La propiedad asociativa de la multiplicación es válida para todos los números.
Propiedad asociativa de la multiplicación
Sea (a ), (b ) y (c ) cualquier número. Entonces: [a cdot (b cdot c) = (a cdot b) cdot c nonumber ]
La propiedad asociativa de la multiplicación es útil en varias situaciones.
Ejemplo ( PageIndex {1} )
Simplifique: (- 3 (4y) ).
Solución
Actualmente, la agrupación (- 3 (4y) ) exige que primero multipliquemos (4 ) y (y ). Sin embargo, podemos usar la propiedad asociativa de la multiplicación para reagrupar, primero multiplicando (- 3 ) y (4 ).
[ begin {alineado} -3 (4 y) = & (- 3 cdot 4) y quad color {Red} text {La propiedad asociativa de la multiplicación.} \ & = – 12 y quad color {Rojo} text {Multiplicar:} -3 cdot 4 = -12 end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, (- 3 (4y) = – 12y ).
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Simplifique: (2 (3 x) ).
- Respuesta
-
(6x )
Veamos otro ejemplo.
Ejemplo ( PageIndex {2} )
Simplifica: (- 2 (-4 x y) ).
Solución
Actualmente, la agrupación (- 2 (-4xy) ) exige que primero multipliquemos (- 4 ) y (xy ). Sin embargo, podemos usar la propiedad asociativa de la multiplicación para reagruparnos, primero multiplicando (- 2 ) y (- 4 ).
[ begin {alineado} -2 (-4 x y) & = (- 2 cdot (-4)) x y quad color {Red} text {La propiedad asociativa de la multiplicación. } \ & = 8 x y quad color {Rojo} text {Multiplicar:} -2 cdot (-4) = 8 end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, (- 2 (-4xy) = 8xy ).
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Simplifique: (- 3 left (-8 u ^ {2} right) ).
- Respuesta
-
(24 u ^ {2} )
En la práctica, podemos movernos más rápido si realizamos la reagrupación mental, luego simplemente escribimos la respuesta. Por ejemplo:
[- 2 (-4 t) = 8 t quad text {y} quad 2 left (-5 z ^ {2} right) = – 10 z ^ {2} quad text {y} quad-3 left (4 u ^ {3} right) = – 12 u ^ {3} nonumber ]
La propiedad distributiva
Ahora discutimos una propiedad que combina la suma y la multiplicación. Considere la expresión (2 cdot (3 + 5) ). Las Reglas del orden de operaciones de orientación requieren que primero simplifiquemos la expresión dentro de los paréntesis.
[ begin {alineado} 2 cdot (3 + 5) & = 2 cdot 8 quad color {Red} text {Add:} 3 + 5 = 8 \ & = 16 quad color {Rojo} text {Multiplicar:} 2 cdot 8 = 16 end {alineado} nonumber ]
Alternativamente, podemos distribuir las (2 ) veces cada término entre paréntesis. Es decir, primero multiplicaremos (3 ) por (2 ), luego multiplicaremos (5 ) por (2 ). Luego agregamos los resultados.
[ begin {alineado} 2 cdot (3 + 5) & = 2 cdot 3 + 2 cdot 5 quad color {Red} text {Distribuya el 2.} \ & = 6 + 10 quad color {Rojo} text {Multiplicar:} 2 cdot 3 = 6 text {y} 2 cdot 5 = 10 \ & = 16 quad color {Rojo} text {Agregar:} 6 + 10 = 16 end {alineado} nonumber ]
Tenga en cuenta que ambos métodos producen el mismo resultado, a saber, 16. Este ejemplo demuestra una propiedad extremadamente importante de los números llamada propiedad distributiva .
La propiedad distributiva
Sea (a ), (b ) y (c ) cualquier número. Entonces: [a cdot (b + c) = a cdot b + a cdot c nonumber ] Es decir, la multiplicación es distributiva con respecto a la suma.
Ejemplo ( PageIndex {3} )
Use la propiedad distributiva para expandir (2 (3x + 7) ).
Solución
Primero distribuya las (2 ) veces cada término entre paréntesis. Entonces simplifica.
[ begin {alineado} 2 (3 x + 7) & = 2 (3 x) +2 (7) quad color {Rojo} text {Use la propiedad distributiva. } \ & = 6 x + 14 quad color {Rojo} text {Multiplicar:} 2 (3 x) = 6 x text {y} 2 (7) = 14 end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, (2 (3 x + 7) = 6 x + 14 ).
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Expandir: (5 (2 y + 7) ).
- Respuesta
-
(10 años + 35 )
La multiplicación también es distributiva con respecto a la resta.
Ejemplo ( PageIndex {4} )
Use la propiedad distributiva para expandir (- 2 (5y-6) ).
Solución
Cambie a la suma agregando lo opuesto, luego aplique la propiedad distributiva.
[ begin {alineado} -2 (5 y-6) & = – 2 (5 y + (- 6)) quad color {Rojo} text {Agregue el opuesto. } \ & = – 2 (5 y) + (- 2) (- 6) quad color {Red} text {Use la propiedad distributiva. } \ & = – 10 y + 12 quad color {Rojo} text {Multiplicar:} -2 (5 y) = – 10 y text {y} (- 2) (- 6) = 12 end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, (- 2 (5 y-6) = – 10 y + 12 )
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Expandir: (- 3 (2z-7) ).
- Respuesta
-
(- 6 z + 21 )
Acelerando un poco las cosas
En el Ejemplo ( PageIndex {4} ) , cambiamos la resta a la suma, aplicamos la propiedad distributiva, luego terminamos varios pasos más tarde. Sin embargo, si comprende que la resta es realmente lo mismo que sumar lo opuesto, y si está dispuesto a hacer algunos pasos en su cabeza, debería poder simplemente escribir la respuesta inmediatamente después del problema dado.
Si observa la expresión (- 2 (5y-6) ) del Ejemplo ( PageIndex {4} ) nuevamente, solo que esta vez piense “multiplicar (- 2 ) veces (5y ), luego multiplique (- 2 ) veces (- 6 ), luego el resultado es inmediato. [- 2 (5y-6) = -10y + 12 nonumber ]
Probemos esta técnica de “acelerar” en un par de ejemplos más.
Ejemplo ( PageIndex {5} )
Use la propiedad distributiva para expandir (- 3 (-2 x + 5 y-12) ).
Solución
Para distribuir el (- 3 ), simplemente pensamos lo siguiente: “ (- 3 (-2x) = 6x ), (- 3 (5y) = – 15y ), y (- 3 (-12) = 36 ) “. Este tipo de pensamiento nos permite escribir la respuesta inmediatamente sin ningún paso adicional. [- 3 (-2 x + 5 y-12) = 6 x-15 y + 36 no número ]
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Expandir: (- 3 (-2 a + 3 b-7) ).
- Respuesta
-
(6 a-9 b + 21 )
Ejemplo ( PageIndex {6} )
Use la propiedad distributiva para expandir (- 5 (-2 a-5 b + 8) ).
Solución
Para distribuir el (- 5 ), simplemente pensamos lo siguiente: “ (- 5 (-2a) = 10a ), (- 5 (-5b) = 25 b ), y ( -5 (8) = -40 ) “. Este tipo de pensamiento nos permite escribir la respuesta inmediatamente sin ningún paso adicional. [- 5 (-2 a-5 b + 8) = 10 a + 25 b-40 nonumber ]
Ejercicio ( PageIndex {6} )
Expandir: (- 4 (-x-2 y-7) ).
- Respuesta
-
(4 x + 8 y + 28 )
Distribución de un signo negativo
Recuerde que negar un número es equivalente a multiplicar el número por (- 1 ).
Propiedad multiplicativa de menos uno
Si (a ) es cualquier número, entonces: [(- 1) a = -a nonumber ]
Esto significa que si negamos una expresión, es equivalente a multiplicar la expresión por (- 1 ).
Ejemplo ( PageIndex {7} )
Expandir (- (7 x-8 y-10) ).
Solución
Primero, negar es equivalente a multiplicar por (- 1 ). Entonces podemos cambiar la resta a la suma “sumando lo opuesto” y usar la propiedad distributiva para terminar la expansión.
[ begin {alineado} – (7 x-8 y-10) & = – 1 (7 x-8 y-10) quad color {Rojo} text {Negar es equivalente a multiplicar por} -1 \ & = – 1 (7 x + (- 8 y) + (- 10)) quad color {Red} text {Agregue lo contrario. } \ & = – 1 (7 x) + (- 1) (- 8 y) + (- 1) (- 10) quad color {Red} text {Distribuya el} -1 \ & = – 7 x + 8 y + 10 quad color {Rojo} text {Multiplicar.} End {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, (- (7 x-8 y-10) = – 7 x + 8 y + 10 )
Ejercicio ( PageIndex {7} )
Expandir: (- (- a-2 b + 11) ).
- Respuesta
-
(a + 2 b-11 )
Si bien es matemáticamente preciso, la técnica del Ejemplo ( PageIndex {7} ) puede simplificarse al señalar que negar una expresión rodeada de paréntesis simplemente cambia el signo de cada término dentro de los paréntesis a El signo opuesto.
Una vez que entendemos esto, simplemente podemos “distribuir el signo menos” y escribir:
[- (7 x-8 y-10) = – 7 x + 8 y + 10 nonumber ]
En fas similar h io n,
[- (- 3 a + 5 b-c) = 3 a-5 b + c nonumber ]
y,
[- (- 3 x-8 y + 11) = 3 x + 8 y-11 nonumber ]
Combinación de términos similares
Podemos usar la propiedad distributiva para distribuir un número multiplicado por una suma. [a (b + c) = a b + a c nonumber ]
Sin embargo, la propiedad distributiva también se puede utilizar a la inversa, para “desmultiplicar” o factorizar una expresión. Por lo tanto, podemos comenzar con la expresión (ab + ac ) y “factorizar” el factor común a de la siguiente manera:
[a b + a c = a (b + c) nonumber ]
También puede factorizar el factor común a la derecha.
[a c + b c = (a + b) c nonumber ]
Podemos utilizar esta última técnica para combinar términos similares .
Ejemplo ( PageIndex {8} )
Simplifica: (7 x + 5 x ).
Solución
Usa la propiedad distributiva para factorizar el factor común (x ) de cada término, luego simplifica el resultado.
[ begin {alineado} 7x + 5x & = (7 + 5) x quad color {Rojo} text {Factoriza un} x text {usando la propiedad distributiva. } \ & = 12x quad color {Rojo} text {Simplificar:} 7 + 5 = 12 end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, (7x + 5x = 12x ).
Ejercicio ( PageIndex {8} )
Simplifica: (3 y + 8 y ).
- Respuesta
-
(11 años )
Ejemplo ( PageIndex {9} )
Simplifique: (- 8 a ^ {2} +5 a ^ {2} ).
Solución
Usa la propiedad distributiva para factorizar el factor común (a ^ 2 ) de cada término, luego simplifica el resultado.
[ begin {alineado} -8 a ^ {2} +5 a ^ {2} & = (- 8 + 5) a ^ {2} quad color {Rojo} text {Factoriza un } a ^ {2} text {usando la propiedad distributiva. } \ & = – 3 a ^ {2} quad color {Rojo} text {Simplificar:} -8 + 5 = -3 end {alineado} nonumber ]
Por lo tanto, (- 8 a ^ {2} +5 a ^ {2} = – 3 a ^ {2} ).
Ejercicio ( PageIndex {9} )
Simplifique: (- 5 z ^ {3} +9 z ^ {3} ).
- Respuesta
-
(4z ^ 3 )
Los ejemplos ( PageIndex {8} ) y ( PageIndex {9} ) combinan lo que se conoce como “términos similares”. Los ejemplos ( PageIndex {8} ) y ( PageIndex {9} ) también sugieren un posible acceso directo para combinar términos similares.
Términos similares
Dos términos se llaman términos similares si tienen partes variables idénticas, lo que significa que los términos deben contener las mismas variables elevadas a los mismos exponentes.
Por ejemplo, (2x ^ 2y ) y (11x ^ 2y ) son términos similares porque contienen variables idénticas elevadas a los mismos exponentes. Por otro lado, (- 3st ^ 2 ) y (4s ^ 2t ) no son términos similares. Contienen las mismas variables, pero las variables no se elevan a los mismos exponentes.
Considere los términos similares (2x ^ 2y ) y (11x ^ 2y ). Los números (2 ) y (11 ) se denominan coeficientes de los términos similares. Podemos usar la propiedad distributiva para combinar estos términos similares como lo hicimos en los Ejemplos ( PageIndex {8} ) y ( PageIndex {9} ) , factorizando El factor común (x ^ 2y ).
[ begin {alineado} 2 x ^ {2} y + 11 x ^ {2} y & = (2 + 11) x ^ {2} y \ & = 13 x ^ {2} y end {alineado} nonumber ]
Sin embargo, un enfoque mucho más rápido es simplemente agregar los coeficientes de los términos similares, manteniendo la misma parte variable. Es decir, (2 + 11 = 13 ), entonces:
[2 x ^ {2} y + 11 x ^ {2} y = 13 x ^ {2} y nonumber ]
Este es el procedimiento que seguiremos a partir de ahora.
Ejemplo ( PageIndex {10} )
Simplifique: (- 8 w ^ {2} +17 w ^ {2} ).
Solución
Estos son términos similares. Si sumamos los coeficientes ients cients (- 8 ) y (17 ), obtenemos (9 ). Así:
[- 8 w ^ {2} +17 w ^ {2} = 9 w ^ {2} quad color {Red} text {Agregue los coeficientes y repita la parte variable.} Nonumber ]
Ejercicio ( PageIndex {10} )
Simplifique: (4 a b-15 a b ).
- Respuesta
-
(- 11ab )
Ejemplo ( PageIndex {11} )
Simplifique: (- 4 u v-9 u v ).
Solución
Estos son términos similares. Si agregamos (- 4 ) y (- 9 ), obtenemos (- 13 ). Así:
[- 4 u v-9 u v = -13 u v quad color {Rojo} text {Agregue los coeficientes y repita la parte variable.} Nonumber ]
Ejercicio ( PageIndex {11} )
Simplifique: (- 3 x y-8 x y ).
- Respuesta
-
(- 11xy )
Ejemplo ( PageIndex {12} )
Simplificar: (- 3 x ^ {2} y + 2 x y ^ {2} )
Solución
Estos no son términos similares. No tienen las mismas partes variables. Tienen las mismas variables, pero las variables no se elevan a los mismos exponentes. En consecuencia, esta expresión ya está simplificada tanto como sea posible.
[- 3 x ^ {2} y + 2 x y ^ {2} quad color {Red} text {A diferencia de los términos. Ya simplificado.} Nonumber ]
Ejercicio ( PageIndex {12} )
Simplifica: (5ab + 11bc ).
- Respuesta
-
(5ab + 11bc )
A veces tenemos más que un par de términos similares. En ese caso, queremos agrupar los términos similares y combinarlos.
Ejemplo ( PageIndex {13} )
Simplifique: (- 8 u-4 v-12 u + 9 v ).
Solución
Use la propiedad asociativa y conmutativa de la suma para cambiar el orden y reagrupar, luego combine los términos de línea.
[ begin {alineado} -8u-4v-12u + 9v & = (- 8u-12u) + (- 4v + 9v) quad color {Rojo} text {Reordenar y reagrupar. } \ & = – 20u + 5v quad color {Red} text {Combinar términos similares. } end {alineado} nonumber ]
Tenga en cuenta que (- 8u-12u = -20u ) y (- 4v + 9v = 5 v ).
Solución alternativa
Puede omitir el paso de reordenamiento y reagrupación si lo desea, simplemente combinando términos similares mentalmente. Es decir, es completamente posible ordenar su trabajo de la siguiente manera:
[- 8 u-4 v-12 u + 9 v = -20 u + 5 v quad color {Rojo} text {Combinar términos similares.} Nonumber ]
Ejercicio ( PageIndex {13} )
Simplifique: (- 3 z ^ {2} +4 z-8 z ^ {2} -9 z ).
- Respuesta
-
(- 11 z ^ {2} -5 z )
En el Ejemplo ( PageIndex {13} ) , la “Solución alternativa” nos permite movernos más rápidamente y será la técnica que seguiremos a partir de ahora, agrupando y combinando términos mentalmente.
Orden de operaciones
Ahora que sabemos cómo combinar términos similares, abordemos algunas expresiones más complicadas que requieren el Orden de Operaciones de Reglas .
Reglas para guiar el orden de operaciones
Al evaluar expresiones, proceda en el siguiente orden.
- Evalúe las expresiones contenidas en los símbolos de agrupación primero. Si los símbolos de agrupación están anidados, primero evalúe la expresión en el par de símbolos de agrupación más interno.
- Evalúa todos los exponentes que aparecen en la expresión.
- Realice todas las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen en la expresión, moviéndose de izquierda a derecha.
- Realice todas las sumas y restas en el orden en que aparecen en la expresión, moviéndose de izquierda a derecha.
Ejemplo ( PageIndex {14} )
Simplifique: (4 (-3 a + 2 b) -3 (4 a-5 b) ).
Solución
Use la propiedad distributiva para distribuir el (4 ) y el (- 3 ), luego combine los términos similares.
[ begin {alineado} 4 (-3a + 2b) -3 (4a-5b) & = – 12a + 8b-12a + 15b quad color {Rojo} text {Distribuir. } \ & = – 24a + 23b quad color {Red} text {Combinar términos similares. } end {alineado} nonumber ]
Tenga en cuenta que (- 12a-12a = -24a ) y (8b + 15b = 23b )
Ejercicio ( PageIndex {14} )
Simplifica: (- 2x-3 (5-2x) ).
- Respuesta
-
(4 x-15 )
Ejemplo ( PageIndex {15} )
Simplifique: (- 2 (3 x-4 y) – (5 x-2 y) ).
Solución
Usa la propiedad distributiva para multiplicar (- 2 ) veces (3x-4y ), luego distribuye el signo menos por cada término de la expresión (5x-2y ). Después de eso, combine los términos similares.
[ begin {alineado} -2 (3x-4y) – (5x-2y) & = – 6x + 8y-5x + 2y quad color {Rojo} text {Distribuir. } \ & = – 11x + 10y quad color {Red} text {Combinar términos similares. } end {alineado} nonumber ]
Tenga en cuenta que (- 6x-5x = -11x ) y (8y + 2y = 10 y ).
Ejercicio ( PageIndex {15} )
Simplifique: (- 3 (u + v) – (u-5 v) ).
- Respuesta
-
(- 4 u + 2 v )
Ejemplo ( PageIndex {16} )
Simplifique: (- 2 left (x ^ {2} y-3 xy ^ {2} right) -4 left (-x ^ {2} y + 3 xy ^ {2} right) ).
Solución
Use la propiedad distributiva para multiplicar (- 2 ) veces (x ^ 2y-3xy ^ 2 ) y (- 4 ) veces (- x ^ 2y + 3xy ^ 2 ). Después de eso, combine los términos similares.
[ begin {alineado} -2 left (x ^ {2} y-3 xy ^ {2} right) -4 left (-x ^ {2} y + 3 xy ^ {2} right) & = – 2 x ^ {2} y + 6 xy ^ {2} +4 x ^ {2} y-12 xy ^ {2} \ & = 2 x ^ {2} y-6 xy ^ {2} end {alineado} nonumber ]
Tenga en cuenta que (- 2 x ^ {2} y + 4 x ^ {2} y = 2 x ^ {2} y ) y (6 xy ^ {2} -12 xy ^ {2} = -6 xy ^ {2} ).
Ejercicio ( PageIndex {16} )
Simplifique: (8 u ^ {2} v-3 left (u ^ {2} v + 4 u v ^ {2} right) ).
- Respuesta
-
(5 u ^ {2} v-12 u v ^ {2} )
Cuando los símbolos de agrupación están anidados, evalúe primero la expresión dentro del par de símbolos de agrupación más interno.
Ejemplo ( PageIndex {17} )
Simplifique: (- 2 x-2 (-2 x-2 [-2 x-2]) ).
Solución
Dentro de los paréntesis, tenemos la expresión (- 2 x-2 [-2 x-2] ). El orden de operaciones de las reglas dicta que debemos multiplicar primero, expandiendo (- 2 [-2 x-2] ) y combinando términos similares.
[ begin {alineado} -2x-2 ({ color {Red} -2x-2 [-2x-2]}) & = – 2x-2 ({ color {Red} -2x + 4x +2}) \ & = – 2x-2 ({ color {Red} 2x + 2}) end {alineado} nonumber ]
En la expresión restante, nuevamente multiplicamos primero, expandiendo (- 2 (2x + 2) ) y combinando términos similares.
[ begin {alineado} & = – 2x-4x-4 \ & = – 6x-4 end {alineado} nonumber ]
Ejercicio ( PageIndex {17} )
Simplifique: (x-2 [-x + 4 (x + 1)] ).
- Respuesta
-
(- 5 x-8 )