resta para números positivos. Pero hacer sumas o restas con números positivos y negativos puede ser más desafiante.

 
Hacer la actividad de Matemática manipulativa «Suma de números firmados» te ayudará a desarrollar una mejor comprensión de la suma de enteros «.
 

Utilizaremos dos contadores de color para modelar la suma y la resta de negativos para que pueda visualizar los procedimientos en lugar de memorizar las reglas.

 

Dejamos que un color (azul) represente positivo. El otro color (rojo) representará los negativos. Si tenemos un contador positivo y uno negativo, el valor del par es cero. Forman un par neutral. El valor de este par neutral es cero.

 
In this image we have a blue counter above a red counter with a circle around both. The equation to the right is 1 plus negative 1 equals 0.  
Figura ( PageIndex {7} )
 
 

Usaremos los contadores para mostrar cómo sumar los cuatro factores de suma usando los números (5, −5 ) y (3, −3 ).

 

[ begin {array} {llll} {5 + 3} & {- 5 + (-3)} & {- 5 + 3} & {5 + (-3)} end {array} ]

 

Para agregar (5 + 3 ), nos damos cuenta de que (5 + 3 ) significa la suma de (5 ) y (3 ).

                                                                                                                                                              
Comenzamos con (5 ) positivos. .
Y luego agregamos (3 ) positivos. .
Ahora tenemos (8 ) positivos. La suma de (5 ) y (3 ) es (8 ). .
 

Ahora agregaremos (- 5 + (−3) ). Esté atento a las similitudes con el último ejemplo (5 + 3 = 8 ).

 

Para agregar (- 5 + (−3) ), nos damos cuenta de que esto significa la suma de (- 5 ) y (- 3 ).

                                                                                                                                                              
Comenzamos con (5 ) negativos. .
Y luego agregamos (3 ) negativos. .
Ahora tenemos (8 ) negativo. La suma de (- 5 ) y (- 3 ) es (- 8 ). .
 

¿De qué manera fueron similares estos dos primeros ejemplos?

 
         
  • El primer ejemplo agrega (5 ) positivos y (3 ) positivos, ambos positivos.
  •      
  • El segundo ejemplo agrega (5 ) negativos y (3 ) negativos, ambos negativos.
  •  
 

En cada caso obtuvimos (8 ) – ya sea (8 ) positivos o (8 ) negativos.

 

Cuando las señales eran las mismas, los contadores eran todos del mismo color, por lo que los agregamos.

 
This figure is divided into two columns. In the left column there are eight blue counters in a horizontal row. Under them is the text “8 positives.” Centered under this is the equation 5 plus 3 equals 8. In the right column are eight red counters in a horizontal row which are labled below with the phrase “8 negatives”. Centered under this is the equation negative 5 plus negative 3 equals negative 8, where negative 3 is in parentheses.  
Figura ( PageIndex {7} )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Agregar:

 
         
  1. (1 + 4 )
  2.      
  3. (- 1 + (-4) )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     

1. .

     

(1 ) positivo más (4 ) positivos es (5 ) positivos.

     

2. .

     

(1 ) negativo más (4 ) negativos es (5 ) negativos.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Agregar:

 
         
  1. (2 + 4 )
  2.      
  3. (- 2 + (-4) )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (6 )
  2.          
  3. (- 6 )
  4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Agregar:

 
         
  1. (2 + 5 )
  2.      
  3. (- 2 + (-5) )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (7 )
  2.          
  3. (- 7 )
  4.      
     
 
 
 

Entonces, ¿qué sucede cuando los signos son diferentes? Agreguemos (- 5 + 3 ). Nos damos cuenta de que esto significa la suma de (- 5 ) y (3 ). Cuando los contadores eran del mismo color, los colocamos en una fila. Cuando los contadores son de un color diferente, los alineamos uno debajo del otro.

 
 
                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(- 5 + 3 ) significa la suma de (- 5 ) y (3 ).
Comenzamos con (5 ) negativos. .
Y luego agregamos (3 ) positivos. .
Eliminamos cualquier par neutral. .
Nos quedan (2 ) negativos. .
La suma de (- 5 ) y (3 ) es (- 2 ). (- 5 + 3 = 2 )
 

Tabla ( PageIndex {1} )

 

Observe que había más negativos que positivos, por lo que el resultado fue negativo.

 

Ahora agreguemos la última combinación, (5 + (- 3) ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(5 + (-3) ) significa la suma de (- 5 ) y (- 3 ).
Comenzamos con (5 ) positivos. .
Y luego agregamos (3 ) negativos. .
Eliminamos cualquier par neutral. .
Nos quedan (2 ) positivos. .
La suma de (5 ) y (- 3 ) es (2 ). (5 + (-3) = 2 )
 

Tabla ( PageIndex {2} )

 

Cuando usamos contadores para modelar la suma de enteros positivos y negativos, es fácil ver si hay más contadores positivos o negativos. Entonces sabemos si la suma será positiva o negativa.

 
Two images are shown and labeled. The left image shows five red counters in a horizontal row drawn above three blue counters in a horizontal row, where the first three pairs of red and blue counters are circled. Above this diagram is written “negative 5 plus 3” and below is written “More negatives – the sum is negative.” The right image shows five blue counters in a horizontal row drawn above three red counters in a horizontal row, where the first three pairs of red and blue counters are circled. Above this diagram is written “5 plus negative 3” and below is written “More positives – the sum is positive.”  
Figura ( PageIndex {8} )
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} )

 

Agregar:

 
         
  1. (- 1 + 5 )
  2.      
  3. (1 + (-5) )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (- 1 + 5 )

     

.

     

Hay más aspectos positivos, por lo que la suma es positiva.

     

Entonces, (- 1 + 5 = 4 ).

     

2. (1 + (-5) )

     

.

     

Hay más negativos, por lo que la suma es negativa.

     

Entonces, (1 + (-5) = -4 ).

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} )

 

Agregar:

 
         
  1. (- 2 + 4 )
  2.      
  3. (2 + (-4) )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (2 )
  2.          
  3. (- 2 )
  4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {23} )

 

Agregar:

 
         
  1. (- 2 + 5 )
  2.      
  3. (2 + (-5) )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (3 )
  2.          
  3. (- 3 )
  4.      
     
 
 
 

Ahora que hemos agregado pequeños enteros positivos y negativos con un modelo, podemos visualizar el modelo en nuestras mentes para simplificar los problemas con cualquier número.

 

Cuando necesita agregar números como (37 + (- 53) ), realmente no quiere tener que contar (37 ) contadores azules y (53 ) contadores rojos. Con el modelo en mente, ¿puede visualizar lo que haría para resolver el problema?

 

Imagen (37 ) contadores azules con (53 ) contadores rojos alineados debajo. Como habría más contadores rojos (negativos) que contadores azules (positivos), la suma sería negativa . ¿Cuántos contadores rojos más habría? Como (53−37 = 16 ), hay (16 ) más contadores rojos.

 

Por lo tanto, la suma de (37 + (- 53) ) es (- 16 ).

 

[37 + (- 53) = – 16 nonumber ]

 

Probemos con otro. Agregaremos (- 74 + (- 27) ). Nuevamente, imagine (74 ) contadores rojos y (27 ) más contadores rojos, para que tengamos (101 ) contadores rojos. Esto significa que la suma es (- 101 ).

 

[- 74 + (- 27) = – 101 nonumber ]

 

Veamos nuevamente los resultados de agregar las diferentes combinaciones de (5, −5 ) y (3, -3 ).

 
 
 

ADICIÓN DE INTEGERS POSITIVOS Y NEGATIVOS

 

[ begin {array} {ll} {5 + 3 = 8} & {- 5 + (-3) = – 8} \ { text {ambos positivos, suma positiva}} y { text {ambos positivos, suma positiva}} end {array} nonumber ]

 

Cuando los signos son iguales, los contadores serían todos del mismo color, así que agrégalos.

 

[ begin {array} {ll} {5 + 3 = -2} & {- 5 + (-3) = 2} \ { text {signos diferentes, más negativos, suma negativa}} & { text {signos diferentes, más positivos, suma positiva}} end {array} nonumber ]

 

Cuando los signos son diferentes, algunos de los contadores formarán pares neutrales, así que reste para ver cuántos quedan.

 
 
 

Visualice el modelo a medida que simplifica las expresiones en los siguientes ejemplos.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {24} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (19 + (-47) )
  2.      
  3. (- 14 + (-36) )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     

1. Dado que los signos son diferentes, restamos (19 ) de (47 ). La respuesta será negativa porque hay más negativos que positivos.

     

( text {Add.} Qquad 19 + (-47) = -28 )

     

2. Como los signos son iguales, agregamos. La respuesta será negativa porque hay más negativos que positivos.

     

( text {Add.} Qquad-14 + (-36) = -50 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {25} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (- 31 + (-19) )
  2.      
  3. (15 + (-32) )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (- 50 )
  2.          
  3. (- 17 )
  4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {26} )

 

Simplificar:

 
         
  1. (- 42 + (-28) )
  2.      
  3. (25 + (-61) )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (- 70 )
  2.          
  3. (- 36 )
  4.      
     
 
 
 

Las técnicas utilizadas hasta ahora se extienden a problemas más complicados, como las que hemos visto antes. ¡Recuerde seguir el orden de las operaciones!

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {27} )

 

Simplificar:

 

(- 5 + 3 (-2 + 7) )

 
     
Respuesta
     
     

[ begin {array} {ll} {} & {- 5 + 3 (-2 + 7)} \ { text {Simplificar dentro del paréntesis}} & {- 5 + 3 (5)} \ { text {Multiply}} & {- 5 + 15} \ { text {add left to right}} & {10} end {array} nonumber ]

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {28} )

 

Simplificar:

 

(- 2 + 5 (-4 + 7) )

 
     
Respuesta
     
     

(13 )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {29} )

 

Simplificar:

 

(- 4 + 2 (-3 + 5) )

 
     
Respuesta
     
     

(0 )

     
 
 
 
 
 
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,

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