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las matematicas

1.9: Dividir números enteros (Parte 1)

Usar notación de división

 

Hasta ahora hemos explorado la suma, la resta y la multiplicación. Ahora consideremos la división. Suponga que tiene las (12 ) cookies en la Figura ( PageIndex {1} ) y desea empaquetarlas en bolsas con (4 ) cookies en cada bolsa. ¿Cuántas bolsas necesitaríamos?

 

An image of three rows of four cookies to show twelve cookies.

 

Figura ( PageIndex {1} )

 

Puede poner (4 ) cookies en la primera bolsa, (4 ) en la segunda bolsa, y así sucesivamente hasta que se acaben las cookies. Al hacerlo de esta manera, llenarías (3 ) bolsas.

 

An image of 3 bags of cookies, each bag containing 4 cookies.

 

Figura ( PageIndex {2} )

 

En otras palabras, comenzando con las cookies (12 ), eliminaría, o restaría, (4 ) cookies a la vez. La división es una forma de representar sustracciones repetidas así como la multiplicación representa la suma repetida. En lugar de restar (4 ) repetidamente, podemos escribir

 

[12 div 4 nonumber ]

 

Leemos esto como doce dividido por cuatro y el resultado es el cociente de (12 ) y (4 ). El cociente es (3 ) porque podemos restar (4 ) de (12 ) exactamente (3 ) veces. Llamamos al número que se divide el dividendo y al número que lo divide el divisor . En este caso, el dividendo es (12 ) y el divisor es (4 ). En el pasado, es posible que haya utilizado la notación (4 overline { smash {)} 12} ), pero esta división también se puede escribir como (12 ÷ 4 ), (12/4 ), ( dfrac {12} {4} ). En cada caso, el (12 ) es el dividendo y el (4 ) es el divisor.

 
 

Símbolos de operación para la división

 

Para representar y describir la división, podemos usar símbolos y palabras.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   
Tabla ( PageIndex {1} )
Operación Notación Expresión Leer como Resultado
División ÷ 12 ÷ 4 Doce dividido por cuatro el cociente de 12 y 4
( dfrac {a} {b} ) ( dfrac {12} {4} )
(b overline {) a} ) (4 overline { smash {)} 12} )
a / b 4/4
 

La división se realiza en dos números a la vez. Cuando traduzca de notación matemática a palabras en inglés, o de palabras en inglés a notación matemática, busque las palabras de y y para identificar los números.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ): traducir

 

Traducir de notación matemática a palabras.

 
         
  1. (64 ÷ 8 )
  2.      
  3. ( dfrac {42} {7} )
  4.      
  5. (4 overline { smash {)} 28} )
  6.  
 

Solución

 
         
  1. Leemos esto como sesenta y cuatro dividido entre ocho y el resultado es el cociente de sesenta y cuatro y ocho .
  2.      
  3. Leemos esto como cuarenta y dos dividido por siete y el resultado es el cociente de cuarenta y dos y siete .
  4.      
  5. Leemos esto como veintiocho dividido por cuatro y el resultado es el cociente de veintiocho y cuatro .
  6.  
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Traducir de notación matemática a palabras:

 
         
  1. (84 ÷ 7 )
  2.      
  3. ( dfrac {18} {6} )
  4.      
  5. (8 overline { smash {)} 24} )
  6.  
 
     
Responda a
     
     

ochenta y cuatro dividido por siete; el cociente de ochenta y cuatro y siete

     
     
Respuesta b
     
     

dieciocho dividido por seis; el cociente de dieciocho y seis.

     
     
Respuesta c
     
     

veinticuatro dividido por ocho; el cociente de veinticuatro y ocho

     
 
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Traducir de notación matemática a palabras:

 
         
  1. (72 ÷ 9 )
  2.      
  3. ( dfrac {21} {3} )
  4.      
  5. (6 overline { smash {)} 54} )
  6.  
 
     
Responda a
     
     

setenta y dos dividido por nueve; el cociente de setenta y dos y nueve

     
     
Respuesta b
     
     

veintiuno dividido por tres; el cociente de veintiuno y tres

     
     
Respuesta c
     
     

cincuenta y cuatro dividido por seis; el cociente de cincuenta y cuatro y seis

     
 
 
 
 

División modelo de números enteros

 

Como hicimos con la multiplicación, modelaremos la división usando contadores. La operación de división nos ayuda a organizar ítems en grupos iguales a medida que comenzamos con el número de ítems en el dividendo y restamos el número en el divisor repetidamente.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ): modelo

 

Modela la división: (24 ÷ 8 ).

 

Solución

 

Para encontrar el cociente (24 ÷ 8 ), queremos saber cuántos grupos de (8 ) hay en (24 ).

 

Modela el dividendo. Comience con (24 ) contadores.

 

An image of 24 counters placed randomly.

 

El divisor nos dice la cantidad de contadores que queremos en cada grupo. Forme grupos de contadores (8 ).

 

An image of 24 counters, all contained in 3 bubbles, each bubble containing 8 counters.

 

Cuenta el número de grupos. Hay (3 ) grupos.

 

[24 div 8 = 3 nonumber ]

 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Modelo: (24 ÷ 6 ).

 
     
Respuesta
     
     

Exercise 1.5.3.png

     
 
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Modelo: (42 ÷ 7 ).

 
     
Respuesta
     
     

Exercise 1.5.4.png

     
 
 
 
 

Dividir números enteros

 

Dijimos que la suma y la resta son operaciones inversas porque una deshace a la otra. Del mismo modo, la división es la operación inversa de la multiplicación. Sabemos (12 ÷ 4 = 3 ) porque (3 • 4 = 12 ). Conocer todos los datos del número de multiplicación es muy importante al hacer la división.

 

Verificamos nuestra respuesta a la división multiplicando el cociente por el divisor para determinar si es igual al dividendo. En el ejemplo ( PageIndex {2} ), sabemos que (24 ÷ 8 = 3 ) es correcto porque (3 • 8 = 24 ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ): dividir

 

Divide. Luego verifique multiplicando.

 
         
  1. (42 ÷ 6 )
  2.      
  3. ( dfrac {72} {9} )
  4.      
  5. (7 overline { smash {)} 63} )
  6.  
 

Solución

 
         
  1.  
                                                                                                              
Divide 42 entre 6. 42 ÷ 6 = 7
Verificar multiplicando. 7 • 6 = 42 ✓
 
         
  1.  
                                                                                                              
Divide 72 entre 9. ( dfrac {72} {9} )
Verificar multiplicando. 8 • 9 = 72 ✓
 
         
  1.  
                                                                                                              
Divide 63 entre 7. (7 overline { smash {)} 63} )
Verificar multiplicando. 9 • 7 = 63 ✓
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Divide. Luego verifique multiplicando:

 
         
  1. (54 ÷ 6 )
  2.      
  3. ( dfrac {27} {9} )
  4.  
 
     
Responda a
     
     

(9 )

     
     
Respuesta b
     
     

(3 )

     
 
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Divide. Luego verifique multiplicando:

 
         
  1. ( dfrac {36} {9} )
  2.      
  3. (8 overline { smash {)} 40} )
  4.  
 
     
Responda a
     
     

(4 )

     
     
Respuesta b
     
     

(5 )

     
 
 
 
 

¿Cuál es el cociente cuando divide un número por sí mismo?

 

[ dfrac {15} {15} = 1 quad text {porque} quad 1 cdot 15 = 15 nonumber ]

 

Dividir cualquier número (excepto (0 )) por sí mismo produce un cociente de (1 ). Además, cualquier número dividido por (1 ) produce un cociente del número. Estas dos ideas se enuncian en las propiedades de división de uno.

 
 

Propiedades de división de uno

                                                                                                              
Cualquier número (excepto 0) dividido por sí mismo es uno. a ÷ a = 1
Cualquier número dividido por uno es el mismo número. a ÷ 1 = a
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ): dividir

 

Divide. Luego verifique multiplicando:

 
         
  1. (11 ÷ 11 )
  2.      
  3. ( dfrac {19} {1} )
  4.      
  5. (1 overline { smash {)} 7} )
  6.  
 

Solución

 
         
  1.  
                                                                                                              
Un número dividido por sí mismo es 1. 11 ÷ 11 = 1
Verificar multiplicando. 1 • 11 = 11 ✓
 
         
  1.  
                                                                                                              
Un número dividido por 1 es igual a sí mismo. ( dfrac {19} {1} = 19 )
Verificar multiplicando. 19 • 1 = 19 ✓
 
         
  1.  
                                                                                                              
Un número dividido por 1 es igual a sí mismo. (1 overline { smash {)} 7} = 7 )
Verificar multiplicando. 7 • 1 = 7 ✓
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Divide. Luego verifique multiplicando:

 
         
  1. (14 ÷ 14 )
  2.      
  3. ( dfrac {27} {1} )
  4.  
 
     
Responda a
     
     

(1 )

     
     
Respuesta b
     
     

(27 )

     
 
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Divide. Luego verifique multiplicando:

 
         
  1. ( dfrac {16} {1} )
  2.      
  3. (1 overline { smash {)} 4} )
  4.  
 
     
Responda a
     
     

(16 )

     
     
Respuesta b
     
     

(4 )

     
 
 
 
 

Supongamos que tenemos ($ 0 ), y queremos dividirlo entre (3 ) personas. ¿Cuánto obtendría cada persona? Cada persona obtendría ($ 0 ). Cero dividido por cualquier número es (0 ).

 

Ahora supongamos que queremos dividir ($ 10 ) por (0 ). Eso significa que nos gustaría encontrar un número que multipliquemos por (0 ) para obtener (10 ​​). Esto no puede suceder porque (0 ) veces cualquier número es (0 ). Se dice que la división por cero es indefinida .

 

Estas dos ideas conforman las propiedades de división de cero.

 
 

Propiedades de división de cero

                                                                                                              
Cero dividido por cualquier número es 0. 0 ÷ a = 0
Dividir un número por cero no está definido. a ÷ 0 = indefinido
 
 

Otra forma de explicar por qué la división por cero no está definida es recordar que la división es realmente una resta repetida. ¿Cuántas veces podemos quitar (0 ) de (10 ​​)? Como restar (0 ) nunca cambiará el total, nunca obtendremos una respuesta. Entonces no podemos dividir un número entre (0 ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ): dividir

 

Divide. Verificar multiplicando:

 
         
  1. (0 ÷ 3 )
  2.      
  3. (10/0 )
  4.  
 

Solución

 
         
  1.  
                                                                                                              
El cero dividido por cualquier número es cero. 0 ÷ 3 = 0
Verificar multiplicando. 0 • 3 = 0 ✓
 
         
  1.  
                                                              
Dividir un número por cero no está definido. 10/0 = indefinido
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Divide. Luego verifique multiplicando:

 
         
  1. (0 ÷ 2 )
  2.      
  3. (17/0 )
  4.  
 
     
Responda a
     
     

(0 )

     
     
Respuesta b
     
     

indefinido

     
 
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Divide. Luego verifique multiplicando:

 
         
  1. (0 ÷ 6 )
  2.      
  3. (13/0 )
  4.  
 
     
Responda a
     
     

(0 )

     
     
Respuesta b
     
     

indefinido

     
 
 
 
 

Cuando el divisor o el dividendo tiene más de un dígito, generalmente es más fácil usar la notación (4 overline { smash {)} 12} ). Este proceso se llama división larga. Analicemos el proceso dividiendo (78 ) por (3 ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Divide el primer dígito del dividendo, 7, por el divisor, 3.
El divisor 3 puede ir a 7 dos veces ya que 2 × 3 = 6. Escribe el 2 sobre el 7 en el cociente. CNX_BMath_Figure_01_05_043_img-02.png
Multiplica el 2 en el cociente por 3 y escribe el producto, 6, debajo del 7. CNX_BMath_Figure_01_05_043_img-03.png
Reste ese producto del primer dígito en el dividendo. Resta 7 – 6. Escribe la diferencia, 1, debajo del primer dígito en el dividendo. CNX_BMath_Figure_01_05_043_img-04.png
Baja el siguiente dígito del dividendo. Derribar el 8. CNX_BMath_Figure_01_05_043_img-05.png
Divide 18 entre el divisor, 3. El divisor 3 entra en 18 seis veces. CNX_BMath_Figure_01_05_043_img-06.png
Escribe 6 en el cociente sobre el 8.
Multiplica el 6 en el cociente por el divisor y escribe el producto, 18, debajo del dividendo. Resta 18 de 18. CNX_BMath_Figure_01_05_043_img-07.png
 

Repetiríamos el proceso hasta que no haya más dígitos en el dividendo para reducir. En este problema, no hay más dígitos para reducir, por lo que la división ha finalizado. Entonces (78 ÷ 3 = 26 ).

 

Comprueba multiplicando el cociente por el divisor para obtener el dividendo. Multiplique (26 × 3 ) para asegurarse de que el producto sea igual al dividendo, (78 ).

 

 

Sí, así que nuestra respuesta es correcta.

 
 

CÓMO: DIVIDIR TODOS LOS NÚMEROS.

 

Paso 1. Divide el primer dígito del dividendo por el divisor. Si el divisor es mayor que el primer dígito del dividendo, divida los dos primeros dígitos del dividendo por el divisor, y así sucesivamente.

 

Paso 2. Escribe el cociente sobre el dividendo.

 

Paso 3. Multiplica el cociente por el divisor y escribe el producto debajo del dividendo.

 

Paso 4. Resta ese producto del dividendo.

 

Paso 5. Baja el siguiente dígito del dividendo.

 

Paso 6. Repita desde el Paso 1 hasta que no haya más dígitos en el dividendo para bajar.

 

Paso 7. Comprueba multiplicando el cociente por el divisor.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ): dividir

 

Divide (2,596 ÷ 4 ). Verifica multiplicando.

 

Solución

 

Es igual al dividendo, por lo que nuestra respuesta es correcta. Entonces (2,596 ÷ 4 = 649 ).

 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Divide. Luego verifique multiplicando: (2,636 ÷ 4 ).

 
     
Respuesta
     
     

(659 )

     
 
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Divide. Luego verifique multiplicando: (2,716 ÷ 4 ).

 
     
Respuesta
     
     

(679 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ): dividir

 

Divide (4,506 ÷ 6 ). Verifica multiplicando.

 

Solución

 

Es igual al dividendo, por lo que nuestra respuesta es correcta.

 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Divide. Luego verifique multiplicando: (4,305 ÷ 5 ).

 
     
Respuesta
     
     

(861 )

     
 
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Divide. Luego verifique multiplicando: (3,906 ÷ 6 ).

 
     
Respuesta
     
     

(651 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ): dividir

 

Divide (7,263 ÷ 9 ). Verifica multiplicando.

 

Solución

 

Es igual al dividendo, por lo que nuestra respuesta es correcta.

 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Divide. Luego verifique multiplicando: (4,928 ÷ 7 ).

 
     
Respuesta
     
     

(704 )

     
 
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Divide. Luego verifique multiplicando: (5,663 ÷ 7 ).

 
     
Respuesta
     
     

(809 )

     
 
 
 
 

Hasta ahora, todos los problemas de división han funcionado de manera uniforme. Por ejemplo, si tuviéramos (24 ) cookies y quisiéramos hacer bolsas de (8 ) cookies, tendríamos (3 ) bolsas. Pero, ¿qué pasaría si hubiera (28 ) cookies y quisiéramos hacer bolsas de (8 )? Comience con las cookies (28 ) como se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ).

 

An image of 28 cookies placed at random.

 

Figura ( PageIndex {3} )

 

Intente colocar las cookies en grupos de ocho como en la Figura ( PageIndex {4} ).

 

An image of 28 cookies. There are 3 circles, each containing 8 cookies, leaving 3 cookies outside the circles.

 

Figura ( PageIndex {4} )

 

Hay (3 ) grupos de ocho cookies y (4 ) cookies sobrantes. Llamamos a las cookies (4 ) que quedan sobre el resto y las mostramos escribiendo (R4 ) al lado de (3 ). (La (R ) representa el resto.)

 

Para verificar esta división, multiplicamos (3 ) veces (8 ) para obtener (24 ), y luego agregamos el resto de (4 ).

 

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ): dividir

 

Divide (1,439 ÷ 4 ). Verifica multiplicando.

 

Solución

 

Entonces (1,439 ÷ 4 ) es (359 ) con un resto de (3 ). Nuestra respuesta es correcta.

 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Divide. Luego verifique multiplicando: (3,812 ÷ 8 ).

 
     
Respuesta
     
     

(476 ) con un resto de (4 )

     
 
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Divide. Luego verifique multiplicando: (4,319 ÷ 8 ).

 
     
Respuesta
     
     

(539 ) con un resto de (7 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ): dividir

 

Divide y luego verifica multiplicando: (1,461 ÷ 13 ).

 

Solución

 

Nuestra respuesta es correcta.

 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Divide. Luego verifique multiplicando: (1,493 ÷ 13 ).

 
     
Respuesta
     
     

(114 ) R (11 )

     
 
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Divide. Luego verifique multiplicando: (1,461 ÷ 12 ).

 
     
Respuesta
     
     

(121 ) R (9 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} ): dividir

 

Divide y comprueba multiplicando: (74,521 ÷ 241 ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Reescribamos el problema para configurarlo para una división larga.
Primero intentamos dividir 241 en 7. Como eso no funciona, intentamos 241 en 74. Eso todavía no funciona, así que intentamos 241 en 745. Dado que 2 se divide en 7 tres veces, intentamos 3 Como 3 × 241 = 723, escribimos el 3 sobre el 5 en 745. Tenga en cuenta que 4 sería demasiado grande porque 4 × 241 = 964, que es mayor que 745.
Multiplica el 3 por 241 y resta este producto de 745.
Ahora baja el 2 y repite estos pasos. 241 no se divide en 222. Escribimos un 0 sobre el 2 como marcador de posición y luego continuamos.
Ahora baja el 1 y repite estos pasos. Prueba 9. Como 9 × 241 = 2,169, escribimos el 9 sobre el 1. Multiplica el 9 por 241 y resta este producto de 2,221.
No hay más números para bajar, así que hemos terminado. El resto es 52. Entonces 74,521 ÷ 241 es 309 con un resto de 52.
Verificar multiplicando.
 
 
 

A veces puede no ser obvio cuántas veces el divisor entra en dígitos del dividendo. Tendremos que adivinar y verificar los números para encontrar el mayor número que entre los dígitos sin excederlos.

 
 
 

ejercicio ( PageIndex {21} )

 

Divide. Luego verifique multiplicando: (78,641 ÷ 256 ).

 
     
Respuesta
     
     

(307 ) R (49 )

     
 
 
 
 
 
 

ejercicio ( PageIndex {22} )

 

Divide. Luego verifique multiplicando: (76,461 ÷ 248 ).

 
     
Respuesta
     
     

(308 ) R (77 )

     
 
 
 
 
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