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las matematicas

1.6: Factorizando polinomios

                 

 

Objetivos de aprendizaje

 

En esta sección los estudiantes:

 
         
  • Factoriza el máximo factor común de un polinomio.
  •      
  • Factoriza un trinomio.
  •      
  • Factorizar por agrupación.
  •      
  • Factoriza un trinomio cuadrado perfecto.
  •      
  • Factoriza una diferencia de cuadrados.
  •      
  • Factoriza la suma y la diferencia de cubos.
  •      
  • Expresiones factoriales utilizando exponentes fraccionales o negativos.
  •  
 
 

Imagine que estamos tratando de encontrar el área de un césped para poder determinar cuánta semilla de pasto comprar. El césped es la porción verde en la Figura ( PageIndex {1} ).

 
A large rectangle with smaller squares and a rectangle inside. The length of the outer rectangle is 6x and the width is 10x. The side length of the squares is 4 and the height of the width of the inner rectangle is 4.  
Figura ( PageIndex {1} )
 
 

El área de toda la región se puede encontrar usando la fórmula para el área de un rectángulo.

 

[ begin {align *} A & = lw \ & = 10x times6x \ & = 60x ^ 2 ; unidades ^ 2 end {align *} ]

 

Las áreas de las porciones que no requieren semillas de pasto deben sustraerse del área de toda la región. Las dos regiones cuadradas tienen un área de (A = s ^ 2 = 4 ^ 2 = 16 ; unidades ^ 2 ). La otra región rectangular tiene un lado de longitud (10x − 8 ) y un lado de longitud (4 ), dando un área de

 

[A = lw = 4 (10x − 8) = 40x − 32 ; text {unidades} ^ 2. nonumber ]

 

Entonces, la región que debe restarse tiene un área de

 

[2 (16) + 40x − 32 = 40x ; text {unidades} ^ 2. nonumber ]

 

El área de la región que requiere semilla de pasto se encuentra restando (60x ^ 2−40x ; text {units} ^ 2 ). Esta área también se puede expresar en forma factorizada como (20x (3x − 2) ; text {units} ^ 2 ). Podemos confirmar que esta es una expresión equivalente multiplicando.

 

Muchas expresiones polinómicas se pueden escribir en formas más simples mediante factorización. En esta sección, veremos una variedad de métodos que se pueden usar para factorizar expresiones polinómicas.

 

Factorizando el mayor factor común de un polinomio

 

Cuando estudiamos fracciones, aprendemos que el máximo factor común (MCD) de dos números es el número más grande que se divide de manera uniforme en ambos números. Por ejemplo, (4 ) es el MCD de (16 ) y (20 ) porque es el número más grande que se divide uniformemente en (16 ) y (20 ). El MCD de polinomios funciona de la misma manera: (4x ) es el MCD de (16x ) y (20x ^ 2 ) porque es el polinomio más grande que se divide uniformemente en (16x ) y (20x ^ 2 ) .

 

Al factorizar una expresión polinómica, nuestro primer paso debería ser verificar si hay un MCD. Busque el MCD de los coeficientes, y luego busque el MCD de las variables.

 
 
 

Definición: Máximo común divisor

 

El máximo común divisor (GCF) de polinomios es el polinomio más grande que se divide uniformemente en los polinomios.

 
 
 

Cómo: dada una expresión polinómica, factorizar el máximo común divisor

 
         
  1. Identifique el MCD de los coeficientes.
  2.      
  3. Identifique el MCD de las variables.
  4.      
  5. Combina para encontrar el MCD de la expresión.
  6.      
  7. Determine por qué se necesita multiplicar el MCD para obtener cada término en la expresión.
  8.      
  9. Escribe la expresión factorizada como el producto del MCD y la suma de los términos por los que debemos multiplicar.
  10.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Factorizando el máximo común divisor

 

Factor (6x ^ 3y ^ 3 + 45x ^ 2y ^ 2 + 21xy ).

 

Solución

 

Primero, encuentra el MCD de la expresión. El MCD de (6 ), (45 ) y (21 ) es (3 ). El MCD de (x ^ 3 ), (x ^ 2 ) y (x ) es (x ). (Tenga en cuenta que el MCD de un conjunto de expresiones en la forma (x ^ n ) siempre será el exponente del grado más bajo). Y el MCD de (y ^ 3 ), (y ^ 2 ), y (y ) es (y ). Combina estos para encontrar el MCD del polinomio, (3xy ).

 

Luego, determine por qué debe multiplicarse el MCD para obtener cada término del polinomio. Encontramos que

 
         
  • (3xy (2x ^ 2y ^ 2) = 6x ^ 3y ^ 3 ),
  •      
  • (3xy (15xy) = 45x ^ 2y ^ 2 ) y
  •      
  • (3xy (7) = 21xy ).
  •  
 

Finalmente, escriba la expresión factorizada como el producto del MCD y la suma de los términos que necesitamos multiplicar por.

 

[(3xy) (2x ^ 2y ^ 2 + 15xy + 7) nonumber ]

 

Análisis

 

Después de factorizar, podemos verificar nuestro trabajo multiplicando. Use la propiedad distributiva para confirmar que

 

[(3xy) (2x ^ 2y ^ 2 + 15xy + 7) = 6x ^ 3y ^ 3 + 45x ^ 2y ^ 2 + 21xy nonumber ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Factoriza (x (b ^ 2 − a) +6 (b ^ 2 − a) ) sacando el MCD.

 
     
Respuesta
     
     

((b ^ 2 − a) (x + 6) )

     
 
 
 

Factorizando un trinomio con el coeficiente principal 1

 

Aunque siempre debemos comenzar buscando un MCD, extraer el MCD no es la única forma en que se pueden factorizar las expresiones polinómicas. El polinomio (x ^ 2 + 5x + 6 ) tiene un MCD de (1 ), pero puede escribirse como el producto de los factores ((x + 2) ) y ((x + 3 ) ).

 

Los trinomios de la forma (x ^ 2 + bx + c ) pueden factorizarse encontrando dos números con un producto de (c ) y una suma de (b ). El trinomio (x ^ 2 + 10x + 16 ), por ejemplo, puede factorizarse usando los números (2 ) y (8 ) porque el producto de esos números es (16 ) y su suma es (10 ​​). El trinomio se puede reescribir como el producto de ((x + 2) ) y ((x + 8) ).

 
 
 

FACTORANDO UN TRINOMIAL CON COEFICIENTE LÍDER (1 )

 
 

Un trinomio de la forma (x ^ 2 + bx + c ) se puede escribir en forma factorizada como ((x + p) (x + q) ) donde (pq = c ) y (p + q = b ).

 
 
 
 

P y R: ¿Se puede factorizar cada trinomio como producto de binomios?

 

No. Algunos polinomios no se pueden factorizar. Se dice que estos polinomios son primos .

 
 
 
 

Cómo: dado un trinomio en la forma (x ^ 2 + bx + c ), factorizarlo

 
         
  1. Lista de factores de (c ).
  2.      
  3. Encuentra (p ) y (q ), un par de factores de (c ) con una suma de (b ).
  4.      
  5. Escribe la expresión factorizada ((x + p) (x + q) ).
  6.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Factorizando un Trinomio con Coeficiente Principal 1

 

Factor (x ^ 2 + 2x − 15 ).

 

Solución

 

Tenemos un trinomio con coeficiente principal (1 ), (b = 2 ) y (c = −15 ). Necesitamos encontrar dos números con un producto de (- 15 ) y una suma de (2 ). En la Tabla ( PageIndex {1} ), enumeramos los factores hasta encontrar un par con la suma deseada.

                                                                                                                                                                                                                                                                                 
Tabla ( PageIndex {1} )
Factores de −15 Suma de factores
1, −15 −14
−1,15 14
3, −5 −2
−3,5
 

Ahora que hemos identificado (p ) y (q ) como (- 3 ) y (5 ), escriba la forma factorizada como ((x − 3) (x + 5) ).

 

Análisis

 

Podemos verificar nuestro trabajo multiplicando. Use FOIL para confirmar que ((x − 3) (x + 5) = x ^ 2 + 2x − 15 ).

 
 
 

P y R: ¿Importa el orden de los factores?

 

No. La multiplicación es conmutativa, por lo que no importa el orden de los factores.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Factor (x ^ 2−7x + 6 ).

 
     
Respuesta
     
     

((x − 6) (x − 1) )

     
 
 
 

Factoring por agrupación

 

Los trinomios con coeficientes principales distintos de (1 ) son algo más complicados de factorizar. Para estos trinomios, podemos factorizar al agrupar dividiendo el término x en la suma de dos términos, factorizando cada parte de la expresión por separado y luego factorizando el MCD de la expresión completa. El trinomio (2x ^ 2 + 5x + 3 ) puede reescribirse como ((2x + 3) (x + 1) ) utilizando este proceso. Comenzamos reescribiendo la expresión original como (2x ^ 2 + 2x + 3x + 3 ) y luego factorizamos cada parte de la expresión para obtener (2x (x + 1) +3 (x + 1) ). Luego sacamos el MCD de ((x + 1) ) para encontrar la expresión factorizada.

 
 

Factor por agrupamiento

 

Para factorizar un trinomio en la forma (ax ^ 2 + bx + c ) agrupando, encontramos dos números con un producto de (ac ) y una suma de (b ). Usamos estos números para dividir el término (x ) en la suma de dos términos y factorizar cada parte de la expresión por separado, luego factorizar el MCD de toda la expresión.

 
 
 
 

Cómo: Dado un trinomio en la forma (ax ^ 2 + bx + c ), factorizar por agrupación.

 
         
  1. Lista de factores de (ac ).
  2.      
  3. Encuentra (p ) y (q ), un par de factores de (ac ) con una suma de (b ).
  4.      
  5. Reescribe la expresión original como (ax ^ 2 + px + qx + c ).
  6.      
  7. Extraiga el MCD de (ax ^ 2 + px ).
  8.      
  9. Extraiga el MCD de (qx + c ).
  10.      
  11. Factoriza el MCD de la expresión.
  12.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Factorizando un trinomio agrupando

 

Factoriza (5x ^ 2 + 7x − 6 ) agrupando.

 

Solución

 

Tenemos un trinomio con (a = 5 ), (b = 7 ) y (c = −6 ). Primero, determine (ac = −30 ). Necesitamos encontrar dos números con un producto de (- 30 ) y una suma de (7 ). En la tabla a continuación, enumeramos los factores hasta encontrar un par con la suma deseada.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
Tabla ( PageIndex {2} )
Factores de −30 Suma de factores
1, −30 −29
−1,30 29
2, −15 −13
−2,15 13
3, −10 −7
−3,10 7
 

Entonces (p = −3 ) y (q = 10 ).

 

(5x ^ 2−3x + 10x − 6 ) Reescribe la expresión original como (ax ^ 2 + px + qx + c ).

 

(x (5x − 3) +2 (5x − 3) ) Factoriza el MCD de cada parte

 

((5x − 3) (x + 2) ) Factoriza el MCD de la expresión.

 

Análisis

 

Podemos verificar nuestro trabajo multiplicando. Use FOIL para confirmar que ((5x − 3) (x + 2) = 5x ^ 2 + 7x − 6 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Factor:

 
         
  1. (2x ^ 2 + 9x + 9 )
  2.      
  3. (6x ^ 2 + x − 1 )
  4.  
 
     
Responda a
     
     

((2x + 3) (x + 3) )

     
     
Respuesta b
     
     

((3x-1) (2x + 1) )

     
 
 
 

Factorizando un trinomio cuadrado perfecto

 

Un trinomio cuadrado perfecto es un trinomio que se puede escribir como el cuadrado de un binomio. Recuerde que cuando un binomio es cuadrado, el resultado es el cuadrado del primer término agregado al doble del producto de los dos términos y el cuadrado del último término.

 

[a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = {(a + b)} ^ 2 ]

 

y

 

[a ^ 2-2ab + b ^ 2 = {(a-b)} ^ 2 ]

 

Podemos usar esta ecuación para factorizar cualquier trinomio cuadrado perfecto.

 
 

Trinomios cuadrados perfectos

 

Un trinomio cuadrado perfecto se puede escribir como el cuadrado de un binomio:

 

[a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = (a + b) ^ 2 ]

 
 
 

Cómo: dado un trinomio cuadrado perfecto, factorizarlo en el cuadrado de un binomio

 
         
  1. Confirme que el primer y el último término son cuadrados perfectos.
  2.      
  3. Confirme que el término medio es dos veces el producto de (ab ).
  4.      
  5. Escriba la forma factorizada como ({(a + b)} ^ 2 ).
  6.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Factorizando un trinomio cuadrado perfecto

 

Factor (25x ^ 2 + 20x + 4 ).

 

Solución

 

Observe que (25x ^ 2 ) y (4 ) son cuadrados perfectos porque (25x ^ 2 = {(5x)} ^ 2 ) y (4 = 2 ^ 2 ). Luego verifique si el término medio es dos veces el producto de (5x ) y (2 ). El término medio es, de hecho, el doble del producto: (2 (5x) (2) = 20x ). Por lo tanto, el trinomio es un trinomio cuadrado perfecto y puede escribirse como ({(5x + 2)} ^ 2 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Factor (49x ^ 2−14x + 1 ).

 
     
Respuesta
     
     

({(7x − 1)} ^ 2 )

     
 
 
 

Factorizando una diferencia de cuadrados

 

Una diferencia de cuadrados es un cuadrado perfecto restado de un cuadrado perfecto. Recuerde que una diferencia de cuadrados se puede reescribir como factores que contienen los mismos términos pero signos opuestos porque los términos intermedios se cancelan entre sí cuando se multiplican los dos factores.

 

[a ^ 2 − b ^ 2 = (a + b) (a − b) ]

 

Podemos usar esta ecuación para factorizar cualquier diferencia de cuadrados.

 
 

Diferencias de cuadrados

 

Una diferencia de cuadrados puede reescribirse como dos factores que contienen los mismos términos pero signos opuestos.

 

[a ^ 2 − b ^ 2 = (a + b) (a − b) ]

 
 
 

Cómo: dada una diferencia de cuadrados, factorizarlo en binomios

 
         
  1. Confirme que el primer y el último término son cuadrados perfectos.
  2.      
  3. Escriba la forma factorizada como ((a + b) (a − b) ).
  4.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Factorizando una diferencia de cuadrados

 

Factor (9x ^ 2−25 ).

 

Solución

 

Observe que (9x ^ 2 ) y (25 ) son cuadrados perfectos porque (9x ^ 2 = {(3x)} ^ 2 ) y (25 = 5 ^ 2 ). El polinomio representa una diferencia de cuadrados y puede reescribirse como ((3x + 5) (3x − 5) ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Factor (81y62−100 ).

 
     
Respuesta
     
     

((9y + 10) (9y − 10) )

     
 
 
 
 

P y R: ¿Existe una fórmula para factorizar la suma de cuadrados?

 

No. No se puede factorizar una suma de cuadrados.

 
 

Factorizando la suma y la diferencia de cubos

 

Ahora, veremos dos nuevos productos especiales: la suma y la diferencia de cubos. Aunque la suma de cuadrados no se puede factorizar, la suma de cubos se puede factorizar en un binomio y un trinomio.

 

[a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 − ab + b ^ 2) ]

 

Del mismo modo, la suma de cubos se puede factorizar en un binomio y un trinomio, pero con diferentes signos.

 

[a ^ 3 − b ^ 3 = (a − b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) ]

 

Podemos usar el acrónimo SOAP para recordar los signos al factorizar la suma o diferencia de cubos. La primera letra de cada palabra se relaciona con los signos: Mismo opuesto Siempre positivo. Por ejemplo, considere el siguiente ejemplo.

 

[x ^ 3−2 ^ 3 = (x − 2) (x ^ 2 + 2x + 4) ]

 

El signo de los primeros 2 es el mismo que el signo entre (x ^ 3−2 ^ 3 ). El signo del término (2x ) es opuesto al signo entre (x ^ 3−2 ^ 3 ). Y el signo del último término, (4 ), siempre es positivo.

 
 

Suma y diferencia de cubos

 

Podemos factorizar la suma de dos cubos como

[a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 − ab + b ^ 2) ]
 

Podemos factorizar la diferencia de dos cubos como

 

[a ^ 3 − b ^ 3 = (a − b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) ]

 
 
 

Howto: Dada una suma de cubos o diferencia de cubos, factorizarlo

 
         
  1. Confirme que el primer y el último término son cubos, (a ^ 3 + b ^ 3 ) o (a ^ 3 − b ^ 3 ).
  2.      
  3. Para una suma de cubos, escriba la forma factorizada como ((a + b) (a ^ 2 − ab + b ^ 2) ). Para una diferencia de cubos, escriba la forma factorizada como ((a − b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) ).
  4.  
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Factorizando una suma de cubos

 

Factor (x ^ 3 + 512 ).

 

Solución

 

Observe que (x ^ 3 ) y (512 ) son cubos porque (8 ^ 3 = 512 ). Reescribe la suma de cubos como ((x + 8) (x ^ 2−8x + 64) ).

 

Análisis

 

Después de escribir la suma de cubos de esta manera, podríamos pensar que deberíamos verificar si la porción trinomial se puede factorizar más. Sin embargo, la porción trinomial no se puede factorizar, por lo que no es necesario verificar.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Factoriza la suma de cubos: (216a ^ 3 + b ^ 3 ).

 
     
Respuesta
     
     

((6a + b) (36a ^ 2−6ab + b ^ 2) )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Factorizando una diferencia de cubos

 

Factor (8x ^ 3−125 ).

 

Solución

 

Observe que (8x ^ 3 ) y (125 ) son cubos porque (8x ^ 3 = {(2x)} ^ 3 ) y (125 = 5 ^ 3 ). Escribe la diferencia de cubos como ((2x − 5) (4x ^ 2 + 10x + 25) ).

 
 

Análisis

 

Al igual que con la suma de cubos, no podremos factorizar más la porción trinomial.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Factoriza la diferencia de cubos: (1000x ^ 3−1 )

 
     
Respuesta
     
     

((10x − 1) (100x ^ 2 + 10x + 1) )

     
 
 
 

Factorizando expresiones con exponentes fraccionales o negativos

 

Las expresiones con exponentes fraccionales o negativos pueden factorizarse extrayendo un MCD. Busque la variable o exponente que es común a cada término de la expresión y extraiga esa variable o exponente elevado a la potencia más baja. Estas expresiones siguen las mismas reglas de factorización que las que tienen exponentes enteros. Por ejemplo, (2x ^ { tfrac {1} {4}} + 5x ^ { tfrac {3} {4}} ) se puede factorizar tirando de (x ^ { tfrac {1} {4 }} ) y se reescribe como (x ^ { tfrac {1} {4}} (2 + 5x ^ { tfrac {1} {2}}) ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Factorizando una expresión con exponentes fraccionarios o negativos

 

Factor (3x {(x + 2)} ^ {- tfrac {1} {3}} + 4 {(x + 2)} ^ { tfrac {2} {3}} ).

 

Solución

 

Factoriza el término con el valor más bajo del exponente. En este caso, sería ({(x + 2)} ^ {- tfrac {1} {3}} ).

 

[ begin {align *} & (x + 2) ^ {- tfrac {1} {3}} (3x + 4 (x + 2)) qquad text {Factoriza el GCF} & (x + 2) ^ {- tfrac {1} {3}} (3x + 4x + 8) qquad text {Simplify} \ & (x + 2) ^ {- tfrac {1} { 3}} (7x + 8) end {align *} ]

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Factor (2 {(5a − 1)} ^ { tfrac {3} {4}} + 7a {(5a − 1)} ^ {- tfrac {1} {4}} ).

 
     
Respuesta
     
     

({(5a − 1)} ^ {- tfrac {1} {4}} (17a − 2) )

     
 
 
 
 

Ecuaciones clave

                                                                                                                                                                                                              
diferencia de cuadrados (a ^ 2 − b ^ 2 = (a + b) (a − b) )
trinomio cuadrado perfecto (a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = (a + b) ^ 2 )
suma de cubos (a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 − ab + b ^ 2) )
diferencia de cubos (a ^ 3 − b ^ 3 = (a − b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) )
 
 
 
         
  • El máximo factor común, o MCD, se puede factorizar a partir de un polinomio. Verificar un GCF debería ser el primer paso en cualquier problema de factorización. Ver Ejemplo .
  •      
  • Los trinomios con coeficiente principal 1 se pueden factorizar al encontrar números que tengan un producto del tercer término y una suma del segundo término. Ver Ejemplo .
  •      
  • Los trinomios se pueden factorizar usando un proceso llamado factorización por agrupación. Ver Ejemplo .
  •      
  • Los trinomios cuadrados perfectos y la diferencia de cuadrados son productos especiales y se pueden factorizar usando ecuaciones. Ver Ejemplo y Ejemplo .
  •      
  • La suma de cubos y la diferencia de cubos se pueden factorizar usando ecuaciones. Ver Ejemplo y Ejemplo .
  •      
  • Los polinomios que contienen exponentes fraccionales y negativos pueden factorizarse extrayendo un MCD. Ver Ejemplo .
  •  
 
 
                                  
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