10.1: Sumar y restar polinomios

10.1: Sumar y restar polinomios

Identificar polinomios, monomios, binomios y trinomios

 

En Evalúa, simplifica y traduce expresiones , aprendiste que un término es una constante o el producto de una constante y una o más variables. Cuando tiene la forma ax m , donde a es una constante ym es un número entero, se llama monomio. Un monomio, o una suma y / o diferencia de monomios, se llama polinomio.

 
 

Definición: Polinomios

 

polinomio – Un monomio, o dos o más monomios, combinados por suma o resta

 

monomial – Un polinomio con exactamente un término

 

binomial – Un polinomio con exactamente dos términos

 

trinomio – Un polinomio con exactamente tres términos

 
 

Observe las raíces:

 
         
  • poli – significa muchos
  •      
  • mono – significa uno
  •      
  • bi – significa dos
  •      
  • tri – significa tres
  •  
 

Estos son algunos ejemplos de polinomios:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Polinomio b + 1 4 años 2 – 7 años + 2 5x 5 – 4x 4 + x 3 + 8x 2 – 9x + 1
Monomial 5 4b 2 -9x 3
Binomial 3a – 7 y 2 – 9 17x 3 + 14x 2
Trinomio x 2 – 5x + 6 4 años 2 – 7 años + 2 5a 4 – 3a 3 + a
 

Observe que cada monomio, binomio y trinomio también es un polinomio. Son miembros especiales de la familia de los polinomios, por lo que tienen nombres especiales. Usamos las palabras «monomio», «binomio» y «trinomio» cuando nos referimos a estos polinomios especiales y simplemente llamamos al resto «polinomios».

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} ):

 

Determine si cada polinomio es un monomio, binomio, trinomio u otro polinomio: (a) 8x 2 – 7x – 9 (b) −5a 4 (c) x 4 – 7x 3 – 6x 2 + 5x + 2 (d) 11 – 4y 3 (e) n

 

Solución

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               
Polinomio Número de términos Tipo
(a) 8x 2 – 7x – 9 3 Trinomio
(b) −5a 4 1 Monomial
(c) x 4 – 7x 3 – 6x 2 + 5x + 2 5 Polinomio
(d) 11 – 4 años 3 2 Binomial
(e) n 1 Monomial
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} ):

 

Determine si cada polinomio es un monomio, binomio, trinomio u otro polinomio. (a) z (b) 2x 3 – 4x 2 – x – 8 (c) 6x 2 – 4x + 1 (d) 9 – 4y [ 19459007] 2 (e) 3x 7

 
     
Responde a
     
     

monomial

     
     
Respuesta b
     
     

polinomio

     
 
 
     
Respuesta c
     
     

trinomio

     
     
Respuesta d
     
     

binomial

     
 
 
     
Respuesta e
     
     

monomial

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} ):

 

Determine si cada polinomio es un monomio, binomio, trinomio u otro polinomio. (a) y 3 – 8 (b) 9x 3 – 5x 2 – x (c) x 4 – 3x [19459007 ] 2 – 4x – 7 (d) −y 4 (e) w

 
     
Responde a
     
     

binomial

     
     
Respuesta b
     
     

trinomio

     
 
 
     
Respuesta c
     
     

polinomio

     
     
Respuesta d
     
     

monomial

     
 
 
     
Respuesta e
     
     

monomial

     
 
 
 

Determine el grado de polinomios

 

En esta sección, trabajaremos con polinomios que solo tienen una variable en cada término. El grado de un polinomio y el grado de sus términos están determinados por los exponentes de la variable.

 

Un monomio que no tiene variable, solo una constante, es un caso especial. El grado de una constante es 0, no tiene variable.

 
 

Definición: Grado de un polinomio

 

El grado de un término es el exponente de su variable.

 

El grado de una constante es 0.

 

El grado de un polinomio es el grado más alto de todos sus términos.

 
 
 

Veamos cómo funciona mirando varios polinomios. Lo tomaremos paso a paso, comenzando con monomios y luego progresando a polinomios con más términos.

 

Recuerde: cualquier base escrita sin exponente tiene un exponente implícito de 1.

 

A table is shown. The top row is titled “Monomials” and lists the following monomials: 5, 4 b squared, negative 9 x cubed, negative 18. The next row is titled “Degree” and lists, in blue, 0, 2, 3, and 0. The next row is titled “Binomial” and lists the following binomials: b plus 1, 3a minus 7, y squared minus 9, 17 x cubed plus 14 x squared. The next row is titled “Degree of each term,” with “term” written in blue. This row lists 1, 0, 1, 0, 2, 0, 3, 2 in blue. The next row is titled “Degree of polynomial,” with “polynomial” written in red. This row lists 1, 1, 2, 3 in red. The next row is titled “Trinomial” and lists the following trinomials: x squared minus 5x plus 6, 4 y squared minus 7y plus 2, 5 a to the fourth minus 3 a cubed plus a, and x to the fourth plus 2 x squared minus 5. The next row is titled “Degree of each term,” with “term” written in blue. This row lists 2, 1, 0, 2, 1, 0, 4, 3, 1, 4, 2, 0 in blue. The next row is titled “Degree of polynomial,” with “polynomial” written in red. This row lists 2, 2, 4, 4 in red. The next row is titled “Polynomial” and lists the following polynomials: b plus 1, 4 y squared minus 7y plus 2, and 4 x to the fourth plus x cubed plus 8 x squared minus 9x plus 1. The next row is titled “Degree of each term,” with “term” written in blue. This row lists 1, 0, 2, 1, 0, 4, 3, 2, 1, 0 in blue. The next row is titled “Degree of polynomial,” with “polynomial” written in red. This row lists 1, 2, 4 in red.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} ):

 

Encuentre el grado de los siguientes polinomios: (a) 4x (b) 3x 3 – 5x + 7 (c) −11 (d) −6x 2 + 9x – 3 (e) 8x + 2

 

Solución

 

(a) 4x

                                                              
El exponente de x es uno. x = x 1 El grado es 1.
 

(b) 3x 3 – 5x + 7

                                                              
El grado más alto de todos los términos es 3. El grado es 3.
 

(c) −11

                                                              
El grado de una constante es 0. El grado es 0.
 

(d) −6x 2 + 9x – 3

                                                              
El grado más alto de todos los términos es 2. El grado es 2.
 

(e) 8x + 2

                                                              
El grado más alto de todos los términos es 1. El grado es 1.
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} ):

 

Encuentre el grado de los siguientes polinomios: (a) −6y (b) 4x – 1 (c) 3x 4 + 4x 2 – 8 (d) 2y [19459007 ] 2 + 3y + 9 (e) −18

 
     
Responde a
     
     

1

     
     
Respuesta b
     
     

1

     
 
 
     
Respuesta c
     
     

4

     
     
Respuesta d
     
     

2

     
 
 
     
Respuesta e
     
     

0

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} ):

 

Encuentre el grado de los siguientes polinomios: (a) 47 (b) 2x 2 – 8x + 2 (c) x 4 – 16 (d) y 5 – 5 años 3 + y (e) 9a 3

 
     
Responde a
     
     

0

     
     
Respuesta b
     
     

2

     
 
 
     
Respuesta c
     
     

4

     
     
Respuesta d
     
     

5

     
 
 
     
Respuesta e
     
     

3

     
 
 
 

Trabajar con polinomios es más fácil cuando enumeras los términos en orden descendente de grados. Cuando un polinomio se escribe de esta manera, se dice que está en forma estándar . Mire hacia atrás a los polinomios en el ejemplo 10.2. Tenga en cuenta que todos están escritos en forma estándar. Acostúmbrate a escribir el término con el grado más alto primero.

 

Sumar y restar monomios

 

En El lenguaje del álgebra , simplificaste expresiones combinando términos similares. Sumar y restar monomios es lo mismo que combinar términos similares. Los términos similares deben tener la misma variable con el mismo exponente. Recuerde que al combinar términos similares solo se combinan los coeficientes, nunca los exponentes.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} ):

 

Agregar: 17x 2 + 6x 2 .

 

Solución

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} ):

 

Agregar: 12x 2 + 5x 2 .

 
     
Respuesta
     
     

17x 2

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} ):

 

Agregue: −11y 2 + 8y 2 .

 
     
Respuesta
     
     

-3 años 2

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} ):

 

Restar: 11n – (−8n).

 

Solución

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} ):

 

Restar: 9n – (−5n).

 
     
Respuesta
     
     

14n

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} ):

 

Restar: −7a 3 – (−5a 3 ).

 
     
Respuesta
     
     

-2a 3

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} ):

 

Simplifique: a 2 + 4b 2 – 7a 2 .

 

Solución

                                                              
Combina términos similares. −6a 2 + 4b 2
 

Recuerde, −6a 2 y 4b 2 no son términos similares. Las variables no son las mismas.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} ):

 

Agregar: 3x 2 + 3y 2 – 5x 2 .

 
     
Respuesta
     
     

-2x 2 + 3 años 2

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} ):

 

Agregar: 2a 2 + b 2 – 4a 2 .

 
     
Respuesta
     
     

-2a 2 + b 2

     
 
 
 

Sumar y restar polinomios

 

Sumar y restar polinomios puede considerarse simplemente como sumar y restar términos similares. Busque términos similares: aquellos con las mismas variables con el mismo exponente. La propiedad conmutativa nos permite reorganizar los términos para juntar términos similares. También puede ser útil subrayar, encerrar en un círculo o en forma de recuadro.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} ):

 

Encuentra la suma: (4x 2 – 5x + 1) + (3x 2 – 8x – 9)

 

Solución

                                                                                                                                                              
Identificar términos similares. CNX_BMath_Figure_10_01_003-02.png
Reorganizar para obtener los términos similares juntos. CNX_BMath_Figure_10_01_003_img-03.png
Combina términos similares. CNX_BMath_Figure_10_01_003_img-04.png
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} ):

 

Encuentra la suma: (3x 2 – 2x + 8) + (x 2 – 6x + 2).

 
     
Respuesta
     
     

4x 2 – 8x + 10

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} ):

 

Encuentra la suma: (7y 2 + 4y – 6) + (4y 2 + 5y + 1)

 
     
Respuesta
     
     

11 años 2 + 9 años – 5

     
 
 
 

Los paréntesis son símbolos de agrupación. Cuando agregamos polinomios como lo hicimos en el ejemplo 10.6, podemos reescribir la expresión sin paréntesis y luego combinar términos similares. Pero cuando restamos polinomios, debemos tener mucho cuidado con los signos.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} ):

 

Encuentra la diferencia: (7u 2 – 5u + 3) – (4u 2 – 2).

 

Solución

                                                                                                                                                              
Distribuir e identificar términos similares. CNX_BMath_Figure_10_01_004_img-02.png
Reorganizar los términos. CNX_BMath_Figure_10_01_004_img-03.png
Combina términos similares. CNX_BMath_Figure_10_01_004_img-04.png
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} ):

 

Encuentra la diferencia: (6y 2 + 3y – 1) – (3y 2 – 4).

 
     
Respuesta
     
     

3 años 2 + 3 años + 3

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} ):

 

Encuentra la diferencia: (8u 2 – 7u – 2) – (5u 2 – 6u – 4).

 
     
Respuesta
     
     

3u 2 – u + 2

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ):

 

Restar: (m 2 – 3m + 8) de (9m 2 – 7m + 4).

 

Solución

                                                                                                                                                              
Distribuir e identificar términos similares. CNX_BMath_Figure_10_01_005_img-02.png
Reorganizar los términos. CNX_BMath_Figure_10_01_005_img-03.png
Combina términos similares. CNX_BMath_Figure_10_01_005_img-04.png
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} ):

 

Restar: (4n 2 – 7n – 3) de (8n 2 + 5n – 3).

 
     
Respuesta
     
     

4n 2 + 12n

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} ):

 

Restar: (a 2 – 4a – 9) de (6a 2 + 4a – 1).

 
     
Respuesta
     
     

5a 2 + 8a + 8

     
 
 
 

Evaluar un polinomio para un valor dado

 

En El lenguaje del álgebra evaluamos expresiones. Como los polinomios son expresiones, seguiremos los mismos procedimientos para evaluar los polinomios: sustituya el valor dado por la variable en el polinomio y luego simplifique.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ):

 

Evalúa 3x 2 – 9x + 7 cuando (a) x = 3 (b) x = −1

 

Solución

 

(a) x = 3

                                                                                                                                                                                                              
Sustituye 3 por x. 3 (3) 2 – 9 (3) + 7
Simplifica la expresión con el exponente. 3 • 9 – 9 (3) + 7
Multiplica. 27 – 27 + 7
Simplificar. 7
 

(b) x = −1

                                                                                                                                                                                                              
Sustituye -1 por x. 3 (-1) 2 – 9 (-1) + 7
Simplifica la expresión con el exponente. 3 • 1 – 9 (-1) + 7
Multiplica. 3 + 9 + 7
Simplificar. 19
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} ):

 

Evalúa: 2x 2 + 4x – 3 cuando (a) x = 2 (b) x = −3

 
     
Responde a
     
     

13

     
     
Respuesta b
     
     

3

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} ):

 

Evalúe: 7y 2 – y – 2 cuando (a) y = −4 (b) y = 0

 
     
Responde a
     
     

114

     
     
Respuesta b
     
     

-2

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ):

 

El polinomio −16t 2 + 300 da la altura de un objeto t segundos después de que se cae de un puente de 300 pies de altura. Encuentre la altura después de t = 3 segundos.

 

Solución

                                                                                                                                                                                                              
Sustituye 3 por t. -16 (3) 2 + 300
Simplifica la expresión con el exponente. -16 • 9 + 300
Multiplica. -144 + 300
Simplificar. 156
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} ):

 

El polinomio −8t 2 + 24t + 4 da la altura, en pies, de una pelota t segundos después de ser lanzada al aire, desde una altura inicial de 4 pies. Encuentre la altura después de t = 3 segundos.

 
     
Respuesta
     
     

4 pies

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} ):

 

El polinomio −8t 2 + 24t + 4 da la altura, en pies, de una pelota x segundos después de ser lanzada al aire, desde una altura inicial de 4 pies. Encuentre la altura después de t = 2 segundos.

 
     
Respuesta
     
     

20 pies

     
 
 
 
 

La práctica hace la perfección

 

Identificar polinomios, monomios, binomios y trinomios

 

En los siguientes ejercicios, determine si cada uno de los polinomios es monomial, binomial, trinomial u otro polinomio.

 
         
  1. 5x + 2
  2.      
  3. z 2 – 5z – 6
  4.      
  5. a 2 + 9a + 18
  6.      
  7. −12p 4
  8.      
  9. y 3 – 8 años 2 + 2 años – 16
  10.      
  11. 10 – 9x
  12.      
  13. 23 años 2
  14.      
  15. m 4 + 4m 3 + 6m 2 + 4m + 1
  16.  
 

Determine el grado de polinomios

 

En los siguientes ejercicios, determine el grado de cada polinomio.

 
         
  1. 8a 5 – 2a 3 + 1
  2.      
  3. 5c 3 + 11c 2 – c – 8
  4.      
  5. 3x – 12
  6.      
  7. 4 años + 17
  8.      
  9. −13
  10.      
  11. −22
  12.  
 

Sumar y restar monomios

 

En los siguientes ejercicios, suma o resta los monomios.

 
         
  1. 6x 2 + 9x 2
  2.      
  3. 4 años 3 + 6 años 3
  4.      
  5. −12u + 4u
  6.      
  7. −3m + 9m
  8.      
  9. 5a + 7b
  10.      
  11. 8 años + 6z
  12.      
  13. Agregar: 4a, – 3b, – 8a
  14.      
  15. Agregar: 4x, 3y, – 3x
  16.      
  17. 18x – 2x
  18.      
  19. 13a – 3a
  20.      
  21. Restar 5x 6 de – 12x 6
  22.      
  23. Restar 2p 4 de – 7p 4
  24.  
 

Sumar y restar polinomios

 

En los siguientes ejercicios, suma o resta los polinomios.

 
         
  1. (4 años 2 + 10 años + 3) + (8 años 2 – 6 años + 5)
  2.      
  3. (7x 2 – 9x + 2) + (6x 2 – 4x + 3)
  4.      
  5. (x 2 + 6x + 8) + (−4x 2 + 11x – 9)
  6.      
  7. (y 2 + 9y + 4) + (−2y 2 – 5y – 1)
  8.      
  9. (3a 2 + 7) + (a 2 – 7a – 18)
  10.      
  11. (p 2 – 5p – 11) + (3p 2 + 9)
  12.      
  13. (6 m 2 – 9 m – 3) – (2 m 2 + m – 5)
  14.      
  15. (3n 2 – 4n + 1) – (4n 2 – n – 2)
  16.      
  17. (z 2 + 8z + 9) – (z 2 – 3z + 1)
  18.      
  19. (z 2 – 7z + 5) – (z 2 – 8z + 6)
  20.      
  21. (12s 2 – 15s) – (s – 9)
  22.      
  23. (10r 2 – 20r) – (r – 8)
  24.      
  25. Encuentre la suma de (2p 3 – 8) y (p 2 + 9p + 18)
  26.      
  27. Encuentre la suma de (q 2 + 4q + 13) y (7q 3 – 3)
  28.      
  29. Restar (7x 2 – 4x + 2) de (8x 2 – x + 6)
  30.      
  31. Restar (5x 2 – x + 12) de (9x 2 – 6x – 20)
  32.      
  33. Encuentre la diferencia de (w 2 + w – 42) y (w 2 – 10w + 24)
  34.      
  35. Encuentre la diferencia de (z 2 – 3z – 18) y (z 2 + 5z – 20)
  36.  
 

Evaluar un polinomio para un valor dado

 

En los siguientes ejercicios, evalúe cada polinomio para el valor dado.

 
         
  1. Evalúe 8y 2 – 3y + 2      
               
    1. y = 5
    2.          
    3. y = −2
    4.          
    5. y = 0
    6.      
         
  2.      
  3. Evalúe 5y 2 – y – 7 cuando:      
               
    1. y = −4
    2.          
    3. y = 1
    4.          
    5. y = 0
    6.      
         
  4.      
  5. Evalúe 4 – 36x cuando:      
               
    1. x = 3
    2.          
    3. x = 0
    4.          
    5. x = −1
    6.      
         
  6.      
  7. Evalúe 16 – 36x 2 cuando:      
               
    1. x = −1
    2.          
    3. x = 0
    4.          
    5. x = 2
    6.      
         
  8.      
  9. Un limpiador de ventanas deja caer una escobilla de goma desde una plataforma de 275 pies de altura. El polinomio −16t 2 + 275 da la altura de la escobilla de goma t segundos después de su caída. Encuentre la altura después de t = 4 segundos.
  10.      
  11. Un fabricante de hornos de microondas descubrió que los ingresos recibidos por la venta de microondas a un costo de p dólares cada uno están dados por el polinomio −5p 2 + 350p. Encuentre los ingresos recibidos cuando p = 50 dólares.
  12.  
 

Matemáticas cotidianas

 
         
  1. Eficiencia del combustible La eficiencia del combustible (en millas por galón) de un autobús que circula a una velocidad de x millas por hora viene dada por el polinomio (- dfrac {1} {160} x ^ {2} + dfrac {1} {2} x ). Encuentre la eficiencia del combustible cuando x = 40 mph.
  2.      
  3. Distancia de frenado El número de pies que toma un automóvil que viaja a x millas por hora para detenerse en concreto seco y nivelado viene dado por el polinomio 0.06x 2 + 1.1x . Encuentre la distancia de frenado cuando x = 60 mph.
  4.  
 

Ejercicios de escritura

 
         
  1. Usando tus propias palabras, explica la diferencia entre un monomio, un binomio y un trinomio.
  2.      
  3. Eloise cree que la suma 5x 2 + 3x 4 es 8x 6 . ¿Qué hay de malo en su razonamiento?
  4.  
 

Autocomprobación

 

(a) Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

 

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(b) Si la mayoría de sus cheques fueran:

 

… con confianza. ¡Felicidades! Has logrado los objetivos en esta sección. Reflexione sobre las habilidades de estudio que utilizó para poder seguir usándolas. ¿Qué hiciste para confiar en tu capacidad para hacer estas cosas? Se específico.

 

… con algo de ayuda. Esto debe abordarse rápidamente porque los temas que no domina se convierten en baches en su camino hacia el éxito. En matemáticas, cada tema se basa en trabajos previos. Es importante asegurarse de tener una base sólida antes de continuar.

 

¿A quién puedes pedir ayuda? Tus compañeros e instructor son buenos recursos. ¿Hay un lugar en el campus donde hay tutores de matemáticas disponibles? ¿Se pueden mejorar tus habilidades de estudio?

 

… no, ¡no lo entiendo! Esta es una señal de advertencia y no debe ignorarla. Debe obtener ayuda de inmediato o se sentirá abrumado rápidamente. Consulte a su instructor lo antes posible para analizar su situación. Juntos pueden elaborar un plan para obtener la ayuda que necesitan.

 
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