1.8: Resolver desigualdades lineales con una variable

1.8: Resolver desigualdades lineales con una variable

Desigualdades lineales

 

Una desigualdad lineal 138 es una declaración matemática que relaciona una expresión lineal como menor o mayor que otra. Los siguientes son algunos ejemplos de desigualdades lineales, todos los cuales se resuelven en esta sección:

                                                                            
(5 x + 7 <22 ) (- 2 (x + 8) + 6 geq 20 ) (- 2 (4 x – 5) <9 - 2 (x - 2) )
 

Tabla 1.8.1

 

Una solución a una desigualdad lineal 139 es un número real que producirá un enunciado verdadero cuando se sustituya por la variable. Las desigualdades lineales tienen infinitas soluciones o ninguna solución. Si hay infinitas soluciones, grafica el conjunto de soluciones en una recta numérica y / o expresa la solución usando la notación de intervalo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

¿Son (x = −4 ) y (x = 6 ) soluciones para (5x + 7 <22 )?

 

Solución

 

Sustituya los valores por (x ), simplifique y verifique si obtenemos una declaración verdadera.

                                                                                                                           
             

Verificación (x = −4 )

             
             

Verificar (x = 6 )

             
             

( begin {array} {r} {5 ( color {Cerulean} {- 4} color {Black} {)} + 7 <22} \ {- 20 + 7 <22} \ {- 13 <22} : : color {Cerulean} {✓} end {array} )

             
             

( begin {array} {c} {5 ( color {Cerulean} {6} color {Black} {)} + 7 <22} \ {30 + 7 <22} \ {37 <22} : : color {rojo} {✗} end {array} )

             
 

Tabla 1.8.2

 

Respuesta :

 

(x = −4 ) es una solución y (x = 6 ) no lo es

 
 

Todas menos una de las técnicas aprendidas para resolver ecuaciones lineales se aplican a la resolución de desigualdades lineales. Puede sumar o restar cualquier número real a ambos lados de una desigualdad, y puede multiplicar o dividir ambos lados por cualquier número real positivo para crear desigualdades equivalentes. Por ejemplo:

 

(10> – 5 )

 

(10 ​​ color {Cerulean} {- 7} color {Black} {>} -5 color {Cerulean} {- 7} quad color {Cerulean} {Subtract : 7 : on : ambos : lados.} )

 

(3> – 12 quad color {Cerulean} {✓} quad color {Cerulean} {True.} )

 

(10> -5 )

 

( frac {10} { color {Cerulean} {5}} color {Black} {>} frac {-5} { color {Cerulean} {5}} quad color {Cerulean } {Dividir : ambos : lados : por : 5.} )

 

(2> -1 quad color {Cerulean} {✓ : : True} )

 

Restar (7 ) de cada lado y dividir cada lado por (5 ) positivo da como resultado una desigualdad que es verdadera.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Resuelve y representa gráficamente el conjunto de soluciones: (5x + 7 <22 ).

 

Solución

 

( begin {array} {c} {5 x + 7 <22} \ {5 x + 7 color {Cerulean} {- 7} color {Black} {<22} color {Cerulean } {- 7}} \ {5 x <15} \ { frac {5 x} { color {Cerulean} {5}} < frac {15} { color {Cerulean} {5}}} \ {x <3} end {array} )

 
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Figura 1.8.1
 

Es útil tomarse un minuto y elegir algunos valores dentro y fuera del conjunto de soluciones, sustituirlos por la desigualdad original y luego verificar los resultados. Como se indicó, debe esperar que (x = 0 ) resuelva la desigualdad original y que (x = 5 ) no debería.

                                                                                                                           
             

Verificar (x = 0 )

             
             

Comprobar (x = 5 )

             
             

( begin {array} {r} {5 ( color {Cerulean} {0} color {Black} {)} + 7 <22} \ {7 <22} : : color {Cerulean} {✓} end {array} )

             
             

( begin {array} {r} {5 ( color {Cerulean} {5} color {Black} {)} + 7 <22} \ {25 + 7 <22} \ {32 <22} : : color {rojo} {✗} end {array} )

             
 

Tabla 1.8.3

 

Verificar de esta manera nos da una buena indicación de que hemos resuelto la desigualdad correctamente.

 

Podemos expresar esta solución de dos maneras: usando la notación de conjunto y la notación de intervalo.

 

( begin {array} {r} { {x | x <3 }} & color {Cerulean} {Set : notation} \ {(- infty, 3)} & color {Cerulean} {Intervalo : notación} end {array} )

 

En este texto elegiremos presentar respuestas usando notación de intervalo.

 

Respuesta

 

((- ∞, 3) )

 
 

Cuando se trabaja con desigualdades lineales, se aplica una regla diferente al multiplicar o dividir por un número negativo. Para ilustrar el problema, considere la afirmación verdadera (10> −5 ) y divida ambos lados entre (- 5 ).

 

( begin {array} {l} {10> – 5} \ { frac {10} { color {Cerulean} {- 5}} color {Black} {>} frac {- 5} { color {Cerulean} {- 5}}} quad color {Cerulean} {Divide : both : sides : by : -5.} \ {- 2 color {red} {> } color {Black} {1} quad color {red} {✗} color {Cerulean} {False}} end {array} )

 

La división entre (- 5 ) da como resultado una declaración falsa. Para retener una declaración verdadera, la desigualdad debe revertirse.

 

( begin {array} {l} {10 color {OliveGreen} {>} color {Black} {- 5}} \ { frac {10} { color {Cerulean} {- 5 }} color {Black} {<} frac {- 5} { color {Cerulean} {- 5}}} quad color {Cerulean} {Reverse : the : inequality.} \ {- 2 color {OliveGreen} {<} color {Black} {1} quad color {Cerulean} {✓} color {Cerulean} {True}} end {array} )

 

El mismo problema ocurre cuando se multiplica por un número negativo. Esto lleva a la siguiente nueva regla: al multiplicar o dividir por un número negativo, revierta la desigualdad . Es fácil olvidar hacer esto, así que tenga especial cuidado de observar los coeficientes negativos. En general, dadas las expresiones algebraicas (A ) y (B ), donde (c ) es un número real positivo distinto de cero, tenemos las siguientes propiedades de desigualdades 140 :

                                                                                                                                                                                          
Propiedad adicional de desigualdades: Si (A
Propiedad de resta de desigualdades: Si (A
Propiedad de multiplicación de desigualdades:              

Si (A              

Si (A } : color {Cerulean} { -c} color {Cerulean} color {Black} {B} )

             
Propiedad de división de las desigualdades:              

Si (A              

Si (A } frac { color {Black} {B} } { color {Cerulean} {- c}} )

             
 

Tabla 1.8.4

 

Utilizamos estas propiedades para obtener una equivalente desigualdad 141 , una con el mismo conjunto de soluciones, donde la variable está aislada . El proceso es similar a la resolución de ecuaciones lineales.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Resuelve y representa gráficamente el conjunto de soluciones: (- 2 (x + 8) + 6≥20 ).

 

Solución

 

( begin {alineado} – 2 (x + 8) + 6 & geq 20 quad color {Cerulean} {Distribute.} \ – 2 x – 16 + 6 & geq 20 quad color {Cerulean} {Combine : like : terms.} \ – 2 x – 10 & geq 20 quad color {Cerulean} {Solve : for : x.} \ – 2 x & geq 30 quad color {Cerulean} {Divide : both : sides : by : -2.} \ frac {- 2 x} { color {Cerulean} {- 2}} & color {OliveGreen } { leq} frac { color {Black} {30}} { color {Cerulean} {- 2}} quad color {Cerulean} {Reverse : the : inequality.} \ x & leq – 15 end {alineado} )

 
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Figura 1.8.2
 

Respuesta :

 

Notación de intervalo ((- ∞, −15] )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Resuelve y representa gráficamente el conjunto de soluciones: (- 2 (4x − 5) <9−2 (x − 2) ).

 

Solución

 

( begin {array} {c} {- 2 (4 x – 5) <9 - 2 (x - 2)} \ {- 8 x + 10 <9 - 2 x + 4} \ {- 8 x + 10 <13 - 2 x} \ {- 6 x <3} \ { frac {- 6 x} { color {Cerulean} {- 6}} color {OliveGreen} {>} frac { color {Black} {3}} { color {Cerulean} {- 6}}} color {Cerulean} {Reverso : the : inequality.} \ {x> – frac {1} {2}} end {array} )

 
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Figura 1.8.3
 

Respuesta :

 

Notación de intervalo ((- frac {1} {2}, ∞) )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Resuelve y representa gráficamente el conjunto de soluciones: ( frac {1} {2} x − 2≥ frac {1} {2} ( frac {7} {4} x − 9) +1 ).

 

Solución

 

( begin {array} {c} { frac {1} {2} x – 2 geq frac {1} {2} left ( frac {7} {4} x – 9 derecha) + 1} \ { frac {1} {2} x – 2 geq frac {7} {8} x – frac {9} {2} + 1} \ { frac {1} {2} x – frac {7} {8} x geq – frac {7} {2} + 2} \ {- frac {3} {8} x geq – frac {3} { 2}} \ { left ( color {Cerulean} {- frac {8} {3}} right) left ( color {Black} {- frac {3} {8} x} right ) leq left ( color {Cerulean} {- frac {8} {3}} right) left ( color {Black} {-} frac {3} {2} right) quad color {Cerulean} {Reverse : the : inequality.}} \ {x leq 4} end {array} )

 
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Figura 1.8.4
 

Respuesta :

 

Notación de intervalo: ((- ∞, 4] )

 
 

Desigualdades compuestas

 

Los siguientes son algunos ejemplos de desigualdades lineales compuestas:

                                                              
(- 13 <3 x - 7 <17 ) (4 x + 5 leq – 15 text {o} 6 x – 11> 7 )
 

Tabla 1.8.5

 

Estas compuestos desigualdades 142 son ​​en realidad dos desigualdades en una declaración unidas por la palabra y o por la palabra o . Por ejemplo,

 

(- 13 <3 x - 7 <17 )

 

es una desigualdad compuesta porque puede descomponerse de la siguiente manera:

 

(- 13 <3 x - 7 text {y} 3 x - 7 <17 )

 

Podemos resolver cada desigualdad individualmente; La intersección de los dos conjuntos de soluciones resuelve la desigualdad compuesta original. Si bien este método funciona, hay otro método que generalmente requiere menos pasos. Aplique las propiedades de esta sección a las tres partes de la desigualdad compuesta con el objetivo de aislar la variable en el medio de la declaración para determinar los límites del conjunto de soluciones.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Resuelve y representa gráficamente el conjunto de soluciones: (- 13 <3x − 7 <17 ).

 

Solución

 

( begin {array} {c} {- 13 <3 x - 7 <17} \ {- 13 color {Cerulean} {+ 7} color {Black} {<} 3 x - 7 color {Cerulean} {+ 7} color {Black} {<} 17 color {Cerulean} {+ 7}} \ {- 6 <3 x <24} \ { frac {- 6} { color {Cerulean} {3}} color {Black} {<} frac {3 x} { color {Cerulean} {3}} color {Black} {<} frac {24} { color {Cerulean } {3}}} \ {- 2  

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Figura 1.8.6
 

Respuesta :

 

Notación de intervalo: ((- 2,8) )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

 

Resuelve y representa gráficamente el conjunto de soluciones: ( frac {5} {6} ≤ frac {1} {3} ( frac {1} {2} x + 4) <2 ).

 

Solución

 

( begin {array} {c} { frac {5} {6} leq frac {1} {3} left ( frac {1} {2} x + 4 right) < 2} \ { frac {5} {6} leq frac {1} {6} x + frac {4} {3} <2} \ { color {Cerulean} {6} color { Negro} { cdot} left ( frac {5} {6} right) leq color {Cerulean} {6} color {Black} { cdot} left ( frac {1} {6} x + frac {4} {3} right) < color {Cerulean} {6} color {Black} { cdot} (2)} \ {5 leq x + 8 <12} \ { 5 color {Cerulean} {- 8} color {Black} { leq} x + 8 color {Cerulean} {- 8} color {Black} {<} 12 color {Cerulean} {- 8}} \ {- 3 leq x <4} end {array} )

 
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Figura 1.8.7
 

Respuesta :

 

Notación de intervalo ([- 3,4) )

 
 

Es importante tener en cuenta que al multiplicar o dividir las tres partes de una desigualdad compuesta por un número negativo, debe revertir todas las desigualdades en el enunciado. Por ejemplo:

 

( begin {array} {l} {- 10 <- 2 x <20} \ { frac {- 10} { color {Cerulean} {- 2}} color {OliveGreen} {> } frac { color {Black} {- 2 x}} { color {Cerulean} {- 2}} color {OliveGreen} {>} frac { color {Black} {20}} { color { Cerulean} {- 2}}} \ {5> x> – 10} end {array} )

 

La respuesta anterior se puede escribir en una forma equivalente, donde los números más pequeños se encuentran a la izquierda y los números más grandes a la derecha, tal como aparecen en una recta numérica.

 

(- 10  

Usa la notación de intervalo, escribe: ((- 10, 5) ).

 

Para las desigualdades compuestas con la palabra “ o ”, trabaja ambas desigualdades por separado y luego considera la unión de los conjuntos de soluciones. Los valores en esta unión resuelven cualquier desigualdad.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

 

Resuelve y representa gráficamente el conjunto de soluciones: (4x + 5≤ − 15 ) o (6x − 11> 7 ).

 

Solución

 

Resuelve cada desigualdad y forma la unión combinando los conjuntos de soluciones.

                                                                            
             

( begin {alineado} 4 x + 5 & leq – 15 \ 4 x & leq – 20 \ x & leq – 5 end {alineado} )

             
             

o

             
             

( begin {array} {r} {6 x – 11> 7} \ {6 x> 18} \ {x> 3} end {array} )

             
 

Tabla 1.8.6

 
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Figura 1.8.9
 

Respuesta :

 

Notación de intervalo ((- ∞, −5] ∪ (3, ∞) )

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Resuelve y representa gráficamente el conjunto de soluciones: (5 (x – 3) <- 20 text {o} 2 (5 - 3 x) <1 ).

 
     
Respuesta
     
     

((- infty, – 1) cup left ( frac {3} {2}, infty right) )

          
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Figura 1.8.10
     

     
 
 
 
 

Aplicaciones de las desigualdades lineales

 

Algunas de las palabras y frases clave que indican desigualdades se resumen a continuación:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 
Frases clave Traducción
Un número es al menos (5 ). (x geq 5 )
Un número es (5 ) o más inclusive. (x geq 5 )
Un número es como máximo (3 ). (x leq 3 )
Un número es (3 ) o menos inclusivo. (x leq 3 )
Un número es estrictamente menor que (4 ). (x <4 )
Un número es menor que (4 ), no incluido. (x <4 )
Un número es mayor que (7 ). (x> 7 )
Un número es más que (7 ), no incluido . (x> 7 )
Un número es entre (2 ) y (10 ​​). (2          
Un número es al menos (5 ) y como máximo (15 ). (5 leq x leq 15 )
Un número puede rango de (5 ) a (15 ). (5 leq x leq 15 )
 

Tabla 1.8.7

 

Como con todas las aplicaciones, lea cuidadosamente el problema varias veces y busque palabras y frases clave. Identificar las incógnitas y asignar variables. Luego, traduzca la redacción en una desigualdad matemática. Finalmente, use las propiedades que ha aprendido para resolver la desigualdad y exprese la solución gráficamente o en notación de intervalo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

 

Siete menos de (3 ) veces la suma de un número y (5 ) es como máximo (11 ). Encuentra todos los números que satisfacen esta condición.

 

Solución

 

Primero, elija una variable para el número desconocido e identifique las palabras y frases clave.

 

Deje que n represente lo desconocido indicado por « un número «.

 
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Figura 1.8.11
 

Resuelva para n .

 

( begin {alineado} 3 (n + 5) – 7 & leq 11 \ 3 n + 15 – 7 & leq 11 \ 3 n + 8 & leq 11 \ 3 n & leq 3 \ n & leq 1 end {alineado} )

 

Respuesta :

 

Cualquier número menor o igual a (1 ) satisfará la declaración.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ):

 

Para obtener una B en un curso de matemáticas, el promedio de la prueba debe ser al menos (80 )% y menor que (90 )%. Si un estudiante obtuvo (92 )%, (96 )%, (79 )% y (83 )% en las primeras cuatro pruebas, ¿qué debe obtener en la quinta prueba para obtener una B? ?

 

Solución

 

Configure una desigualdad compuesta donde el promedio de prueba esté entre (80 )% y (90 )%. En este caso, incluya el límite inferior, (80 ).

 

Sea x la puntuación en la quinta prueba.

 

( begin {alineado} 80 quad leq quad & color {Cerulean} {test : average} quad quad quad quad <90 \ 80 quad leq quad & frac {92 + 96 + 79 + 83 + x} {5} <90 \ color {Cerulean} {5} color {Black} { cdot} 80 leq quad & color {Cerulean} {5} color {Black} { cdot} frac {350 + x} {5} quad quad quad quad quad < color {Cerulean} {5} color {Black} { cdot} 90 \ 400 leq quad y 350 + x quad quad quad quad quad quad : : : <45 \ 50 leq quad & x quad quad quad quad quad quad quad quad quad : : <100 end {alineado} )

 

Respuesta :

 

Ella debe obtener una puntuación de al menos (50 )% y menos de (100 )%.

 
 

En el ejemplo anterior, el límite superior (100 )% no formaba parte del conjunto de soluciones. ¿Qué pasaría si ella ganara un (100 )% en la quinta prueba?

 

( begin {alineado} text {promedio} & = frac {92 + 96 + 79 + 83 + color {Cerulean} {100}} { color {Black} {5}} \ & = frac {450} {5} \ & = 90 end {alineado} )

 

Como podemos ver, su promedio sería (90 )%, lo que le daría una A.

 
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