Las fracciones son una forma de representar partes de un todo. La fracción ( dfrac {1} {3} ) significa que un todo se ha dividido en 3 partes iguales y cada parte es una de las tres partes iguales. Ver Figura ( PageIndex {1} ). La fracción ( dfrac {2} {3} ) representa dos de tres partes iguales. En la fracción ( dfrac {2} {3} ), el 2 se llama el numerador y el 3 se llama el denominador .
Figura ( PageIndex {1} ): El círculo de la izquierda se ha dividido en 3 partes iguales. Cada parte es ( dfrac {1} {3} ) de las 3 partes iguales. En el círculo de la derecha, ( frac {2} {3} ) del círculo está sombreado (2 de las 3 partes iguales). Hacer la actividad de Matemática manipulativa “Fracciones modelo” te ayudará a desarrollar una mejor comprensión de las fracciones, sus numeradores y denominadores.
FRACCIÓN
Una fracción se escribe ( dfrac {a} {b} ), donde (b neq 0 ) y
(a ) es el numerador y (b ) es el denominador .
Una fracción representa partes de un todo. El denominador (b ) es el número de partes iguales en las que se ha dividido el todo, y el numerador (a ) indica cuántas partes están incluidas.
Si un pastel entero se ha cortado en 6 pedazos y comemos los 6 pedazos, nos comimos ( dfrac {6} {6} ) pedazos, o, en otras palabras, un pastel entero.
Figura ( PageIndex {2} )
Entonces ( dfrac {6} {6} = 1 ). Esto nos lleva a la propiedad de uno que nos dice que cualquier número, excepto cero, dividido por sí mismo es (1 ).
PROPIEDAD DE UNO
[ dfrac {a} {a} = 1 quad (a neq 0) ]
Cualquier número, excepto cero, dividido por sí mismo es uno.
Nota
Hacer la actividad de Matemáticas Manipulativas “Fracciones equivalentes a una” te ayudará a desarrollar una mejor comprensión de las fracciones que son equivalentes a una.
Si se cortó un pastel en 6 pedazos y nos comimos los 6, comimos ( dfrac {6} {6} ) pedazos, o, en otras palabras, un pastel entero. Si el pastel se cortó en 8 pedazos y nos comimos los 8, comimos ( dfrac {8} {8} ) pedazos, o un pastel entero. Comimos la misma cantidad: una tarta entera.
Las fracciones ( dfrac {6} {6} ) y ( dfrac {8} {8} ) tienen el mismo valor, 1, por lo que se denominan fracciones equivalentes. Las fracciones equivalentes son fracciones que tienen el mismo valor.
Pensemos en las pizzas esta vez. La Figura ( PageIndex {3} ) muestra dos imágenes: una pizza a la izquierda, cortada en dos partes iguales, y una segunda pizza del mismo tamaño, cortada en ocho partes a la derecha. Esta es una forma de mostrar que ( dfrac {1} {2} ) es equivalente a ( dfrac {4} {8} ). En otras palabras, son fracciones equivalentes .
Figura ( PageIndex {3} ): Dado que la misma cantidad de cada pizza está sombreada, vemos que ( dfrac {1} {2} ) es equivalente a ( dfrac {4} {8} ). Son fracciones equivalentes.
FRACCIONES EQUIVALENTES
Las fracciones equivalentes son fracciones que tienen el mismo valor.
¿Cómo podemos usar las matemáticas para cambiar ( dfrac {1} {2} ) en ( dfrac {4} {8} )? ¿Cómo podríamos tomar una pizza que se corta en 2 pedazos y cortarla en 8 pedazos? ¡Podríamos cortar cada una de las 2 piezas más grandes en 4 piezas más pequeñas! La pizza entera se cortaría en 88 piezas en lugar de solo 2. Matemáticamente, lo que hemos descrito podría escribirse así como ( dfrac {1 cdot 4} {2 cdot 4} = dfrac {4} {8} ). Ver Figura ( PageIndex {4} ).
Figura ( PageIndex {4} ): cortar cada mitad de la pizza en 4 piezas, nos da la pizza cortada en 8 piezas: ( dfrac {1 cdot 4} {2 cdot 4} = dfrac {4} {8} )
Este modelo lleva a la siguiente propiedad:
PROPIEDAD DE FRACCIONES EQUIVALENTES
Si (a, b, c ) son números donde (b neq 0, c neq 0 ), entonces
[ dfrac {a} {b} = dfrac {a cdot c} {b cdot c} ]
Si hubiéramos cortado la pizza de manera diferente, podríamos obtener
Realizar la actividad de Matemáticas manipulativas “Fracciones equivalentes” te ayudará a desarrollar una mejor comprensión de lo que significa cuando dos fracciones son equivalentes.
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Encuentra tres fracciones equivalentes a ( dfrac {2} {5} ).
Respuesta
Para encontrar una fracción equivalente a ( dfrac {2} {5} ), multiplicamos el numerador y el denominador por el mismo número. Podemos elegir cualquier número, excepto el cero. Multipliquemos por 2, 3 y luego 5.
Entonces, ( dfrac {4} {10} ), ( dfrac {6} {15} ) y ( dfrac {10} {25} ) son equivalentes a ( dfrac {2} {5} ).
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Encuentra tres fracciones equivalentes a ( dfrac {3} {5} ).
Respuesta
( dfrac {6} {10} ), ( dfrac {9} {15} ), ( dfrac {12} {20} ); las respuestas pueden variar
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Encuentra tres fracciones equivalentes a ( dfrac {4} {5} ).
Respuesta
( dfrac {8} {10} ), ( dfrac {12} {15} ), ( dfrac {16} {20} ); las respuestas pueden variar
Simplificar fracciones
Una fracción se considera simplificada si no hay factores comunes, aparte de 1, en su numerador y denominador.
Por ejemplo,
( dfrac {2} {3} ) se simplifica porque no hay factores comunes de 2 y 3.
( dfrac {10} {15} ) no está simplificado porque 5 es un factor común de 10 y 15.
FRACCIÓN SIMPLIFICADA
Una fracción se considera simplificada si no hay factores comunes en su numerador y denominador.
La frase reducir una fracción significa simplificar la fracción. Simplificamos o reducimos una fracción eliminando los factores comunes del numerador y el denominador. Una fracción no se simplifica hasta que se hayan eliminado todos los factores comunes. Si una expresión tiene fracciones, no se simplifica por completo hasta que las fracciones se simplifiquen.
En el ejercicio ( PageIndex {4} ), utilizamos la propiedad de fracciones equivalentes para encontrar fracciones equivalentes. Ahora usaremos la propiedad de fracciones equivalentes a la inversa para simplificar las fracciones. Podemos reescribir la propiedad para mostrar ambas formas juntas.
PROPIEDAD DE FRACCIONES EQUIVALENTES
Si (a, b, c ) son números donde (b neq 0, c neq 0 ),
Reescribe el numerador y el denominador mostrando los factores comunes.
(- dfrac {4 cdot 8} {7 cdot 8} )
Simplifique usando la propiedad de fracciones equivalentes.
(- dfrac {4} {7} )
Observe que la fracción (- dfrac {4} {7} ) se simplifica porque no hay más factores comunes.
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Simplifica: (- dfrac {42} {54} )
Respuesta
(- dfrac {7} {9} )
Ejercicio ( PageIndex {6} )
Simplifica: (- dfrac {42} {54} )
Respuesta
(- dfrac {5} {9} )
A veces puede no ser fácil encontrar factores comunes del numerador y el denominador. Cuando esto sucede, una buena idea es factorizar el numerador y el denominador en número primo s. Luego divide los factores comunes usando la propiedad de fracciones equivalentes.
Ejercicio ( PageIndex {7} )
Simplifica: (- dfrac {210} {385} )
Respuesta
Ejercicio ( PageIndex {8} )
Simplifica: (- dfrac {69} {120} )
Respuesta
(- dfrac {23} {40} )
Ejercicio ( PageIndex {9} )
Simplifica: (- dfrac {120} {192} )
Respuesta
(- dfrac {5} {8} )
Ahora resumimos los pasos que debe seguir para simplificar las fracciones.
SIMPLIFICAR UNA FRACCIÓN.
Reescribe el numerador y el denominador para mostrar los factores comunes. Si es necesario, primero factoriza el numerador y el denominador en números primos.
Simplifique usando la propiedad de fracciones equivalentes dividiendo factores comunes.
Multiplica los factores restantes, si es necesario.
Ejercicio ( PageIndex {10} )
Simplifica: ( dfrac {5x} {5y} )
Respuesta
( dfrac {5x} {5y} )
Reescribe mostrando los factores comunes, luego divide los factores comunes.
Simplifica.
( dfrac {x} {y} )
Ejercicio ( PageIndex {11} )
Simplifica: ( dfrac {7x} {7y} )
Respuesta
( dfrac {x} {y} )
Ejercicio ( PageIndex {12} )
Simplifica: ( dfrac {3a} {3b} )
Respuesta
( dfrac {a} {b} )
Multiplicar fracciones
Muchas personas encuentran que multiplicar y dividir fracciones es más fácil que sumar y restar fracciones. Entonces comenzaremos con la multiplicación de fracciones.
Hacer la actividad de Matemática manipulativa “Multiplicación de fracciones modelo” te ayudará a desarrollar una mejor comprensión de la multiplicación de fracciones.
Utilizaremos un modelo para mostrarle cómo multiplicar dos fracciones y para ayudarlo a recordar el procedimiento. Comencemos con ( dfrac {3} {4} ).
Para multiplicar fracciones, multiplica los numeradores y multiplica los denominadores.
Cuando multiplicando fracciones , las propiedades de los números positivos y negativos todavía se aplican, por supuesto. Es una buena idea determinar el signo del producto como primer paso. En el ejercicio ( PageIndex {13} ), multiplicaremos negativo y positivo, por lo que el producto será negativo.
Al multiplicar una fracción por un número entero, puede ser útil escribir el número entero como fracción. Cualquier número entero, a , se puede escribir como ( dfrac {a} {1} ). Entonces, por ejemplo, (3 = dfrac {3} {1} ).
Ejercicio ( PageIndex {16} )
Multiplicar: (- dfrac {12} {5} (- 20x) )
Respuesta
Determine el signo del producto. Los signos son los mismos, por lo que el producto es positivo.
(- dfrac {12} {5} (- 20x) )
Escribe (20x ) como una fracción.
( dfrac {12} {5} ( dfrac {20x} {1}) )
Multiplica.
Reescribe (20 ) para mostrar el factor común (5 ) y divídelo.
Simplificar.
(48x )
Ejercicio ( PageIndex {17} )
Multiplicar: ( dfrac {11} {3} (- 9a) )
Respuesta
(- 33a )
Ejercicio ( PageIndex {18} )
Multiplicar: ( dfrac {13} {7} (- 14b) )
Respuesta
(- 26b )
Dividir fracciones
Ahora que sabemos cómo multiplicar fracciones, estamos casi listos para dividir. Antes de que podamos hacer eso, necesitamos un poco de vocabulario.
El recíproco de una fracción se encuentra invirtiendo la fracción, colocando el numerador en el denominador y el denominador en el numerador. El recíproco de ( dfrac {2} {3} ) es ( dfrac {3} {2} ).
Observe que ( dfrac {2} {3} cdot dfrac {3} {2} = 1 ). Un número y su recíproco se multiplican por (1 ).
Para obtener un producto de positivo (1 ) al multiplicar dos números, los números deben tener el mismo signo. Entonces los recíprocos deben tener el mismo signo.
El recíproco de (- dfrac {10} {7} ) es (- dfrac {7} {10} ), ya que (- dfrac {10} {7} (- dfrac {7} {10}) = 1 ).
RECIPROCAL
El recíproco de ( dfrac {a} {b} ) es ( dfrac {b} {a} ).
Un número y su recíproco se multiplican por uno ( dfrac {a} {b} cdot dfrac {b} {a} = 1 )
Nota
Realizar la actividad de Matemática manipulativa “División de fracciones modelo” te ayudará a desarrollar una mejor comprensión de la división de fracciones.
Para dividir fracciones, multiplicamos la primera fracción por el recíproco de la segunda.
DIVISIÓN DE FRACCIONES
Si (a, b, c ) y (d ) son números donde (b neq 0, c neq 0 ) y (d neq 0 ), entonces
Para dividir fracciones, multiplicamos la primera fracción por el recíproco de la segunda.
¡Necesitamos decir (b neq 0, c neq 0 ) y (d neq 0 ) para asegurarnos de que no dividimos entre cero!
Ejercicio ( PageIndex {19} )
Divide: (- dfrac {2} {3} div dfrac {n} {5} )
Respuesta
[ begin {array} {ll} {} & {- dfrac {2} {3} div dfrac {n} {5}} \ { text {Para dividir, multiplica la primera fracción por el}} & {- dfrac {2} {3} cdot dfrac {5} {n}} \ { text {recíproco del segundo.}} & {} \ { text {Multiplicar. }} & {- dfrac {10} {3n}} end {array} ]
Ejercicio ( PageIndex {20} )
Divide: (- dfrac {3} {5} div dfrac {p} {7} ).
Respuesta
(- dfrac {21} {5p} )
Ejercicio ( PageIndex {21} )
Divide: (- dfrac {5} {8} div dfrac {q} {3} ).
Respuesta
(- dfrac {15} {8q} )
Ejercicio ( PageIndex {22} )
Encuentra el cociente:
(- dfrac {7} {18} div (- dfrac {14} {27}) )
Respuesta
(- dfrac {7} {18} div (- dfrac {14} {27}) )
Para dividir, multiplica la primera fracción por el recíproco de la segunda.
(- dfrac {7} {18} cdot – dfrac {27} {14} )
Determine el signo del producto y luego multiplíquelo.
( dfrac {7 cdot 27} {18 cdot 14} )
Reescribe mostrando factores comunes.
Eliminar los factores comunes.
( dfrac {3} {2 cdot 2} )
Simplifica.
( dfrac {3} {4} )
Ejercicio ( PageIndex {23} )
Encuentra el cociente:
(- dfrac {7} {8} div (- dfrac {14} {27}) )
Respuesta
( dfrac {4} {15} )
Ejercicio ( PageIndex {24} )
Encuentra el cociente:
(- dfrac {7} {8} div (- dfrac {14} {27}) )
Respuesta
( dfrac {2} {3} )
Hay varias formas de recordar qué pasos tomar para multiplicar o dividir fracciones. Una forma es repetir las llamadas a ti mismo. Si hace esto cada vez que haga un ejercicio, memorizará los pasos.
“Para multiplicar fracciones, multiplica los numeradores y multiplica los denominadores”.
“Para dividir fracciones, multiplique la primera fracción por el recíproco de la segunda”.
Otra forma es tener en cuenta dos ejemplos:
Figura ( PageIndex {7} )
Los numeradores o denominadores de algunas fracciones contienen fracciones en sí mismas. Una fracción en la cual el numerador o el denominador es una fracción se llama fracción compleja .
FRACCIÓN COMPLEJA
Una fracción compleja es una fracción en la que el numerador o el denominador contiene una fracción.
Para simplificar una fracción compleja, recordamos que la barra de fracción significa división . Por ejemplo, la fracción compleja ( dfrac { frac {3} {4}} { frac {5} {8}} ) significa ( dfrac {3} {4} div dfrac {5} {8} ).
Simplificar expresiones con una barra de fracciones
La línea que separa el numerador del denominador en una fracción se llama barra de fracción. Una barra de fracción actúa como símbolo de agrupación. El orden de las operaciones nos dice que simplifiquemos el numerador y luego el denominador. Entonces nos dividimos.
Para simplificar la expresión ( dfrac {5 – 3} {7 + 1} ), primero simplificamos el numerador y el denominador por separado. Entonces nos dividimos.
SIMPLIFIQUE UNA EXPRESIÓN CON UNA BARRA DE FRACCIÓN.
Simplifica la expresión en el numerador. Simplifica la expresión en el denominador.
Simplifica la fracción.
Ejercicio ( PageIndex {31} )
Simplifique: ( dfrac {4 – 2 (3)} {2 ^ {2} + 2} )
Respuesta
[ begin {array} {ll} {} & { dfrac {4 – 2 (3)} {2 ^ {2} + 2}} \ { text {Utilice el orden de las operaciones para simplificar el}} y { dfrac {4 – 6} {4 + 2}} \ { text {numerador y el denominador.}} & {} \ { text {Simplifique el numerador y el denominador}} & { dfrac {-2} {6}} \ { text {Simplificar. Un negativo dividido por un positivo es negativo.}} & {- dfrac {1} {3}} end {array} ]
Ejercicio ( PageIndex {32} )
Simplifique: ( dfrac {6 – 3 (5)} {3 ^ {2} + 3} )
Respuesta
(- dfrac {3} {4} )
Ejercicio ( PageIndex {33} )
Simplifique: ( dfrac {4 – 4 (6)} {3 ^ {2} + 3} )
Respuesta
(- dfrac {5} {3} )
¿A dónde va el signo negativo en una fracción? Por lo general, el signo negativo está delante de la fracción, pero a veces verá una fracción con un numerador negativo, o algunas veces con un denominador negativo. Recuerda que las fracciones representan división. Cuando el numerador y el denominador tienen signos diferentes, el cociente es negativo.
[ begin {array} {ll} { frac {-1} {3} = – frac {1} {3}} y { frac { text {negativo}} { text {positivo }} = text {negativo}} \ { frac {1} {- 3} = – frac {1} {3}} y { frac { text {positivo}} { text {negativo}} = text {negative}} end {array} ]
Ahora que hemos hecho un trabajo con fracciones, estamos listos para traducir frases que resulten en expresiones con fracciones.
Las palabras en inglés cociente y relación se usan a menudo para describir fracciones. Recuerde que “cociente” significa división . El cociente de aa y bb es el resultado que obtenemos al dividir (a ) por (b ) o ( dfrac {a} {b} ).
Ejercicio ( PageIndex {37} )
Traduce la frase en inglés a una expresión algebraica: el cociente de la diferencia de (m ) y (n ), y (p ).
Respuesta
Estamos buscando el cociente de la diferencia de ( m ) y ( n ) , y ( p ) .. Esto significa que queremos dividir la diferencia de ( m ) y ( n ) , y ([ 19459056] p ) .
[ dfrac {m – n} {p} ]
Ejercicio ( PageIndex {38} )
Traduce la frase en inglés a una expresión algebraica: el cociente de la diferencia de (a ) y (b ), y (cd ).
Respuesta
( dfrac {a – b} {cd} )
Ejercicio ( PageIndex {39} )
Traduce la frase en inglés a una expresión algebraica: el cociente de la suma de (p ) y (q ), y (r ).
Respuesta
( dfrac {p + q} {r} )
Conceptos clave
Propiedad de fracciones equivalentes: Si (a, b, c ) son números donde (b neq 0, c neq 0 ), entonces ( dfrac {a} {b} = dfrac {a cdot c} {b cdot c} ) y ( dfrac {a cdot c} {b cdot c} = dfrac {a} {b} )
División de fracciones: Si (a, b, c ) y (d ) son números donde (b neq 0, c neq 0 ) y (d neq 0 ), luego ( dfrac {a} {b} div dfrac {c} {d} = dfrac {a} {b} cdot dfrac {d} {c} ). Para dividir fracciones, multiplique la primera fracción por el recíproco de la segunda.
Multiplicación de fracciones: Si (a, b, c ) y (d ) son números donde (b neq 0, d neq 0 ) , entonces ( dfrac {a} {b} cdot dfrac {c} {d} = dfrac {ac} {bd} ). Para multiplicar fracciones, multiplica los numeradores y multiplica los denominadores.
Colocación de signo negativo en una fracción: Para cualquier número positivo (a ) y (b ), ( dfrac {-a} {a} = dfrac {a} {- a} = – dfrac {a} {b} )
Propiedad de uno: ( dfrac {a} {a} = 1 ); Cualquier número, excepto cero, dividido por sí mismo es uno.
Simplificar una fracción
Reescribe el numerador y el denominador para mostrar los factores comunes. Si es necesario, primero factoriza el numerador y el denominador en números primos.
Simplifique usando la propiedad de fracciones equivalentes dividiendo factores comunes.
Multiplica los factores restantes.
Simplifique una expresión con una barra de fracciones
Simplifica la expresión en el numerador. Simplifica la expresión en el denominador.
Simplifica la fracción.
Glosario
fracción compleja
Una fracción compleja es una fracción en la que el numerador o el denominador contiene una fracción.
denominador
El denominador es el valor en la parte inferior de la fracción que indica el número de partes iguales en las que se ha dividido el todo.
fracciones equivalentes
Las fracciones equivalentes son fracciones que tienen el mismo valor.
fracción
Una fracción se escribe ( frac {a} {b} ), donde (b neq 0 ), a es el numerador y b es el denominador. Una fracción representa partes de un todo. El denominador b es el número de partes iguales en las que se ha dividido el todo, y el numerador aa indica cuántas partes están incluidas.
numerador
El numerador es el valor en la parte superior de la fracción que indica cuántas partes del todo están incluidas.
recíproco
El recíproco de ( frac {a} {b} ) es ( frac {b} {a} ). Un número y su recíproco se multiplican por uno: ( frac {a} {b} cdot frac {b} {a} = 1 ).
fracción simplificada
Una fracción se considera simplificada si no hay factores comunes en su numerador y denominador.
