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las matematicas

1.5: Reglas de exponentes y notación científica

Revisión de las reglas de los exponentes

 

En esta sección, revisamos las reglas de los exponentes. Recuerde que si un factor se repite varias veces, el producto puede escribirse en forma exponencial (x ^ {n} ). El exponente entero positivo (n ) indica el número de veces que la base (x ) se repite como factor.

 
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Figura 1.5.1
 

Considere el producto de (x ^ {4} ) y (x ^ {6} ),

 
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Figura 1.5.2
 

Expandir la expresión usando la definición produce múltiples factores de la base que es bastante engorroso, particularmente cuando (n ) es grande. Por esta razón, tenemos reglas útiles para ayudarnos a simplificar expresiones con exponentes. En este ejemplo, observe que podríamos obtener el mismo resultado sumando los exponentes.

 

(x ^ {4} cdot x ^ {6} = x ^ {4 + 6} = x ^ {10} color {Cerulean} {Producto : regla : para : exponentes} )

 

En general, esto describe la regla del producto para los exponentes 103 . En otras palabras, al multiplicar dos expresiones con la misma base agregamos los exponentes. Compare esto con elevar un factor que involucra un exponente a una potencia, como ( left (x ^ {6} right) ^ {4} ).

 
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Figura 1.5.3
 

Aquí tenemos (4 ) factores de (x ^ {6} ), que es equivalente a multiplicar los exponentes.

 

( left (x ^ {6} right) ^ {4} = x ^ {6 cdot 4} = x ^ {24} color {Cerulean} {Power : rule : for : exponentes} )

 

Esto describe la regla de poder para exponentes 104 . Ahora consideramos elevar los productos agrupados a una potencia. Por ejemplo,

 

( begin {alineado} left (x ^ {2} y ^ {3} right) ^ {4} & = x ^ {2} y ^ {3} cdot x ^ {2} y ^ {3} cdot x ^ {2} y ^ {3} cdot x ^ {2} y ^ {3} \ & = x ^ {2} cdot x ^ {2} cdot x ^ {2 } cdot x ^ {2} cdot y ^ {3} cdot y ^ {3} cdot y ^ {3} cdot y ^ {3} quad color {Cerulean} {Conmutativo : propiedad} & = x ^ {2 + 2 + 2 + 2} cdot y ^ {3 + 3 + 3 + 3} \ & = x ^ {8} y ^ {12} end {alineado} ) [19459005 ]  

Después de expandir, nos quedan cuatro factores del producto (x ^ {2} y ^ {3} ). Esto es equivalente a elevar cada uno de los factores agrupados originales a la cuarta potencia y aplicar la regla de potencia.

 

( left (x ^ {2} y ^ {3} right) ^ {4} = left (x ^ {2} right) ^ {4} left (y ^ {3} derecha) ^ {4} = x ^ {8} y ^ {12} )

 

En general, esto describe el uso de la regla de potencia para un producto, así como la regla de potencia para exponentes. En resumen, las reglas de los exponentes simplifican el proceso de trabajar con expresiones algebraicas y se utilizarán ampliamente a medida que avancemos en nuestro estudio del álgebra. Dados los enteros positivos (m ) y (n ) donde (x, y ≠ 0 ) tenemos

                                                                                                                                                                                                                                                              
             

Regla del producto para exponentes:

             
             

(x ^ {m} cdot x ^ {n} = x ^ {m + n} )

             
             

Regla del cociente para exponentes:

             
             

( frac {x ^ {m}} {x ^ {n}} = x ^ {m – n} )

             
             

Regla de potencia para exponentes:

             
             

( left (x ^ {m} right) ^ {n} = x ^ {m cdot n} )

             
             

Regla de potencia para un producto : 105

             
             

((x y) ^ {n} = x ^ {n} y ^ {n} )

             
             

Regla de poder para un cociente : 106

             
             

( left ( frac {x} {y} right) ^ {n} = frac {x ^ {n}} {y ^ {n}} )

             
 

Tabla 1.5.1

 

Estas reglas nos permiten realizar operaciones de manera eficiente con exponentes.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Simplifique: ( frac {10 ^ {4} cdot 10 ^ {12}} {10 ^ {3}} ).

 

Solución

 

( begin {alineado} frac {10 ^ {4} cdot 10 ^ {12}} {10 ^ {3}} & = frac {10 ^ {16}} {10 ^ {3} } quad color {Cerulean} {Producto : regla} \ & = 10 ^ {16 – 3} : color {Cerulean} {Cociente : regla} \ & = 10 ^ {13} end { alineado} )

 

Respuesta :

 

(10 ​​^ {13} )

 
 

En el ejemplo anterior, observe que no multiplicamos la base (10 ​​) por sí mismo. Al aplicar la regla del producto, agregue los exponentes y deje la base sin cambios.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Simplifique: ( left (x ^ {5} cdot x ^ {4} cdot x right) ^ {2} ).

 

Solución : Recuerde que se supone que la variable (x ) tiene un exponente de uno, (x = x ^ {1} ).

 

( begin {alineado} left (x ^ {5} cdot x ^ {4} cdot x right) ^ {2} & = left (x ^ {5 + 4 + 1} derecha) ^ {2} \ & = left (x ^ {10} right) ^ {2} \ & = x ^ {10 cdot 2} \ & = x ^ {20} end {alineado } )

 

Respuesta :

 

(x ^ {20} )

 
 

La base podría ser, de hecho, cualquier expresión algebraica.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Simplifique: ((x + y) ^ {9} (x + y) ^ {13} ).

 

Solución : trata la expresión ((x + y) ) como la base.

 

( begin {alineado} (x + y) ^ {9} (x + y) ^ {13} & = (x + y) ^ {9 + 13} \ & = (x + y) ^ {22} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

((x + y) ^ {22} )

 
 

La propiedad conmutativa de la multiplicación nos permite usar la regla del producto para exponentes para simplificar los factores de una expresión algebraica.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Simplifique: (- 8 x ^ {5} y cdot 3 x ^ {7} y ​​^ {3} ).

 

Solución : Multiplica los coeficientes y suma los exponentes de factores variables con la misma base.

 

( begin {alineado} – 8 x ^ {5} y cdot 3 x ^ {7} y ​​^ {3} & = – 8 cdot 3 cdot x ^ {5} cdot x ^ { 7} cdot y ^ {1} cdot y ^ {3} quad color {Cerulean} {Conmutativo : propiedad} \ & = – 24 cdot x ^ {5 + 7} cdot y ^ {1 + 3} quad color {Cerulean} {Potencia : regla : para : exponentes} \ & = – 24 x ^ {12} y ^ {4} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(- 24 x ^ {12} y ^ {4} )

 
 

La división implica la regla del cociente para exponentes.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Simplifique: ( frac {33 x ^ {7} y ​​^ {5} (x – y) ^ {10}} {11 x ^ {6} y (x – y) ^ {3}} )

 

Solución

 

( begin {alineado} frac {33 x ^ {7} y ​​^ {5} (x – y) ^ {10}} {11 x ^ {6} y (x – y) ^ {3 }} & = frac {33} {11} quad x ^ {7 – 6} cdot y ^ {5 – 1} cdot (x – y) ^ {10 – 3} \ & = 3 x ^ {1} y ^ {4} (x – y) ^ {7} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(3 x y ^ {4} (x – y) ^ {7} )

 
 

La regla de potencia para un cociente nos permite aplicar ese exponente al numerador y al denominador. Esta regla requiere que el denominador sea distinto de cero y, por lo tanto, haremos esta suposición para el resto de la sección.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Simplifique: ( left ( frac {- 4 a ^ {2} b} {c ^ {4}} right) ^ {3} ).

 

Solución : Primero aplique la regla de potencia para un cociente y luego la regla de potencia para un producto.

 

( begin {alineado} left ( frac {- 4 a ^ {2} b} {c ^ {4}} right) ^ {3} & = frac { left (- 4 a ^ {2} b right) ^ {3}} { left (c ^ {4} right) ^ {3}} quad color {Cerulean} {Power : rule : for : a : cociente} \ & = frac {(- 4) ^ {3} left (a ^ {2} right) ^ {3} (b) ^ {3}} { left (c ^ {4} derecha) ^ {3}} color {Cerulean} {Power : rule : for : a : product} \ & = frac {- 64 a ^ {6} b ^ {3}} {c ^ {12}} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(- frac {64 a ^ {6} b ^ {3}} {c ^ {12}} )

 
 

Usando la regla del cociente para exponentes, podemos definir lo que significa tener cero como exponente. Considere el siguiente cálculo:

 

( color {Cerulean} {1} color {Black} {= frac {25} {25} = frac {5 ^ {2}} {5 ^ {2}} = 5 ^ {2 – 2} =} color {Cerulean} {5 ^ {0}} )

 

Veinticinco dividido por veinticinco es claramente igual a uno, y cuando se aplica la regla del cociente para exponentes, vemos que resulta un exponente cero. En general, dado cualquier número real distinto de cero (x ) y entero (n ),

 

(1 = frac {x ^ {n}} {x ^ {n}} = x ^ {n – n} = x ^ {0} )

 

Esto nos lleva a la definición de cero como exponente 107 ,

 

(x ^ {0} = 1 : x neq 0 )

 

Es importante tener en cuenta que (0 ^ {0} ) es indeterminado. Si la base es negativa, el resultado sigue siendo positivo. En otras palabras, cualquier base distinta de cero elevada a la potencia cero se define como igual a uno. En los siguientes ejemplos, suponga que todas las variables son distintas de cero.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

 

Simplificar:

 
         
  1. ((- 2x) ^ {0} )
  2.      
  3. (- 2x ^ {0} )
  4.  
 

Solución

 

a. Cualquier cantidad distinta de cero elevada a la potencia cero es igual a (1 ).

 

((- 2 x) ^ {0} = 1 )

 

b. En el ejemplo, (- 2x ^ {0} ), la base es (x ), no (- 2x ).

 

( begin {alineado} – 2 x ^ {0} & = – 2 cdot x ^ {0} \ & = – 2 cdot 1 \ & = – 2 end {alineado} )

 
 

Observando que (2 ^ {0} = 1 ) podemos escribir,

 

( color {Cerulean} { frac {1} {2 ^ {3}}} color {Black} {= frac {2 ^ {0}} {2 ^ {3}} = 2 ^ {0 – 3} =} color {Cerulean} {2 ^ {- 3}} )

 

En general, dado cualquier número real distinto de cero (x ) y entero (n ),

 

( frac {1} {x ^ {n}} = frac {x ^ {0}} {x ^ {n}} = x ^ {0 – n} = x ^ {- n} x neq 0 )

 

Esto nos lleva a la definición de negativo exponentes 108 :

 

(x ^ {- n} = frac {1} {x ^ {n}} x neq 0 )

 

Una expresión se simplifica por completo si no contiene exponentes negativos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

 

Simplifique: ( left (- 4 x ^ {2} y right) ^ {- 2} ).

 

Solución

 

Reescribe la cantidad completa en el denominador con un exponente de (2 ) y luego simplifica más.

 

( begin {alineado} left (- 4 x ^ {2} y right) ^ {- 2} & = frac {1} { left (- 4 x ^ {2} y right ) ^ {2}} \ & = frac {1} {(- 4) ^ {2} left (x ^ {2} right) ^ {2} (y) ^ {2}} \ & = frac {1} {16 x ^ {4} y ^ {2}} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

( frac {1} {16 x ^ {4} y ^ {2}} )

 
 

A veces aparecen exponentes negativos en el denominador.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

 

Simplifique: ( frac {x ^ {- 3}} {y ^ {- 4}} ).

 

Solución

 

( frac {x ^ {- 3}} {y ^ {- 4}} = frac { frac {1} {x ^ {3}}} { frac {1} {y ^ { 4}}} = frac {1} {x ^ {3}} cdot frac {y ^ {4}} {1} = frac {y ^ {4}} {x ^ {3}} )

 

Respuesta :

 

( frac {y ^ {4}} {x ^ {3}} )

 
 

El ejemplo anterior sugiere una propiedad de cocientes con exponentes negativos 109 . Dados los enteros (m ) y (n ) donde (x ≠ 0 ) y (y ≠ 0 ), entonces

 

( frac {x ^ {- n}} {y ^ {- m}} = frac { frac {1} {x ^ {n}}} { frac {1} {y ^ { m}}} = frac {1} {x ^ {n}} cdot frac {y ^ {m}} {1} = frac {y ^ {m}} {x ^ {n}} )

 

Esto nos lleva a la propiedad

 

( frac {x ^ {- n}} {y ^ {- m}} = frac {y ^ {m}} {x ^ {n}} )

 

En otras palabras, los exponentes negativos en el numerador pueden escribirse como exponentes positivos en el denominador y los exponentes negativos en el denominador pueden escribirse como exponentes positivos en el numerador.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ):

 

Simplifique: ( frac {- 5 x ^ {- 3} y ^ {3}} {z ^ {- 4}} ).

 

Solución

 

Tenga cuidado con el coeficiente (- 5 ), reconozca que esta es la base y que el exponente es realmente positivo: (- 5 = (- 5) ^ {1} ). Por lo tanto, las reglas de los exponentes negativos no se aplican a este coeficiente; déjalo en el numerador.

 

( begin {alineado} frac {- 5 x ^ {- 3} y ^ {3}} {z ^ {- 4}} & = frac {- 5 color {Cerulean} {x ^ {- 3}} color {Black} {y ^ {3}}} { color {OliveGreen} {z ^ {- 4}}} \ & = frac {- 5 y ^ {3} color { Verde oliva} {z ^ {4}}} { color {Cerulean} {x ^ {3}}} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

( frac {- 5 y ^ {3} z ^ {4}} {x ^ {3}} )

 
 

En resumen, dados enteros (m ) y (n ) donde (x, y ≠ 0 ) tenemos

                                                                                                                                                              
Exponente cero (x ^ {0} = 1 )
Exponente negativo (x ^ {- n} = frac {1} {x ^ {n}} )
Cocientes con exponentes negativos ( frac {x ^ {- n}} {y ^ {- m}} = frac {y ^ {m}} {x ^ {n}} )
 

Tabla 1.5.3

 

Además, todas las reglas de exponentes definidas hasta ahora se extienden a cualquier exponente entero. Ampliaremos el alcance de estas propiedades para incluir cualquier exponente de número real más adelante en el curso.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Simplifique: ( left ( frac {2 x ^ {- 2} y ^ {3}} {z} right) ^ {- 4} ).

 
     
Respuesta
     
     

( frac {x ^ {8} z ^ {4}} {16 y ^ {12}} )

     

     
 
 
 
 

Notación científica

 

Los números reales expresados ​​usando científico notación 110 tienen la forma,

 

(a times 10 ^ {n} )

 

donde (n ) es un número entero y (1 ≤ a <10 ). Esta forma es particularmente útil cuando los números son muy grandes o muy pequeños. Por ejemplo,

 

( begin {alineado} 9,460,000,000,000,000 m & = 9.46 times 10 ^ {15} mathrm {m} quad color {Cerulean} {One : light : year} \ 0.000000000025 mathrm {m } & = 2.5 veces 10 ^ {- 11} mathrm {m} quad color {Cerulean} {Raduis : of : a : light : year} end {alineado} )

 

Es engorroso escribir todos los ceros en ambos casos. La notación científica es una representación alternativa y compacta de estos números. El factor (10 ​​^ {n} ) indica la potencia de diez para multiplicar el coeficiente por para volver a convertir a forma decimal:

 
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Figura 1.5.4
 

Esto es equivalente a mover el decimal en el coeficiente quince lugares a la derecha.

 

Un exponente negativo indica que el número es muy pequeño:

 
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Figura 1.5.5
 

Esto es equivalente a mover el decimal en el coeficiente once lugares a la izquierda.

 

La conversión de un número decimal a notación científica también implica mover el decimal. Considere todas las formas equivalentes de (0.00563 ) con factores de (10 ​​) que siguen:

 

( begin {alineado} 0.00563 & = 0.0563 times 10 ^ {- 1} \ & = 0.563 times 10 ^ {- 2} \ & color {Cerulean} {= 5.63 times 10 ^ {- 3}} \ & = 56.3 times 10 ^ {- 4} \ & = 563 times 10 ^ {- 5} end {alineado} )

 

Si bien todos estos son iguales, (5.63 times 10 ^ {- 3} ) es la única forma expresada en notación científica correcta. Esto se debe a que el coeficiente 5.63 está entre (1 ) y (10 ​​) como lo requiere la definición. Observe que podemos convertir (5.63 times 10 ^ {- 3} ) de nuevo a forma decimal, como un cheque, moviendo el decimal tres lugares a la izquierda.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} ):

 

Escribe (1,075,000,000,000 ) usando notación científica.

 

Solución

 

Aquí contamos doce decimales a la izquierda del punto decimal para obtener el número (1.075 ).

 

(1,075,000,000,000 = 1.075 veces 10 ^ {12} )

 

Respuesta :

 

(1.075 × 10 ^ {12} )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} ):

 

Escriba (0.000003045 ) usando notación científica.

 

Solución

 

Aquí contamos seis decimales a la derecha para obtener (3.045 ).

 

(0.000003045 = 3.045 veces 10 ^ {- 6} )

 

Respuesta :

 

(3.045 × 10 ^ {- 6} )

 
 

A menudo tendremos que realizar operaciones al usar números en notación científica. Todas las reglas de exponentes desarrolladas hasta ahora también se aplican a los números en notación científica.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} ):

 

Multiplicar: ( left (4.36 times 10 ^ {- 5} right) left (5.3 times 10 ^ {12} right) ).

 

Solución

 

Usa el hecho de que la multiplicación es conmutativa y aplica la regla del producto para exponentes.

 

( begin {alineado} left (4.36 times 10 ^ {- 5} right) left (5.30 times 10 ^ {12} right) & = (4.36 cdot 5.30) times left (10 ^ {- 5} cdot 10 ^ {12} right) \ & = color {Cerulean} {23.108} color {Black} { times 10 ^ {- 5 + 12}} \ & = color {Cerulean} {2.3108 times 10 ^ {1}} color {Black} { times 10 ^ {7}} \ & = 2.3108 times 10 ^ {1 + 7} \ & = 2.3108 veces 10 ^ {8} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(2.3108 veces 10 ^ {8} )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {14} ):

 

Divide: ( left (3.24 times 10 ^ {8} right) div left (9.0 times 10 ^ {- 3} right) ).

 

Solución

 

( begin {alineado} frac { left (3.24 times 10 ^ {8} right)} { left (9.0 times 10 ^ {- 3} right)} & = left ( frac {3.24} {9.0} right) times left ( frac {10 ^ {8}} {10 ^ {- 3}} right) \ & = 0.36 times 10 ^ {8 – (- 3)} \ & = color {Cerulean} {0.36} color {Black} { times 10 ^ {8 + 3}} \ & = color {Cerulean} {3.6 times 10 ^ {- 1} } color {Black} { times 10 ^ {11}} \ & = 3.6 times 10 ^ {- 1 +11} \ & = 3.6 times 10 ^ {10} end {alineado} ) [ 19459005]  

Respuesta :

 

(3,6 × 10 ^ {10} )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {15} ):

 

La velocidad de la luz es aproximadamente (6.7 × 10 ^ {8} ) millas por hora. Exprese esta velocidad en millas por segundo.

 

Solución

 

Un análisis unitario indica que debemos dividir el número entre (3,600 ).

 

( begin {alineado} 6.7 veces 10 ^ {8} text {millas por hora} & = frac {6.7 times 10 ^ {8} text {millas}} {1 cancel { color {rojo} { text {hora}}}} cdot left ( frac {1 cancel { color {red} { text {hora}}}} {60 cancel { color {OliveGreen} { text {minutes}}}} right) cdot left ( frac {1 cancel { color {OliveGreen} { text {minutes}}}} {60 : text {segundos}} right) \ & = frac {6.7 times 10 ^ {8} text {millas}} {3600 text {segundos}} \ & = left ( frac {6.7} {3600} right) times 10 ^ {8} \ & approx color {Cerulean} {0.0019} color {Black} { times 10 ^ {8}} quad color {Cerulean} {redondeado : a : dos : significativo : dígitos} \ & = color {Cerulean} {1.9 times 10 ^ {- 3}} color {Black} { times 10 ^ {8}} \ & = 1.9 times 10 ^ {- 3 + 8} \ & = 1.9 times 10 ^ {5} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

La velocidad de la luz es aproximadamente (1.9 × 10 ^ {5} ) millas por segundo.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {16} ):

 

El Sol se mueve alrededor del centro de la galaxia en una órbita casi circular. La distancia desde el centro de nuestra galaxia al Sol es aproximadamente (26,000 ) años luz. ¿Cuál es la circunferencia de la órbita del Sol alrededor de la galaxia en metros?

 

Solución

 

Un año luz mide (9,46 × 10 ^ {15} ) metros. Por lo tanto, multiplique esto por (26,000 ) o (2.60 × 10 ^ {4} ) para encontrar la longitud de (26,000 ) años luz en metros.

 

( begin {alineado} left (9.46 times 10 ^ {15} right) left (2.60 times 10 ^ {4} right) & = 9.46 cdot 2.60 times 10 ^ {15 } cdot 10 ^ {4} \ & approx 24.6 times 10 ^ {19} \ & = 2.46 times 10 ^ {1} cdot 10 ^ {19} \ & = 2.46 times 10 ^ { 20} end {alineado} )

 

El radio (r ) de este círculo muy grande es de aproximadamente (2.46 × 10 ^ {20} ) metros. Use la fórmula (C = 2πr ) para calcular la circunferencia de la órbita.

 

( begin {alineado} C & = 2 pi r \ & aprox 2 (3.14) left (2.46 times 10 ^ {20} right) \ & = 15.4 times 10 ^ { 20} \ & = 1.54 times 10 ^ {1} cdot 10 ^ {20} \ & = 1.54 times 10 ^ {21} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

La circunferencia de la órbita del Sol es aproximadamente (1.54 × 10 ^ {21} ) metros.

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Divide: ( left (3.15 times 10 ^ {- 5} right) div left (12 times 10 ^ {- 13} right) ).

 
     
Respuesta
     
     

(2.625 veces 10 ^ {7} )

     

     
 
 
 
 
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