las matematicas

1.9: Los números reales

1.9: Los números reales

[ begin {array} {ll} {8 ^ {2}} & { text {read ‘8 squared’}} \ {64} & {64 text {se llama el cuadrado de} 8 text {. }} end {array} ]

Del mismo modo, 121 es el cuadrado de 11, porque (11 ^ {2} ) es 121.

Los números en la segunda fila son llamados números cuadrados perfectos. Será útil aprender a reconocer los números cuadrados perfectos.

Los cuadrados de los números de conteo son números positivos. ¿Qué pasa con los cuadrados de los números negativos? Sabemos que cuando los signos de dos números son iguales, su producto es positivo. Entonces el cuadrado de cualquier número negativo también es positivo.

[(- 3) ^ {2} = 9 quad (- 8) ^ {2} = 64 quad (- 11) ^ {2} = 121 quad (- 15) ^ { 2} = 225 ]

¿Notaste que estos cuadrados son los mismos que los cuadrados de los números positivos?

A veces tendremos que mirar la relación entre los números y sus cuadrados al revés. Como (10 ​​^ {2} = 100 ), decimos que 100 es el cuadrado de 10. También decimos que 10 es una raíz cuadrada de 100. Un número cuyo cuadrado es mm se llama [ 19459004] raíz cuadrada de (m ).

Entonces, cada número positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa. ¿Qué pasaría si solo quisiéramos la raíz cuadrada positiva de un número positivo? El signo radical , ( sqrt {m} ), denota la raíz cuadrada positiva. La raíz cuadrada positiva se llama raíz cuadrada principal . Cuando usamos el signo radical que siempre significa que queremos la raíz cuadrada principal.

También utilizamos el signo radical para la raíz cuadrada de cero. Porque (0 ^ {2} = 0, sqrt {0} = 0 ). Observe que cero tiene solo una raíz cuadrada.

Sabemos que cada número positivo tiene dos raíces cuadradas y el signo radical indica el positivo. Escribimos ( sqrt {100) = 10 ). Si queremos encontrar la raíz cuadrada negativa de un número, colocamos un negativo delante del signo radical. Por ejemplo, (- sqrt {100) = – 10 ). Leemos (- sqrt {100) ) como “lo opuesto a la raíz cuadrada de 10”.

Identifique números enteros, números racionales, números irracionales y números reales

 

Ya hemos descrito números como número de recuento s , número entero s [ 19459005] y enteros . ¿Cuál es la diferencia entre estos tipos de números?

 

[ begin {array} {ll} { text {Recuento de números}} y {1,2,3,4, ldots} \ { text {números enteros}} y {0,1, 2,3,4, ldots} \ { text {Integers}} & { dots – 3, – 2, – 1,0,1,2,3, ldots} end {array} ] [ 19459001]  

¿Qué tipo de números obtendríamos si comenzamos con todos los enteros y luego incluimos todas las fracciones? Los números que tendríamos forman el conjunto de números racionales. Un número racional es un número que puede escribirse como una razón de dos enteros.

 
 
 

NÚMERO RACIONAL

 

A número racional es un número de la forma ( dfrac {p} {q} ), donde p y q son ​​enteros y (q neq 0 )

 

Un número racional se puede escribir como la razón de dos enteros.

 
 

Todas las fracciones con signo, como ( dfrac {4} {5} ), (- dfrac {7} {8} ), ( dfrac {13} {4} ), (- dfrac {20} {3} ) son números racionales. Cada numerador y cada denominador es un número entero.

 
 

¿Son los números enteros racionales? Para decidir si un entero es un número racional, tratamos de escribirlo como una razón de dos enteros. Cada entero se puede escribir como una relación de enteros de muchas maneras. Por ejemplo, 3 es equivalente a ( dfrac {3} {1} ), (- dfrac {6} {2} ), ( dfrac {9} {3} ), ( dfrac {12} {4} ), (- dfrac {15} {5} ldots ) ​​

 

Una manera fácil de escribir un número entero como una razón de enteros es escribirlo como una fracción con el denominador uno.

 

[3 = frac {3} {1} quad – 8 = – frac {8} {1} quad 0 = frac {0} {1} ]

 

Dado que cualquier entero se puede escribir como la razón de dos enteros, todos los enteros son números racionales . Recuerde que los números de conteo y los números enteros también son enteros, por lo que también son racionales.

 

¿Qué pasa con los decimales? ¿Son racionales? Veamos algunos para ver si podemos escribir cada uno de ellos como la razón de dos enteros.

 

Ya hemos visto que los enteros son números racionales. El entero (- 8 ) podría escribirse como el decimal (- 8.0 ). Entonces, claramente, algunos decimales son racionales.

 

Piensa en el decimal (7.3 ). ¿Podemos escribirlo como una razón de dos enteros? Como (7.3 ) significa (7 dfrac {3} {10} ), podemos escribirlo como una fracción impropia, ( dfrac {73} {10} ). Entonces (7.3 ) es la razón de los enteros (73 ) y (10 ​​). Es un número racional.

 

En general, cualquier decimal que termine después de un número de dígitos (como (7.3 ) o (- 1.2684 )) es un número racional. Podemos usar el valor posicional del último dígito como denominador al escribir el decimal como fracción.

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Escribe como la razón de dos enteros:

 
         
  1. −27
    2.      
  2. 7,31
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. [ begin {array} {ll} {} & {- 27} \ { text {Escríbelo como una fracción con el denominador 1.}} y { dfrac {-27} {1}} end {array} ]
    2.          
  2. [ begin {array} {ll} {} & {7.31} \ { text {Escribir es como un número mixto. Recuerde.}} & {} \ { text {7 es el número entero y el decimal}} & {7 dfrac {31} {100}} \ { text {parte, 0.31, indica centésimos.}} & {} \ { text {Convertir a una fracción impropia.}} & { dfrac {731} {100}} end {array} ]
    3.      
     

Entonces vemos que −27 y 7.31 son números racionales, ya que pueden escribirse como la razón de dos enteros.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Escribe como la razón de dos enteros:

 
         
  1. −24
    2.      
  2. 3,57
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( dfrac {-24} {1} )
    2.          
  2. ( dfrac {357} {100} )
    3.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Escribe como la razón de dos enteros:

 
         
  1. −19
    2.      
  2. 8,41
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( dfrac {-19} {1} )
    2.          
  2. ( dfrac {841} {100} )
    3.      
     
 
 
Veamos la forma decimal de los números que sabemos son racionales.  

Hemos visto que cada entero es un número racional , ya que (a = dfrac {a} {1} ) para cualquier entero, ( a ) . También podemos cambiar cualquier número entero a un decimal agregando un punto decimal y un cero.

 

[ begin {array} {lllllll} { text {Integer}} & {- 2} & {- 1} & {0} & {1} & {2} & {3} \ { texto {Forma decimal}} y {- 2.0} y {- 1.0} y {0.0} y {1.0} y {2.0} y {3.0} \ {} y { text {Estos números decimales se detienen. }} end {array} ]

 

También hemos visto que cada fracción es un número racional . Mire la forma decimal de las fracciones que consideramos arriba.

 

[ begin {array} {llll} { text {Ratio of integers}} & { frac {4} {5}} & {- frac {7} {8}} & { frac { 13} {4}} y {- frac {20} {3}} \ { text {La forma decimal}} y {0.8} y {- 0.875} y {3.25} y {- 6.666 puntos} {} & {} & {} & {- 6. overline {6}} \ {} & { text {Estos decimales se detienen o se repiten. }} end {array} ]

 
 
 

¿Qué nos dicen estos ejemplos?

 

Cada número racional se puede escribir como una razón de enteros , ( ( dfrac {p} {q} ), donde pyq son enteros y (q neq 0 )) ,, y como un decimal que se detiene o se repite.

 

Aquí están los números que vimos anteriormente expresados ​​como una razón de enteros y como un decimal:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
Fracciones Enteros
Número ( frac {4} {5} ) ( frac {7} {8} ) ( frac {13} {4} ) (- frac {20} {3} ) −2 −1 0 1 2 3
Relación de enteros ( frac {4} {5} ) ( frac {7} {8} ) ( frac {13} {4} ) (- frac {20} {3} ) (- frac {2} {1} ) (- frac {1} {1} ) ( frac {0} {1} ) ( frac {1} {1} ) ( frac {2} {1} ) ( frac {3} {1} )
Forma decimal 0,8 −0,875 3,25 (- 6. overline {6} ) −2,0 −1,0 0,0 1,0 2,0 3,0
 
 

Tabla ( PageIndex {1} )

 
 

NÚMERO RACIONAL

 

A número racional es un número de la forma ( frac {p} {q} ), donde p y q son ​​enteros y (q neq 0 )

 

Su forma decimal se detiene o se repite.

 
 

¿Hay decimales que no se detengan o no se repitan? ¡Si!

 
 

El número ( pi ) (la letra griega pi , que se pronuncia “pie”), que es muy importante para describir círculos, tiene una forma decimal que no se detiene ni se repite.

 

[ pi = 3.141592654 ldots ]

 

Incluso podemos crear un patrón decimal que no se detenga ni se repita, como

 

[2.01001000100001 ldots ]

 

Los números cuya forma decimal no se detiene o repite no pueden escribirse como una fracción de enteros. Llamamos a estos números irracionales.

 
 
 

NÚMERO IRRACIONAL

 

Un número irracional es un número que no se puede escribir como la razón de dos enteros.

 

Su forma decimal no se detiene y no se repite.

 
 

Resumamos un método que podemos usar para determinar si un número es racional o irracional.

 
 
 
 

¿RACIONAL O IRRACIONAL?

 
 

Si la forma decimal de un número

 
         
  • se repite o se detiene , el número es racional .
    •      
  • no se repite y no se detiene , el número es irracional .
    •  
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Dados los números (0.58 overline {3}, 0.47, 3.605551275 ldots ) ​​enumeran la

 
         
  1. números racionales
    2.      
  2. números irracionales.
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. [ begin {array} {ll} { text {Busque decimales que se repitan o detengan}} y { text {Las 3 repeticiones en} 0.58 overline {3}.} \ {} & { text {El decimal 0.47 se detiene después del 7.}} \ {} & { text {So} 0.58 overline {3} text {y} 0.47 text {son racionales}} end {array} ]
    2.          
  2. [ begin {array} {ll} { text {Busque decimales que se repitan o detengan}} y {3.605551275 ldots text {no tiene bloque de repetición}} \ {} y { text { dígitos y no se detiene.}} \ {} & { text {So} 3.605551275 ldots text {es irracional.}} end {array} ]
    3.      
     
 
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Para la lista de números dados, el

 
         
  1. números racionales
    2.      
  2. números irracionales: (0.29, 0.81 overline {6}, 2.515115111…. )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (0.29, 0.81 overline {6} )
    2.          
  2. (2.515115111…. )
    3.      
     
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Para la lista de números dados, el

 
         
  1. números racionales
    2.      
  2. números irracionales: (2.6 overline {3}, 0.125, 0.418302… )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (2.6 overline {3}, 0.125 )
    2.          
  2. (0.418302… )
    3.      
     
 
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Para cada número dado, identifique si es racional o irracional:

 
         
  1. ( sqrt {36} )
    2.      
  2. ( sqrt {44} )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. Reconozca que 36 es un cuadrado perfecto, ya que (6 ^ {2} = 36 ). Entonces ( sqrt {36} = 6 ), por lo tanto, ( sqrt {36} ) es racional.
    2.          
  2. Recuerde que (6 ^ {2} = 36 ) y (7 ^ {2} = 49 ), entonces (44 ) no es un cuadrado perfecto. Por lo tanto, la forma decimal de ( sqrt {44} ) nunca se repetirá y nunca se detendrá, por lo que ( sqrt {44} ) es irracional.
    3.      
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Para cada número dado, identifique si es racional o irracional:

 
         
  1. ( sqrt {81} )
    2.      
  2. ( sqrt {17} )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. racional
    2.          
  2. irracional
    3.      
     
 
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Para cada número dado, identifique si es racional o irracional:

 
         
  1. ( sqrt {116} )
    2.      
  2. ( sqrt {121} )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. irracional
    2.          
  2. racional
    3.      
     
 
 
 
 
 
 
 

Hemos visto que todos los números contables son números enteros, todos los números enteros son enteros y todos los enteros son números racionales. Los números irracionales son números cuya forma decimal no se detiene y no se repite. Cuando juntamos los números racionales y los números irracionales, obtenemos el conjunto de número real s .

 
 
 

NÚMERO REAL

 

Un número real es un número que es racional o irracional.

 
 

Todos los números que usamos en álgebra elemental son números reales. La Figura ( PageIndex {3} ) ilustra cómo los conjuntos de números que discutimos en esta sección se ajustan.

 
This figure consists of a Venn diagram. To start there is a large rectangle marked Real Numbers. The right half of the rectangle consists of Irrational Numbers. The left half consists of Rational Numbers. Within the Rational Numbers rectangle, there are Integers …, negative 2, negative 1, 0, 1, 2, …. Within the Integers rectangle, there are Whole Numbers 0, 1, 2, 3, … Within the Whole Numbers rectangle, there are Counting Numbers 1, 2, 3, …  
Figura ( PageIndex {3} ): Este gráfico muestra los conjuntos de números que componen el conjunto de números reales. ¿Te parece extraño el término “números reales”? ¿Hay números que no sean “reales” y, de ser así, cuáles podrían ser?
 
 

¿Podemos simplificar ( sqrt {-25} )? ¿Hay un número cuyo cuadrado es (- 25 )?

 
 

[( quad) ^ {2} = – 25? ]

 

Ninguno de los números que hemos tratado hasta ahora tiene un cuadrado que es (- 25 ). ¿Por qué? Cualquier número positivo al cuadrado es positivo. Cualquier número negativo al cuadrado es positivo. Entonces decimos que no hay un número real igual a ( sqrt {-25} ).

 

La raíz cuadrada de un número negativo no es un número real.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Para cada número dado, identifique si es un número real o no:

 
         
  1. ( sqrt {-169} )
    2.      
  2. (- sqrt {64} )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. No hay un número real cuyo cuadrado sea (- 169 ). Por lo tanto, ( sqrt {-169} ) no es un número real.
    2.          
  2. Dado que lo negativo está delante del radical, (- sqrt {64} ) es (- 8 ), Dado que (- 8 ) es un número real, (- sqrt {64 } ) es un número real.
    3.      
     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Para cada número dado, identifique si es un número real o no:

 
         
  1. ( sqrt {-196} )
    2.      
  2. (- sqrt {81} )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. no es un número real
    2.          
  2. número real
    3.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Para cada número dado, identifique si es un número real o no:

 
         
  1. (- sqrt {49} )
    2.      
  2. ( sqrt {-121} )
    3.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. número real
    2.          
  2. no es un número real
    3.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

Dados los números (- 7, frac {14} {5}, 8, sqrt {5}, 5.9, sqrt {64} ), enumere el

 
         
  1. números enteros
    2.      
  2. enteros
    3.      
  3. números racionales
    4.      
  4. números irracionales
    5.      
  5. números reales
    6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. Recuerde, los números enteros son 0, 1, 2, 3, … y 8 es el único número entero dado.
    2.          
  2. Los enteros son los números enteros, sus opuestos y 0. Entonces, el número entero 8 es un número entero, y −7 es lo opuesto a un número entero, por lo que también es un número entero. Además, observe que 64 es el cuadrado de 8, entonces (- sqrt {64} = -8 ). Entonces los enteros son (- 7, 8, sqrt {64} ).
    3.          
  3. Dado que todos los enteros son racionales, entonces (- 7, 8, – sqrt {64} ) son racionales. Los números racionales también incluyen fracciones y decimales que se repiten o detienen, por lo que ( frac {14} {5} ) y (5.9 ) son racionales. Entonces, la lista de números racionales es (- 7, frac {14} {5}, 8, 5.9, sqrt {64} )
    4.          
  4. Recuerde que 5 no es un cuadrado perfecto, por lo que ( sqrt {5} ) es irracional.
    5.          
  5. Todos los números enumerados son números reales.
    6.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

Para los números dados, enumere el

 
         
  1. números enteros
    2.      
  2. enteros
    3.      
  3. números racionales
    4.      
  4. números irracionales
    5.      
  5. números reales: (- 3, – sqrt {2}, 0. overline {3}, frac {9} {5}, 4, sqrt {49} )
    6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (4, sqrt {49} ).
    2.          
  2. (- 3, 4, sqrt {49} )
    3.          
  3. (- 3, 0. overline {3}, frac {9} {5}, 4, sqrt {49} )
    4.          
  4. (- sqrt {2} )
    5.          
  5. (- 3, sqrt {2}, 0. overline {3}, frac {9} {5}, 4, sqrt {49} )
    6.      
     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} )

 

Para los números dados, enumere el

 
         
  1. números enteros
    2.      
  2. enteros
    3.      
  3. números racionales
    4.      
  4. números irracionales
    5.      
  5. números reales: (- sqrt {25}, – frac {3} {8}, −1, 6, sqrt {121}, 2.041975… )
    6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (6, sqrt {121} ).
    2.          
  2. (- sqrt {25}, −1, 6, sqrt {121} )
    3.          
  3. (- sqrt {25}, – frac {3} {8}, −1, 6, sqrt {121} )
    4.          
  4. (2.041975… )
    5.          
  5. (- sqrt {25}, – frac {3} {8}, −1, 6, sqrt {121}, 2.041975… )
    6.      
     
 
 
 

Localizar fracciones en la recta numérica

 

La última vez que miramos la línea numérica , solo tenía enteros positivos y negativos. Ahora queremos incluir fracción sy decimales en ella.

 
 
 
 
 
 

Nota

 

Realizar la actividad de Matemática manipuladora “Línea numérica Parte 3” te ayudará a comprender mejor la ubicación de las fracciones en la línea numérica.

 
 

Comencemos con fracciones y ubiquemos ( frac {1} {5}, – frac {4} {5}, 3, frac {7} {4}, – frac {9} {2} , -5 ) y ( frac {8} {3} ) en la recta numérica.

 

Comenzaremos con los números enteros 3 y −5. porque son los más fáciles de trazar. Ver Figura ( PageIndex {4} ).

 

Las fracciones apropiadas enumeradas son ( frac {1} {5} text {y} – frac {4} {5} ). Sabemos que la fracción adecuada ( frac {1} {5} ) tiene un valor menor que uno y, por lo tanto, se ubicaría entre 0 y 1. El denominador es 5, por lo que dividimos la unidad de 0 a 1 en 5 partes iguales ( frac {1} {5}, frac {2} {5}, frac {3} {5}, frac {4} {5} ). Trazamos ( frac {1} {5} ). Ver Figura ( PageIndex {4} ).

 

Del mismo modo, (- frac {4} {5} ) está entre 0 y −1. Después de dividir la unidad en 5 partes iguales, graficamos (- frac {4} {5} ). Ver Figura ( PageIndex {4} ).

 

Finalmente, mire las fracciones impropias ( frac {7} {4}, – frac {9} {2}, frac {8} {3} ). Estas son fracciones en las cuales el numerador es mayor que el denominador. Localizar estos puntos puede ser más fácil si cambia cada uno de ellos a un número mixto. Ver Figura ( PageIndex {4} ).

 
 
 
 
[ frac {7} {4} = 1 frac {3} {4} quad – frac {9} {2} = – 4 frac {1} {2} quad frac { 8} {3} = 2 frac {2} {3} ]
 
 
 
 

La figura ( PageIndex {4} ) muestra la recta numérica con todos los puntos trazados.

 
There is a number line shown that runs from negative 6 to positive 6. From left to right, the numbers marked are negative 5, negative 9/2, negative 4/5, 1/5, 4/5, 8/3, and 3. The number negative 9/2 is halfway between negative 5 and negative 4. The number negative 4/5 is slightly to the right of negative 1. The number 1/5 is slightly to the right of 0. The number 4/5 is slightly to the left of 1. The number 8/3 is between 2 and 3, but a little closer to 3.  
Figura ( PageIndex {4} )
 
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} )

 

Localice y etiquete lo siguiente en una recta numérica: (4, frac {3} {4}, – frac {1} {4}, -3, frac {6} {5}, – frac {5} {2} ) y ( frac {7} {3} ).

 
     
Respuesta
     
     

Localiza y traza los enteros, 4, −3.

     

Localice primero la fracción adecuada ( frac {3} {4} ). La fracción ( frac {3} {4} ) está entre 0 y 1. Divida la distancia entre 0 y 1 en cuatro partes iguales, entonces graficamos ( frac {3} {4} ). Del mismo modo, trazar (- frac {1} {4} ).

     

Ahora ubique las fracciones impropias ( frac {6} {5} ), (- frac {5} {2} ), ( frac {7} {3} ). Es más fácil trazarlos si los convertimos en números mixtos y luego los trazamos como se describe anteriormente: ( frac {6} {5} = 1 frac {1} {5} ), (- frac { 5} {2} = -2 frac {1} {2} ), ( frac {7} {3} = 2 frac {1} {3} ).

     

There is a number line shown that runs from negative 6 to positive 6. From left to right, the numbers marked are negative 3, negative 5/2, negative 1/4, 3/4, 6/5, 7/3, and 4. The number negative 5/2 is halfway between negative 3 and negative 2. The number negative 1/4 is slightly to the left of 0. The number 3/4 is slightly to the left of 1. The number 6/5 is slightly to the right of 1. The number 7/3 is between 2 and 3, but a little closer to 2.

     
 
 
 

 

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {23} )

 

Localice y etiquete lo siguiente en una recta numérica: (- 1, frac {1} {3}, frac {6} {5}, – frac {7} {4}, frac {9 } {2}, 5 ) y (- frac {8} {3} ).

 
     
Respuesta
     
     

There is a number line shown that runs from negative 4 to positive 5. From left to right, the numbers marked are negative 8/3, negative 7/4, negative 1, 1/3, 6/5, 9/2, and 5. The number negative 8/3 is between negative 3 and negative 2 but slightly closer to negative 3. The number negative 7/4 is slightly to the right of negative 2. The number 1/3 is slightly to the right of 0. The number 6/5 is slightly to the right of 1. The number 9/2 is halfway between 4 and 5.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {24} )

 

Localice y etiquete lo siguiente en una recta numérica: ( frac {1} {5}, – frac {4} {5}, 3, frac {7} {4}, – frac {9 } {2}, -5 ) y ( frac {8} {3} ).

 
     
Respuesta
     
     

There is a number line shown that runs from negative 4 to positive 5. From left to right, the numbers marked are negative 7/3, negative 2, negative 7/4, 2/3, 7/5, 3, and 7/2. The number negative 7/3 is between negative 3 and negative 2 but slightly closer to negative 2. The number negative 7/4 is slightly to the right of negative 2. The number 2/3 is slightly to the left of 1. The number 7/5 is between 1 and 2, but closer to 1. The number 7/2 is halfway between 3 and 4.

     
 
 
 

En el ejercicio ( PageIndex {25} ), usaremos los símbolos de desigualdad para ordenar las fracciones. En capítulos anteriores usamos la recta numérica para ordenar los números.

 
         
  • (a “ a es menor que b ” cuando a está a la izquierda de [19459002 ] b en la recta numérica
    •      
  • (a> b ) “ a es mayor que b ” cuando a está a la derecha de [19459002 ] b en la recta numérica
    •  
 

A medida que avanzamos de izquierda a derecha en una recta numérica, los valores aumentan.

 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {25} )

 

Ordena cada uno de los siguientes pares de números, usando (<) o (> ). Puede ser útil consultar la Figura ( PageIndex {5} ).

 
         
  1. (- frac {2} {3} text {___} – 1 )
    2.      
  2. (- 3 frac {1} {2} text {___} – 3 )
    3.      
  3. (- frac {3} {4} text {___} – frac {1} {4} )
    4.      
  4. (- 2 text {___} – frac {8} {3} )
    5.  
 
There is a number line shown that runs from negative 4 to positive 4. From left to right, the numbers marked are negative 3 and 1/2, negative 3, negative 8/3, negative 2, negative 1, negative 3/4, negative 2/3, and negative 1/4. The number negative 3 and 1/2 is between negative 4 and negative 3 The number negative 8/3 is between negative 3 and negative 2, but closer to negative 3. The numbers negative 3/4, negative 2/3, and negative 1/4 are all between negative 1 and 0.  
Figura ( PageIndex {5} )
 
 
     
Respuesta
     
     

Tenga cuidado al ordenar números negativos.

     
             
  1. ( begin {array} {rr} {} & {- frac {2} {3} text {___} -1} \ {- frac {2} {3} text {is a la derecha de} – 1 text {en la línea numérica.}} & {- frac {2} {3}> – 1} end {array} )
    2.          
  2. ( begin {array} {rr} {} & {- 3 frac {1} {2} text {___} -3} \ {- 3 frac {1} {2} text {está a la derecha de} – 3 text {en la línea numérica.}} & {- frac {2} {3}> – 1} end {array} )
    3.          
  3. ( begin {array} {rr} {} & {- frac {3} {4} text {___} – frac {1} {4}} \ {- frac {3} {4} text {está a la derecha de} – frac {1} {4} text {en la línea numérica.}} & {- frac {3} {4} <- frac {1} { 4}} end {array} )
    4.          
  4. ( begin {array} {rr} {} & {- -2 text {___} – frac {8} {3}} \ {-2 text {está a la derecha de} – frac {8} {3} text {en la línea numérica.}} & {-2> – frac {8} {3}} end {array} )
    5.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {26} )

 

Ordena cada uno de los siguientes pares de números, usando (<) o (> ).

 
         
  1. (- frac {1} {3} text {___} – 1 )
    2.      
  2. (- 1 frac {1} {2} text {___} – 2 )
    3.      
  3. (- frac {2} {3} text {___} – frac {1} {3} )
    4.      
  4. (- 3 text {___} – frac {7} {3} )
    5.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (> )
    2.          
  2. (> )
    3.          
  3. (<)
    4.          
  4. (<)
    5.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {27} )

 

Ordena cada uno de los siguientes pares de números, usando (<) o (> ).

 
         
  1. (- 1 text {___} – frac {2} {3} )
    2.      
  2. (- 2 frac {1} {4} text {___} – 2 )
    3.      
  3. (- frac {3} {5} text {___} – frac {4} {5} )
    4.      
  4. (- 4 text {___} – frac {10} {3} )
    5.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (<)
    2.          
  2. (<)
    3.          
  3. (> )
    4.          
  4. (<)
    5.      
     
 
 
 

Localizar decimales en la recta numérica

 

Dado que los decimales son formas de fracciones, ubicar decimales en la recta numérica es similar a ubicar fracciones en la recta numérica.

 
 

Ejercicio ( PageIndex {28} )

 

Localice 0.4 en la recta numérica.

 
     
Respuesta
     
     

Una fracción propia tiene un valor menor que uno. El número decimal (0.4 ) es equivalente a ( frac {4} {10} ), una fracción propia, entonces (0.4 ) se encuentra entre 0 y 1. En una recta numérica, divida el intervalo entre 0 y 1 en 10 partes iguales. Ahora etiquete las partes (0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0 ). Escribimos 0 como 0.0 y 1 y 1.0, de modo que los números estén consistentemente en décimas. Finalmente, marque (0.4 ) en la recta numérica. Ver Figura ( PageIndex {6} ).

     
There is a number line shown that runs from 0.0 to 1. The only point given is 0.4, which is between 0.3 and 0.5.      
Figura ( PageIndex {6} )
     
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {29} )

 

Localice en la recta numérica: 0.6.

 
     
Respuesta
     
     

There is a number line shown that runs from 0.0 to 1. The only point given is 0.6, which is between 0.5 and 0.7.

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {30} )

 

Localice en la recta numérica: 0.9.

 
     
Respuesta
     
     

There is a number line shown that runs from 0.0 to 1. The only point given is 0.9, which is between 0.8 and 1.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {31} )

 

Localice (- 0.74 ) en la línea numérica.

 
     
Respuesta
     
     

El decimal (−0.74 ) es equivalente a (- frac {74} {100} ), por lo que se encuentra entre 0 y −1. En una recta numérica, marca y rotula las centésimas en el intervalo entre 0 y -1. Ver Figura ( PageIndex {7} ).

     
There is a number line shown that runs from negative 1.00 to 0.00. The only point given is negative 0.74, which is between negative 0.8 and negative 0.7.      
Figura ( PageIndex {7} )
     
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {32} )

 

Localice en la recta numérica: −0.6.

 
     
Respuesta
     
     

There is a number line shown that runs from negative 1.00 to 0.00. The only point given is negative 0.6, which is between negative 0.8 and negative 0.4.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {33} )

 

Localice en la recta numérica: −0.7.

 
     
Respuesta
     
     

There is a number line shown that runs from negative 1.00 to 0.00. The only point given is negative 0.7, which is between negative 0.8 and negative 0.6.

     
 
 
 

¿Cuál es más grande, 0.04 o 0.40? Si piensa en esto como dinero, sabe que $ 0.40 (cuarenta centavos) es mayor que $ 0.04 (cuatro centavos). Entonces, (0.40> 0.04 )

 

Nuevamente, podemos usar la recta numérica para ordenar números.

 
         
  • (a “ a es menor que b ” cuando a está a la izquierda de [19459002 ] b en la recta numérica
    •      
  • (a> b ) “ a es mayor que b ” cuando a está a la derecha de [19459002 ] b en la recta numérica
    •  
 

¿Dónde se encuentran 0.04 y 0.40 en la recta numérica? Ver Figura ( PageIndex {8} ).

 
There is a number line shown that runs from negative 0.0 to 1.0. From left to right, there are points 0.04 and 0.4 marked. The point 0.04 is between 0.0 and 0.1. The point 0.4 is between 0.3 and 0.5.  
Figura ( PageIndex {8} )
 
 

Vemos que 0,40 está a la derecha de 0,04 en la recta numérica. Esta es otra forma de demostrar que (0.40> 0.04 ).

 

¿Cómo se compara 0.31 con 0.308? Esto no se traduce en dinero para facilitar la comparación. Pero si convertimos 0.31 y 0.308 en fracciones, podemos decir cuál es más grande.

                                                                                                                                                                                                                                                                      
0,31 0,308
Convertir a fracciones. ( frac {31} {100} ) ( frac {308} {1000} )
Necesitamos un denominador común para compararlos. . .
( frac {310} {1000} ) ( frac {308} {1000} )
 

Tabla ( PageIndex {2} )

 

Porque (310> 308 ), sabemos que ( frac {310} {1000}> frac {308} {1000} ). Por lo tanto, (0,31> 0,308 ).

 

Observe lo que hicimos al convertir (0.31 ) a una fracción: comenzamos con la fracción ( frac {31} {100} ) y terminamos con la fracción equivalente ( frac {310} {1000 } ). Convertir ( frac {310} {1000} ) de nuevo a un decimal da 0.310. Entonces 0.31 es equivalente a 0.310. ¡Escribir ceros al final de un decimal no cambia su valor!

 

[ frac {31} {100} = frac {310} {1000} quad text {y} quad 0.31 = 0.310 ]

 

Decimos que 0,31 y 0,310 son decimales equivalentes .

 
 
 

DECIMALES EQUIVALENTES

 

Dos decimales son equivalentes si se convierten en fracciones equivalentes.

 
 

Utilizamos decimales equivalentes cuando pedimos decimales.

 
 

Los pasos que tomamos para ordenar decimales se resumen aquí.

 
 
 

DECIMALES DE PEDIDO.

 
 
         
  1. Escribe los números uno debajo del otro, alineando los puntos decimales.
    2.      
  2. Verifique si ambos números tienen el mismo número de dígitos. Si no, escriba ceros al final del que tenga menos dígitos para que coincidan.
    3.      
  3. Compara los números como si fueran números enteros.
    4.      
  4. Ordena los números usando el signo de desigualdad apropiado.
    5.  
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {34} )

 

Ordene (0.64 text {___} 0.6 ) usando (<) o (> ).

 
     
Respuesta
     
     

( begin {array} {ll} { text {Escriba los números uno debajo del otro,}} & {0.64} \ { text {alineando los puntos decimales.}} & {0.6} \ { text {Agregue un cero a 0.6 para convertirlo en decimal}} y {0.64} \ { text {con 2 decimales.}} y {0.60} \ { text {Ahora ambos son centésimas.}} y {} \ \ { text {64 es mayor que 60.}} y {64> 60} \ \ { text {64 centésimas es mayor que 60 centésimas.}} y {0.64 > 0.60} \ \ {} y {0.64> 0.6} end {array} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {35} )

 

Ordena cada uno de los siguientes pares de números, usando (<) o (> ): (0.42 text {___} 0.4 ).

 
     
Respuesta
     
     

(> )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {36} )

 

Ordena cada uno de los siguientes pares de números, usando (<) o (> ): (0.18 text {___} 0.1 ).

 
     
Answer
     
     

(>)

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{37})

 

Order (0.83 text{ ___ } 0.803) using (<) or (>).

 
     
Answer
     
     

(begin{array} { ll } {} &{0.83text{ ___ }0.803} \ \{ text {Write the numbers one under the other, } } &{0.83} \ { text {lining up the decimal points. } } &{0.803} \ \ { text {They do not have the same number of} } &{0.830} \ {text{digits.}} &{0.803} \ {text{Write one zero at the end of 0.83.}} &{} \ \ {text{Since 830 > 803, 830 hundredths is}} &{0.830 > 0.803} \ {text{greater than 803 thousandths.}} &{}\ \ {} &{0.83 > 0.803}end{array})

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{38})

 

Order each of the following pairs of numbers, using (<) or (>): (0.76 text{ ___ } 0.706).

 
     
Answer
     
     

(>)

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{39})

 

Order each of the following pairs of numbers, using (<) or (>): (0.305 text{ ___ } 0.35).

 
     
Answer
     
     

(<)

     
 
 
 
 
 
 

When we order negative decimals, it is important to remember how to order negative integers. Recall that larger numbers are to the right on the number line. For example, because −2 lies to the right of -3 on the number line, we know that (−2>−3). Similarly, smaller numbers lie to the left on the number line. For example, because −9 lies to the left of −6 on the number line, we know that (−9<−6). Ver Figura ( PageIndex {9} ).

 
There is a number line shown that runs from negative 10 to 0. There are not points given and the hashmarks exist at every integer between negative 10 and 0.  
Figure (PageIndex{9})
 
 

If we zoomed in on the interval between 0 and −1, as shown in Exercise (PageIndex{40}), we would see in the same way that (−0.2>−0.3) and (−0.9<−0.6).

 
 
 
 

Exercise (PageIndex{40})

 

Use (<) or (>) to order (−0.1text{ ___ }−0.8).

 
     
Answer
     
     

(begin{array} { ll } {} &{-0.1 text{ ___ } -0.8} \ \ { text { Write the numbers one under the other, lining up the } } &{-0.1} \ { text { decimal points. } } &{-0.8} \ { text { They have the same number of digits. } } &{} \ \ { text { since } – 1 > – 8 , – 1 text { tenth is greater than } – 8 text { tenths. } } &{-0.1 > -0.8} end{array})

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{41})

 

Order the following pair of numbers, using (<) or (>): (−0.3text{ ___ }−0.5).

 
     
Answer
     
     

(>)

     
 
 
 
 

Exercise (PageIndex{42})

 

Order the following pair of numbers, using (<) or (>): (−0.6text{ ___ }−0.7).

 
     
Answer
     
     

(>)

     
 
 
 
 
 
 

Key Concepts

 
         
  • Square Root Notation
    (sqrt{m}) is read ‘the square root of (m).’ If (m = n^{2}), then (sqrt{m} = n), for (n geq 0).
    •      
  • Order Decimals      
               
    1. Write the numbers one under the other, lining up the decimal points.
      2.          
    2. Check to see if both numbers have the same number of digits. Si no, escriba ceros al final del que tenga menos dígitos para que coincidan.
      3.          
    3. Compare the numbers as if they were whole numbers.
      4.          
    4. Order the numbers using the appropriate inequality sign.
      5.      
         
    •  
 
 
 
 

Practice Makes Perfect

 

Simplify Expressions with Square Roots

 

In the following exercises, simplify.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
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antonio1095

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