Saltar al contenido
las matematicas

1.7: Resolviendo Ecuaciones Lineales

Resolución de ecuaciones lineales básicas

 

Una ecuación 129 es una declaración que indica que dos expresiones algebraicas son iguales. Una ecuación lineal con una variable 130 , (x ), es una ecuación que se puede escribir en la forma estándar (ax + b = 0 ) donde (a ) y (b ) son números reales y (a ≠ 0 ). Por ejemplo

 

(3 x – 12 = 0 )

 

Una solución 131 a una ecuación lineal es cualquier valor que puede reemplazar la variable para producir un enunciado verdadero. La variable en la ecuación lineal (3x – 12 = 0 ) es (x ) y la solución es (x = 4 ). Para verificar esto, sustituya el valor (4 ) por (x ) y verifique que obtenga una declaración verdadera.

 

( begin {alineado} 3 x – 12 & = 0 \ 3 ( color {Cerulean} {4} color {Black} {)} – 12 & = 0 \ 12 – 12 & = 0 \ 0 & = 0 : : color {Cerulean} {✓} end {alineado} )

 

Alternativamente, cuando una ecuación es igual a una constante, podemos verificar una solución sustituyendo el valor por la variable y mostrando que el resultado es igual a esa constante. En este sentido, decimos que las soluciones “satisfacen la ecuación”.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

¿Es (a = – frac {1} {2} ) una solución para (- 10a + 5 = 25 )?

 

Solución

 

Recuerde que al evaluar expresiones, es una buena práctica reemplazar primero todas las variables con paréntesis y luego sustituir los valores apropiados. Al utilizar paréntesis, evitamos algunos errores comunes al trabajar el orden de las operaciones.

 

(- 10 a + 5 = – 10 ( color {Cerulean} {- frac {1} {2}} color {Black} {) +} 5 = 5 + 5 = 10 neq 25 : : color {rojo} {✗} )

 

Respuesta :

 

No, (a = – frac {1} {2} ) no satisface la ecuación.

 
 

El desarrollo de técnicas para resolver varias ecuaciones algebraicas es uno de nuestros principales objetivos en álgebra. Esta sección revisa las técnicas básicas utilizadas para resolver ecuaciones lineales con una variable. Comenzamos definiendo equivalentes ecuaciones 132 como ecuaciones con el mismo conjunto de soluciones.

 

( left. Begin {alineado} 3 x – 5 & = 16 \ 3 x & = 21 \ x & = 7 end {alineado} right } quad color {Cerulean} { Equivalente : ecuaciones} )

 

Aquí podemos ver que las tres ecuaciones lineales son equivalentes porque comparten el mismo conjunto de soluciones, a saber, ( {7 } ). Para obtener ecuaciones equivalentes, use las siguientes propiedades de igualdad 133 . Dadas expresiones algebraicas (A ) y (B ), donde (c ) es un número distinto de cero:

                                                                                                                                                                                                              
Propiedad adicional de igualdad: Si (A = B ), entonces (A color {Cerulean} {+ c} color {Black} {=} B color {Cerulean} {+ c} )
Propiedad de igualdad de la resta: Si (A = B ), entonces (A color {Cerulean} {- c} color {Black} {-} B color {Cerulean} {- c} )
Propiedad de igualdad de multiplicación: Si (A = B ), entonces ( color {Cerulean} {c} color {Black} {A} = color {Cerulean} {c} color {Black} {B} )
Propiedad de igualdad de la división: Si (A = B ), entonces ( frac {A} { color {Cerulean} {c}} color {Black} {=} frac {B} { color {Cerulean} { c}} )
 

Tabla 1.7.1

 
 

Nota

 

Multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por (0 ) se evita cuidadosamente. Dividir entre (0 ) no está definido y multiplicar ambos lados por (0 ) da como resultado la ecuación (0 = 0 ).

 
 

Resolvemos ecuaciones algebraicas aislando la variable con un coeficiente de 1. Si se da una ecuación lineal de la forma (ax + b = c ), entonces podemos resolverla en dos pasos. Primero, use la propiedad de igualdad apropiada de suma o resta para aislar el término variable. Luego, aísle la variable usando la propiedad de igualdad de la multiplicación o división. La comprobación de la solución en los siguientes ejemplos se deja al lector.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Resuelve: (7x – 2 = 19 ).

 

Solución

 

( begin {alineado} 7 x – 2 & = 19 \ 7 x – 2 color {Cerulean} {+ 2} & = 19 color {Cerulean} {+ 2} quad Add : 2 : a : ambos : lados. \ 7 x & = 21 \ frac {7 x} { color {Cerulean} {7}} & = frac {21} { color {Cerulean} {7 }} quad color {Cerulean} {Dividir : ambos : lados : por : 7.} \ x & = 3 end {alineado} )

 

Respuesta :

 

La solución es (3 ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Resuelve: (56 = 8 + 12y ).

 

Solución

 

Cuando ningún signo precede al término, se entiende que es positivo. En otras palabras, piense en esto como (56 = +8 + 12y ). Por lo tanto, comenzamos restando (8 ) en ambos lados del signo igual.

 

( begin {alineado} 56 color {Cerulean} {- 8} & = 8 + 12 y color {Cerulean} {- 8} \ 48 & = 12 y \ frac {48} { color {Cerulean} {12}} & = frac {12 y} { color {Cerulean} {12}} \ 4 & = y end {alineado} )

 

No importa de qué lado elijamos aislar la variable porque la simétrica propiedad 134 establece que (4 = y ) es equivalente a (y = 4 ).

 

Respuesta :

 

La solución es (4 ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Resuelve: ( frac {5} {3} x + 2 = – 8 ).

 

Solución

 

Aísle el término variable usando la propiedad de suma de la igualdad, y luego multiplique ambos lados de la ecuación por el recíproco del coeficiente ( frac {5} {3} ).

 

begin {alineado} frac {5} {3} x + 2 & = – 8 \ frac {5} {3} x + 2 color {Cerulean} {- 2} & = – 8 color {Cerulean} {- 2} quad color {Cerulean} {Restar : 2 : en : ambos : lados.} \ frac {5} {3} x & = – 10 \ color {Cerulean} { frac {3} {5}} color {Black} { cdot} frac {5} {3} x & = color {Cerulean} { frac {3} { cancel {5} }} color {Black} { cdot} ( overset {-2} { cancel {-10}}) quad color {Cerulean} {Multiplicar : ambos : lados : lados : por : frac { 3} {5}.} \ 1x & = 3 cdot (- 2) \ x & = – 6 end {alineado}

 

Respuesta :

 

La solución es (- 6 ).

 
 

En resumen, para retener ecuaciones equivalentes, debemos realizar la misma operación en ambos lados de la ecuación.

 

Pautas generales para resolver ecuaciones lineales

 

Normalmente, las ecuaciones lineales no se dan en forma estándar, por lo que resolverlas requiere pasos adicionales. Al resolver ecuaciones lineales, el objetivo es determinar qué valor, si lo hay, producirá una declaración verdadera cuando se sustituya en la ecuación original. Haga esto aislando la variable usando los siguientes pasos:

 
         
  • Paso 1: Simplifique ambos lados de la ecuación usando el orden de las operaciones y combine todos los términos similares en el mismo lado del signo igual.
  •      
  • Paso 2: Use las propiedades apropiadas de igualdad para combinar términos similares en lados opuestos del signo igual. El objetivo es obtener el término variable en un lado de la ecuación y el término constante en el otro.
  •      
  • Paso 3: Divida o multiplique según sea necesario para aislar la variable.
  •      
  • Paso 4: Verifica si la respuesta resuelve la ecuación original.
  •  
 

A menudo encontraremos ecuaciones lineales donde las expresiones a cada lado del signo igual se pueden simplificar. Si este es el caso, entonces es mejor simplificar cada lado antes de resolverlo. Normalmente esto implica combinar términos similares del mismo lado.

 
 

Nota

 

En este punto de nuestro estudio de álgebra, el uso de las propiedades de igualdad debería parecer rutinario. Por lo tanto, mostrar estos pasos en este texto, generalmente en azul, se convierte en opcional.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Resuelve: (- 4 a + 2 – a = 1 ).

 

Solución

 

Primero combine los términos similares en el lado izquierdo del signo igual.

 

( begin {alineado} – 4 a + 2 – a = 1 & quad color {Cerulean} {Combinar : mismo lado : como : términos.} \ – 5 a + 2 = 1 & quad color {Cerulean} {Restar : 2 : en : ambos : lados.} \ – 5 a = – 1 & quad color {Cerulean} {Divide : ambos : lados : por : – 5.} \ a = frac {- 1} {- 5} = frac {1} {5} end {alineado} )

 

Utilice siempre la ecuación original para verificar si la solución es correcta.

 

( begin {alineado} – 4 a + 2 – a & = – 4 left ( color {OliveGreen} { frac {1} {5}} right) + 2 – color {OliveGreen} { frac {1} {5}} \ & = – frac {4} {5} + frac {2} {1} cdot color {Cerulean} { frac {5} {5}} color {Negro} {-} frac {1} {5} \ & = frac {- 4 + 10 + 1} {5} \ & = frac {5} {5} = 1 : : color {Cerulean} {✓} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

La solución es ( frac {1} {5} ).

 
 

Dada una ecuación lineal en la forma (ax + b = cx + d ), comenzamos el proceso de resolución combinando términos similares en lados opuestos del signo igual. Para hacer esto, use la propiedad de igualdad de suma o resta para colocar términos similares en el mismo lado para que puedan combinarse. En los ejemplos que quedan, el cheque se deja al lector.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Resuelve: (- 2y – 3 = 5y + 11 ).

 

Solución

 

Resta (5y ) en ambos lados para que podamos combinar los términos que involucran y en el lado izquierdo.

 

( begin {array} {c} {- 2 y – 3 color {Cerulean} {- 5 y} color {Black} {=} 5 y + 11 color {Cerulean} {- 5 y }} \ {- 7 y – 3 = 11} end {array} )

 

Desde aquí, resuelve usando las técnicas desarrolladas previamente.

 

( begin {alineado} – 7 y – 3 & = 11 quad color {Cerulean} {Agregar : 3 : a : ambos : lados.} \ – 7 y & = 14 y & = frac {14} {- 7} quad color {Cerulean} {Divide : both : sides : by : -7.} \ y & = – 2 end {alineado} )

 

Respuesta :

 

La solución es (- 2 ).

 
 

La resolución a menudo requerirá la aplicación de la propiedad distributiva.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

 

Resuelve: (- frac {1} {2} (10 x – 2) + 3 = 7 (1 – 2 x) ).

 

Solución

 

Simplifique primero las expresiones lineales a ambos lados del signo igual.

 

( begin {alineado} – frac {1} {2} (10 x – 2) + 3 = 7 (1 – 2 x) y quad color {Cerulean} {Distribuir} \ – 5 x + 1 + 3 = 7 – 14 x & quad color {Cerulean} {Combinar : mismo lado : como : términos.} \ – 5 x + 4 = 7 – 14 x & quad color {Cerulean} {Combinar : lado opuesto : like : términos.} \ 9 x = 3 & quad color {Cerulean} {Resolver.} \ x = frac {3} {9} = frac {1} {3} end {alineado} )

 

Respuesta :

 

La solución es ( frac {1} {3} ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

 

Resuelve: (5 (3 − a) −2 (5−2a) = 3 ).

 

Solución

 

Comience aplicando la propiedad distributiva.

 

( begin {alineado} 5 (3 – a) – 2 (5 – 2 a) & = 3 \ 15 – 5 a – 10 + 4 a & = 3 \ 5 – a & = 3 – a & = – 2 end {alineado} )

 

Aquí señalamos que (- a ) es equivalente a (- 1a ); por lo tanto, elegimos dividir ambos lados de la ecuación por (- 1 ).

 

( begin {array} {c} {- a = – 2} \ { frac {- 1 a} { color {Cerulean} {- 1}} color {Black} {=} frac {- 2} { color {Cerulean} {- 1}}} \ {a = 2} end {array} )

 

Alternativamente, podemos multiplicar ambos lados de (- a = −2 ) por uno negativo y lograr el mismo resultado.

 

( begin {alineado} – a & = – 2 \ color {Cerulean} {(- 1)} color {Black} {(} – a) & = color {Cerulean} {(- 1)} color {Negro} {(} – 2) \ a & = 2 end {alineado} )

 

Respuesta :

 

La solución es (2 ).

 
 

Hay tres tipos diferentes de ecuaciones. Hasta este punto, hemos estado resolviendo condicional ecuaciones 135 . Estas son ecuaciones que son verdaderas para valores particulares. Una identidad 136 es una ecuación que es verdadera para todos los valores posibles de la variable. Por ejemplo,

 

(x = x quad color {Cerulean} {Identity} )

 

tiene un conjunto de soluciones que consta de todos los números reales, (ℝ ). Una contradicción 137 es una ecuación que nunca es cierta y, por lo tanto, no tiene soluciones. Por ejemplo,

 

(x + 1 = x quad color {Cerulean} {Contradiction} )

 

no tiene solución. Usamos el conjunto vacío, (Ø ), para indicar que no hay soluciones.

 

Si el resultado final de resolver una ecuación es una declaración verdadera, como (0 = 0 ), entonces la ecuación es una identidad y cualquier número real es una solución. Si resolver resulta en una declaración falsa, como (0 = 1 ), entonces la ecuación es una contradicción y no hay solución.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

 

Resuelve: (4 (x + 5) + 6 = 2 (2x + 3) ).

 

Solución

 

( begin {alineado} 4 (x + 5) + 6 & = 2 (2 x + 3) \ 4 x + 20 + 6 & = 4 x + 6 \ 4 x + 26 & = 4 x + 6 \ 26 & = 6 : : color {rojo} {✗} end {alineado} )

 

Resolver conduce a una declaración falsa; por lo tanto, la ecuación es una contradicción y no hay solución.

 

Respuesta :

 

(Ø )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ):

 

Resuelve: (3 (3y + 5) + 5 = 10 (y + 2) – y ).

 

Solución

 

( begin {alineado} 3 (3 y + 5) + 5 & = 10 (y + 2) – y \ 9 y + 15 + 5 & = 10 y + 20 – y \ 9 y + 20 & = 9 y + 20 \ 9 y & = 9 y \ 0 & = 0 : : color {Cerulean} {✓} end {alineado} )

 

Resolver conduce a una declaración verdadera; por lo tanto, la ecuación es una identidad y cualquier número real es una solución.

 

Respuesta :

 

(ℝ )

 
 

Los coeficientes de las ecuaciones lineales pueden ser cualquier número real, incluso decimales y fracciones. Cuando este es el caso, es posible usar la propiedad de multiplicación de la igualdad para borrar los coeficientes fraccionarios y obtener coeficientes enteros en un solo paso. Si se dan coeficientes fraccionarios, multiplique ambos lados de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (LCD).

 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} ):

 

Resuelve: ( frac {1} {3} x + frac {1} {5} = frac {1} {5} x – 1 ).

 

Solución

 

Despeja las fracciones multiplicando ambos lados por el mínimo común múltiplo de los denominadores dados. En este caso, es el (LCD (3, 5) = 15 ).

 

( begin {alineado} color {Cerulean} {15} color {Black} { cdot} left ( frac {1} {3} x + frac {1} {5} right ) & = color {Cerulean} {15} color {Black} { cdot} left ( frac {1} {5} x – 1 right) quad color {Cerulean} {Multiply : both : lados : por : 15.} \ color {Cerulean} {15} color {Black} { cdot} frac {1} {3} x + color {Cerulean} {15} color { Negro} { cdot} frac {1} {5} & = color {Cerulean} {15} color {Black} { cdot} frac {1} {5} x – color {Cerulean} {15 } color {Black} { cdot} 1 quad color {Cerulean} {Simplify.} \ 5 x + 3 & = 3 x – 15 quad quad quad color {Cerulean} {Resolver.} 2 x & = – 18 \ x & = frac {- 18} {2} = – 9 end {alineado} )

 

Respuesta :

 

La solución es (- 9 ).

 
 

Es importante saber que esta técnica solo funciona para ecuaciones. No intente borrar fracciones al simplificar expresiones. Como recordatorio:

                                                                                                                           
Expresión Ecuación
( frac {1} {2} x + frac {5} {3} ) ( frac {1} {2} x + frac {5} {3} = 0 )
 

Tabla 1.7.2

 

Simplificamos expresiones y resolvemos ecuaciones. Si multiplica una expresión por (6 ), cambiará el problema. Sin embargo, si multiplica ambos lados de una ecuación por (6 ), obtendrá una ecuación equivalente.

                                                                                                                           
Incorrecto Correcto
             

( frac {1} {2} x + frac {5} {3} )

             

( begin {alineado} neq & color {rojo} {6 cdot} color {Negro} { left ( frac {1} {2} x + frac {5} {3} right)} \ = & 3 x + 10 quad color {rojo} {✗} end {alineado} )

             
( begin {alineado} frac {1} {2} x + frac {5} {3} & = 0 \ color {Cerulean} {6 cdot} color {Black} { izquierda ( frac {1} {2} x + frac {5} {3} right)} & = color {Cerulean} {6 cdot} color {Black} {0} \ 3 x + 10 & = 0 quad color {Cerulean} {✓} end {alineado} )
 

Tabla 1.7.3

 

Aplicaciones que involucran ecuaciones lineales

 

Álgebra simplifica el proceso de resolución de problemas del mundo real. Esto se hace usando letras para representar incógnitas, reafirmando problemas en forma de ecuaciones y ofreciendo técnicas sistemáticas para resolver esas ecuaciones. Para resolver problemas usando álgebra, primero traduzca la redacción del problema en enunciados matemáticos que describan las relaciones entre la información dada y las incógnitas. Por lo general, esta traducción a declaraciones matemáticas es el paso difícil en el proceso. La clave de la traducción es leer cuidadosamente el problema e identificar ciertas palabras y frases clave.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           
Palabras clave Traducción
Suma , aumentada en, más que, más, agregada al total (+ )
Diferencia , disminuido por, restado de, menos, menos (- )
Producto , multiplicado por, de veces, dos veces ( cdot )
Cociente , dividido por, relación, por (÷ )
Es , total, resultado (= )
 

Tabla 1.7.4

 

Al traducir oraciones en enunciados matemáticos, asegúrese de leer la oración varias veces y analizar las palabras y frases clave. Es importante identificar primero la variable, “ sea x representar … ” y establecer en palabras cuál es la cantidad desconocida. Este paso no solo hace que nuestro trabajo sea más legible, sino que también nos obliga a pensar en lo que estamos buscando.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} ):

 

Cuando (6 ) se resta del doble de la suma de un número y (8 ) el resultado es (5 ). Encuentra el número.

 

Solución

 

Sea n el número desconocido.

 
fb5b25de9d7267c4fdc3cf2953eae974.png
Figura 1.7.1
 

Para comprender por qué incluimos los paréntesis en la configuración, debe estudiar la estructura de las siguientes dos oraciones y sus traducciones:

                                                                                                              
             

dos veces la suma de un número y 8

             
             

2 (n + 8)

             
             

la suma de dos veces un número y 8

             
             

2n + 8

             
 

Tabla 1.7.5

 

La clave era centrarse en la frase “ dos veces la suma “, esto nos llevó a agrupar la suma entre paréntesis y luego multiplicar por (2 ). Después de traducir la oración en un enunciado matemático, resolvemos.

 

( begin {alineado} 2 (n + 8) – 6 & = 5 \ 2 n + 16 – 6 & = 5 \ 2 n + 10 & = 5 \ 2 n & = – 5 n & = frac {- 5} {2} end {alineado} )

 

Verificar.

 

( begin {alineado} 2 (n + 8) – 6 & = 2 left ( color {Cerulean} {- frac {5} {2}} color {Black} {+} 8 derecha) – 6 \ & = 2 left ( frac {11} {2} right) – 6 \ & = 11 – 6 \ & = 5 quad color {Cerulean} {✓} end { alineado} )

 

Respuesta :

 

El número es (- frac {5} {2} ).

 
 

Siguen las pautas generales para configurar y resolver problemas de palabras.

 
         
  • Paso 1: Lea el problema varias veces, identifique las palabras y frases clave y organice la información dada.
  •      
  • Paso 2: Identifique las variables asignando una letra o expresión a las cantidades desconocidas.
  •      
  • Paso 3: Traducir y configurar una ecuación algebraica que modele el problema.
  •      
  • Paso 4: Resuelve la ecuación algebraica resultante.
  •      
  • Paso 5: Finalmente, responde la pregunta en forma de oración y asegúrate de que tenga sentido (compruébalo).
  •  
 

Por ahora, configura todas tus ecuaciones usando solo una variable. Evite dos variables buscando una relación entre las incógnitas.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} ):

 

Un rectángulo tiene un perímetro que mide (92 ) metros. La longitud es (2 ) metros menos que (3 ) veces el ancho. Encuentra las dimensiones del rectangulo.

 

Solución

 

La frase “ La longitud es 2 metros menos que 3 veces el ancho “, nos da la relación entre los dos variables

 

Sea (w ) el ancho del rectángulo.

 

Sea (3w − 2 ) representar la longitud.

 
94c73f76fa94638b53441bfbf09109ca.png
Figura 1.7.2
 

La oración “ Un rectángulo tiene un perímetro que mide 92 metros ” sugiere una configuración algebraica . Sustituya (92 ) por el perímetro y la expresión (3w − 2 ) por la longitud en la fórmula apropiada de la siguiente manera:

 

(P = quad2 l : : : : : + : : : 2 w )

 

( color {Cerulean} { downarrow} quad : : : quad color {Cerulean} { downarrow} quad quad quad quad )

 

( color {OliveGreen} {92} color {Black} {=} 2 ( color {OliveGreen} {3 w – 2} color {Black} {)} + 2 w )

 

Una vez que haya configurado una ecuación algebraica con una variable, resuelva el ancho, (w ).

 

( begin {array} {l} {92 = 2 (3 w – 2) + 2 w color {Cerulean} {Distribute.}} \ {92 = 6 w – 4 + 2 w quad : color {Cerulean} {Combine : like : terms.}} \ {92 = 8 w – 4 quad quad quad : : : color {Cerulean} {Solve : for : w.}} \ {96 = 8 w} \ {12 = w} end {array} )

 

Usa (3w − 2 ) para encontrar la longitud.

 

(l = 3 w – 2 = 3 ( color {OliveGreen} {12} color {Black} {)} – 2 = 36 – 2 = 34 )

 

Para verificar, asegúrese de que el perímetro sea (92 ) metros.

 

( begin {alineado} P & = 2 l + 2 w \ & = 2 (34) + 2 (12) \ & = 68 + 24 \ & = 92 end {alineado} )

 

Respuesta :

 

El rectángulo mide (12 ) metros por (34 ) metros.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {14} ):

 

Dada una tasa de interés anual de (4 frac {3} {8} )%, ¿cuánto tiempo tomará ($ 2,500 ) para obtener ($ 437.50 ) en interés simple?

 

Solución

 

Sea t el tiempo necesario para ganar ($ 437.50 ) en (4 frac {3} {8} )%. Organice la información necesaria para usar la fórmula por interés simple, (I = prt ).

                                                                                                                                                              
             

Dado el interés por el período de tiempo:

             
             

(I = $ 437.50 )

             
             

Principal dado:

             
             

(p = $ 2,500 )

             
             

Tasa dada:

             
             

(r = 4 frac {3} {8} )% (= 4.375 )% (= 0.04375 )

             
 

Tabla 1.7.6

 

Luego, sustituye todas las cantidades conocidas en la fórmula y luego resuelve la única incógnita, t .

 

( begin {alineado} I & = prt \ color {OliveGreen} {437.50} & color {Black} {=} color {OliveGreen} {2500} color {Black} {(} color {OliveGreen} {0.04375} color {Black} {)} t \ 437.50 & = 109.375 t \ frac {437.50} { color {Cerulean} {109.375}} & color {Black} {=} frac {109.375 t} { color {Cerulean} {109.375}} \ 4 & = t end {alineado} )

 

Respuesta :

 

Se necesitan (4 ) años para ($ 2,500 ) invertidos al (4 frac {3} {8} )% para ganar ($ 437.50 ) en intereses simples.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {15} ):

 

Susan invirtió sus ahorros totales de ($ 12,500 ) en dos cuentas que generaban intereses simples. Su cuenta de fondos mutuos ganó (7 )% el año pasado y su CD ganó (4.5 )%. Si su interés total para el año fue de ($ 670 ), ¿cuánto había en cada cuenta?

 

Solución

 

La relación entre las dos incógnitas es que suman ($ 12,500 ). Cuando se trata de un total, una técnica común utilizada para evitar dos variables es representar la segunda incógnita como la diferencia del total y la primera incógnita.

 

Sea (x ) la cantidad invertida en el fondo mutuo.

 

Sea (12,500 – x ) la cantidad restante invertida en el CD.

 

Organizar los datos.

                                                                                                                                                              
             

Intereses ganados en el fondo mutuo:

             
             

( begin {alineado} I & = p r t \ & = x cdot 0.07 cdot 1 \ & = color {OliveGreen} {0.07 x} end {alineado} )

             
             

Intereses ganados en el CD:

             
             

( begin {alineado} I & = prt \ & = (12,500 – x) cdot 0.045 cdot 1 \ & = color {OliveGreen} {0.045 (12,500 – x)} end {alineado } )

             
             

Interés total:

             
             

( color {OliveGreen} {$ 670} )

             
 

Tabla 1.7.7

 

El interés total es la suma del interés ganado de cada cuenta.

 

( color {Cerulean} {interés de fondos mutuos + interés de CD = interés total} )

 

(0.07x + 0.045 (12,500 − x) = 670 )

 

Esta ecuación modela el problema con una variable. Resuelva para ( x ) .

 

( begin {alineado} 0.07 x + 0.045 (12,500 – x) & = 670 \ 0.07 x + 562.5 – 0.045 x & = 670 \ 0.025 x + 562.5 & = 670 \ 0.025 x & = 107.5 \ x & = frac {107.5} {0.025} \ x & = 4.300 end {alineado} )

 

Use (12,500 − x ) para encontrar la cantidad en el CD.

 

(12,500 − x = 12,500− color {OliveGreen} {4,300} color {Black} {=} 8,200 )

 

Respuesta :

 

Susan invirtió ($ 4,300 ) al (7 )% en un fondo mutuo y ($ 8,200 ) al (4.5 )% en un CD.

 
 

Notas a pie de página

 

129 Declaración que indica que dos expresiones algebraicas son iguales.

 

130 Una ecuación que se puede escribir en la forma estándar (ax + b = 0 ), donde (a ) y (b ) son reales números y (a ≠ 0 ).

 

131 Cualquier valor que pueda reemplazar la variable en una ecuación para producir un enunciado verdadero.

 

132 Ecuaciones con el mismo conjunto de soluciones.

 

133 Propiedades que nos permiten obtener ecuaciones equivalentes sumando, restando, multiplicando y dividiendo ambos lados de una ecuación por números reales distintos de cero.

 

134 Le permite resolver la variable a ambos lados del signo igual, porque (x = 5 ) es equivalente a (5 = x ).

 

135 Ecuaciones que son verdaderas para valores particulares.

 

136 Una ecuación que es verdadera para todos los valores posibles.

 

137 Una ecuación que nunca es cierta y no tiene solución.

 
]]>