Utilice las propiedades de identidad, inversa y cero
¿Qué sucede cuando agregamos 0 a cualquier número? Agregar 0 no cambia el valor. Por esta razón, llamamos a 0 la identidad aditiva . La propiedad de adición Identity que establece que para cualquier número real (a, a + 0 = a ) y (0 + a = a. )
¿Qué sucede cuando multiplicamos cualquier número por uno? Multiplicar por 1 no cambia el valor. Entonces llamamos a 1 la identidad multiplicativa. La propiedad de identidad de multiplicación que establece que para cualquier número real (a, a · 1 = a ) y (1⋅a = a. )
Aquí resumimos las propiedades de identidad.
PROPIEDAD DE IDENTIDAD
[ begin {array} {ll} textbf {of Addition} text {Para cualquier número real} a: a + 0 = a & 0 + a = a \ \ \ textbf {0 } text {es el} textbf {identidad aditiva} \ textbf {de Multiplicación} text {Para cualquier número real} a: a · 1 = a & 1 · a = a \ \ \ textbf {1} text {es el} textbf {identidad multiplicativa} end {array} ]
¿Qué número agregado a 5 da la identidad aditiva, 0? Lo sabemos
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¡El número que faltaba era el opuesto del número!
Llamamos a (- a ) el inverso aditivo de (a ). Lo contrario de un número es su inverso aditivo. Un número y su opuesto se suman a cero, que es la identidad aditiva. Esto lleva a la Propiedad inversa de la suma que establece cualquier número real (a, a + (- a) = 0. )
¿Qué número multiplicado por ( frac {2} {3} ) da la identidad multiplicativa, 1? En otras palabras, ( frac {2} {3} ) multiplicado por lo que resulta en 1? Lo sabemos
¡El número que faltaba era el recíproco del número!
Llamamos ( frac {1} {a} ) el inverso multiplicativo de a . El recíproco de un número es su inverso multiplicativo. Esto lleva a la Propiedad inversa de multiplicación que establece que para cualquier número real (a, a neq 0, a · frac {1} {a} = 1. ) [19459007 ]
Aquí indicaremos formalmente las propiedades inversas.
PROPIEDAD INVERSA
[ begin {array} {lc} textbf {de suma} text {Para cualquier número real} a, & a + (- a) = 0 \ ; ; ; ; −a text {es el} textbf {inverso aditivo} text {of} a & {} \ ; ; ; ; text {Un número y su} textit {opuesto} text {agregar a cero.} \ \ \ textbf {de multiplicación} text {Para cualquier número real} a, a neq 0 & a · dfrac {1} {a} = 1 \ ; ; ; ; ; dfrac {1} {a} text {es el} textbf {inverso multiplicativo} text {de} a \ ; ; ; ; text {Un número y su} textit {recíproco} text {multiplicar por uno.} end {array} ]
La propiedad de identidad de la suma dice que cuando sumamos 0 a cualquier número, el resultado es ese mismo número. ¿Qué sucede cuando multiplicamos un número por 0? Multiplicar por 0 hace que el producto sea igual a cero.
¿Qué pasa con la división que involucra cero? ¿Qué es (0 ÷ 3 )? Piense en un ejemplo real: si no hay cookies en el tarro de galletas y 3 personas deben compartirlas, ¿cuántas cookies obtiene cada persona? No hay cookies para compartir, por lo que cada persona obtiene 0 cookies. Entonces, (0 ÷ 3 = 0. )
Podemos verificar la división con el hecho de multiplicación relacionado. Entonces sabemos (0 ÷ 3 = 0 ) porque (0 · 3 = 0 ).
Ahora piense en dividir entre cero. ¿Cuál es el resultado de dividir 4 por 0? Piense en el hecho de multiplicación relacionado:
¿Hay un número que multiplicado por 0 da 4? Como cualquier número real multiplicado por 0 da 0, no hay un número real que pueda multiplicarse por 0 para obtener 4. Concluimos que no hay respuesta a (4 ÷ 0 ) y por eso decimos que la división por 0 es [ 19459022] indefinido .
Aquí resumimos las propiedades de cero.
PROPIEDADES DE CERO
Multiplicación por cero: para cualquier número real a ,
[a⋅0 = 0 ; ; ; 0⋅a = 0 ; ; ; ; text {El producto de cualquier número y 0 es 0.} ]
División por cero: Para cualquier número real a , (a neq 0 )
[ begin {array} {cl} dfrac {0} {a} = 0 & text {Cero dividido por cualquier número real, excepto él mismo, es cero.} \ dfrac {a} {0 } text {no está definido} & text {La división por cero no está definida.} end {array} ]
Ahora practicaremos el uso de las propiedades de identidades, inversas y cero para simplificar expresiones.
EJEMPLO ( PageIndex {7} )
Simplificar: (- 84n + (- 73n) + 84n. )
- Respuesta
-
( begin {array} {lc} text {} & −84n + (- 73n) + 84n \ text {Observe que los términos primero y tercero son} \ text {opuestos; use el conmutativo Propiedad de} & −84n + 84n + (- 73n) \ text {además de reordenar los términos.} \ text {Agregar de izquierda a derecha.} & 0 + (- 73n) \ text {Agregar .} & −73n end {array} )
EJEMPLO ( PageIndex {8} )
Simplifica: (- 27a + (- 48a) + 27a ).
- Respuesta
-
(- 48a )
EJEMPLO ( PageIndex {9} )
Simplifique: (39x + (- 92x) + (- 39x) ).
- Respuesta
-
(- 92x )
Ahora veremos cómo es útil reconocer los reciprocos. Antes de multiplicar de izquierda a derecha, busque los recíprocos: su producto es 1.
EJEMPLO ( PageIndex {10} )
Simplifique: ( frac {7} {15} ⋅ frac {8} {23} ⋅ frac {15} {7} ).
- Respuesta
-
( begin {array} {lc} text {} & frac {7} {15} ⋅ frac {8} {23} ⋅ frac {15} {7} \ text {Aviso el primer y el tercer término} \ { text {son recíprocos, así que use la Conmutación} \ text {Propiedad de la multiplicación para reordenar los} \ text {factores.}} & frac {7} { 15} · frac {15} {7} · frac {8} {23} \ text {Multiplica de izquierda a derecha.} & 1 · frac {8} {23} \ text {Multiply.} & frac {8} {23} end {array} )
EJEMPLO ( PageIndex {11} )
Simplifique: ( frac {9} {16} ⋅ frac {5} {49} ⋅ frac {16} {9} ).
- Respuesta
-
( frac {5} {49} )
EJEMPLO ( PageIndex {12} )
Simplifique: ( frac {6} {17} ⋅ frac {11} {25} ⋅ frac {17} {6} ).
- Respuesta
-
( frac {11} {25} )
El siguiente ejemplo nos hace conscientes de la distinción entre dividir 0 por algún número o algún número dividido por 0.
EJEMPLO ( PageIndex {13} )
Simplifique: ⓐ ( frac {0} {n + 5} ), donde (n neq −5 ) ⓑ ( frac {10−3p} {0} ) where (10 −3p neq 0. )
- Respuesta
-
ⓐ
( begin {array} {lc} {} & dfrac {0} {n + 5} \ text {Cero dividido por cualquier número real excepto sí mismo es 0.} & 0 end {array} )
ⓑ
( begin {array} {lc} {} & dfrac {10−3p} {0} \ text {La división por 0 no está definida.} & Text {undefined} end {array} )
EJEMPLO ( PageIndex {14} )
Simplifique: ⓐ ( frac {0} {m + 7} ), donde (m neq −7 ) ⓑ ( frac {18−6c} {0} ), donde ( 18−6c neq 0 ).
- Respuesta
-
ⓐ 0 ⓑ indefinido
EJEMPLO ( PageIndex {15} )
Simplifique: ⓐ ( frac {0} {d − 4} ), donde (d neq 4 ) ⓑ ( frac {15−4q} {0} ), donde (15 −4q neq 0 ).
- Respuesta
-
ⓐ 0 ⓑ indefinido