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las matematicas

1.5: decimales

Identificar números enteros, números racionales, números irracionales y números reales

 

Ya hemos descrito números como número de conteo s , número entero s y enteros . ¿Cuál es la diferencia entre estos tipos de números? La diferencia podría confundirse con la resta. ¿Qué tal preguntar cómo distinguimos entre estos tipos de números?

 

[ begin {array} {ll} text {Contando números} y 1,2,3,4,… .. \ text {Números enteros} y 0,1,2,3,4, … \ text {Integers} & …. − 3, −2, −1,0,1,2,3, …. end {array} ]

 

¿Qué tipo de números obtendríamos si comenzamos con todos los enteros y luego incluimos todas las fracciones? Los números que tendríamos forman el conjunto de números racionales. Un número racional es un número que puede escribirse como una razón de dos enteros.

 

En general, cualquier decimal que termine después de un número de dígitos (como 7.3 o -1.2684) es un número racional. Podemos usar el valor posicional del último dígito como denominador al escribir el decimal como fracción. El decimal para ( frac {1} {3} ) es el número (0. overline {3} ). La barra sobre el 3 indica que el número 3 se repite infinitamente. Continuamente tiene un significado importante en el cálculo. El número (s) debajo de la barra se llama bloque repetitivo y se repite continuamente.

 

Dado que todos los enteros se pueden escribir como una fracción cuyo denominador es 1, los enteros (y también los números enteros y de conteo. Son números racionales.

 

Cada número racional se puede escribir como una razón de enteros ( frac {p} {q} ), donde p y q son enteros y (q ≠ 0 ), y como un decimal que se detiene o se repite.

 
 

NÚMERO RACIONAL

 

Un número racional es un número de la forma ( frac {p} {q} ), donde p y q son ​​enteros y (q ≠ 0 ).

 

Su forma decimal se detiene o se repite.

 
 
 

¿Hay decimales que no se detengan o no se repitan? ¡Si! El número ππ (la letra griega pi , pronunciado “pastel”), que es muy importante para describir círculos, tiene una forma decimal que no se detiene ni se repite. Usamos tres puntos (…) para indicar que el decimal no se detiene ni se repite.

 
 

[π = 3.141592654 … ]

 

La raíz cuadrada de un número que no es un cuadrado perfecto es un decimal que no se detiene ni se repite.

 

Los números cuya forma decimal no se detiene o repite no se pueden escribir como una fracción de enteros. Llamamos a esto un número irracional .

 
 

NÚMERO IRRACIONAL

 

Un número irracional es un número que no se puede escribir como la razón de dos enteros.

 

Su forma decimal no se detiene y no se repite.

 
 

Resumamos un método que podemos usar para determinar si un número es racional o irracional.

 
 

RACIONAL O IRRACIONAL

 

Si la forma decimal de un número

 
         
  • repite o se detiene , el número es un número racional .
  •      
  • no se repite y no se detiene , el número es un número irracional .
  •  
 
 
 

Hemos visto que todos los números contables son números enteros, todos los números enteros son enteros y todos los enteros son números racionales. Los números irracionales son números cuya forma decimal no se detiene y no se repite. Cuando juntamos los números racionales y los números irracionales, obtenemos el conjunto de número real s .

 
 

NÚMERO REAL

 

Un número real es un número que es racional o irracional.

 
 
 
 
 
 

Más adelante en este curso presentaremos números más allá de los números reales. La figura ilustra cómo los conjuntos de números que hemos usado hasta ahora se unen.

 
A chart shows that counting numbers 1, 2, 3 are a part of whole numbers 0, 1, 2, 3. Whole numbers are a part of integers minus 2, minus 1, 0, 1, 2. Integers are a part of rational numbers. Rational numbers along with irrational numbers form the set of real numbers.  
Figura 2. Este gráfico muestra los conjuntos de números que conforman el conjunto de números reales.
 
 

¿Te parece extraño el término “números reales”? ¿Hay números que no sean “reales” y, de ser así, cuáles podrían ser? ¿Podemos simplificar (- sqrt {25} )? ¿Hay un número cuyo cuadrado es (- 25 )?

 
 

[() ^ 2 = −25? ]

 

Ninguno de los números que hemos tratado hasta ahora tiene un cuadrado que es (- 25 ). ¿Por qué? Cualquier número positivo al cuadrado es positivo. Cualquier número negativo al cuadrado es positivo. Entonces decimos que no hay un número real igual a ( sqrt {−25} ). La raíz cuadrada de un número negativo no es un número real.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {25} )

 

Dados los números (- 7, frac {14} {5}, 8, sqrt {5}, 5.9, – sqrt {64} ), enumere los ⓐ números enteros ⓑ enteros ⓒ números racionales ⓓ números irracionales ⓔ números reales.

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ Recuerde, los números enteros son (0,1,2,3, …, ), entonces 8 es el único número entero dado.

     

ⓑ Los enteros son los números enteros y sus opuestos (que incluye 0). Entonces, el número entero 8 es un número entero, y −7 es lo opuesto a un número entero, por lo que también es un número entero. Además, observe que 64 es el cuadrado de 8, entonces (- sqrt {64} = – 8 ). Entonces los enteros son (- 7,8, ) y (- sqrt {64} ).

     

ⓒ Dado que todos los enteros son racionales, entonces (- 7,8, ) y (- sqrt {64} ) son racionales. Los números racionales también incluyen fracciones y decimales que se repiten o detienen, por lo que ( frac {14} {5} ) y (5.9 ) son racionales. Entonces, la lista de números racionales es (- 7, frac {14} {5}, 8,5.9, ) y (- sqrt {64} ).

     

ⓓ Recuerde que 5 no es un cuadrado perfecto, por lo que ( sqrt {5} ) es irracional.

     

ⓔ Todos los números enumerados son números reales.

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {26} )

 

Dados los números (- 3, – sqrt {2}, 0. Overline {3}, frac {9} {5}, 4, sqrt {49}, ) enumere los ⓐ números enteros Ⓑ enteros ⓒ números racionales

 

ⓓ números irracionales ⓔ números reales.

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ (4, sqrt {49} ) ⓑ (- 3,4, sqrt {49} )

    Ⓒ (- 3,0. Overline {3}, frac {9} {5}, 4, sqrt {49} ) ⓓ (- sqrt {2} )      

ⓔ (- 3, – sqrt {2}, 0. Overline {3}, frac {9} {5}, 4, sqrt {49} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {27} )

 

Los números dados (- sqrt {25}, – frac {3} {8}, – 1,6, sqrt {121}, 2.041975 …, ) enumeran los ⓐ números enteros ⓑ enteros ⓒ números racionales numbers números irracionales ⓔ números reales.

 
     
Respuesta
     
     

ⓐ (6, sqrt {121} )

     

ⓑ (- sqrt {25}, – 1,6, sqrt {121} )

     

ⓒ (- sqrt {25}, – frac {3} {8}, – 1,6, sqrt {121} )

     

ⓓ (2.041975 … )

     

ⓔ (- sqrt {25}, – frac {3} {8}, – 1,6, sqrt {121}, 2.041975 … )

     
 
 
 
 
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