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las matematicas

10.1: Resolver ecuaciones cuadráticas usando la propiedad de raíz cuadrada

                 

 

Objetivos de aprendizaje

 

Al final de esta sección, podrá:

 
         
  • Resuelve ecuaciones cuadráticas de la forma (ax ^ 2 = k ) usando la Propiedad de raíz cuadrada
  •      
  • Resuelve ecuaciones cuadráticas de la forma (a (x − h) ^ 2 = k ) usando la Propiedad de raíz cuadrada
  •  
 
 
 

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

 
         
  1. Simplifique: ( sqrt {75} ).
  2.      
  3. Simplifique: ( sqrt { dfrac {64} {3}} )
  4.      
  5. Factor: (4x ^ {2} – 12x + 9 ).
  6.  
 
 

Las ecuaciones cuadráticas son ecuaciones de la forma (ax ^ {2} + bx + c = 0 ), donde (a neq 0 ). Se diferencian de las ecuaciones lineales al incluir un término con la variable elevada a la segunda potencia. Utilizamos diferentes métodos para resolver la ecuación cuadrática s que las ecuaciones lineales, porque solo sumar, restar, multiplicar y dividir términos no aislará la variable.

 

Hemos visto que algunas ecuaciones cuadráticas pueden resolverse factorizando. En este capítulo, utilizaremos otros tres métodos para resolver ecuaciones cuadráticas.

 

Resolver ecuaciones cuadráticas de la forma (ax ^ 2 = k ) Usando la propiedad de raíz cuadrada

 

Ya hemos resuelto algunas ecuaciones cuadráticas por factorización. Revisemos cómo usamos la factorización para resolver la ecuación cuadrática (x ^ {2} = 9 ).

 

[ begin {array} {ll} {} & {x ^ 2 = 9} \ { text {Ponga la ecuación en forma estándar.}} & {X ^ 2−9 = 0} \ { text {Factorizar el lado izquierdo.}} & {(x – 3) (x + 3) = 0} \ { text {Use la propiedad del producto cero.}} & {(x – 3) = 0, (x + 3) = 0} \ { text {Resuelva cada ecuación.}} & {x = 3, x = -3} \ { text {Combine las dos soluciones en} pm text {form} } & {x = pm 3} \ nonumber end {array} ]

 

(La solución se lee ‘ (x ) es igual a positiva o negativa (3 ).’)

 

Podemos usar fácilmente la factorización para encontrar las soluciones de ecuaciones similares, como (x ^ {2} = 16 ) y (x ^ {2} = 25 ), porque (16 ) y ( 25 ) son cuadrados perfectos. Pero, ¿qué sucede cuando tenemos una ecuación como (x ^ {2} = 7 )? Como (7 ) no es un cuadrado perfecto, no podemos resolver la ecuación factorizando.

 

Estas ecuaciones son todas de la forma (x ^ {2} = k ).
Definimos la raíz cuadrada de un número de esta manera:

 

Si (n ^ {2} = m ), entonces (n ) es una raíz cuadrada de (m ).

 

Esto lleva a la Propiedad de raíz cuadrada .

 
 

Definición: PROPIEDAD DE LA RAÍZ CUADRADA

 

Si (x ^ {2} = k ) y (k geq 0 ), entonces (x = sqrt {k} ) o (x = – sqrt {k} )

 
 

Observe que la Propiedad de raíz cuadrada da dos soluciones a una ecuación de la forma (x ^ 2 = k ) : la raíz cuadrada principal de k y su opuesto. También podríamos escribir la solución como (x = pm sqrt {k} )

 

Ahora, resolveremos la ecuación (x ^ {2} = 9 ) nuevamente, esta vez usando la propiedad de raíz cuadrada.

 

[ begin {array} {ll} {} & {x ^ {2} = 9} \ { text {Use la propiedad de raíz cuadrada.}} & {X = pm sqrt {9} } \ { text {Simplifica el radical.}} & {x = pm 3} \ { text {Reescribe para mostrar las dos soluciones.}} & {x = 3, x = −3} \ nonumber end {array} ]

 

¿Qué sucede cuando la constante no es un cuadrado perfecto? Usemos la propiedad de raíz cuadrada para resolver la ecuación (x ^ 2 = 7 ).

 

[ begin {array} {ll} { text {Use la propiedad de raíz cuadrada. }} & {x = pm sqrt {7}} \ { text {Reescribe para mostrar dos soluciones.}} & {x = sqrt {7}, x = – sqrt {7}} \ { text {No podemos simplificar} sqrt {7} text {así que dejamos la respuesta como un radical.}} & {} \ nonumber end {array} ]

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Resolver: (x ^ {2} = 169 )

 
     
Respuesta
     
     

[ begin {array} {ll} {} & {x ^ 2 = 169} \ { text {Use la propiedad de raíz cuadrada.}} & {X = pm sqrt {169}} { text {Simplify the radical.}} & {x = pm13} \ { text {Reescribe para mostrar dos soluciones.}} & {x = 13, x = −13} \ nonumber end { matriz} ]

     
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Resolver: (x ^ 2 = 81 )

 
     
Respuesta
     
     

x = 9, x = −9

     
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Resolver: (y ^ {2} = 121 )

 
     
Respuesta
     
     

y = 11, y = −11

     
 
 
 
 

Cómo resolver una ecuación cuadrática de la forma (ax ^ {2} = k ) Usando la propiedad de raíz cuadrada

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Resolver: (x ^ {2} – 48 = 0 )

 
     
Respuesta
     
The image shows the given equation, x squared minus 48 equals zero. Step one is to isolate the quadratic term and make its coefficient one so add 48 to both sides of the equation to get x squared by itself. Step two is to use the Square Root Property to get x equals plus or minus the square root of 48. Step three, simplify the square root of 48 by writing 48 as the product of 16 and three. The square root of 16 is four. The simplified solution is x equals plus or minus four square root of three. Step four, check the solutions by substituting each solution into the original equation. When x equals four square root of three, replace x in the original equation with four square root of three to get four square root of three squared minus 48 equals zero. Simplify the left side to get 16 times three minus 48 equals zero which simplifies further to zero equals zero, a true statement. When x equals negative four square root of three, replace x in the original equation with negative four square root of three to get negative four square root of three squared minus 48 equals zero. Simplify the left side to get 16 times three minus 48 equals zero which simplifies further to zero equals zero, also a true statement.
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Resolver: (x ^ {2} – 50 = 0 )

 
     
Respuesta
     
     

(x = 5 sqrt {2}, x = −5 sqrt {2} )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Resolver: (y ^ {2} – 27 = 0 )

 
     
Respuesta
     
     

(y = 3 sqrt {3}, x = −3 sqrt {3} )

     
 
 
 
 
 
 

Definición: RESUELVE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA CON LA PROPIEDAD DE LA RAÍZ CUADRADA.

 
         
  1. Aislar el término cuadrático y hacer que su coeficiente sea uno.
  2.      
  3. Usar propiedad de raíz cuadrada.
  4.      
  5. Simplifica el radical.
  6.      
  7. Verifique las soluciones.
  8.  
 
 
 

Para usar la propiedad de raíz cuadrada, el coeficiente del término variable debe ser igual a 1. En el siguiente ejemplo, debemos dividir ambos lados de la ecuación por 5 antes de usar la propiedad de raíz cuadrada.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Resolver: (5m ^ 2 = 80 )

 
     
Respuesta
     
     
     
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
El término cuadrático está aislado. (5 m ^ 2 = 80 )
Divide entre 5 para hacer su cofficiente 1. ( frac {5m ^ 2} {5} = frac {80} {5} )
Simplifica. (m ^ 2 = 16 )
Use la propiedad de raíz cuadrada. (m = pm sqrt {16} )
Simplifica el radical. (m = pm 4 )
Reescribe para mostrar dos soluciones. m = 4, m = −4
                 

Verifique las soluciones.
.

                 
     
     
     
     
     
     
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Resuelve: (2x ^ 2 = 98 ).

 
     
Respuesta
     
     

x = 7, x = −7

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Resuelve: (3z ^ 2 = 108 ).

 
     
Respuesta
     
     

z = 6, z = −6

     
 
 
 

La propiedad de raíz cuadrada comenzó indicando, “Si (x ^ 2 = k ), y (k ge 0 )”. ¿Qué pasará si (k <0 )? Este será el caso en el siguiente ejemplo.

 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Resuelve: (q ^ 2 + 24 = 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

[ begin {array} {ll} {} & {q ^ 2 = 24} \ { text {Aislar el término cuadrático.}} & {Q ^ 2 = −24} \ { text {Use la propiedad de raíz cuadrada.}} & {Q = pm sqrt {-24}} \ { text {The} sqrt {-24} text {no es un número real}} & { text {No hay una solución real}} \ nonumber end {array} ]

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} )

 

Resuelve: (c ^ 2 + 12 = 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

sin solución real

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} )

 

Resuelve: (d ^ 2 + 81 = 0 ).

 
     
Respuesta
     
     

sin solución real

     
 
 
  Recuerde, primero aislamos el término cuadrático y luego hacemos que el coeficiente sea igual a uno.
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} )

 

Resuelve: ( frac {2} {3} u ^ 2 + 5 = 17 ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
( frac {2} {3} u ^ 2 + 5 = 17 )
Aislar el término cuadrático.                  

( frac {2} {3} u ^ 2 = 12 )

                 
Multiplica por ( frac {3} {2} ) para obtener el coeficiente 1. ( frac {3} {2} · frac {2} {3} u ^ 2 = frac {3} {2} · 12 )
Simplifica. (u ^ 2 = 18 )
Use la propiedad de raíz cuadrada. (u = pm sqrt {18} )
Simplifica el radical. (u = pm sqrt {9} sqrt {2} )
Simplifica. (u = pm3 sqrt {2} )
Reescribe para mostrar dos soluciones. (u = 3 sqrt {2} ), (u = −3 sqrt {2} )
                 

Verificar.
.

                 
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {14} )

 

Resolver: ( frac {1} {2} x ^ 2 + 4 = 24 )

 
     
Respuesta
     
     

(x = 2 sqrt {10} ), (x = −2 sqrt {10} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {15} )

 

Resuelve: ( frac {3} {4} y ^ 2−3 = 18 ).

 
     
Respuesta
     
     

(y = 2 sqrt {7} ), (y = −2 sqrt {7} )

     
 
 
 

Las soluciones a algunas ecuaciones pueden tener fracciones dentro de los radicales. Cuando esto sucede, debemos racionalizar el denominador.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {16} )

 

Resuelve: (2c ^ 2−4 = 45 ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(2c ^ 2−4 = 45 )
Aislar el término cuadrático. (2c ^ 2 = 49 )
Divide entre 2 para obtener el coeficiente 1. ( frac {2c ^ 2} {2} = frac {49} {2} )
Simplifica. (c ^ 2 = frac {49} {2} )
Use la propiedad de raíz cuadrada. (c = pm frac { sqrt {49}} { sqrt {2}} )
Simplifica el radical. (c = pm frac { sqrt {49}} { sqrt {2}} )
Racionalizar el denominador. (c = pm frac { sqrt {49} sqrt {2}} { sqrt {2} sqrt {2}} )
Simplifica. (c = pm frac {7 sqrt {2}} {2} )
Reescribe para mostrar dos soluciones. (c = frac {7 sqrt {2}} {2} ), (c = – frac {7 sqrt {2}} {2} )
Verificación. Te dejamos el cheque por ti.
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {17} )

 

Resuelve: (5r ^ 2−2 = 34 ).

 
     
Respuesta
     
     

(r = frac {6 sqrt {5}} {5} ), (r = – frac {6 sqrt {5}} {5} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {18} )

 

Resuelve: (3t ^ 2 + 6 = 70 ).

 
     
Respuesta
     
     

(t = frac {8 sqrt {3}} {3} ), (t = – frac {8 sqrt {3}} {3} )

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Resolver ecuaciones cuadráticas de la forma (a (x-h) ^ 2 = k ) Usando la propiedad de raíz cuadrada

 

También podemos usar la propiedad de raíz cuadrada para resolver una ecuación como ((x − 3) ^ 2 = 16 ). Trataremos todo el binomio, (x − 3), como el término cuadrático.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {19} )

 

Resuelve: ((x − 3) ^ 2 = 16 ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
((x − 3) ^ 2 = 16 )
Use la propiedad de raíz cuadrada. (x − 3 = pm sqrt {16} )
Simplifica. (x − 3 = pm 4 )
Escribe como dos ecuaciones. (x − 3 = 4 ), (x − 3 = −4 )
Resolver. x = 7, x = −1
                 

Verificar.
.

                 
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {20} )

 

Resuelve: ((q + 5) ^ 2 = 1 ).

 
     
Respuesta
     
     

q = −6, q = −4

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {21} )

 

Resuelve: ((r − 3) ^ 2 = 25 ).

 
     
Respuesta
     
     

r = 8, r = −2

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {22} )

 

Resuelve: ((y − 7) ^ 2 = 12 ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
((y − 7) ^ 2 = 12 ).
Use la propiedad de raíz cuadrada. (y − 7 = pm sqrt {12} )
Simplifica el radical. (y − 7 = pm2 sqrt {3} )
Resuelva para y . (y = 7 pm2 sqrt {3} )
Reescribe para mostrar dos soluciones. (y = 7 + 2 sqrt {3} ), (y = 7−2 sqrt {3} )
                 

Verificar.
.

                 
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {23} )

 

Resuelve: ((a − 3) ^ 2 = 18 ).

 
     
Respuesta
     
     

(a = 3 + 3 sqrt {2} ), (a = 3−3 sqrt {2} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {24} )

 

Resuelve: ((b + 2) ^ 2 = 40 ).

 
     
Respuesta
     
     

(b = −2 + 2 sqrt {10} ), (b = −2−2 sqrt {10} )

     
 
 
  Recuerde, cuando sacamos la raíz cuadrada de una fracción, podemos tomar la raíz cuadrada del numerador y el denominador por separado.
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {25} )

 

Resuelve: ((x− frac {1} {2}) ^ 2 = frac {5} {4} ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
((x− frac {1} {2}) ^ 2 = frac {5} {4} )
Use la propiedad de raíz cuadrada. ((x− frac {1} {2}) = pm sqrt frac {5} {4} )
Reescribe el radical como una fracción de raíces cuadradas. ((x− frac {1} {2}) = pm frac { sqrt {5}} { sqrt {4}} )
Simplifica el radical. ((x− frac {1} {2}) = pm frac { sqrt {5}} {2} )
Resuelve para x. (x = frac {1} {2} + pm frac { sqrt {5}} {2} )
Reescribe para mostrar dos soluciones. (x = frac {1} {2} + frac { sqrt {5}} {2} ), (x = frac {1} {2} – frac { sqrt { 5}} {2} )
Verificación. Te dejamos el cheque
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {26} )

 

Resuelve: ((x− frac {1} {3}) ^ 2 = frac {5} {9} ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = frac {1} {3} + frac { sqrt {5}} {3} ), (x = frac {1} {3} – frac { sqrt { 5}} {3} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {27} )

 

Resuelve: ((y− frac {3} {4}) ^ 2 = frac {7} {16} ).

 
     
Respuesta
     
     

(y = frac {3} {4} + frac { sqrt {7}} {4} ), (y = frac {3} {4} – frac { sqrt { 7}} {4} ),

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Comenzaremos la solución al siguiente ejemplo aislando el binomio.

 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {28} )

 

Resuelve: ((x − 2) ^ 2 + 3 = 30 ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
((x − 2) ^ 2 + 3 = 30 )
Aislar el término binomial. ((x − 2) ^ 2 = 27 )
Use la propiedad de raíz cuadrada. (x − 2 = pm sqrt {27} )
Simplifica el radical. (x − 2 = pm3 sqrt {3} )
Resuelve para x. (x = 2 + pm3 sqrt {3} )
(x − 2 = pm3 sqrt {3} ) (x = 2 + 3 sqrt {3} ), (x = 2−3 sqrt {3} )
Verificación. Te dejamos el cheque
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {29} )

 

Resuelve: ((a − 5) ^ 2 + 4 = 24 ).

 
     
Respuesta
     
     

(a = 5 + 2 sqrt {5} ), (a = 5−2 sqrt {5} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {30} )

 

Resuelve: ((b − 3) ^ 2−8 = 24 ).

 
     
Respuesta
     
     

(b = 3 + 4 sqrt {2} ), (b = 3−4 sqrt {2} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {31} )

 

Resuelve: ((3v − 7) ^ 2 = −12 ).

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                              
((3v − 7) ^ 2 = −12 )
Use la propiedad de raíz cuadrada. (3v − 7 = pm sqrt {−12} )
El ( sqrt {−12} ) no es un número real. No hay una solución real.
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {32} )

 

Resuelve: ((3r + 4) ^ 2 = −8 ).

 
     
Respuesta
     
     

sin solución real

     
 
 
 

Los lados izquierdos de las ecuaciones en los siguientes dos ejemplos no parecen tener la forma (a (x − h) ^ 2 ). Pero son trinomios cuadrados perfectos, por lo que tendremos en cuenta para ponerlos en la forma que necesitamos.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {33} )

 

Resuelve: (p ^ 2−10p + 25 = 18 ).

 
     
Respuesta
     
     

El lado izquierdo de la ecuación es un trinomio cuadrado perfecto. Lo factorizaremos primero.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(p ^ 2−10p + 25 = 18 )
Factoriza el trinomio cuadrado perfecto. ((p − 5) ^ 2 = 18 )
Use la propiedad de raíz cuadrada. (p − 5 = pm sqrt {18} )
Simplifica el radical. (p − 5 = pm3 sqrt {2} )
Resolver para p. (p = 5 pm3 sqrt {2} )
Reescribe para mostrar dos soluciones. (p = 5 + 3 sqrt {2} ), (p = 5−3 sqrt {2} )
Verificación. Te dejamos el cheque por ti.
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {34} )

 

Resuelve: (x ^ 2−6x + 9 = 12 ).

 
     
Respuesta
     
     

(x = 3 + 2 sqrt {3} ), (x = 3−2 sqrt {3} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {35} )

 

Resuelve: (y ^ 2 + 12y + 36 = 32 ).

 
     
Respuesta
     
     

(y = −6 + 4 sqrt {2} ), (y = −6−4 sqrt {2} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {36} )

 

Resuelve: (4n ^ 2 + 4n + 1 = 16 ).

 
     
Respuesta
     
     

Nuevamente, notamos que el lado izquierdo de la ecuación es un trinomio cuadrado perfecto. Lo factorizaremos primero.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(4n ^ 2 + 4n + 1 = 16 )
Factoriza el trinomio cuadrado perfecto. ((2n + 1) ^ 2 = 16 )
Use la propiedad de raíz cuadrada. ((2n + 1) = pm sqrt {16} )
Simplifica el radical. ((2n + 1) = pm4 )
Resolver para n. (2n = −1 pm4 )
Divide cada lado entre 2.                  

( frac {2n} {2} = frac {−1 pm4} {2} )

                 

(n = frac {−1 pm4} {2} )

                 
Reescribe para mostrar dos soluciones. (n = frac {−1 + 4} {2} ), (n = frac {−1−4} {2} )
Simplifica cada ecuación. (n = frac {3} {2} ), (n = – frac {5} {2} )
                 

Verificar.
.

                 
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {37} )

 

Resuelve: (9m ^ 2−12m + 4 = 25 ).

 
     
Respuesta
     
     

(m = frac {7} {3} ), (m = −1 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {38} )

 

Resuelve: (16n ^ 2 + 40n + 25 = 4 ).

 
     
Respuesta
     
     

(n = – frac {3} {4} ), (n = – frac {7} {4} )

     
 
 
 
 
 
 
 

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Conceptos clave

 
         
  • Propiedad de raíz cuadrada
    Si (x ^ 2 = k ) y (k ge 0 ), entonces (x = sqrt {k} ) o (x = – sqrt {k} ).
  •  
 
 

Glosario

 
 
 
     
ecuación cuadrática
     
Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) donde (a ne 0 ).
 
 
     
Propiedad de raíz cuadrada
     
La propiedad de raíz cuadrada establece que, si (x ^ 2 = k ) y (k ge 0 ), entonces (x = sqrt {k} ) o (x = – sqrt {k} ).
 
 
 
 
 
 
                                  
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