Revisión de las reglas de los exponentes

 

En esta sección, revisamos las reglas de los exponentes. Recuerde que si un factor se repite varias veces, el producto puede escribirse en forma exponencial (x ^ {n} ). El exponente entero positivo (n ) indica el número de veces que la base (x ) se repite como factor.

 

 

Considere el producto de (x ^ {4} ) y (x ^ {6} ),

 

 

Expandir la expresión usando la definición produce múltiples factores de la base que es bastante engorroso, particularmente cuando (n ) es grande. Por esta razón, tenemos reglas útiles para ayudarnos a simplificar expresiones con exponentes. En este ejemplo, observe que podríamos obtener el mismo resultado sumando los exponentes.

 

(x ^ {4} cdot x ^ {6} = x ^ {4 + 6} = x ^ {10} color {Cerulean} {Producto : regla : para : exponentes} )

 

En general, esto describe la regla del producto para los exponentes ¹⁰³ . En otras palabras, al multiplicar dos expresiones con la misma base agregamos los exponentes. Compare esto con elevar un factor que involucra un exponente a una potencia, como ( left (x ^ {6} right) ^ {4} ).

 

 

Aquí tenemos (4 ) factores de (x ^ {6} ), que es equivalente a multiplicar los exponentes.

 

( left (x ^ {6} right) ^ {4} = x ^ {6 cdot 4} = x ^ {24} color {Cerulean} {Power : rule : for : exponentes} )

 

Esto describe la regla de poder para exponentes ¹⁰⁴ . Ahora consideramos elevar los productos agrupados a una potencia. Por ejemplo,

 

( begin {alineado} left (x ^ {2} y ^ {3} right) ^ {4} & = x ^ {2} y ^ {3} cdot x ^ {2} y ^ {3} cdot x ^ {2} y ^ {3} cdot x ^ {2} y ^ {3} \ & = x ^ {2} cdot x ^ {2} cdot x ^ {2 } cdot x ^ {2} cdot y ^ {3} cdot y ^ {3} cdot y ^ {3} cdot y ^ {3} quad color {Cerulean} {Conmutativo : propiedad} & = x ^ {2 + 2 + 2 + 2} cdot y ^ {3 + 3 + 3 + 3} \ & = x ^ {8} y ^ {12} end {alineado} ) [19459005 ]  

Después de expandir, nos quedan cuatro factores del producto (x ^ {2} y ^ {3} ). Esto es equivalente a elevar cada uno de los factores agrupados originales a la cuarta potencia y aplicar la regla de potencia.

 

( left (x ^ {2} y ^ {3} right) ^ {4} = left (x ^ {2} right) ^ {4} left (y ^ {3} derecha) ^ {4} = x ^ {8} y ^ {12} )

 

En general, esto describe el uso de la regla de potencia para un producto, así como la regla de potencia para exponentes. En resumen, las reglas de los exponentes simplifican el proceso de trabajar con expresiones algebraicas y se utilizarán ampliamente a medida que avancemos en nuestro estudio del álgebra. Dados los enteros positivos (m ) y (n ) donde (x, y ≠ 0 ) tenemos

                                                                                                                                                                                                                                                              

Regla del producto para exponentes:	(x ^ {m} cdot x ^ {n} = x ^ {m + n} )
Regla del cociente para exponentes:	( frac {x ^ {m}} {x ^ {n}} = x ^ {m – n} )
Regla de potencia para exponentes:	( left (x ^ {m} right) ^ {n} = x ^ {m cdot n} )
Regla de potencia para un producto : 105	((x y) ^ {n} = x ^ {n} y ^ {n} )
Regla de poder para un cociente : 106	( left ( frac {x} {y} right) ^ {n} = frac {x ^ {n}} {y ^ {n}} )

 

Tabla 1.5.1

 

Estas reglas nos permiten realizar operaciones de manera eficiente con exponentes.

   

En el ejemplo anterior, observe que no multiplicamos la base (10 ​​) por sí mismo. Al aplicar la regla del producto, agregue los exponentes y deje la base sin cambios.

   

La base podría ser, de hecho, cualquier expresión algebraica.

   

La propiedad conmutativa de la multiplicación nos permite usar la regla del producto para exponentes para simplificar los factores de una expresión algebraica.

   

La división implica la regla del cociente para exponentes.

   

La regla de potencia para un cociente nos permite aplicar ese exponente al numerador y al denominador. Esta regla requiere que el denominador sea distinto de cero y, por lo tanto, haremos esta suposición para el resto de la sección.

   

Usando la regla del cociente para exponentes, podemos definir lo que significa tener cero como exponente. Considere el siguiente cálculo:

 

( color {Cerulean} {1} color {Black} {= frac {25} {25} = frac {5 ^ {2}} {5 ^ {2}} = 5 ^ {2 – 2} =} color {Cerulean} {5 ^ {0}} )

 

Veinticinco dividido por veinticinco es claramente igual a uno, y cuando se aplica la regla del cociente para exponentes, vemos que resulta un exponente cero. En general, dado cualquier número real distinto de cero (x ) y entero (n ),

 

(1 = frac {x ^ {n}} {x ^ {n}} = x ^ {n – n} = x ^ {0} )

 

Esto nos lleva a la definición de cero como exponente ¹⁰⁷ ,

 

(x ^ {0} = 1 : x neq 0 )

 

Es importante tener en cuenta que (0 ^ {0} ) es indeterminado. Si la base es negativa, el resultado sigue siendo positivo. En otras palabras, cualquier base distinta de cero elevada a la potencia cero se define como igual a uno. En los siguientes ejemplos, suponga que todas las variables son distintas de cero.

   

Observando que (2 ^ {0} = 1 ) podemos escribir,

 

( color {Cerulean} { frac {1} {2 ^ {3}}} color {Black} {= frac {2 ^ {0}} {2 ^ {3}} = 2 ^ {0 – 3} =} color {Cerulean} {2 ^ {- 3}} )

 

En general, dado cualquier número real distinto de cero (x ) y entero (n ),

 

( frac {1} {x ^ {n}} = frac {x ^ {0}} {x ^ {n}} = x ^ {0 – n} = x ^ {- n} x neq 0 )

 

Esto nos lleva a la definición de negativo exponentes ¹⁰⁸ :

 

(x ^ {- n} = frac {1} {x ^ {n}} x neq 0 )

 

Una expresión se simplifica por completo si no contiene exponentes negativos.

   

A veces aparecen exponentes negativos en el denominador.

   

El ejemplo anterior sugiere una propiedad de cocientes con exponentes negativos ¹⁰⁹ . Dados los enteros (m ) y (n ) donde (x ≠ 0 ) y (y ≠ 0 ), entonces

 

( frac {x ^ {- n}} {y ^ {- m}} = frac { frac {1} {x ^ {n}}} { frac {1} {y ^ { m}}} = frac {1} {x ^ {n}} cdot frac {y ^ {m}} {1} = frac {y ^ {m}} {x ^ {n}} )

 

Esto nos lleva a la propiedad

 

( frac {x ^ {- n}} {y ^ {- m}} = frac {y ^ {m}} {x ^ {n}} )

 

En otras palabras, los exponentes negativos en el numerador pueden escribirse como exponentes positivos en el denominador y los exponentes negativos en el denominador pueden escribirse como exponentes positivos en el numerador.

   

En resumen, dados enteros (m ) y (n ) donde (x, y ≠ 0 ) tenemos

                                                                                                                                                              

Exponente cero	(x ^ {0} = 1 )
Exponente negativo	(x ^ {- n} = frac {1} {x ^ {n}} )
Cocientes con exponentes negativos	( frac {x ^ {- n}} {y ^ {- m}} = frac {y ^ {m}} {x ^ {n}} )

 

Tabla 1.5.3

 

Además, todas las reglas de exponentes definidas hasta ahora se extienden a cualquier exponente entero. Ampliaremos el alcance de estas propiedades para incluir cualquier exponente de número real más adelante en el curso.