Desigualdades lineales
Una desigualdad lineal 138 es una declaración matemática que relaciona una expresión lineal como menor o mayor que otra. Los siguientes son algunos ejemplos de desigualdades lineales, todos los cuales se resuelven en esta sección:
| (5 x + 7 <22 ) | (- 2 (x + 8) + 6 geq 20 ) | (- 2 (4 x – 5) <9 - 2 (x - 2) ) |
Tabla 1.8.1
Una solución a una desigualdad lineal 139 es un número real que producirá un enunciado verdadero cuando se sustituya por la variable. Las desigualdades lineales tienen infinitas soluciones o ninguna solución. Si hay infinitas soluciones, grafica el conjunto de soluciones en una recta numérica y / o expresa la solución usando la notación de intervalo.
Ejemplo ( PageIndex {1} ):
¿Son (x = −4 ) y (x = 6 ) soluciones para (5x + 7 <22 )?
Solución
Sustituya los valores por (x ), simplifique y verifique si obtenemos una declaración verdadera.
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Verificación (x = −4 ) |
Verificar (x = 6 ) |
|---|---|
|
( begin {array} {r} {5 ( color {Cerulean} {- 4} color {Black} {)} + 7 <22} \ {- 20 + 7 <22} \ {- 13 <22} : : color {Cerulean} {✓} end {array} ) |
( begin {array} {c} {5 ( color {Cerulean} {6} color {Black} {)} + 7 <22} \ {30 + 7 <22} \ {37 <22} : : color {rojo} {✗} end {array} ) |
Tabla 1.8.2
Respuesta :
(x = −4 ) es una solución y (x = 6 ) no lo es
Todas menos una de las técnicas aprendidas para resolver ecuaciones lineales se aplican a la resolución de desigualdades lineales. Puede sumar o restar cualquier número real a ambos lados de una desigualdad, y puede multiplicar o dividir ambos lados por cualquier número real positivo para crear desigualdades equivalentes. Por ejemplo:
(10> – 5 )
(10 color {Cerulean} {- 7} color {Black} {>} -5 color {Cerulean} {- 7} quad color {Cerulean} {Subtract : 7 : on : ambos : lados.} )
(3> – 12 quad color {Cerulean} {✓} quad color {Cerulean} {True.} )
(10> -5 )
( frac {10} { color {Cerulean} {5}} color {Black} {>} frac {-5} { color {Cerulean} {5}} quad color {Cerulean } {Dividir : ambos : lados : por : 5.} )
(2> -1 quad color {Cerulean} {✓ : : True} )
Restar (7 ) de cada lado y dividir cada lado por (5 ) positivo da como resultado una desigualdad que es verdadera.
Ejemplo ( PageIndex {1} ):
Resuelve y representa gráficamente el conjunto de soluciones: (5x + 7 <22 ).
Solución
( begin {array} {c} {5 x + 7 <22} \ {5 x + 7 color {Cerulean} {- 7} color {Black} {<22} color {Cerulean } {- 7}} \ {5 x <15} \ { frac {5 x} { color {Cerulean} {5}} < frac {15} { color {Cerulean} {5}}} \ {x <3} end {array} )
Es útil tomarse un minuto y elegir algunos valores dentro y fuera del conjunto de soluciones, sustituirlos por la desigualdad original y luego verificar los resultados. Como se indicó, debe esperar que (x = 0 ) resuelva la desigualdad original y que (x = 5 ) no debería.
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Verificar (x = 0 ) |
Comprobar (x = 5 ) |
|---|---|
|
( begin {array} {r} {5 ( color {Cerulean} {0} color {Black} {)} + 7 <22} \ {7 <22} : : color {Cerulean} {✓} end {array} ) |
( begin {array} {r} {5 ( color {Cerulean} {5} color {Black} {)} + 7 <22} \ {25 + 7 <22} \ {32 <22} : : color {rojo} {✗} end {array} ) |
Tabla 1.8.3
Verificar de esta manera nos da una buena indicación de que hemos resuelto la desigualdad correctamente.
Podemos expresar esta solución de dos maneras: usando la notación de conjunto y la notación de intervalo.
( begin {array} {r} { {x | x <3 }} & color {Cerulean} {Set : notation} \ {(- infty, 3)} & color {Cerulean} {Intervalo : notación} end {array} )
En este texto elegiremos presentar respuestas usando notación de intervalo.
Respuesta
((- ∞, 3) )
Cuando se trabaja con desigualdades lineales, se aplica una regla diferente al multiplicar o dividir por un número negativo. Para ilustrar el problema, considere la afirmación verdadera (10> −5 ) y divida ambos lados entre (- 5 ).
( begin {array} {l} {10> – 5} \ { frac {10} { color {Cerulean} {- 5}} color {Black} {>} frac {- 5} { color {Cerulean} {- 5}}} quad color {Cerulean} {Divide : both : sides : by : -5.} \ {- 2 color {red} {> } color {Black} {1} quad color {red} {✗} color {Cerulean} {False}} end {array} )
La división entre (- 5 ) da como resultado una declaración falsa. Para retener una declaración verdadera, la desigualdad debe revertirse.
( begin {array} {l} {10 color {OliveGreen} {>} color {Black} {- 5}} \ { frac {10} { color {Cerulean} {- 5 }} color {Black} {<} frac {- 5} { color {Cerulean} {- 5}}} quad color {Cerulean} {Reverse : the : inequality.} \ {- 2 color {OliveGreen} {<} color {Black} {1} quad color {Cerulean} {✓} color {Cerulean} {True}} end {array} )
El mismo problema ocurre cuando se multiplica por un número negativo. Esto lleva a la siguiente nueva regla: al multiplicar o dividir por un número negativo, revierta la desigualdad . Es fácil olvidar hacer esto, así que tenga especial cuidado de observar los coeficientes negativos. En general, dadas las expresiones algebraicas (A ) y (B ), donde (c ) es un número real positivo distinto de cero, tenemos las siguientes propiedades de desigualdades 140 :
| Propiedad adicional de desigualdades: | Si (A |
|---|---|
| Propiedad de resta de desigualdades: | Si (A |
| Propiedad de multiplicación de desigualdades: |
Si (A Si (A } : color {Cerulean} { -c} color {Cerulean} color {Black} {B} ) |
| Propiedad de división de las desigualdades: |
Si (A Si (A } frac { color {Black} {B} } { color {Cerulean} {- c}} ) |
Tabla 1.8.4
Utilizamos estas propiedades para obtener una equivalente desigualdad 141 , una con el mismo conjunto de soluciones, donde la variable está aislada . El proceso es similar a la resolución de ecuaciones lineales.
Ejemplo ( PageIndex {3} ):
Resuelve y representa gráficamente el conjunto de soluciones: (- 2 (x + 8) + 6≥20 ).
Solución
( begin {alineado} – 2 (x + 8) + 6 & geq 20 quad color {Cerulean} {Distribute.} \ – 2 x – 16 + 6 & geq 20 quad color {Cerulean} {Combine : like : terms.} \ – 2 x – 10 & geq 20 quad color {Cerulean} {Solve : for : x.} \ – 2 x & geq 30 quad color {Cerulean} {Divide : both : sides : by : -2.} \ frac {- 2 x} { color {Cerulean} {- 2}} & color {OliveGreen } { leq} frac { color {Black} {30}} { color {Cerulean} {- 2}} quad color {Cerulean} {Reverse : the : inequality.} \ x & leq – 15 end {alineado} )
Respuesta :
Notación de intervalo ((- ∞, −15] )
Ejemplo ( PageIndex {4} ):
Resuelve y representa gráficamente el conjunto de soluciones: (- 2 (4x − 5) <9−2 (x − 2) ).
Solución
( begin {array} {c} {- 2 (4 x – 5) <9 - 2 (x - 2)} \ {- 8 x + 10 <9 - 2 x + 4} \ {- 8 x + 10 <13 - 2 x} \ {- 6 x <3} \ { frac {- 6 x} { color {Cerulean} {- 6}} color {OliveGreen} {>} frac { color {Black} {3}} { color {Cerulean} {- 6}}} color {Cerulean} {Reverso : the : inequality.} \ {x> – frac {1} {2}} end {array} )
Respuesta :
Notación de intervalo ((- frac {1} {2}, ∞) )
Ejemplo ( PageIndex {5} ):
Resuelve y representa gráficamente el conjunto de soluciones: ( frac {1} {2} x − 2≥ frac {1} {2} ( frac {7} {4} x − 9) +1 ).
Solución
( begin {array} {c} { frac {1} {2} x – 2 geq frac {1} {2} left ( frac {7} {4} x – 9 derecha) + 1} \ { frac {1} {2} x – 2 geq frac {7} {8} x – frac {9} {2} + 1} \ { frac {1} {2} x – frac {7} {8} x geq – frac {7} {2} + 2} \ {- frac {3} {8} x geq – frac {3} { 2}} \ { left ( color {Cerulean} {- frac {8} {3}} right) left ( color {Black} {- frac {3} {8} x} right ) leq left ( color {Cerulean} {- frac {8} {3}} right) left ( color {Black} {-} frac {3} {2} right) quad color {Cerulean} {Reverse : the : inequality.}} \ {x leq 4} end {array} )
Respuesta :
Notación de intervalo: ((- ∞, 4] )
