las matematicas

1.6: Polinomios y sus operaciones

1.6: Polinomios y sus operaciones

                 

 

Habilidades para desarrollar

 
         
  • Identifica un polinomio y determina su grado.
    •      
  • Sumar y restar polinomios.
    •      
  • Multiplica y divide polinomios.
    •  
 
 

Definiciones

 

Un polinomio 112 es una expresión algebraica especial con términos que consisten en coeficientes de números reales y factores variables con exponentes de números enteros. A continuación se presentan algunos ejemplos de polinomios:

                                                                                          
(3 x ^ {2} ) (7 x y + 5 ) ( frac {3} {2} x ^ {3} + 3 x ^ {2} – frac {1} {2} x + 1 ) (6 x ^ {2} y – 4 x y ^ {3} + 7 )
 

Tabla 1.6.1

 

El grado de un término 113 en un polinomio se define como el exponente de la variable, o si existe Más de una variable en el término, el grado es la suma de sus exponentes. Recuerde que (x ^ {0} = 1 ); cualquier término constante puede escribirse como un producto de (x ^ {0} ) y en sí mismo. Por lo tanto, el grado de un término constante es (0 ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           
Plazo Grado
(3 x ^ {2} ) (2 )
(6 x ^ {2} y ) (2 + 1 = 3 )
(7 a ^ {2} b ^ {3} ) (2 + 3 = 5 )
(8 ) (0 ), ya que (8 = 8x ^ {0} )
(2x ) (1 ), ya que (2x = 2x ^ {1} )
 

Tabla 1.6.2

 

El grado de un polinomio 114 es el mayor grado de todos sus términos.

                                                                                                                                                                                                                           
Polinomio Grado
(4 x ^ {5} – 3 x ^ {3} + 2 x – 1 ) (5 )
(6 x ^ {2} y – 5 x y ^ {3} + 7 ) (4 ), porque (5xy ^ {3} ) tiene grado (4 ).
( frac {1} {2} x + frac {5} {4} ) (1 ), porque ( frac {1} {2} x = frac {1} {2} x ^ {1} )
 

Tabla 1.6.3

 

De particular interés son polinomios con una variable 115 , donde cada término tiene la forma (a_ {n} x ^ {n} ). Aquí (a_ {n} ) es cualquier número real y (n ) es cualquier número entero. Dichos polinomios tienen la forma estándar:

 

(a _ {n} x ^ {n} + a _ {n – 1} x ^ {n – 1} + cdots + a _ {1} x + a _ {0} ) [19459003 ]  

Normalmente, organizamos los términos de los polinomios en orden descendente en función del grado de cada término. El líder coeficiente 116 es el coeficiente de la variable con la potencia más alta, en este caso, (a_ {n} )

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Escriba en forma estándar: (3 x – 4 x ^ {2} + 5 x ^ {3} + 7 – 2 x ^ {4} ).

 

Solución

 

Dado que los términos se definen como separados por adición, escribimos lo siguiente:

 

( begin {array} {l} {3 x – 4 x ^ {2} + 5 x ^ {3} + 7 – 2 x ^ {4}} \ {= 3 x + (- 4 ) x ^ {2} + 5 x ^ {3} + 7 + (- 2) x ^ {4}} end {array} )

 

En esta forma, podemos ver que la resta en el original corresponde a coeficientes negativos. Como la suma es conmutativa, podemos escribir los términos en orden descendente según el grado de la siguiente manera:

 

( begin {array} {l} {= (- 2) x ^ {4} + 5 x ^ {3} + (- 4) x ^ {2} + 3 x + 7} \ { = – 2 x ^ {4} + 5 x ^ {3} – 4 x ^ {2} + 3 x + 7} end {array} )

 

Respuesta :

 

(- 2 x ^ {4} + 5 x ^ {3} – 4 x ^ {2} + 3 x + 7 )

 
 

Clasificamos los polinomios por el número de términos y el grado:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 
Expresión Clasificación Grado
(5x ^ {7} ) Monomial 117 (un término) (7 )
(8x ^ {6} -1 ) Binomial 118 (dos términos) (6 )
(- 3x ^ {2} + x-1 ) Trinomial 119 (tres términos) (2 )
(5 x ^ {3} – 2 x ^ {2} + 3 x – 6 ) Polinomio (muchos términos) (3 )
 

Tabla 1.6.4

 

Podemos clasificar aún más los polinomios con una variable por su grado:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           
Polinomio Nombre
(5 ) Constante 120 (grado (0 ))
(2x + 1 ) Lineal 121 (grado (1 ))
(3 x ^ {2} + 5 x – 3 ) Cuadrático 122 (grado (2 ))
(x ^ {3} + x ^ {2} + x + 1 ) Cúbico 123 (grado (3 ))
(7 x ^ {4} + 3 x ^ {3} – 7 x + 8 ) Polinomio de cuarto grado
 

Tabla 1.6.5

 

En este texto, llamamos a cualquier polinomio de grado (n ≥ 4 ) un polinomio de grado (n ). En otras palabras, si el grado es (4 ), llamamos al polinomio un polinomio de cuarto grado. Si el grado es (5 ), lo llamamos polinomio de quinto grado, y así sucesivamente.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Indique si el siguiente polinomio es lineal o cuadrático y dé el coeficiente principal: (25 + 4 x – x ^ {2} ).

 

Solución

 

La potencia más alta es (2 ); por lo tanto, es un polinomio cuadrático. Reescribiendo en forma estándar tenemos

 

(- x ^ {2} + 4 x + 25 )

 

Aquí (- x ^ {2} = – 1 x ^ {2} ) y, por lo tanto, el coeficiente principal es (- 1 ).

 

Respuesta :

 

Cuadrático; coeficiente principal: (- 1 )

 
 

Sumar y restar polinomios

 

Comenzamos simplificando expresiones algebraicas que se parecen a (+ (a + b) ) o (- (a + b) ). Aquí, los coeficientes están implicados como (+ 1 ) y (- 1 ) respectivamente y, por lo tanto, se aplica la propiedad distributiva. Multiplique cada término entre paréntesis por estos factores de la siguiente manera:

 

( begin {array} {l} {+ (a + b) = + 1 (a + b) = (+ 1) a + (+ 1) b = a + b} \ {- ( a + b) = – 1 (a + b) = (- 1) a + (- 1) b = – a – b} end {array} )

 

Use esta idea como un medio para eliminar paréntesis al sumar y restar polinomios.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Agregue: (9 x ^ {2} + left (x ^ {2} – 5 right) ).

 

Solución

 

La propiedad (+ (a + b) = a + b ) nos permite eliminar los paréntesis, después de lo cual podemos combinar términos similares.

 

( begin {alineado} 9 x ^ {2} + left (x ^ {2} – 5 right) & = 9 x ^ {2} + x ^ {2} – 5 \ & = 10 x ^ {2} – 5 end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(10x ^ {2} – 5 )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Agregue: ( left (3 x ^ {2} y ^ {2} – 4 xy + 9 right) + left (2 x ^ {2} y ^ {2} – 6 xy – 7 Correcto)).

 

Solución

 

Recuerde que las partes variables tienen que ser exactamente iguales antes de que podamos agregar los coeficientes.

 

( begin {array} {l} { left (3 x ^ {2} y ^ {2} – 4 xy + 9 right) + left (2 x ^ {2} y ^ {2 } – 6 xy – 7 right)} \ {= color {Cerulean} { underline {3 x ^ {2} y ^ {2}}} color {Black} {-} color {OliveGreen} { underline { underline {4 xy}}} color {Black} {+ underline { underline { underline {9}}}} + color {Cerulean} { underline {2 x ^ {2} y ^ {2}}} color {Black} {-} color {OliveGreen} { underline { underline {6 xy}}} color {Black} {- underline { underline { underline {7}}} }} \ {= 5 x ^ {2} y ^ {2} – 10 xy + 2} end {array} )

 

Respuesta :

 

(5 x ^ {2} y ^ {2} – 10 x y + 2 )

 
 

Al restar polinomios, los paréntesis se vuelven muy importantes.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Restar: (4 x ^ {2} – left (3 x ^ {2} + 5 x right) ).

 

Solución

 

La propiedad (- (a + b) = −a – b ) nos permite eliminar los paréntesis después de restar cada término.

 

( begin {alineado} 4 x ^ {2} – left (3 x ^ {2} + 5 x right) & = 4 x ^ {2} – 3 x ^ {2} – 5 x \ & = x ^ {2} – 5 x end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(x ^ {2} – 5x )

 
 

Restar una cantidad es equivalente a multiplicarla por (- 1 ).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Restar: ( left (3 x ^ {2} – 2 xy + y ^ {2} right) – left (2 x ^ {2} – xy + 3 y ^ {2} right) ).

 

Solución

 

Distribuya el (- 1 ), elimine los paréntesis y luego combine los términos similares. Multiplicar los términos de un polinomio por (- 1 ) cambia todos los signos.

 
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Figura 1.6.1
 

( begin {array} {l} {= 3 x ^ {2} – 2 xy + y ^ {2} – 2 x ^ {2} + xy – 3 y ^ {2}} \ { = x ^ {2} – xy – 2 y ^ {2}} end {array} )

 

Respuesta :

 

(x ^ {2} – xy – 2y ^ {2} )

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Restar: ( left (7 a ^ {2} – 2 ab + b ^ {2} right) – left (a ^ {2} – 2 ab + 5 b ^ {2} right) ).

 
     
Respuesta
     
     

(6 a ^ {2} – 4 b ^ {2} )

     

     
 
 
 
 

Multiplicando polinomios

 

Usa la regla del producto para exponentes, (x ^ {m} cdot x ^ {n} = x ^ {m + n} ), para multiplicar un monomio por un polinomio. En otras palabras, al multiplicar dos expresiones con la misma base, suma los exponentes. Para encontrar el producto de los monomios, multiplique los coeficientes y agregue los exponentes de factores variables con la misma base. Por ejemplo,

 

( begin {alineado} 7 x ^ {4} cdot 8 x ^ {3} & = 7 cdot 8 cdot x ^ {4} cdot x ^ {3} color {Cerulean} { Conmutativo : propiedad} \ & = 56 x ^ {4 + 3} quad quad color {Cerulean} {Producto : rule : for : exponents} \ & = 56 x ^ {7} end {alineado} )

 

Para multiplicar un polinomio por un monomio, aplique la propiedad distributiva y luego simplifique cada término.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

 

Multiplicar: (5 x y ^ {2} left (2 x ^ {2} y ^ {2} – x y + 1 right) ).

 

Solución

 

Aplica la propiedad distributiva y luego simplifica.

 
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Figura 1.6.2
 

( begin {array} {l} {= color {Cerulean} {5 xy ^ {2}} color {Black} { cdot} 2 x ^ {2} y ^ {2} – color {Cerulean} {5 xy ^ {2}} color {Black} { cdot} xy + color {Cerulean} {5 xy ^ {2}} color {Black} { cdot 1}} \ { = 10 x ^ {3} y ^ {4} – 5 x ^ {2} y ^ {3} + 5 xy ^ {2}} end {array} )

 

Respuesta :

 

(10 ​​x ^ {3} y ^ {4} – 5 x ^ {2} y ^ {3} + 5 x y ^ {2} )

 
 

Para resumir, multiplicar un polinomio por un monomio involucra la propiedad distributiva y la regla del producto para exponentes. Multiplique todos los términos del polinomio por el monomio. Para cada término, multiplique los coeficientes y agregue exponentes de variables donde las bases sean las mismas.

 

De la misma manera que usamos la propiedad distributiva para distribuir un monomio, la usamos para distribuir un binomio.

 

( begin {alineado} color {Cerulean} {(a + b)} color {Black} {(c + d)} & ​​= color {Cerulean} {(a + b)} color {Negro} { cdot} c + color {Cerulean} {(a + b)} color {Negro} { cdot} d \ & = ac + bc + ad + bd \ & = ac + ad + bc + bd end {alineado} )

 

Aquí aplicamos la propiedad distributiva varias veces para producir el resultado final. Este mismo resultado se obtiene en un paso si aplicamos la propiedad distributiva a (a ) y (b ) por separado de la siguiente manera:

 
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Figura 1.6.3
 

Esto a menudo se llama el método FOIL. Multiplique los términos primero, externo, interno y luego los últimos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

 

Multiplicar: ((6 x – 1) (3 x – 5) ).

 

Solución

 

Distribuya (6x ) y (- 1 ) y luego combine términos similares.

 

( begin {alineado} (6 x – 1) (3 x – 5) & = color {Cerulean} {6 x} color {Black} { cdot} 3 x – color {Cerulean} {6 x} color {Black} { cdot} 5 + ( color {OliveGreen} {- 1} color {Black} {)} cdot 3 x – ( color {OliveGreen} {- 1} color {Negro} {)} cdot 5 \ & = 18 x ^ {2} – 30 x – 3 x + 5 \ & = 18 x ^ {2} – 33 x + 5 end {alineado} ) [ 19459003]  

Respuesta :

 

(18 x ^ {2} – 33 x + 5 )

 
 

Considere los siguientes dos cálculos:

                                                              
( begin {alineado} (a + b) ^ {2} & = (a + b) (a + b) \ & = a ^ {2} + ab + ba + b ^ {2} \ & = a ^ {2} + ab + ab + b ^ {2} \ & = a ^ {2} + 2 ab + b ^ {2} end {alineado} ) ( begin {alineado} (a – b) ^ {2} & = (a – b) (a – b) \ & = a ^ {2} – ab – ba + b ^ {2} \ & = a ^ {2} – ab – ab + b ^ {2} \ & = a ^ {2} – 2 ab + b ^ {2} end {alineado} )
 

Tabla 1.6.6

 

Esto nos lleva a dos fórmulas que describen cuadrado perfecto trinomios 124 :

 

( begin {array} {l} {(a + b) ^ {2} = a ^ {2} + 2 ab + b ^ {2}} \ {(a – b) ^ {2 } = a ^ {2} – 2 ab + b ^ {2}} end {array} )

 

Podemos usar estas fórmulas para cuadrar rápidamente un binomio.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

 

Multiplicar: ((3x + 5) ^ {2} )

 

Solución

 

Aquí (a = 3x ) y (b = 5 ). Aplicar la fórmula:

 
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Figura 1.6.4
 

Respuesta :

 

(9 x ^ {2} + 30 x + 25 )

 
 

Este proceso debería ser lo suficientemente rutinario como para realizarse mentalmente. Nuestro tercer producto especial sigue:

 

( begin {alineado} (a + b) (a – b) & = a ^ {2} – ab + ba – b ^ {2} \ & = a ^ {2} color {rojo { } {- ab + ab} color {Negro} {-} b ^ {2} \ & = a ^ {2} – b ^ {2} end {alineado} )

 

Este producto se llama diferencia de cuadrados 125 :

 

((a + b) (a – b) = a ^ {2} – b ^ {2} )

 

Los binomios ((a + b) ) y ((a – b) ) se denominan conjugado binomios 126 . Al multiplicar binomios conjugados, los términos medios son opuestos y su suma es cero; El producto es en sí mismo un binomio.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ):

 

Multiplicar: ((3xy + 1) (3xy – 1) ).

 

Solución

 

( begin {alineado} (3 xy + 1) (3 xy – 1) & = (3 xy) ^ {2} – 3 xy + 3 xy – 1 ^ {2} \ & = 9 x ^ {2} y ^ {2} – 1 end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(9x ^ {2} y ^ {2} – 1 )

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Multiplicar: ( left (x ^ {2} + 5 y ^ {2} right) left (x ^ {2} – 5 y ^ {2} right) ).

 
     
Respuesta
     
     

( left (x ^ {4} – 25 y ^ {4} right) )

     

     
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} ):

 

Multiplicar: ((5x – 2) ^ {3} ).

 

Solución

 

Aquí realizamos un producto a la vez.

 
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Figura 1.6.5
 

Respuesta :

 

(125x ^ {2} – 150x ^ {2} + 60x – 8 )

 
 

División de polinomios

 

Usa la regla del cociente para exponentes, ( frac {x ^ {m}} {x ^ {n}} = x ^ {m – n} ), para dividir un polinomio por un monomio. En otras palabras, al dividir dos expresiones con la misma base, resta los exponentes. En esta sección, asumiremos que todas las variables en el denominador son distintas de cero.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} ):

 

Divide: ( frac {24 x ^ {7} y ​​^ {5}} {8 x ^ {3} y ^ {2}} ).

 

Solución

 

Divide los coeficientes y aplica la regla del cociente restando los exponentes de las bases similares.

 

( begin {alineado} frac {24 x ^ {7} y ​​^ {5}} {8 x ^ {3} y ^ {2}} & = frac {24} {8} x ^ {7 – 3} y ^ {5 – 2} \ & = 3 x ^ {4} y ^ {3} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(3 x ^ {4} y ^ {3} )

 
 

Al dividir un polinomio por un monomio, podemos tratar el monomio como un denominador común y dividir la fracción usando la siguiente propiedad:

 

( frac {a + b} {c} = frac {a} {c} + frac {b} {c} )

 

La aplicación de esta propiedad dará como resultado términos que pueden tratarse como cocientes de monomios.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} ):

 

Divide: ( frac {- 5 x ^ {4} + 25 x ^ {3} – 15 x ^ {2}} {5 x ^ {2}} ).

 

Solución

 

Divide la fracción dividiendo cada término en el numerador por el monomio en el denominador, y luego simplifica cada término.

 

( begin {alineado} frac {- 5 x ^ {4} + 25 x ^ {3} – 15 x ^ {2}} {5 x ^ {2}} & = – frac {5 x ^ {4}} {5 x ^ {2}} + frac {25 x ^ {3}} {5 x ^ {2}} – frac {15 x ^ {2}} {5 x ^ {2 }} \ & = – frac {5} {5} x ^ {4 – 2} + frac {25} {5} x ^ {3 – 2} – frac {15} {5} x ^ { 2 – 2} \ & = – 1 x ^ {2} + 5 x ^ {1} – 3 x ^ {0} \ & = – x ^ {2} + 5 x – 3 cdot 1 end { alineado} )

 

Respuesta :

 

(- x ^ {2} + 5 x – 3 )

 
 

Podemos verificar nuestra división multiplicando nuestra respuesta, el cociente, por el monomio en el denominador, el divisor, para ver si obtenemos el numerador original, el dividendo.

                                                                                                                                                              
({ frac {Dividendo} {Divisor} = Cociente} ) ( frac {- 5 x ^ {4} + 25 x ^ {3} – 15 x ^ {2}} {5 x ^ {2}} = – x ^ {2} + 5 x-3 )
o o
(Dividendo = Divisor Cdot Cociente ) (- 5 x ^ {4} + 25 x ^ {3} – 15 x ^ {2} = 5 x ^ {2} (- x ^ {2} + 5x-3) )
 

Tabla 1.6.7

 

La misma técnica descrita para dividir por un monomio no funciona para polinomios con dos o más términos en el denominador. En esta sección, describiremos un proceso llamado polinomio largo división 127 , que se basa en el algoritmo de división para números reales. En aras de la claridad, asumiremos que todas las expresiones en el denominador son distintas de cero.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {14} ):

 

Divide ( frac {x ^ {3} + 3 x ^ {2} – 8 x – 4} {x – 2} ):

 

Solución

 

Aquí (x − 2 ) es el divisor y (x ^ {3} + 3 x ^ {2} – 8 x – 4 ) es el dividendo. Para determinar el primer término del cociente, divida el término principal del dividendo por el término principal del divisor.

 
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Figura 1.6.6
 

Multiplique el primer término del cociente por el divisor, recordando distribuir, y alinee términos similares con el dividendo.

 
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Figura 1.6.7
 

Reste la cantidad resultante del dividendo. Tenga cuidado de restar ambos términos.

 
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Figura 1.6.8
 

Baja los términos restantes y repite el proceso.

 

8e8f8648f001e0f2ebe3d06303378e50.png Figura 1.6.9

 

Observe que el término principal se elimina y que el resultado tiene un grado que es uno menos. El proceso completo se ilustra a continuación:

 
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Figura 1.6.10
 

La división larga polinómica termina cuando el grado del resto es menor que el grado del divisor. Aquí, el resto es (0 ). Por lo tanto, el binomio divide el polinomio de manera uniforme y la respuesta es el cociente que se muestra arriba de la barra de división.

 

( frac {x ^ {3} + 3 x ^ {2} – 8 x – 4} {x – 2} = x ^ {2} + 5 x + 2 )

 

Para verificar la respuesta, multiplique el divisor por el cociente para ver si obtiene el dividendo como se ilustra a continuación:

 

(x ^ {3} + 3 x ^ {2} – 8 x – 4 = (x – 2) left (x ^ {2} + 5 x + 2 right) )

 

Esto se deja al lector como un ejercicio.

 

Respuesta :

 

(x ^ {2} + 5 x + 2 )

 
 

A continuación, demostramos el caso donde hay un resto distinto de cero.

 
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Figura 1.6.11
 

Al igual que con los números reales, la respuesta final agrega al cociente la fracción donde el resto es el numerador y el divisor es el denominador. En general, al dividir tenemos:

 

( frac {Dividendo} {Divisor} = color {Cerulean} {Cociente} color {Black} {+} frac { color {OliveGreen} {Remainder}} { color {Black} {Divisor }} )

 

Si multiplicamos ambos lados por el divisor que obtenemos,

 

(Dividendo = color {Cerulean} {Cociente} color {Black} { times} Divisor + color {OliveGreen} {Remainder} )

 
 

Ejemplo ( PageIndex {15} ):

 

Divide: ( frac {6 x ^ {2} – 5 x + 3} {2 x – 1} ).

 

Solución

 

Dado que el denominador es un binomio, comience configurando una división larga polinómica.

 
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Figura 1.6.12
 

Para comenzar, determine qué tiempos monomiales (2x − 1 ) resultan en un término principal (6x ^ {2} ). Este es el cociente de los términos principales dados: ((6x ^ {2} ) ÷ (2x) = 3x ). Multiplica (3x ) por el divisor (2x − 1 ), y alinea el resultado con términos similares del dividendo.

 
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Figura 1.6.13
 

Reste el resultado del dividendo y reduzca el término constante (+ 3 ).

 
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Figura 1.6.14
 

Restar elimina el término principal. Multiplique (2x − 1 ) por (- 1 ) y alinee el resultado.

 
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Figura 1.6.15
 

Resta de nuevo y observa que nos queda un resto.

 
da6de19c485bfb98d24aee7dbea7dae9.png
Figura 1.6.16
 

El término constante (2 ) tiene grado (0 ) y, por lo tanto, la división termina. Por lo tanto,

 

( frac {6 x ^ {2} – 5 x + 3} {2 x – 1} = color {Cerulean} {3 x – 1} color {Black} {+} frac { color {OliveGreen} {2}} { color {Black} {2 x – 1}} )

 

Para verificar que este resultado sea correcto, multiplicamos de la siguiente manera:

 

( begin {alineado} color {Cerulean} {{quotient}} color {Black} { times} divisor + color {OliveGreen} {resto} & color {Black} {=} color {Cerulean} {(3 x – 1)} color {Black} {(} 2 x – 1) + color {OliveGreen} {2} \ & = 6 x ^ {2} – 3 x – 2 x + 1 + 2 \ & = 6 x ^ {2} – 5 x + 2 = dividendo : : color {Cerulean} {✓} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

(3 x – 1 + frac {2} {2 x – 1} )

 
 

Ocasionalmente, algunos de los poderes de las variables parecen faltar dentro de un polinomio. Esto puede conducir a errores al alinear términos similares. Por lo tanto, cuando aprenda por primera vez cómo dividir polinomios usando la división larga, complete los términos que faltan con coeficientes cero, llamados marcadores de posición 128 .

 
 

Ejemplo ( PageIndex {16} ):

 

Divide: ( frac {27 x ^ {3} + 64} {3 x + 4} ).

 

Solución

 

Observe que el binomio en el numerador no tiene términos con grado (2 ) o (1 ). La división se simplifica si reescribimos la expresión con marcadores de posición:

 

(27 x ^ {3} + 64 = 27 x ^ {3} + color {OliveGreen} {0 x ^ {2}} color {Black} {+} color {OliveGreen} {0 x } color {Black} {+} 64 )

 

Configurar la división larga polinómica:

 
3580ae29e84dc2142822da2ab8c2e345.png
Figura 1.6.17
 

Comenzamos con 27×3 ÷ 3x = 9×2 y trabajamos el resto del algoritmo de división.

 
c1b11a0e625faf8dfcc54428eb1b21e5.png
Figura 1.6.18
 

Respuesta :

 

(9 x ^ {2} – 12 x + 16 )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {17} ):

 

Divide: ( frac {3 x ^ {4} – 2 x ^ {3} + 6 x ^ {2} + 23 x – 7} {x ^ {2} – 2 x + 5} ) .

 

Solución

 
179294b59c7365cd517ffacf1e4e7086.png
Figura 1.6.19
 

Comience el proceso dividiendo los términos iniciales para determinar el término inicial del cociente (3x ^ {4} ÷ x ^ {2} = color {Cerulean} {3x ^ {2}} ). Tenga cuidado de distribuir y alinear los términos similares. Continúe el proceso hasta que el resto tenga un grado menor que (2 ).

 
6712e898302af732f5e899c4fc6abc3b.png
Figura 1.6.20
 

El resto es (x − 2 ). Escriba la respuesta con el resto:

 

( frac {3 x ^ {4} – 2 x ^ {3} + 6 x ^ {2} + 23 x – 7} {x ^ {2} – 2 x + 5} = 3 x ^ {2} + 4 x – 1 + frac {x – 2} {x ^ {2} – 2 x + 5} )

 

Respuesta :

 

(3 x ^ {2} + 4 x – 1 + frac {x – 2} {x ^ {2} – 2 x + 5} )

 
 

La división larga polinómica requiere tiempo y práctica para dominarla. Trabaja muchos problemas y recuerda que puedes verificar tus respuestas multiplicando el cociente por el divisor (y sumando el resto si está presente) para obtener el dividendo.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Divide: ( frac {6 x ^ {4} – 13 x ^ {3} + 9 x ^ {2} – 14 x + 6} {3 x – 2} ).

 
     
Respuesta
     
     

(2 x ^ {3} – 3 x ^ {2} + x – 4 – frac {2} {3 x – 2} )

     

     
 
 
 
 

Puntos clave

 
         
  • Los polinomios son expresiones algebraicas especiales donde los términos son productos de números reales y variables con exponentes de números enteros.
    •      
  • El grado de un polinomio con una variable es el mayor exponente de la variable encontrada en cualquier término. Además, los términos de un polinomio generalmente se ordenan en orden descendente según el grado de cada término.
    •      
  • Al agregar polinomios, elimine los paréntesis asociados y luego combine términos similares. Al restar polinomios, distribuya el (- 1 ), elimine los paréntesis y luego combine los términos similares.
    •      
  • Para multiplicar polinomios, aplique la propiedad distributiva; multiplique cada término en el primer polinomio con cada término en el segundo polinomio. Luego combine los términos semejantes.
    •      
  • Al dividir por un monomio, divide todos los términos en el numerador por el monomio y luego simplifica cada término.
    •      
  • Al dividir un polinomio por otro polinomio, aplique el algoritmo de división.
    •  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Escribe los polinomios dados en forma estándar.

 
         
  1. (1 – x – x ^ {2} )
    2.      
  2. (y – 5 + y ^ {2} )
    3.      
  3. (y – 3y ^ {2} + 5 – y ^ {3} )
    4.      
  4. (8 – 12a ^ {2} + a ^ {3} – a )
    5.      
  5. (2 – x ^ {2} + 6x – 5x ^ {3} + x ^ {4} )
    6.      
  6. (a ^ {3} – 5 + a ^ {2} + 2a ^ {4} – a ^ {5} + 6a )
    7.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (- x ^ {2} – x + 1 )

     

3. (- y ^ {3} – 3 y ^ {2} + y + 5 )

     

5. (x ^ {4} – 5 x ^ {3} – x ^ {2} + 6 x + 2 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Clasifique el polinomio dado como monomial, binomial o trinomial y establezca el grado.

 
         
  1. (x ^ {2} – x + 2 )
    2.      
  2. (5 – 10x ^ {3} )
    3.      
  3. (x ^ {2} y ^ {2} + 5xy – 6 )
    4.      
  4. (- 2x ^ {3} y ^ {2} )
    5.      
  5. (x^{4} − 1)
    6.      
  6. (5)
    7.  
 
     
Answer
     
     

1. 7. Trinomial; degree (2)

     

3. Trinomial; degree (4)

     

5. Binomial; degree (4)

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

State whether the polynomial is linear or quadratic and give the leading coefficient.

 
         
  1. (1 − 9x^{2})
    2.      
  2. (10x^{2})
    3.      
  3. (2x − 3)
    4.      
  4. (100x)
    5.      
  5. (5x^{2} + 3x − 1)
    6.      
  6. (x − 1)
    7.      
  7. (x − 6 − 2x^{2})
    8.      
  8. (1 − 5x)
    9.  
 
     
Answer
     
     

1. Quadratic, (−9)

     

3. Linear, (2)

     

5. Quadratic, (5)

     

7. Quadratic, (−2)

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 
         
  1. (left( 5 x ^ { 2 } – 3 x – 2 right) + left( 2 x ^ { 2 } – 6 x + 7 right))
    2.      
  2. (left( x ^ { 2 } + 7 x – 12 right) + left( 2 x ^ { 2 } – x + 3 right))
    3.      
  3. (left( x ^ { 2 } + 5 x + 10 right) + left( x ^ { 2 } – 10 right))
    4.      
  4. (left( x ^ { 2 } – 1 right) + ( 4 x + 2 ))
    5.      
  5. (left( 10 x ^ { 2 } + 3 x – 2 right) – left( x ^ { 2 } – 6 x + 1 right))
    6.      
  6. (left( x ^ { 2 } – 3 x – 8 right) – left( 2 x ^ { 2 } – 3 x – 8 right))
    7.      
  7. (left( frac { 2 } { 3 } x ^ { 2 } + frac { 3 } { 4 } x – 1 right) – left( frac { 1 } { 6 } x ^ { 2 } + frac { 5 } { 2 } x – frac { 1 } { 2 } right))
    8.      
  8. (left( frac { 4 } { 5 } x ^ { 2 } – frac { 5 } { 8 } x + frac { 10 } { 6 } right) – left( frac { 3 } { 10 } x ^ { 2 } – frac { 2 } { 3 } x + frac { 3 } { 5 } right))
    9.      
  9. (left( x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 7 x y – 5 right) – left( 2 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 5 x y – 4 right))
    10.      
  10. (left( x ^ { 2 } – y ^ { 2 } right) – left( x ^ { 2 } + 6 x y + y ^ { 2 } right))
    11.      
  11. (left( a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 5 a b – 2 right) + ( 7 a b – 2 ) – left( 4 – a ^ { 2 } b ^ { 2 } right))
    12.      
  12. (left( a ^ { 2 } + 9 a b – 6 b ^ { 2 } right) – left( a ^ { 2 } – b ^ { 2 } right) + 7 a b)
    13.      
  13. (left( 10 x ^ { 2 } y – 8 x y + 5 x y ^ { 2 } right) – left( x ^ { 2 } y – 4 x y right) + left( x y ^ { 2 } + 4 x y right))
    14.      
  14. (left( 2 m ^ { 2 } n – 6 m n + 9 m n ^ { 2 } right) – left( m ^ { 2 } n + 10 m n right) – m ^ { 2 } n)
    15.      
  15. (left( 8 x ^ { 2 } y ^ { 2 } – 5 x y + 2 right) – left( x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 5 right) + ( 2 x y – 3 ))
    16.      
  16. (left( x ^ { 2 } – y ^ { 2 } right) – left( 5 x ^ { 2 } – 2 x y – y ^ { 2 } right) – left( x ^ { 2 } – 7 x y right))
    17.      
  17. (left( frac { 1 } { 6 } a ^ { 2 } – 2 a b + frac { 3 } { 4 } b ^ { 2 } right) – left( frac { 5 } { 3 } a ^ { 2 } + frac { 4 } { 5 } b ^ { 2 } right) + frac { 11 } { 8 } a b)
    18.      
  18. (left( frac { 5 } { 2 } x ^ { 2 } – 2 y ^ { 2 } right) – left( frac { 7 } { 5 } x ^ { 2 } – frac { 1 } { 2 } x y + frac { 7 } { 3 } y ^ { 2 } right) – frac { 1 } { 2 } x y)
    19.      
  19. (left( x ^ { 2 n } + 5 x ^ { n } – 2 right) + left( 2 x ^ { 2 n } – 3 x ^ { n } – 1 right))
    20.      
  20. (left( 7 x ^ { 2 n } – x ^ { n } + 5 right) – left( 6 x ^ { 2 n } – x ^ { n } – 8 right))
    21.      
  21. Subtract (4y − 3) from (y^{2} + 7y − 10).
    22.      
  22. Subtract (x^{2} + 3x − 2) from (2x^{2} + 4x − 1).
    23.      
  23. A right circular cylinder has a height that is equal to the radius of the base, (h = r). Find a formula for the surface area in terms of (h).
    24.      
  24. A rectangular solid has a width that is twice the height and a length that is (3) times that of the height. Find a formula for the surface area in terms of the height.
    25.  
 
     
Answer
     
     

1. (7 x ^ { 2 } – 9 x + 5)

     

3. (2 x ^ { 2 } + 5 x)

     

5. (9 x ^ { 2 } + 9 x – 3)

     

7. (frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } – frac { 7 } { 4 } x – frac { 1 } { 2 })

     

9. (- x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 2 x y – 1)

     

11. (2 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 12 a b – 8)

     

13. (9 x ^ { 2 } y + 6 x y ^ { 2 })

     

15. (7 x ^ { 2 } y ^ { 2 } – 3 x y – 6)

     

17. (- frac { 3 } { 2 } a ^ { 2 } – frac { 5 } { 8 } a b – frac { 1 } { 20 } b ^ { 2 })

     

19. (- frac { 3 } { 2 } a ^ { 2 } – frac { 5 } { 8 } a b – frac { 1 } { 20 } b ^ { 2 })

     

21. (y ^ { 2 } + 3 y – 7)

     

23. (S A = 4 pi h ^ { 2 })

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Multiply

 
         
  1. (- 8 x ^ { 2 } cdot 2 x)
    2.      
  2. (- 10 x ^ { 2 } y cdot 5 x ^ { 3 } y ^ { 2 })
    3.      
  3. (2 x ( 5 x – 1 ))
    4.      
  4. (- 4 x ( 3 x – 5 ))
    5.      
  5. (7 x ^ { 2 } ( 2 x – 6 ))
    6.      
  6. (- 3 x ^ { 2 } left( x ^ { 2 } – x + 3 right))
    7.      
  7. (- 5 y ^ { 4 } left( y ^ { 2 } – 2 y + 3 right))
    8.      
  8. (frac { 5 } { 2 } a ^ { 3 } left( 24 a ^ { 2 } – 6 a + 4 right))
    9.      
  9. (2 x y left( x ^ { 2 } – 7 x y + y ^ { 2 } right))
    10.      
  10. (- 2 a ^ { 2 } b left( a ^ { 2 } – 3 a b + 5 b ^ { 2 } right))
    11.      
  11. (x ^ { n } left( x ^ { 2 } + x + 1 right))
    12.      
  12. (x ^ { n } left( x ^ { 2 n } – x ^ { n } – 1 right))
    13.      
  13. (( x + 4 ) ( x – 5 ))
    14.      
  14. (( x – 7 ) ( x – 6 ))
    15.      
  15. (( 2 x – 3 ) ( 3 x – 1 ))
    16.      
  16. (( 9 x + 1 ) ( 3 x + 2 ))
    17.      
  17. (left( 3 x ^ { 2 } – y ^ { 2 } right) left( x ^ { 2 } – 5 y ^ { 2 } right))
    18.      
  18. (left( 5 y ^ { 2 } – x ^ { 2 } right) left( 2 y ^ { 2 } – 3 x ^ { 2 } right))
    19.      
  19. (( 3 x + 5 ) ( 3 x – 5 ))
    20.      
  20. (( x + 6 ) ( x – 6 ))
    21.      
  21. (left( a ^ { 2 } – b ^ { 2 } right) left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } right))
    22.      
  22. (( a b + 7 ) ( a b – 7 ))
    23.      
  23. (left( 4 x – 5 y ^ { 2 } right) left( 3 x ^ { 2 } – y right))
    24.      
  24. (( x y + 5 ) ( x – y ))
    25.      
  25. (( x – 5 ) left( x ^ { 2 } – 3 x + 8 right))
    26.      
  26. (( 2 x – 7 ) left( 3 x ^ { 2 } – x + 1 right))
    27.      
  27. (left( x ^ { 2 } + 7 x – 1 right) left( 2 x ^ { 2 } – 3 x – 1 right))
    28.      
  28. (left( 4 x ^ { 2 } – x + 6 right) left( 5 x ^ { 2 } – 4 x – 3 right))
    29.      
  29. (( x + 8 ) ^ { 2 })
    30.      
  30. (( x – 3 ) ^ { 2 })
    31.      
  31. (( 2 x – 5 ) ^ { 2 })
    32.      
  32. (( 3 x + 1 ) ^ { 2 })
    33.      
  33. (( a – 3 b ) ^ { 2 })
    34.      
  34. (( 7 a – b ) ^ { 2 })
    35.      
  35. (left( x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } right) ^ { 2 })
    36.      
  36. (left( x ^ { 2 } – 6 y right) ^ { 2 })
    37.      
  37. (left( a ^ { 2 } – a + 5 right) ^ { 2 })
    38.      
  38. (left( x ^ { 2 } – 3 x – 1 right) ^ { 2 })
    39.      
  39. (( x – 3 ) ^ { 3 })
    40.      
  40. (( x + 2 ) ^ { 3 })
    41.      
  41. (( 3x + 1 ) ^ { 3 })
    42.      
  42. (( 2x – 3 ) ^ { 3 })
    43.      
  43. (( x + 2 ) ^ { 4 })
    44.      
  44. (( x – 3 ) ^ { 4 })
    45.      
  45. (( 2x – 1 ) ^ { 4 })
    46.      
  46. (( 3x – 1 ) ^ { 4 })
    47.      
  47. (left( x ^ { 2 n } + 5 right) left( x ^ { 2 n } – 5 right))
    48.      
  48. (left( x ^ { n } – 1 right) left( x ^ { 2 n } + 4 x ^ { n } – 3 right))
    49.      
  49. (left( x ^ { 2 n } – 1 right) ^ { 2 })
    50.      
  50. (left( x ^ { 3 n } + 1 right) ^ { 2 })
    51.      
  51. Find the product of (3x-2) and (x^{2}-5x-2).
    52.      
  52. Find the product of (x^{2}+4) and (x^{3}-1).
    53.      
  53. Each side of a square measures (3x^{3}) units. Determine the area in terms of (x).
    54.      
  54. Each edge of a cube measures (2x^{2}) units. Determine the volume in terms of (x).
    55.  
 
     
Answer
     
     

1. (-16x^{3})

     

3. (10 x ^ { 2 } – 2 x)

     

5. (14 x ^ { 3 } – 42 x ^ { 2 })

     

7. (- 5 y ^ { 6 } + 10 y ^ { 5 } – 15 y ^ { 4 })

     

9. (2 x ^ { 3 } y – 14 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 2 x y ^ { 3 })

     

11. (x ^ { n + 2 } + x ^ { n + 1 } + x ^ { n })

     

13. (x ^ { 2 } – x – 20)

     

15. (6 x ^ { 2 } – 11 x + 3)

     

17. (3 x ^ { 4 } – 16 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 5 y ^ { 4 })

     

19. (9 x ^ { 2 } – 25)

     

21. (a ^ { 4 } – b ^ { 4 })

     

23. (12 x ^ { 3 } – 15 x ^ { 2 } y ^ { 2 } – 4 x y + 5 y ^ { 3 })

     

25. (x ^ { 3 } – 8 x ^ { 2 } + 23 x – 40)

     

27. (2 x ^ { 4 } + 11 x ^ { 3 } – 24 x ^ { 2 } – 4 x + 1)

     

29. (x ^ { 2 } + 16 x + 64)

     

31. (4 x ^ { 2 } – 20 x + 25)

     

33. (a ^ { 2 } – 6 a b + 9 b ^ { 2 })

     

35. (x ^ { 4 } + 4 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 4 y ^ { 4 })

     

37. (a ^ { 4 } – 2 a ^ { 3 } + 11 a – 10 a + 25)

     

39. (x ^ { 3 } – 9 x ^ { 2 } + 27 x – 27)

     

41. (27 x ^ { 3 } + 27 x ^ { 2 } + 9 x + 1)

     

43. (x ^ { 4 } + 8 x ^ { 3 } + 24 x ^ { 2 } + 32 x + 16)

     

45. (16 x ^ { 4 } – 32 x ^ { 3 } + 24 x ^ { 2 } – 8 x + 1)

     

47. (x ^ { 4 n } – 25)

     

49. (x ^ { 4 n } – 2 x ^ { 2 n } + 1)

     

51. (3 x ^ { 3 } – 17 x ^ { 2 } + 4 x + 4)

     

53. (9 x ^ { 6 }) square units

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Divide.

 
         
  1. (frac { 125 x ^ { 5 } y ^ { 2 } } { 25 x ^ { 4 } y ^ { 2 } })
    2.      
  2. (frac { 256 x ^ { 2 } y ^ { 3 } z ^ { 5 } } { 64 x ^ { 2 } y z ^ { 2 } })
    3.      
  3. (frac { 20 x ^ { 3 } – 12 x ^ { 2 } + 4 x } { 4 x })
    4.      
  4. (frac { 15 x ^ { 4 } – 75 x ^ { 3 } + 18 x ^ { 2 } } { 3 x ^ { 2 } })
    5.      
  5. (frac { 12 a ^ { 2 } b + 28 a b ^ { 2 } – 4 a b } { 4 a b })
    6.      
  6. (frac { – 2 a ^ { 4 } b ^ { 3 } + 16 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 8 a b ^ { 3 } } { 2 a b ^ { 2 } })
    7.      
  7. (frac { x ^ { 3 } + x ^ { 2 } – 3 x + 9 } { x + 3 })
    8.      
  8. (frac { x ^ { 3 } – 4 x ^ { 2 } – 9 x + 20 } { x – 5 })
    9.      
  9. (frac { 6 x ^ { 3 } – 11 x ^ { 2 } + 7 x – 6 } { 2 x – 3 })
    10.      
  10. (frac { 9 x ^ { 3 } – 9 x ^ { 2 } – x + 1 } { 3 x – 1 })
    11.      
  11. (frac { 16 x ^ { 3 } + 8 x ^ { 2 } – 39 x + 17 } { 4 x – 3 })
    12.      
  12. (frac { 12 x ^ { 3 } – 56 x ^ { 2 } + 55 x + 30 } { 2 x – 5 })
    13.      
  13. (frac { 6 x ^ { 4 } + 13 x ^ { 3 } – 9 x ^ { 2 } – x + 6 } { 3 x + 2 })
    14.      
  14. (frac { 25 x ^ { 4 } – 10 x ^ { 3 } + 11 x ^ { 2 } – 7 x + 1 } { 5 x – 1 })
    15.      
  15. (frac { 20 x ^ { 4 } + 12 x ^ { 3 } + 9 x ^ { 2 } + 10 x + 5 } { 2 x + 1 })
    16.      
  16. (frac { 25 x ^ { 4 } – 45 x ^ { 3 } – 26 x ^ { 2 } + 36 x – 11 } { 5 x – 2 })
    17.      
  17. (frac { 3 x ^ { 4 } + x ^ { 2 } – 1 } { x – 2 })
    18.      
  18. (frac { x ^ { 4 } + x – 3 } { x + 3 })
    19.      
  19. (frac { x ^ { 3 } – 10 } { x – 2 })
    20.      
  20. (frac { x ^ { 3 } + 15 } { x + 3 })
    21.      
  21. (frac { y ^ { 5 } + 1 } { y + 1 })
    22.      
  22. (frac { y ^ { 6 } + 1 } { y + 1 })
    23.      
  23. (frac { x ^ { 4 } – 4 x ^ { 3 } + 6 x ^ { 2 } – 7 x – 1 } { x ^ { 2 } – x + 2 })
    24.      
  24. (frac { 6 x ^ { 4 } + x ^ { 3 } – 2 x ^ { 2 } + 2 x + 4 } { 3 x ^ { 2 } – x + 1 })
    25.      
  25. (frac { 2 x ^ { 3 } – 7 x ^ { 2 } + 8 x – 3 } { x ^ { 2 } – 2 x + 1 })
    26.      
  26. (frac { 2 x ^ { 4 } + 3 x ^ { 3 } – 6 x ^ { 2 } – 4 x + 3 } { x ^ { 2 } + x – 3 })
    27.      
  27. (frac { x ^ { 4 } + 4 x ^ { 3 } – 2 x ^ { 2 } – 4 x + 1 } { x ^ { 2 } – 1 })
    28.      
  28. (frac { x ^ { 4 } + x – 1 } { x ^ { 2 } + 1 })
    29.      
  29. (frac { x ^ { 3 } + 6 x ^ { 2 } y + 4 x y ^ { 2 } – y ^ { 3 } } { x + y })
    30.      
  30. (frac { 2 x ^ { 3 } – 3 x ^ { 2 } y + 4 x y ^ { 2 } – 3 y ^ { 3 } } { x – y })
    31.      
  31. (frac { 8 a ^ { 3 } – b ^ { 3 } } { 2 a – b })
    32.      
  32. (frac { a ^ { 3 } + 27 b ^ { 3 } } { a + 3 b })
    33.      
  33. Find the quotient of (10 x ^ { 2 } – 11 x + 3) and (2x-1).
    34.      
  34. Find the quotient of (12 x ^ { 2 } + x – 11) and (3x-2).
    35.  
 
     
Answer
     
     

1. (5x)

     

3. (5 x ^ { 2 } – 3 x + 1)

     

5. (3 a + 7 b – 1)

     

7. (x ^ { 2 } – 2 x + 3)

     

9. (3 x ^ { 2 } – x + 2)

     

11. (4 x ^ { 2 } + 5 x – 6 – frac { 1 } { 4 x – 3 })

     

13. (2 x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } – 5 x + 3)

     

15. (10 x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + 4 x + 3 + frac { 2 } { 2 x + 1 })

     

17. (3 x ^ { 3 } + 6 x ^ { 2 } + 13 x + 26 + frac { 51 } { x – 2 })

     

19. (x ^ { 2 } + 2 x + 4 – frac { 2 } { x – 2 })

     

21. (y ^ { 4 } – y ^ { 3 } + y ^ { 2 } – y + 1)

     

23. (x ^ { 2 } – 3 x + 1 – frac { 3 } { x ^ { 2 } – x + 2 })

     

25. (2 x – 3)

     

27. (x ^ { 2 } + 4 x – 1)

     

29. (x ^ { 2 } + 5 x y – y ^ { 2 })

     

31. (4 a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 })

     

33. (5x-3)

     
 
 
 
 

Footnotes

 

112 An algebraic expression consisting of terms with real number coefficients and variables with whole number exponents.

 

113 The exponent of the variable. If there is more than one variable in the term, the degree of the term is the sum their exponents.

 

114 The largest degree of all of its terms.

 

115 A polynomial where each term has the form (a_{n}x^{n}) , where (a_{n}) is any real number and (n) is any whole number.

 

116 The coefficient of the term with the largest degree.

 

117 Polynomial with one term.

 

118 Polynomial with two terms.

 

119 Polynomial with three terms.

 

120 A polynomial with degree (0).

 

121 A polynomial with degree (1).

 

122 A polynomial with degree (2).

 

123 A polynomial with degree (3).

 

124 The trinomials obtained by squaring the binomials ((a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}) and ((a − b)^{2} = a^{2} − 2ab + b^{2}).

 

125 The special product obtained by multiplying conjugate binomials (( a + b ) ( a – b ) = a ^ { 2 } – b ^ { 2 }).

 

126 The binomials ((a + b)) and ((a − b)).

 

127 The process of dividing two polynomials using the division algorithm.

 

128 Terms with zero coefficients used to fill in all missing exponents within a polynomial.

 
                                  
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antonio1095

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