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las matematicas

1.5: polinomios

                 

 

Objetivos de aprendizaje

 

En esta sección los estudiantes:

 
         
  • Identifica el grado y el coeficiente principal de los polinomios.
  •      
  • Sumar y restar polinomios.
  •      
  • Multiplicar polinomios.
  •      
  • Usa FOIL para multiplicar binomios.
  •      
  • Realizar operaciones con polinomia
  •      
  • ls de varias variables.
  •  
 
 

Earl está construyendo una caseta de perro, cuyo frente tiene la forma de un cuadrado rematado con un triángulo. Habrá una puerta rectangular a través de la cual el perro puede entrar y salir de la casa. Earl quiere encontrar el área de la parte delantera de la caseta del perro para poder comprar la cantidad correcta de pintura. Usando las medidas del frente de la casa, que se muestran en la Figura ( PageIndex {1} ), podemos crear una expresión que combine varios términos variables, lo que nos permite resolver este problema y otros similares.

 
Sketch of a house formed by a square and a triangle based on the top of the square. A rectangle is placed at the bottom center of the square to mark a doorway. The height of the door is labeled: x and the width of the door is labeled: 1 foot. The side of the square is labeled: 2x. The height of the triangle is labeled: 3/2 feet.  
Figura ( PageIndex {1} )
 
 
         
  • Primero encuentra el área del cuadrado en pies cuadrados.
  •  
 

[ begin {align *} A & = s ^ 2 \ & = {(2x)} ^ 2 \ & = 4x ^ 2 end {align *} ]

 
         
  • Luego, encuentra el área del triángulo en pies cuadrados.
  •  
 

[ begin {align *} A & = dfrac {1} {2} bh \ & = dfrac {1} {2} (2x) left ( dfrac {3} {2} derecha) \ & = dfrac {3} {2} x end {align *} ]

 
         
  • Luego, encuentra el área de la puerta rectangular en pies cuadrados.
  •  
 

[ begin {align *} A & = lw \ & = x times1 \ & = x end {align *} ]

 

El área del frente de la caseta del perro se puede encontrar sumando las áreas del cuadrado y el triángulo, y luego restando el área del rectángulo. Cuando hacemos esto, obtenemos

 

(4x ^ 2 + dfrac {3} {2} x-x ) (ft ^ 2 )

 

o

 

(4x ^ 2 + dfrac {1} {2} x ) (ft ^ 2 )

 

En esta sección, examinaremos expresiones como esta, que combinan varios términos variables.

 

Identificación del grado y coeficiente principal de polinomios

 

La fórmula que se acaba de encontrar es un ejemplo de un polinomio , que es una suma o diferencia de términos, cada uno de los cuales consiste en una variable elevada a una potencia entera no negativa. Un número multiplicado por una variable elevada a un exponente, como (384 pi ), se conoce como coeficiente . Los coeficientes pueden ser positivos, negativos o cero, y pueden ser números enteros, decimales o fracciones. Cada producto (a_ix ^ i ), como (384 pi w ), es un término de un polinomio . Si un término no contiene una variable, se llama constante.

 

Un polinomio que contiene un solo término, como (5x ^ 4 ), se denomina monomio . Un polinomio que contiene dos términos, como (2x − 9 ), se denomina binomio . Un polinomio que contiene tres términos, como (- 3x ^ 2 + 8x − 7 ), se denomina trinomio .

 

Podemos encontrar el grado de un polinomio identificando la potencia más alta de la variable que ocurre en el polinomio. El término con el grado más alto se llama término principal porque generalmente se escribe primero. El coeficiente del término principal se denomina coeficiente principal . Cuando se escribe un polinomio para que las potencias desciendan, decimos que está en forma estándar.

 

A polynomial reading: a sub n times x to the nth power plus and so on plus a sub 2 times x squared plus a sub one times x plus a subzero is shown. The a in the term a sub n is labeled: leading coefficient. The n in the term x to the nth power is labeled: degree. Finally, the entire term is labeled as: Leading term.

 
 
 

Polinomios

 

Un polinomio es una expresión que se puede escribir en la forma

 

[a_nx ^ n + … + a_2x ^ 2 + a_1x + a_0 ]

 

Cada número real ai se llama coeficiente . El número (a_0 ) que no se multiplica por una variable se llama constante. Cada producto (a_ix ^ i ) es un término de un polinomio . La potencia más alta de la variable que ocurre en el polinomio se llama grado de un polinomio. El término principal es el término con la potencia más alta, y su coeficiente se llama coeficiente principal .

 
 
 
 

Cómo: dada una expresión polinómica, identificar el grado y el coeficiente principal.

 
         
  1. Encuentra la potencia más alta de x para determinar el grado.
  2.      
  3. Identifica el término que contiene la potencia más alta de x para encontrar el término principal.
  4.      
  5. Identifica el coeficiente del término principal.
  6.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): identificación del grado y coeficiente principal de un polinomio

 

Para los siguientes polinomios, identifique el grado, el término principal y el coeficiente principal.

 
         
  1. (3 + 2x ^ 2−4x ^ 3 )
  2.      
  3. (5t ^ 5−2t ^ 3 + 7t )
  4.      
  5. (6p − p ^ 3−2 )
  6.  
 

Solución

 
         
  1. La potencia más alta de (x ) es (3 ), por lo que el grado es (3 ). El término principal es el término que contiene ese grado, (- 4x ^ 3 ). El coeficiente principal es el coeficiente de ese término, (- 4 ).
  2.      
  3. La potencia más alta de (t ) es (5 ), por lo que el grado es (5 ). El término principal es el término que contiene ese grado, (5t ^ 5 ). El coeficiente principal es el coeficiente de ese término, (5 ).
  4.      
  5. La potencia más alta de (p ) es (3 ), por lo que el grado es (3 ). El término principal es el término que contiene ese grado, (- p ^ 3 ). El coeficiente principal es el coeficiente de ese término, −1.
  6.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Identifica el grado, el término principal y el coeficiente principal del polinomio (4x ^ 2 − x ^ 6 + 2x − 6 ).

 
     
Respuesta
     
     

El grado es (6 ), el término principal es (- x ^ 6 ) y el coeficiente principal es (- 1 ).

     
 
 
 

Sumar y restar polinomios

 

Podemos sumar y restar polinomios combinando términos similares, que son términos que contienen las mismas variables elevadas a los mismos exponentes. Por ejemplo, (5x ^ 2 ) y (- 2x ^ 2 ) son términos similares, y se pueden agregar para obtener (3x ^ 2 ), pero (3x ) y (3x ^ 2 ) no son términos similares y, por lo tanto, no se pueden agregar.

 
 

Cómo: dados múltiples polinomios, sumarlos o restarlos para simplificar las expresiones.

 
         
  1. Combina términos similares.
  2.      
  3. Simplifica y escribe en forma estándar.
  4.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Agregar polinomios

 

Encuentra la suma.

 

((12x ^ 2 + 9x − 21) + (4x ^ 3 + 8x ^ 2−5x + 20) )

 

Solución

 

[ begin {align *} & 4x ^ 3 + (12x ^ 2 + 8x ^ 2) + (9x-5x) + (- 21 + 20) qquad text {Combinar términos similares} \ & 4x ^ 3 + 20x ^ 2 + 4x-1 qquad qquad qquad qquad qquad qquad ; ; ; text {Simplify} end {align *} ]

 

Análisis

 

Podemos verificar nuestras respuestas a este tipo de problemas usando una calculadora gráfica. Para verificar, graficar el problema tal como se da junto con la respuesta simplificada. Los dos gráficos deben ser equivalentes. Asegúrese de usar la misma ventana para comparar los gráficos. Usar diferentes ventanas puede hacer que las expresiones parezcan equivalentes cuando no lo son.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Encuentra la suma.

 

((2x ^ 3 + 5x ^ 2 − x + 1) + (2x ^ 2−3x − 4) )

 
     
Respuesta
     
     

(2x ^ 3 + 7x ^ 2−4x − 3 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Restando polinomios

 

Encuentra la diferencia.

 

((7x ^ 4 − x ^ 2 + 6x + 1) – (5x ^ 3−2x ^ 2 + 3x + 2) )

 

Solución

 

(7x ^ 4−5x ^ 3 + (- x ^ 2 + 2x ^ 2) + (6x − 3x) + (1−2) ) Combinar términos similares

 

(7x ^ 4−5x ^ 3 + x ^ 2 + 3x − 1 ) Simplificar

 

Análisis

 

Tenga en cuenta que encontrar la diferencia entre dos polinomios es lo mismo que agregar el opuesto del segundo polinomio al primero.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Encuentra la diferencia.

 

((- 7x ^ 3−7x ^ 2 + 6x − 2) – (4x ^ 3−6x ^ 2 − x + 7) )

 
     
Respuesta
     
     

(- 11x ^ 3 − x ^ 2 + 7x − 9 )

     
 
 
 

Multiplicando polinomios

 

Multiplicar polinomios es un poco más difícil que sumar y restar polinomios. Debemos usar la propiedad distributiva para multiplicar cada término en el primer polinomio por cada término en el segundo polinomio. Luego combinamos términos similares. También podemos usar un atajo llamado método FOIL al multiplicar binomios. Ciertos productos especiales siguen patrones que podemos memorizar y usar en lugar de multiplicar los polinomios a mano cada vez. Veremos una variedad de formas de multiplicar polinomios.

 

Multiplicando polinomios usando la propiedad distributiva

 

Para multiplicar un número por un polinomio, usamos la propiedad distributiva. El número debe distribuirse a cada término del polinomio. Podemos distribuir el (2 ) en (2 (x + 7) ) para obtener la expresión equivalente (2x + 14 ). Al multiplicar polinomios, la propiedad distributiva nos permite multiplicar cada término del primer polinomio por cada término del segundo. Luego agregamos los productos juntos y combinamos términos similares para simplificar.

 
 

Cómo: dada la multiplicación de dos polinomios, usa la propiedad distributiva para simplificar la expresión.

 
         
  1. Multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo.
  2.      
  3. Combina términos similares.
  4.      
  5. Simplificar.
  6.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Multiplicando polinomios usando la propiedad distributiva

 

Encuentra el producto.

 

((2x + 1) (3x ^ 2 − x + 4) )

 

Solución

 

[ begin {align *} & 2x (3x ^ 2-x + 4) +1 (3x ^ 2-x + 4) qquad text {Use la propiedad distributiva} \ & (6x ^ 3- 2x ^ 2 + 8x) + (3x ^ 2-x + 4) qquad text {Multiplicar} \ & 6x ^ 3 + (- 2x ^ 2 + 3x ^ 2) + (8x-x) +4 qquad texto {Combinar términos similares} \ & 6x ^ 3 + x ^ 2 + 7x + 4 qquad text {Simplificar} end {align *} ]

 

Análisis

 

Podemos usar una tabla para realizar un seguimiento de nuestro trabajo, como se muestra en la Tabla ( PageIndex {1} ). Escribe un polinomio en la parte superior y el otro en el costado. Para cada cuadro de la tabla, multiplique el término para esa fila por el término para esa columna. Luego agregue todos los términos juntos, combine términos similares y simplifique.

 
                                                                                                                                                                                                                                                         
Tabla ( PageIndex {1} )
(3x ^ 2 ) (- x ) (+ 4 )
(2x ) (6x ^ 3 ) (- 2x ^ 2 ) (8x )
(+ 1 ) (3x ^ 2 ) (- x ) (4 )
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Encuentra el producto.

 

((3x + 2) (x ^ 3−4x ^ 2 + 7) )

 
     
Respuesta
     
     

(3x ^ 4−10x ^ 3−8x ^ 2 + 21x + 14 )

     
 
 
 

Uso de FOIL para multiplicar binomios

 

A veces se usa un atajo llamado FOIL para encontrar el producto de dos binomios. Se llama FOIL porque multiplicamos los primeros términos, los términos externos, los términos internos y luego los últimos términos de cada binomio.

 

Two quantities in parentheses are being multiplied, the first being: a times x plus b and the second being: c times x plus d. This expression equals ac times x squared plus ad times x plus bc times x plus bd. The terms ax and cx are labeled: First Terms. The terms ax and d are labeled: Outer Terms. The terms b and cx are labeled: Inner Terms. The terms b and d are labeled: Last Terms.

 

El método FOIL surge de la propiedad distributiva. Simplemente estamos multiplicando cada término del primer binomio por cada término del segundo binomio, y luego combinamos términos similares.

 
 

FOIL para simplificar la expresión

 

Dados dos binomios, use FOIL para simplificar la expresión.

 
         
  1. Multiplica los primeros términos de cada binomio.
  2.      
  3. Multiplica los términos externos de los binomios.
  4.      
  5. Multiplica los términos internos de los binomios.
  6.      
  7. Multiplica los últimos términos de cada binomio.
  8.      
  9. Agregar los productos.
  10.      
  11. Combina términos similares y simplifica.
  12.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Uso de FOIL para multiplicar binomios

 

Usa FOIL para encontrar el producto.

 

((2x − 10) (3x + 3) nonumber )

 

Solución

 

Encuentre el producto de los primeros términos.

 

 

Halla el producto de los términos externos.

 

 

Encuentra el producto de los términos internos.

 

 

Encuentre el producto de los últimos términos.

 

 

[ begin {align *} & 6x ^ 2 + 6x-54x-54 qquad text {Agregue los productos} \ & 6x ^ 2 + (6x-54x) -54 qquad text {Combine términos similares } \ & 6x ^ 2-48x-54 qquad qquad qquad text {Simplificar} end {align *} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Usa FOIL para encontrar el producto.

 

((x + 7) (3x − 5) )

 
     
Respuesta
     
     

(3x ^ 2 + 16x − 35 )

     
 
 
 

Trinomios cuadrados perfectos

 

Ciertos productos binomiales tienen formas especiales. Cuando un binomio es cuadrado, el resultado se llama trinomio cuadrado perfecto. Podemos encontrar el cuadrado multiplicando el binomio por sí mismo. Sin embargo, hay una forma especial que toma cada uno de estos trinomios cuadrados perfectos, y memorizar la forma hace que la cuadratura de los binomios sea mucho más fácil y rápida. Veamos algunos trinomios cuadrados perfectos para familiarizarnos con el formulario.

 

({(x + 5)} ^ 2 = x ^ 2 + 10x + 25 )

 

({(x-3)} ^ 2 = x ^ 2-6x + 9 )

 

({(4x-1)} ^ 2 = 16x ^ 2-8x + 1 )

 

Observe que el primer término de cada trinomio es el cuadrado del primer término del binomio y, de manera similar, el último término de cada trinomio es el cuadrado del último término del binomio. El término medio es el doble del producto de los dos términos. Por último, vemos que el primer signo del trinomio es el mismo que el signo del binomio.

 
 
 

Trinomios cuadrados perfectos

 

Cuando un binomio es al cuadrado, el resultado es el primer término al cuadrado agregado para duplicar el producto de ambos términos y el último término al cuadrado.

 

[{(x + a)} ^ 2 = (x + a) (x + a) = x ^ 2 + 2ax + a ^ 2 ]

 
 
 

Cómo: dado un binomio, cuadrándolo usando la fórmula para trinomios cuadrados perfectos.

 
         
  1. Cuadra el primer término del binomio.
  2.      
  3. Cuadra el último término del binomio.
  4.      
  5. Para el término medio del trinomio, duplique el producto de los dos términos.
  6.      
  7. Agregar y simplificar.
  8.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Expandir cuadrados perfectos

 

Expande ((3x − 8) ^ 2 ).

 

Solución

 

Comience por cuadrar el primer término y el último término. Para el término medio del trinomio, duplique el producto de los dos términos.

 

[ begin {align *} & {(3x)} ^ 2-2 (3x) (8) + {(- 8)} ^ 2 \ & 9x ^ 2-48x + 64 qquad qquad ; ; ; ; text {Simplify} end {align *} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Expande ({(4x − 1)} ^ 2 ).

 
     
Respuesta
     
     

(16x ^ 2−8x + 1 )

     
 
 
 

Diferencia de cuadrados

 

Otro producto especial se llama la diferencia de cuadrados, que ocurre cuando multiplicamos un binomio por otro binomio con los mismos términos pero con el signo opuesto. Veamos qué sucede cuando multiplicamos ((x + 1) (x − 1) ) usando el método FOIL.

 

[ begin {align *} (x + 1) (x-1) & = x ^ 2-x + x-1 \ & = x ^ 2-1 end {align *} ] [ 19459003]  

El término medio desaparece, lo que resulta en una diferencia de cuadrados. Tal como lo hicimos con los cuadrados perfectos, veamos algunos ejemplos.

 

((x + 5) (x-5) = x ^ 2-25 )

 

((x + 11) (x-11) = x ^ 2-121 )

 

((2x + 3) (2x-3) = 4x ^ 2-9 )

 

Debido a que el signo cambia en el segundo binomio, los términos externo e interno se cancelan entre sí, y solo nos queda el cuadrado del primer término menos el cuadrado del último término.

 
 

Preguntas y respuestas

 

¿Existe una forma especial para la suma de cuadrados?

 

No. La diferencia de cuadrados ocurre porque los signos opuestos de los binomios hacen que desaparezcan los términos medios. No hay dos binomios que se multipliquen para igualar una suma de cuadrados.

 
 
 

Diferencia de cuadrados

 

Cuando un binomio se multiplica por un binomio con los mismos términos separados por el signo opuesto, el resultado es el cuadrado del primer término menos el cuadrado del último término.

 

[(a + b) (a − b) = a ^ 2 − b ^ 2 ]

 
 
 
 

Cómo: dado un binomio multiplicado por un binomio con los mismos términos pero con el signo opuesto, encuentra la diferencia de cuadrados.

 
         
  1. Cuadra el primer término de los binomios.
  2.      
  3. Cuadra el último término de los binomios.
  4.      
  5. Reste el cuadrado del último término del cuadrado del primer término.
  6.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Multiplicar binomios que resultan en una diferencia de cuadrados

 

Multiplicar ((9x + 4) (9x − 4) ).

 

Solución

 

Al cuadrado el primer término para obtener ({(9x)} ^ 2 = 81x ^ 2 ). Cuadra el último término para obtener (4 ^ 2 = 16 ). Resta el cuadrado del último término del cuadrado del primer término para encontrar el producto de (81x ^ 2−16 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Multiplicar ((2x + 7) (2x − 7) ).

 
     
Respuesta
     
     

(4x ^ 2−49 )

     
 
 
 

Realización de operaciones con polinomios de varias variables

 

Hemos analizado polinomios que contienen solo una variable. Sin embargo, un polinomio puede contener varias variables. Se aplican las mismas reglas cuando se trabaja con polinomios que contienen varias variables. Considere un ejemplo:

 

[ begin {align *} & (a + 2b) (4a-bc) a (4a-bc) + 2b (4a-bc) qquad text {Use la propiedad distributiva} \ & 4a ^ 2 -ab-ac + 8ab-2b ^ 2-2bc qquad qquad qquad qquad qquad text {Multiplicar} \ & 4a ^ 2 + (- ab + 8ab) -ac-2b ^ 2-2bc qquad qquad qquad qquad ; text {Combinar términos similares} \ & 4a ^ 2 + 7ab-ac-2bc-2b ^ 2 qquad qquad qquad qquad qquad qquad text {Simplify} end {align *} ]

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Multiplicar polinomios que contienen varias variables

 

Multiplicar ((x + 4) (3x − 2y + 5) ).

 

Solución

 

[ begin {align *} & x (3x-2y + 5) +4 (3x-2y + 5) qquad text {Use la propiedad distributiva} \ & 3x ^ 2-2xy + 5x + 12x- 8y + 20 qquad text {Multiplicar} \ & 3x ^ 2-2xy + (5x + 12x) -8y + 20 qquad text {Combinar términos similares} \ & 3x ^ 2-2xy + 17x-8y + 20 qquad qquad text {Simplify} end {align *} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Multiplicar ((3x − 1) (2x + 7y − 9) ).

 
     
Respuesta
     
     

(6x ^ 2 + 21xy − 29x − 7y + 9 )

     
 
 
 
 

Ecuaciones clave

                                                                                                              
trinomio cuadrado perfecto ({(x + a)} ^ 2 = (x + a) (x + a) = x ^ 2 + 2ax + a ^ 2 )
diferencia de cuadrados ((a + b) (a − b) = a ^ 2 − b ^ 2 )
 
 
 

Conceptos clave

 
         
  • Un polinomio es una suma de términos, cada uno de los cuales consiste en una variable elevada a una potencia entera no negativa. El grado es la potencia más alta de la variable que ocurre en el polinomio. El término principal es el término que contiene el grado más alto y el coeficiente principal es el coeficiente de ese término. Ver Ejemplo .
  •      
  • Podemos sumar y restar polinomios combinando términos similares. Ver Ejemplo y Ejemplo .
  •      
  • Para multiplicar polinomios, usa la propiedad distributiva para multiplicar cada término en el primer polinomio por cada término en el segundo. Luego agregue los productos. Ver Ejemplo .
  •      
  • FOIL (Primero, Exterior, Interior, Último) es un atajo que puede usarse para multiplicar binomios. Ver Ejemplo .
  •      
  • Los trinomios cuadrados perfectos y la diferencia de cuadrados son productos especiales. Ver Ejemplo y Ejemplo .
  •      
  • Siga las mismas reglas para trabajar con polinomios que contienen varias variables. Ver Ejemplo .
  •  
 
 
 
 
                                  
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