Usar notación de división
Hasta ahora hemos explorado la suma, la resta y la multiplicación. Ahora consideremos la división. Suponga que tiene las (12 ) cookies en la Figura ( PageIndex {1} ) y desea empaquetarlas en bolsas con (4 ) cookies en cada bolsa. ¿Cuántas bolsas necesitaríamos?
Figura ( PageIndex {1} )
Puede poner (4 ) cookies en la primera bolsa, (4 ) en la segunda bolsa, y así sucesivamente hasta que se acaben las cookies. Al hacerlo de esta manera, llenarías (3 ) bolsas.
Figura ( PageIndex {2} )
En otras palabras, comenzando con las cookies (12 ), eliminaría, o restaría, (4 ) cookies a la vez. La división es una forma de representar sustracciones repetidas así como la multiplicación representa la suma repetida. En lugar de restar (4 ) repetidamente, podemos escribir
[12 div 4 nonumber ]
Leemos esto como doce dividido por cuatro y el resultado es el cociente de (12 ) y (4 ). El cociente es (3 ) porque podemos restar (4 ) de (12 ) exactamente (3 ) veces. Llamamos al número que se divide el dividendo y al número que lo divide el divisor . En este caso, el dividendo es (12 ) y el divisor es (4 ). En el pasado, es posible que haya utilizado la notación (4 overline { smash {)} 12} ), pero esta división también se puede escribir como (12 ÷ 4 ), (12/4 ), ( dfrac {12} {4} ). En cada caso, el (12 ) es el dividendo y el (4 ) es el divisor.
Símbolos de operación para la división
Para representar y describir la división, podemos usar símbolos y palabras.
Tabla ( PageIndex {1} )
Operación |
Notación |
Expresión |
Leer como |
Resultado |
División |
÷ |
12 ÷ 4 |
Doce dividido por cuatro |
el cociente de 12 y 4 |
|
( dfrac {a} {b} ) |
( dfrac {12} {4} ) |
|
|
|
(b overline {) a} ) |
(4 overline { smash {)} 12} ) |
|
|
|
a / b |
4/4 |
|
|
La división se realiza en dos números a la vez. Cuando traduzca de notación matemática a palabras en inglés, o de palabras en inglés a notación matemática, busque las palabras de y y para identificar los números.
Ejemplo ( PageIndex {1} ): traducir
Traducir de notación matemática a palabras.
- (64 ÷ 8 )
- ( dfrac {42} {7} )
- (4 overline { smash {)} 28} )
Solución
- Leemos esto como sesenta y cuatro dividido entre ocho y el resultado es el cociente de sesenta y cuatro y ocho .
- Leemos esto como cuarenta y dos dividido por siete y el resultado es el cociente de cuarenta y dos y siete .
- Leemos esto como veintiocho dividido por cuatro y el resultado es el cociente de veintiocho y cuatro .
ejercicio ( PageIndex {1} )
Traducir de notación matemática a palabras:
- (84 ÷ 7 )
- ( dfrac {18} {6} )
- (8 overline { smash {)} 24} )
- Responda a
-
ochenta y cuatro dividido por siete; el cociente de ochenta y cuatro y siete
- Respuesta b
-
dieciocho dividido por seis; el cociente de dieciocho y seis.
- Respuesta c
-
veinticuatro dividido por ocho; el cociente de veinticuatro y ocho
ejercicio ( PageIndex {2} )
Traducir de notación matemática a palabras:
- (72 ÷ 9 )
- ( dfrac {21} {3} )
- (6 overline { smash {)} 54} )
- Responda a
-
setenta y dos dividido por nueve; el cociente de setenta y dos y nueve
- Respuesta b
-
veintiuno dividido por tres; el cociente de veintiuno y tres
- Respuesta c
-
cincuenta y cuatro dividido por seis; el cociente de cincuenta y cuatro y seis
Dividir números enteros
Dijimos que la suma y la resta son operaciones inversas porque una deshace a la otra. Del mismo modo, la división es la operación inversa de la multiplicación. Sabemos (12 ÷ 4 = 3 ) porque (3 • 4 = 12 ). Conocer todos los datos del número de multiplicación es muy importante al hacer la división.
Verificamos nuestra respuesta a la división multiplicando el cociente por el divisor para determinar si es igual al dividendo. En el ejemplo ( PageIndex {2} ), sabemos que (24 ÷ 8 = 3 ) es correcto porque (3 • 8 = 24 ).
Ejemplo ( PageIndex {3} ): dividir
Divide. Luego verifique multiplicando.
- (42 ÷ 6 )
- ( dfrac {72} {9} )
- (7 overline { smash {)} 63} )
Solución
-
Divide 42 entre 6. |
42 ÷ 6 = 7 |
Verificar multiplicando. |
7 • 6 = 42 ✓ |
-
Divide 72 entre 9. |
( dfrac {72} {9} ) |
Verificar multiplicando. |
8 • 9 = 72 ✓ |
-
Divide 63 entre 7. |
(7 overline { smash {)} 63} ) |
Verificar multiplicando. |
9 • 7 = 63 ✓ |
ejercicio ( PageIndex {5} )
Divide. Luego verifique multiplicando:
- (54 ÷ 6 )
- ( dfrac {27} {9} )
- Responda a
-
(9 )
- Respuesta b
-
(3 )
ejercicio ( PageIndex {6} )
Divide. Luego verifique multiplicando:
- ( dfrac {36} {9} )
- (8 overline { smash {)} 40} )
- Responda a
-
(4 )
- Respuesta b
-
(5 )
¿Cuál es el cociente cuando divide un número por sí mismo?
[ dfrac {15} {15} = 1 quad text {porque} quad 1 cdot 15 = 15 nonumber ]
Dividir cualquier número (excepto (0 )) por sí mismo produce un cociente de (1 ). Además, cualquier número dividido por (1 ) produce un cociente del número. Estas dos ideas se enuncian en las propiedades de división de uno.
Propiedades de división de uno
Cualquier número (excepto 0) dividido por sí mismo es uno. |
a ÷ a = 1 |
Cualquier número dividido por uno es el mismo número. |
a ÷ 1 = a |
Ejemplo ( PageIndex {4} ): dividir
Divide. Luego verifique multiplicando:
- (11 ÷ 11 )
- ( dfrac {19} {1} )
- (1 overline { smash {)} 7} )
Solución
-
Un número dividido por sí mismo es 1. |
11 ÷ 11 = 1 |
Verificar multiplicando. |
1 • 11 = 11 ✓ |
-
Un número dividido por 1 es igual a sí mismo. |
( dfrac {19} {1} = 19 ) |
Verificar multiplicando. |
19 • 1 = 19 ✓ |
-
Un número dividido por 1 es igual a sí mismo. |
(1 overline { smash {)} 7} = 7 ) |
Verificar multiplicando. |
7 • 1 = 7 ✓ |
ejercicio ( PageIndex {7} )
Divide. Luego verifique multiplicando:
- (14 ÷ 14 )
- ( dfrac {27} {1} )
- Responda a
-
(1 )
- Respuesta b
-
(27 )
ejercicio ( PageIndex {8} )
Divide. Luego verifique multiplicando:
- ( dfrac {16} {1} )
- (1 overline { smash {)} 4} )
- Responda a
-
(16 )
- Respuesta b
-
(4 )
Supongamos que tenemos ($ 0 ), y queremos dividirlo entre (3 ) personas. ¿Cuánto obtendría cada persona? Cada persona obtendría ($ 0 ). Cero dividido por cualquier número es (0 ).
Ahora supongamos que queremos dividir ($ 10 ) por (0 ). Eso significa que nos gustaría encontrar un número que multipliquemos por (0 ) para obtener (10 ). Esto no puede suceder porque (0 ) veces cualquier número es (0 ). Se dice que la división por cero es indefinida .
Estas dos ideas conforman las propiedades de división de cero.
Propiedades de división de cero
Cero dividido por cualquier número es 0. |
0 ÷ a = 0 |
Dividir un número por cero no está definido. |
a ÷ 0 = indefinido |
Otra forma de explicar por qué la división por cero no está definida es recordar que la división es realmente una resta repetida. ¿Cuántas veces podemos quitar (0 ) de (10 )? Como restar (0 ) nunca cambiará el total, nunca obtendremos una respuesta. Entonces no podemos dividir un número entre (0 ).
Ejemplo ( PageIndex {5} ): dividir
Divide. Verificar multiplicando:
- (0 ÷ 3 )
- (10/0 )
Solución
-
El cero dividido por cualquier número es cero. |
0 ÷ 3 = 0 |
Verificar multiplicando. |
0 • 3 = 0 ✓ |
-
Dividir un número por cero no está definido. |
10/0 = indefinido |
ejercicio ( PageIndex {9} )
Divide. Luego verifique multiplicando:
- (0 ÷ 2 )
- (17/0 )
- Responda a
-
(0 )
- Respuesta b
-
indefinido
ejercicio ( PageIndex {10} )
Divide. Luego verifique multiplicando:
- (0 ÷ 6 )
- (13/0 )
- Responda a
-
(0 )
- Respuesta b
-
indefinido
Cuando el divisor o el dividendo tiene más de un dígito, generalmente es más fácil usar la notación (4 overline { smash {)} 12} ). Este proceso se llama división larga. Analicemos el proceso dividiendo (78 ) por (3 ).
Divide el primer dígito del dividendo, 7, por el divisor, 3. |
|
El divisor 3 puede ir a 7 dos veces ya que 2 × 3 = 6. Escribe el 2 sobre el 7 en el cociente. |
|
Multiplica el 2 en el cociente por 3 y escribe el producto, 6, debajo del 7. |
|
Reste ese producto del primer dígito en el dividendo. Resta 7 – 6. Escribe la diferencia, 1, debajo del primer dígito en el dividendo. |
|
Baja el siguiente dígito del dividendo. Derribar el 8. |
|
Divide 18 entre el divisor, 3. El divisor 3 entra en 18 seis veces. |
|
Escribe 6 en el cociente sobre el 8. |
|
Multiplica el 6 en el cociente por el divisor y escribe el producto, 18, debajo del dividendo. Resta 18 de 18. |
|
Repetiríamos el proceso hasta que no haya más dígitos en el dividendo para reducir. En este problema, no hay más dígitos para reducir, por lo que la división ha finalizado. Entonces (78 ÷ 3 = 26 ).
Comprueba multiplicando el cociente por el divisor para obtener el dividendo. Multiplique (26 × 3 ) para asegurarse de que el producto sea igual al dividendo, (78 ).
Sí, así que nuestra respuesta es correcta.
CÓMO: DIVIDIR TODOS LOS NÚMEROS.
Paso 1. Divide el primer dígito del dividendo por el divisor. Si el divisor es mayor que el primer dígito del dividendo, divida los dos primeros dígitos del dividendo por el divisor, y así sucesivamente.
Paso 2. Escribe el cociente sobre el dividendo.
Paso 3. Multiplica el cociente por el divisor y escribe el producto debajo del dividendo.
Paso 4. Resta ese producto del dividendo.
Paso 5. Baja el siguiente dígito del dividendo.
Paso 6. Repita desde el Paso 1 hasta que no haya más dígitos en el dividendo para bajar.
Paso 7. Comprueba multiplicando el cociente por el divisor.
Ejemplo ( PageIndex {6} ): dividir
Divide (2,596 ÷ 4 ). Verifica multiplicando.
Solución
Es igual al dividendo, por lo que nuestra respuesta es correcta. Entonces (2,596 ÷ 4 = 649 ).
ejercicio ( PageIndex {11} )
Divide. Luego verifique multiplicando: (2,636 ÷ 4 ).
- Respuesta
-
(659 )
ejercicio ( PageIndex {12} )
Divide. Luego verifique multiplicando: (2,716 ÷ 4 ).
- Respuesta
-
(679 )
Ejemplo ( PageIndex {7} ): dividir
Divide (4,506 ÷ 6 ). Verifica multiplicando.
Solución
Es igual al dividendo, por lo que nuestra respuesta es correcta.
ejercicio ( PageIndex {13} )
Divide. Luego verifique multiplicando: (4,305 ÷ 5 ).
- Respuesta
-
(861 )
ejercicio ( PageIndex {14} )
Divide. Luego verifique multiplicando: (3,906 ÷ 6 ).
- Respuesta
-
(651 )
Ejemplo ( PageIndex {8} ): dividir
Divide (7,263 ÷ 9 ). Verifica multiplicando.
Solución
Es igual al dividendo, por lo que nuestra respuesta es correcta.
ejercicio ( PageIndex {15} )
Divide. Luego verifique multiplicando: (4,928 ÷ 7 ).
- Respuesta
-
(704 )
ejercicio ( PageIndex {16} )
Divide. Luego verifique multiplicando: (5,663 ÷ 7 ).
- Respuesta
-
(809 )
Hasta ahora, todos los problemas de división han funcionado de manera uniforme. Por ejemplo, si tuviéramos (24 ) cookies y quisiéramos hacer bolsas de (8 ) cookies, tendríamos (3 ) bolsas. Pero, ¿qué pasaría si hubiera (28 ) cookies y quisiéramos hacer bolsas de (8 )? Comience con las cookies (28 ) como se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ).
Figura ( PageIndex {3} )
Intente colocar las cookies en grupos de ocho como en la Figura ( PageIndex {4} ).
Figura ( PageIndex {4} )
Hay (3 ) grupos de ocho cookies y (4 ) cookies sobrantes. Llamamos a las cookies (4 ) que quedan sobre el resto y las mostramos escribiendo (R4 ) al lado de (3 ). (La (R ) representa el resto.)
Para verificar esta división, multiplicamos (3 ) veces (8 ) para obtener (24 ), y luego agregamos el resto de (4 ).
Ejemplo ( PageIndex {9} ): dividir
Divide (1,439 ÷ 4 ). Verifica multiplicando.
Solución
Entonces (1,439 ÷ 4 ) es (359 ) con un resto de (3 ). Nuestra respuesta es correcta.
ejercicio ( PageIndex {17} )
Divide. Luego verifique multiplicando: (3,812 ÷ 8 ).
- Respuesta
-
(476 ) con un resto de (4 )
ejercicio ( PageIndex {18} )
Divide. Luego verifique multiplicando: (4,319 ÷ 8 ).
- Respuesta
-
(539 ) con un resto de (7 )
Ejemplo ( PageIndex {10} ): dividir
Divide y luego verifica multiplicando: (1,461 ÷ 13 ).
Solución
Nuestra respuesta es correcta.
ejercicio ( PageIndex {19} )
Divide. Luego verifique multiplicando: (1,493 ÷ 13 ).
- Respuesta
-
(114 ) R (11 )
ejercicio ( PageIndex {20} )
Divide. Luego verifique multiplicando: (1,461 ÷ 12 ).
- Respuesta
-
(121 ) R (9 )
Ejemplo ( PageIndex {11} ): dividir
Divide y comprueba multiplicando: (74,521 ÷ 241 ).
Solución
Reescribamos el problema para configurarlo para una división larga. |
|
Primero intentamos dividir 241 en 7. Como eso no funciona, intentamos 241 en 74. Eso todavía no funciona, así que intentamos 241 en 745. Dado que 2 se divide en 7 tres veces, intentamos 3 Como 3 × 241 = 723, escribimos el 3 sobre el 5 en 745. Tenga en cuenta que 4 sería demasiado grande porque 4 × 241 = 964, que es mayor que 745. |
|
Multiplica el 3 por 241 y resta este producto de 745. |
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Ahora baja el 2 y repite estos pasos. 241 no se divide en 222. Escribimos un 0 sobre el 2 como marcador de posición y luego continuamos. |
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Ahora baja el 1 y repite estos pasos. Prueba 9. Como 9 × 241 = 2,169, escribimos el 9 sobre el 1. Multiplica el 9 por 241 y resta este producto de 2,221. |
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No hay más números para bajar, así que hemos terminado. El resto es 52. Entonces 74,521 ÷ 241 es 309 con un resto de 52. |
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Verificar multiplicando. |
|
A veces puede no ser obvio cuántas veces el divisor entra en dígitos del dividendo. Tendremos que adivinar y verificar los números para encontrar el mayor número que entre los dígitos sin excederlos.
ejercicio ( PageIndex {21} )
Divide. Luego verifique multiplicando: (78,641 ÷ 256 ).
- Respuesta
-
(307 ) R (49 )
ejercicio ( PageIndex {22} )
Divide. Luego verifique multiplicando: (76,461 ÷ 248 ).
- Respuesta
-
(308 ) R (77 )
]]>