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las matematicas

1.7: Multiplicar números enteros (Parte 1)

Usar notación de multiplicación

 

Supongamos que se le pide que cuente todos estos centavos que se muestran en la Figura ( PageIndex {1} ).

 

An image of 3 horizontal rows of pennies, each row containing 8 pennies.

 

Figura ( PageIndex {1} )

 

¿Contarías los centavos individualmente? ¿O podría contar el número de centavos en cada fila y agregar ese número (3 ) veces.

 

[8 + 8 + 8 nonumber ]

 

La multiplicación es una forma de representar la suma repetida. Entonces, en lugar de agregar (8 ) tres veces, podríamos escribir una expresión de multiplicación.

 

[3 times 8 nonumber ]

 

Llamamos a cada número que se multiplica un factor y el resultado es el producto . Leemos (3 × 8 ) como tres veces ocho , y el resultado como el producto de tres y ocho .

 

Hay varios símbolos que representan la multiplicación. Estos incluyen el símbolo ×, así como el punto, • y paréntesis ().

 
 

Símbolos de operación para multiplicación

 

Para describir la multiplicación, podemos usar símbolos y palabras.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         
Tabla ( PageIndex {1} )
Operación Notación Expresión Leer como Resultado
Multiplicación × 3 × 8 tres veces ocho el producto de 3 y 8
3 • 8
() 3 (8)
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): traducir

 

Traducir de notación matemática a palabras:

 
         
  1. (7 × 6 )
  2.      
  3. (12 · 14 )
  4.      
  5. (6 (13) )
  6.  
 

Solución

 
         
  1. Leemos esto como siete veces seis y el resultado es el producto de siete y seis .
  2.      
  3. Leemos esto como doce veces catorce y el resultado es el producto de doce y catorce .
  4.      
  5. Leemos esto como seis veces trece y el resultado es el producto de seis y trece .
  6.  
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Traducir de notación matemática a palabras:

 
         
  1. (8 × 7 )
  2.      
  3. (18 • 11 )
  4.  
 
     
Responda a
     
     

ocho veces siete; el producto de ocho y siete

     
     
Respuesta b
     
     

dieciocho veces once; el producto de dieciocho y once

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Traducir de notación matemática a palabras:

 
         
  1. ((13) (7) )
  2.      
  3. (5 (16) )
  4.  
 
     
Responda a
     
     

trece veces siete; el producto de trece y siete

     
     
Respuesta b
     
     

cinco veces dieciseis; el producto de cinco y dieciseis

     
 
 
 
 

Modelo de multiplicación de números enteros

 

Hay muchas formas de modelar la multiplicación. A diferencia de las secciones anteriores donde usamos bloques base – (10 ​​), aquí usaremos contadores para ayudarnos a comprender el significado de la multiplicación. Un contador es cualquier objeto que se puede usar para contar. Usaremos contadores azules redondos.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): modelo

 

Modelo: (3 × 8 ).

 

Solución

 

Para modelar el producto (3 × 8 ), comenzaremos con una fila de contadores (8 ).

 

An image of a horizontal row of 8 counters.

 

El otro factor es (3 ), por lo que haremos (3 ) filas de contadores (8 ).

 

An image of 3 horizontal rows of counters, each row containing 8 counters.

 

Ahora podemos contar el resultado. Hay (24 ) contadores en total.

 

[3 times 8 = 24 nonumber ]

 

Si miras los contadores de lado, verás que también podríamos haber hecho (8 ) filas de (3 ) contadores. El producto hubiera sido el mismo. Volveremos a esta idea más tarde.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Modela cada multiplicación: (4 × 6 ).

 
     
Respuesta
     
     

Exercise 1.4.3.jpg

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Modela cada multiplicación: (5 × 7 ).

 
     
Respuesta
     
     

Exercise 1.4.4.jpg

     
 
 
 
 

Multiplicar números enteros

 

Para poder multiplicar sin usar modelos, debes conocer todas las operaciones de multiplicación de un dígito. Asegúrese de conocerlos con fluidez antes de continuar en esta sección. La tabla ( PageIndex {2} ) muestra las operaciones de multiplicación. Cada cuadro muestra el producto del número en la columna izquierda y el número en la fila superior. Si no está seguro acerca de un producto, modeléelo. Es importante que memorice los datos numéricos que aún no conoce para estar preparado para multiplicar números más grandes.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           
Tabla ( PageIndex {2} )
× 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81
 

¿Qué sucede cuando multiplicas un número por cero? Puede ver que el producto de cualquier número y cero es cero. Esto se llama la propiedad de multiplicación de cero.

 
 

Definición: Propiedad de multiplicación de cero

 

El producto de cualquier número y (0 ) es (0 ).

 

[a cdot 0 = 0 ]

 

[0 cdot a = 0 ]

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): multiplica

 

Multiplicar:

 
         
  1. (0 • 11 )
  2.      
  3. ((42) 0 )
  4.  
 

Solución

 
         
  1.  
                                                              
El producto de cualquier número y cero es cero. 0 • 11 = 0
 
         
  1.  
                                                              
Multiplicar por cero da como resultado cero. (42) 0 = 0
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Encuentra cada producto:

 
         
  1. (0 • 19 )
  2.      
  3. ((39) 0 )
  4.  
 
     
Responda a
     
     

(0 )

     
     
Respuesta b
     
     

(0 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Encuentra cada producto:

 
         
  1. (0 • 24 )
  2.      
  3. ((57) 0 )
  4.  
 
     
Responda a
     
     

(0 )

     
     
Respuesta b
     
     

(0 )

     
 
 
 
 

¿Qué sucede cuando multiplicas un número por uno? Multiplicar un número por uno no cambia su valor. Llamamos a este hecho la Propiedad de Identidad de Multiplicación, y (1 ) se llama identidad multiplicativa.

 
 

Definición: Propiedad de identidad de la multiplicación

 

El producto de cualquier número y (1 ) es el número.

 

[1 cdot a = a ]

 

[a cdot 1 = a ]

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): multiplicar

 

Multiplicar:

 
         
  1. ((11) 1 )
  2.      
  3. (1 • 42 )
  4.  
 

Solución

 
         
  1.  
                                                              
El producto de cualquier número y uno es el número. (11) 1 = 11
 
         
  1.  
                                                              
Multiplicar por uno no cambia el valor. 1 • 42 = 42
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Encuentra cada producto:

 
         
  1. ((19) 1 )
  2.      
  3. (1 • 39 )
  4.  
 
     
Responda a
     
     

(19 )

     
     
Respuesta b
     
     

(39 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Encuentra cada producto:

 
         
  1. ((24) (1) )
  2.      
  3. (1 × 57 )
  4.  
 
     
Responda a
     
     

(24 )

     
     
Respuesta b
     
     

(57 )

     
 
 
 
 

Anteriormente en este capítulo, aprendimos que la propiedad conmutativa de la suma establece que cambiar el orden de adición no cambia la suma. Vimos que (8 + 9 = 17 ) es lo mismo que (9 + 8 = 17 ).

 

¿Es esto también cierto para la multiplicación? Veamos algunos pares de factores.

 

$$ begin {split} 4 cdot 7 & = 28 qquad 7 cdot 4 = 28 \ 9 cdot 7 & = 63 qquad 7 cdot 9 = 63 \ 8 cdot 9 & = 72 qquad 9 cdot 8 = 72 end {split} $$

 

Cuando se invierte el orden de los factores, el producto no cambia. Esto se llama la propiedad conmutativa de la multiplicación.

 
 

Definición: Propiedad conmutativa de la multiplicación

 

Cambiar el orden de los factores no cambia su producto.

 

[a cdot b = b cdot a ]

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): multiplica

 

Multiplicar:

 
         
  1. (8 • 7 )
  2.      
  3. (7 • 8 )
  4.  
 

Solución

 
         
  1.  
 
         
  1.  
 

Cambiar el orden de los factores no cambia el producto.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Multiplicar:

 
         
  1. (9 • 6 )
  2.      
  3. (6 • 9 )
  4.  
 
     
Responda a
     
     

(54 )

     
     
Respuesta b
     
     

(54 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Multiplicar:

 
         
  1. (8 • 6 )
  2.      
  3. (6 • 8 )
  4.  
 
     
Responda a
     
     

(48 )

     
     
Respuesta b
     
     

(48 )

     
 
 
 
 

Para multiplicar números con más de un dígito, generalmente es más fácil escribir los números verticalmente en columnas, tal como lo hicimos para sumar y restar.

 

 

Comenzamos multiplicando (3 ) por (7 ).

 

[3 times 7 = 21 nonumber ]

 

Escribimos el (1 ) en el lugar de las unidades del producto. Llevamos (2 ) decenas escribiendo (2 ) sobre el lugar de las decenas.

 

 

Luego multiplicamos el (3 ) por el (2 ), y agregamos el (2 ) sobre el lugar de las decenas al producto. Entonces (3 × 2 = 6 ) y (6 + 2 = 8 ). Escriba (8 ) en el lugar de las decenas del producto.

 

 

El producto es (81 ).

 

Cuando multiplicamos dos números con un número diferente de dígitos, generalmente es más fácil escribir el número más pequeño en la parte inferior. También podría escribirlo de la otra manera, pero de esta manera es más fácil trabajar con él.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): multiplica

 

Multiplicar: (15 • 4 ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                              
Escribe los números para que los dígitos 5 y 4 se alineen verticalmente.
Multiplica 4 por el dígito en el lugar de las unidades 15. 4 • 5 = 20.
Escribe 0 en el lugar de las unidades del producto y lleva las 2 decenas.
Multiplica 4 por el dígito en el lugar de las decenas de 15. 4 ⋅ 1 = 4. Suma las 2 decenas que llevamos. 4 + 2 = 6.
Escribe el 6 en el lugar de las decenas del producto.
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Multiplicar: (64 • 8 ).

 
     
Respuesta
     
     

(512 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Multiplicar: (57 • 6 ).

 
     
Respuesta
     
     

(342 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): multiplica

 

Multiplicar: (286 • 5 ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                              
Escribe los números para que los dígitos 5 y 6 se alineen verticalmente.
Multiplica 5 por el dígito en el lugar de las unidades de 286. 5 • 6 = 30.
Escribe el 0 en el lugar de las unidades del producto y lleva el 3 al lugar de las decenas. Multiplica 5 por el dígito en el lugar de las decenas de 286. 5 • 8 = 40.
Agrega las 3 decenas que llevamos para obtener 40 + 3 = 43. Escribe el 3 en el lugar de las decenas del producto y lleva el 4 al lugar de las centenas.
Multiplica 5 por el dígito en el lugar de las centenas de 286. 5 • 2 = 10. Suma los 4 cientos que llevamos para obtener 10 + 4 = 14. Escribe el 4 en el lugar de las centenas del producto y el 1 en el lugar de miles
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Multiplicar: (347 • 5 ).

 
     
Respuesta
     
     

(1,735 )

     
 
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Multiplicar: (462 • 7 ).

 
     
Respuesta
     
     

(3,234 )

     
 
 
 
 

Cuando multiplicamos por un número con dos o más dígitos, multiplicamos por cada uno de los dígitos por separado, trabajando de derecha a izquierda. Cada producto separado de los dígitos se denomina producto parcial. Cuando escribimos productos parciales, debemos asegurarnos de alinear los valores posicionales.

 
 
 

CÓMO: MULTIPLICAR DOS NÚMEROS ENTEROS PARA ENCONTRAR EL PRODUCTO

 

Paso 1. Escribe los números para que cada valor posicional se alinee verticalmente.

 

Paso 2. Multiplica los dígitos en cada valor posicional.

 
         
  • Trabaja de derecha a izquierda, comenzando con los que están en el número inferior.      
               
    • Multiplica el número inferior por el dígito de las unidades en el número superior, luego por el dígito de las decenas, y así sucesivamente.
    •          
    • Si un producto en un valor posicional es más de 9, lleve al valor posicional siguiente.
    •          
    • Escribe los productos parciales, alineando los dígitos en los valores posicionales con los números de arriba.
    •      
         
  •      
  • Repita para el lugar de las decenas en el número inferior, el lugar de las centenas, etc.
  •      
  • Inserte un cero como marcador de posición con cada producto parcial adicional.
  •  
 

Paso 3. Agregar los productos parciales.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ): multiplica

 

Multiplicar: (62 (87) ).

 

Solución

 

El producto es (5,394 ).

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Multiplicar: (43 (78) ).

 
     
Respuesta
     
     

(3,354 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Multiplicar: (64 (59) ).

 
     
Respuesta
     
     

(3,776 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ): multiplica

 

Multiplicar:

 
         
  1. (47 • 10 )
  2.      
  3. (47 • 100 )
  4.  
 

Solución

                                                                                                              
(a) 47 • 10
(b) 47 • 100
 

Cuando multiplicamos (47 ) veces (10 ​​), el producto era (470 ). Observe que (10 ​​) tiene un cero, y ponemos un cero después de (47 ) para obtener el producto. Cuando multiplicamos (47 ) veces (100 ), el producto era (4,700 ). Observe que (100 ) tiene dos ceros y ponemos dos ceros después de (47 ) para obtener el producto.

 

¿Ves el patrón? Si multiplicamos (47 ) por (10,000 ), que tiene cuatro ceros, pondríamos cuatro ceros después de (47 ) para obtener el producto (470,000 ).

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Multiplicar:

 
         
  1. (54 • 10 )
  2.      
  3. (54 • 100 )
  4.  
 
     
Responda a
     
     

(540 )

     
     
Respuesta b
     
     

(5,400 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Multiplicar:

 
         
  1. (75 • 10 )
  2.      
  3. (75 • 100 )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     

(750 )

     
     
Respuesta
     
     

(7,500 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ): multiplica

 

Multiplicar: (354 (438) ).

 

Solución

 

Hay tres dígitos en los factores, por lo que habrá (3 ) productos parciales. No tenemos que escribir (0 ) como marcador de posición siempre que escribamos cada producto parcial en el lugar correcto.

 

An image of the multiplication problem “354 times 438” worked out vertically. 354 is the top number, 438 is the second number. Below 438 is a multiplication bar. Below the bar is the number 2,832. 2832 has the label “Multiply 8 times 354”. Below 2832 is the number 1,062;  1062 has the label “Multiply 3 times 354”.  Below 1062 is the number 1,416; 1416 has the label “Multiply 4 times 354”.  Below this is a bar and below the bar is the number “155,052”, with the label “Add the partial products”.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Multiplicar: (265 (483) ).

 
     
Respuesta
     
     

(127,995 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Multiplicar: (823 (794) ).

 
     
Respuesta
     
     

(653,462 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} ): multiplica

 

Multiplicar: (896 (201) ).

 

Solución

 

Debe haber (3 ) productos parciales. El segundo producto parcial será el resultado de multiplicar (896 ) por (0 ).

 

An image of the multiplication problem “896 times 201” worked out vertically. 896 is the top number, the 8 in the hundreds place, the 9 in the tens place, the 6 in the ones place. 201 is the second number,  the 2 in the hundreds place, the 0 in the tens place, the 1 in the ones place. Below 201 is a multiplcation bar. Below the bar is the number 896, the 8 in the hundreds place, the 9 in the tens place, the 6 in the ones place. 896 has the label “Multiply 1 times 896”. Below 896 is the number “000”, the 0 in the thousands place, the 0 in the hundreds place, and the 0 in the tens place. “000” has the label “Multiply 0 times 896”.  Below “000” is the number 1792, the 1 in the hundred thousands place, the 7 in the ten thousands place, the 9 in the thousands place, and the 2 in the hundreds place. 1792 has the label “Multiply 2 times 896”.  Below this is a bar and below the bar is the number “180,096”, with the label “Add the partial products”.

 

Observe que el segundo producto parcial de todos los ceros no afecta realmente el resultado. Podemos colocar un cero como marcador de posición en el lugar de las decenas y luego proceder directamente a la multiplicación por (2 ) en el lugar de las centenas, como se muestra.

 

Multiplica por (10 ​​), pero inserta solo un cero como marcador de posición en el lugar de las decenas. Multiplique por (200 ), colocando el (2 ) desde el (12 ). (2 • 6 = 12 ) en el lugar de las centenas.

 

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} )

 

Multiplicar: ((718) 509 ).

 
     
Respuesta
     
     

(365,462 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} )

 

Multiplicar: ((627) 804 ).

 
     
Respuesta
     
     

(504,108 )

     
 
 
 
 

Cuando hay tres o más factores, multiplicamos los dos primeros y luego multiplicamos su producto por el siguiente factor. Por ejemplo:

                                                                                                                                                              
para multiplicar 8 • 3 • 2
primero multiplica 8 • 3 24 • 2
luego multiplica 24 • 2 48
 
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