10.2: Encontrar funciones compuestas e inversas

10.2: Encontrar funciones compuestas e inversas

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

En este capítulo, presentaremos dos nuevos tipos de funciones, funciones exponenciales y funciones logarítmicas. Estas funciones se utilizan ampliamente en los negocios y las ciencias, como veremos.

Buscar y evaluar funciones compuestas

 

Antes de presentar las funciones, necesitamos ver otra operación en funciones llamadas composición. En composición, la salida de una función es la entrada de una segunda función. Para las funciones (f ) y (g ), la composición se escribe (f∘g ) y se define por ((f∘g) (x) = f (g (x)) ).

 

Leemos (f (g (x)) ) como “ (f ) de (g ) de (x )”.

 
This figure shows x as the input to a box denoted as function g with g of x as the output of the box. Then, g of x is the input to a box denoted as function f with f of g of x as the output of the box.  
Figura 10.1.1
 
 

Para hacer una composición, la salida de la primera función, (g (x) ), se convierte en la entrada de la segunda función, (f ), por lo que debemos estar seguros de que es parte de la función dominio de (f ) .

 
 

Definición ( PageIndex {1} )

 

La composición de las funciones (f ) y (g ) se escribe (f cdot g ) y se define por

 

((f circ g) (x) = f (g (x)) )

 

Leemos (f (g (x)) ) como (f ) de (g ) de (x ).

 
 

Realmente hemos usado composición sin usar la notación muchas veces antes. Cuando graficamos funciones cuadráticas usando traducciones, estábamos componiendo funciones. Por ejemplo, si primero graficamos (g (x) = x ^ {2} ) como una parábola y luego lo desplazamos verticalmente cuatro unidades, estaríamos usando la composición definida por ((f∘g) (x) = f (g (x)) ) donde (f (x) = x − 4 ).

 
This figure shows x as the input to a box denoted as g of x equals x squared with x squared as the output of the box. Then, x squared is the input to a box denoted as f of x equals x minus 4 with f of g of x equals x squared minus 4 as the output of the box.  
Figura 10.1.2
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Para las funciones (f (x) = 4x-5 ) y (g (x) = 2x + 3 ), encuentre

 
         
  1. ((f circ g) (x) )
  2.      
  3. ((g circ f) (x) )
  4.      
  5. ((f cdot g) (x) )
  6.  
 

Solución :

 
         
  1.           

    Tabla 10.1.1

         
  2.      
  3.           

    Tabla 10.1.2

         
  4.  
 

Observe la diferencia en el resultado en la parte a. y parte b.

 

c. Observe que ((f cdot g) (x) ) es diferente de ((f circ g) (x) ). En la parte a. Hicimos la composición de las funciones. Ahora en la parte c. no los estamos componiendo, los estamos multiplicando.

 

Use la definición de ((f cdot g) (x) ).

 

((f cdot g) (x) = f (x) cdot g (x) )

 

Sustituye (f (x) = 4 x-5 ) y (g (x) = 2 x + 3 ).

 

((f cdot g) (x) = (4 x-5) cdot (2 x + 3) )

 

Multiplicar.

 

((f cdot g) (x) = 8 x ^ {2} +2 x-15 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Para las funciones (f (x) = 3x-2 ) y (g (x) = 5x + 1 ), encuentre

 
         
  1. ((f circ g) (x) )
  2.      
  3. ((g circ f) (x) )
  4.      
  5. ((f cdot g) (x) )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (15x + 1 )
  2.          
  3. (15x-9 )
  4.          
  5. (15 x ^ {2} -7 x-2 )
  6.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Para las funciones (f (x) = 4 x-3 ) y (g (x) = 6x-5 ), encuentre

 
         
  1. ((f circ g) (x) )
  2.      
  3. ((g circ f) (x) )
  4.      
  5. ((f cdot g) (x) )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (24 x-23 )
  2.          
  3. (24 x-23 )
  4.          
  5. (24 x ^ {2} -38 x + 15 )
  6.      
     
 
 
 

En el siguiente ejemplo evaluaremos una composición para un valor específico.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Para las funciones (f (x) = x ^ {2} -4 ) y (g (x) = 3 x + 2 ), busque:

 
         
  1. ((f circ g) (- 3) )
  2.      
  3. ((g circ f) (- 1) )
  4.      
  5. ((f circ f) (2) )
  6.  
 

Solución :

 
         
  1.           

    Tabla 10.1.3

         
  2.      
  3.           

    Tabla 10.1.4

         
  4.      
  5.           

    Tabla 10.1.5

         
  6.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Para las funciones (f (x) = x ^ {2} -9 ) y (g (x) = 2x + 5 ), encuentre

 
         
  1. ((f circ g) (- 2) )
  2.      
  3. ((g circ f) (- 3) )
  4.      
  5. ((f circ f) (4) )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (- 8 )
  2.          
  3. (5 )
  4.          
  5. (40 )
  6.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Para las funciones (f (x) = x ^ {2} +1 ) y (g (x) = 3x-5 ), encuentre

 
         
  1. ((f circ g) (- 1) )
  2.      
  3. ((g circ f) (2) )
  4.      
  5. ((f circ f) (- 1) )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (65 )
  2.          
  3. (10 ​​)
  4.          
  5. (5 )
  6.      
     
 
 
 

Determine si una función es uno a uno

 

Cuando presentamos funciones por primera vez, dijimos que una función es una relación que asigna a cada elemento en su dominio exactamente un elemento en el rango. Para cada par ordenado en la relación, cada valor (x ) se corresponde con un solo valor (y ).

 

Utilizamos el ejemplo de cumpleaños para ayudarnos a entender la definición. Toda persona cumple años, pero nadie cumple dos años y está bien que dos personas compartan un cumpleaños. Como cada persona tiene exactamente un cumpleaños, esa relación es una función.

 
This figure shows two tables. To the left is the table labeled Name, which from top to bottom reads Alison, Penelope, June, Gregory, Geoffrey, Lauren, Stephen, Alice, Liz, and Danny. The table on the right is labeled Birthday, which from top to bottom reads January 12, February 3, April 25, May 10, May 23, July 24, August 2, and September 15. There are arrows going from Alison to April 25, Penelope to May 23, June to August 2, Gregory to September 15, Geoffrey to January 12, Lauren to May 10, Stephen to July 24, Alice to February 3, Liz to July 24, and Danny to no birthday.  
Figura 10.1.38
 
 

Una función es uno a uno si cada valor en el rango tiene exactamente un elemento en el dominio. Para cada par ordenado en la función, cada valor y se corresponde con un solo valor (x ).

 

Nuestro ejemplo de la relación de cumpleaños no es una función uno a uno. Dos personas pueden compartir el mismo cumpleaños. El valor de rango el 2 de agosto es el cumpleaños de Liz y junio, por lo que un valor de rango tiene dos valores de dominio. Por lo tanto, la función no es uno a uno.

 
 

Definición ( PageIndex {2} )

 

Una función es uno a uno si cada valor en el rango corresponde a un elemento en el dominio. Para cada par ordenado en la función, cada valor (y ) se corresponde con un solo valor (x ). No hay valores repetidos de (y ).

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Para cada conjunto de pares ordenados, determine si representa una función y, si es así, si la función es uno a uno.

 
         
  1. ( {(- 3,27), (- 2,8), (- 1,1), (0,0), (1,1), (2,8), (3,27 ) } )
  2.      
  3. ( {(0,0), (1,1), (4,2), (9,3), (16,4) } )
  4.  
 

Solución :

 
         
  1. ( {(- 3,27), (- 2,8), (- 1,1), (0,0), (1,1), (2,8), (3,27 ) } )      

    Cada (x ) – valor coincide con un solo (y ) – valor. Entonces esta relación es una función.

         

    Pero cada (y ) – valor no está emparejado con solo un (x ) – valor, ((- 3,27) ) y ((3,27) ), por ejemplo. Entonces, esta función no es uno a uno.

         
  2.      
  3. ( {(0,0), (1,1), (4,2), (9,3), (16,4) } )      

    Cada (x ) – valor coincide con un solo (y ) – valor. Entonces esta relación es una función.

         

    Dado que cada (y ) – valor está emparejado con solo un (x ) – valor, esta función es uno a uno.

         
  4.  
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Para cada conjunto de pares ordenados, determine si representa una función y, de ser así, es la función uno a uno.

 
         
  1. ( {(- 3, -6), (- 2, -4), (- 1, -2), (0,0), (1,2), (2,4), ( 3,6) } )
  2.      
  3. ( {(- 4,8), (- 2,4), (- 1,2), (0,0), (1,2), (2,4), (4,8 ) } )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. Función uno a uno
  2.          
  3. Función; no uno a uno
  4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Para cada conjunto de pares ordenados, determine si representa una función y, de ser así, es la función uno a uno.

 
         
  1. ( {(27, -3), (8, -2), (1, -1), (0,0), (1,1), (8,2), (27,3 ) } )
  2.      
  3. ( {(7, -3), (- 5, -4), (8,0), (0,0), (- 6,4), (- 2,2), (- 1,3) } )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. No es una función
  2.          
  3. Función; no uno a uno
  4.      
     
 
 
 

Para ayudarnos a determinar si una relación es una función, utilizamos la prueba de línea vertical . Un conjunto de puntos en un sistema de coordenadas rectangular es el gráfico de una función si cada línea vertical se cruza con el gráfico en un punto como máximo. Además, si alguna línea vertical se cruza con el gráfico en más de un punto, el gráfico no representa una función.

 

La línea vertical representa un valor (x ) y verificamos que intersecta el gráfico en un solo valor (y ). Entonces es una función.

 

Para verificar si una función es uno a uno, utilizamos un proceso similar. Usamos una línea horizontal y verificamos que cada línea horizontal se cruza con el gráfico en un solo punto. La línea horizontal representa un valor (y ) y verificamos que intersecta el gráfico en un solo valor (x ). Si cada línea horizontal se cruza con el gráfico de una función como máximo en un punto, es una función uno a uno. Esta es la prueba de línea horizontal .

 
 

Definición ( PageIndex {3} )

 

Prueba de línea horizontal

 

Si cada línea horizontal se cruza con el gráfico de una función como máximo en un punto, es una función uno a uno.

 
 

Podemos probar si una gráfica de una relación es una función utilizando la prueba de línea vertical. Entonces podemos saber si la función es uno a uno aplicando la prueba de línea horizontal.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Determinar

 
         
  1. si cada gráfico es el gráfico de una función y, de ser así,
  2.      
  3. si es uno a uno
  4.  
 
This first graph shows a straight line passing through (0, 2) and (3, 0). This second shows a parabola opening up with vertex at (0, negative 1).  
Figura 10.1.39
 
 

Solución :

 
         
  1. This figure shows a straight line passing through (0, 2) and (3, 0), with a red vertical line that only passes through one point and a blue horizontal line that only passes through one point.
    Figura 10.1.40
  2.  
 

Dado que cualquier línea vertical se cruza con el gráfico como máximo en un punto, el gráfico es el gráfico de una función. Como cualquier línea horizontal se cruza con el gráfico como máximo en un punto, el gráfico es el gráfico de una función uno a uno.

 

b.

 
This figure shows a parabola opening up with vertex at (0, negative 1), with a red vertical line that only passes through one point and a blue horizontal line that passes through two points.  
Figura 10.1.41
 
 

Dado que cualquier línea vertical se cruza con el gráfico como máximo en un punto, el gráfico es el gráfico de una función. La línea horizontal que se muestra en el gráfico lo intersecta en dos puntos. Este gráfico no representa una función uno a uno.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Determinar

 
         
  1. si cada gráfico es el gráfico de una función y, de ser así,
  2.      
  3. si es uno a uno
  4.  
 
Graph a shows a parabola opening to the right with vertex at (negative 1, 0). Graph b shows an exponential function that does not cross the x axis and that passes through (0, 1) before increasing rapidly.  
Figura 10.1.42
 
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. No es una función
  2.          
  3. Función uno a uno
  4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Determinar

 
         
  1. si cada gráfico es el gráfico de una función y, de ser así,
  2.      
  3. si es uno a uno
  4.  
 
Graph a shows a parabola opening up with vertex at (0, 3). Graph b shows a straight line passing through (0, negative 2) and (2, 0).  
Figura 10.1.43
 
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. Función; no uno a uno
  2.          
  3. Función uno a uno
  4.      
     
 
 
 

Encontrar el inverso de una función

 

Veamos una función uno a uno, (f ), representada por los pares ordenados ( {(0,5), (1,6), (2,7), (3,8 ) } ). Para cada valor (x ), (f ) agrega (5 ) para obtener el valor (y ). Para «deshacer» la suma de (5 ), restamos (5 ) de cada valor de (y ) y volvemos al valor original de (x ). Podemos llamar a esto «tomar el inverso de (f )» y nombrar la función (f ^ {- 1} ).

 
This figure shows the set (0, 5), (1, 6), (2, 7) and (3, 8) on the left side of an oval. The oval contains the numbers 0, 1, 2, and 3. There are black arrows from these numbers that point to the numbers 5, 6, 7, and 8, respectively in a second oval to the right of the first. Above this, there is a black arrow labeled “f add 5†coming from the left oval to the right oval. There are red arrows from the numbers 5, 6, 7, and 8 in the right oval to the numbers 0, 1, 2, and 3, respectively, in the left oval. Below this, we have a red arrow labeled “f with a superscript negative 1†and “subtract 5â€. To the right of this, we have the set (5, 0), (6, 1), (7, 2) and (8, 3).  
Figura 10.1.44
 
 

Observe que los pares ordenados de (f ) y (f ^ {- 1} ) tienen sus valores de (x ) – y (y ) – invertidos. El dominio de (f ) es el rango de (f ^ {- 1} ) y el dominio de (f ^ {- 1} ) es el rango de (f ).

 
 

Definición ( PageIndex {4} )

 

Inversa de una función definida por pares ordenados

   

Si (f (x) ) es una función uno a uno cuyos pares ordenados tienen la forma ((x, y) ), entonces su función inversa (f ^ {- 1} ( x) ) es el conjunto de pares ordenados ((y, x) ).

 
 

En el siguiente ejemplo encontraremos el inverso de una función definida por pares ordenados.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Encuentre el inverso de la función ( {(0,3), (1,5), (2,7), (3,9) } ). Determine el dominio y el rango de la función inversa.

 

Solución :

 

Esta función es uno a uno ya que cada valor (x ) se combina con exactamente un valor (y ).

 

Para encontrar el inverso, invertimos los valores (x ) – y (y ) – en los pares ordenados de la función.

 

( begin {array} {ll} { text {Function}} & { {(0,3), (1,5), (2,7), (3,9) }} \ { text {Función inversa}} & { {(3,0), (5,1), (7,2), (9,3) }} \ { text {Dominio de la función inversa }} & { {3, 5, 7, 9 }} \ { text {Rango de función inversa}} & { {0, 1, 2, 3 }} end {array} ) [ 19459001]  

 

 

 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Encuentre el inverso de ( {(0,4), (1,7), (2,10), (3,13) } ). Determine el dominio y el rango de la función inversa.

 
     
Respuesta
     
     

Función inversa: ( {(4,0), (7,1), (10,2), (13,3) } ). Dominio: ( {4,7,10,13 } ). Rango: ( {0,1,2,3 } ).

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Encuentre el inverso de ( {(- 1,4), (- 2,1), (- 3,0), (- 4,2) } ). Determine el dominio y el rango de la función inversa.

 
     
Respuesta
     
     

Función inversa: ( {(4, -1), (1, -2), (0, -3), (2, -4) } ). Dominio: ( {0,1,2,4 } ). Rango: ( {- 4, -3, -2, -1 } ).

     
 
 
 

Acabamos de señalar que si (f (x) ) es una función uno a uno cuyos pares ordenados tienen la forma ((x, y) ), entonces su función inversa (f ^ { −1} (x) ) es el conjunto de pares ordenados ((y, x) ).

 

Entonces, si un punto ((a, b) ) está en la gráfica de una función (f (x) ), entonces el par ordenado ((b, a) ) está en la gráfica de (f ^ {- 1} (x) ). Ver Figura 10.1.43.

 
This figure shows the line y equals x with points (3,1) and (1,3) on either side of the line. These two points are connected by a dashed blue line segment.  
Figura 10.1.45
 
 

La distancia entre dos pares cualquiera ((a, b) ) y ((b, a) ) se reduce a la mitad por la línea (y = x ). Entonces decimos que los puntos son imágenes especulares entre sí a través de la línea (y = x ).

 

Dado que cada punto en el gráfico de una función (f (x) ) es una imagen especular de un punto en el gráfico de (f ^ {- 1} (x) ), decimos que los gráficos son imágenes especulares entre sí a través de la línea (y = x ). Usaremos este concepto para graficar el inverso de una función en el siguiente ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Grafica, en el mismo sistema de coordenadas, el inverso de la función uno a uno que se muestra.

 
This figure shows a line from (negative 5, negative 3) to (negative 3, negative 1) then to (negative 1,0) then to (0,2) and then to (3, 4).  
Figura 10.1.46
 
 

Solución :

 

Podemos usar puntos en el gráfico para encontrar puntos en el gráfico inverso. Algunos puntos en el gráfico son: ((- 5, −3), (- 3, −1), (- 1,0), (0,2), (3,4) ).

 

Entonces, la función inversa contendrá los puntos: ((- 3, −5), (- 1, −3), (0, −1), (2,0), (4,3) )

 

 

This figure shows a line from (negative 5, negative 3) to (negative 3, negative 1) then to (negative 1, 0) then to (0,2) and then to (3, 4). Then there is a dashed line to denote y equals x. There is also a line from (negative 3, negative 5) to (negative 1, negative 3) then to (0, negative 1), then to (2, 0) and then to (4, 3).  
Figura 10.1.47
 
 

Observe cómo la gráfica de la función original y la gráfica de las funciones inversas son imágenes especulares a través de la línea (y = x ).

 

 

 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Grafica, en el mismo sistema de coordenadas, el inverso de la función uno a uno.

 
The graph shows a line from (negative 3, negative 4) to (negative 2, negative 2) then to (0, negative 1), then to (1, 2) and then to (4, 3). The graph shows a line from (negative 3, 4) to (0, 3) then to (1, 2) and then to (4, 1).  
Figura 10.1.48
 
 
     
Respuesta
     
     
This figure shows a line from (negative 4, negative 3) to (negative 2, negative 2) then to (negative 1, 0) then to (2, 1) and then to (3, 4).      
Figura 10.1.49
     
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Grafica, en el mismo sistema de coordenadas, el inverso de la función uno a uno.

 
.  
Figura 10.1.50
 
 
     
Respuesta
     
     
Graph extends from negative 4 to 4 on both axes. Points plotted are (negative 3, 4), (0, 3), (1, 2), and (4, 1). Line segments connect points.      
Figura 10.1.51
     
     
 
 
 

Cuando comenzamos nuestra discusión sobre una función inversa, hablamos sobre cómo la función inversa «deshace» lo que la función original hizo a un valor en su dominio para volver al valor original (x ).

 
This figure shows x as the input to a box denoted as function f with f of x as the output of the box. Then, f of x is the input to a box denoted as function f superscript negative 1 with f superscript negative 1 of f of x equals x as the output of the box.  
Figura 10.1.52
 
 
 

Definición ( PageIndex {5} )

 

Funciones inversas

 

(f ^ {- 1} (f (x)) = x ), para todos (x ) en el dominio de (f )

 

(f left (f ^ {- 1} (x) right) = x ), para todos (x ) en el dominio de (f ^ {- 1} )

 
 

Podemos usar esta propiedad para verificar que dos funciones son inversas entre sí.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Verifique que (f (x) = 5x − 1 ) y (g (x) = frac {x + 1} {5} ) son funciones inversas.

 

Solución :

   

Las funciones son inversas entre sí si (g (f (x)) = x ) y (f (g (x)) = x ).

 

Tabla 10.1.6

 

Dado que tanto (g (f (x)) = x ) como (f (g (x)) = x ) son verdaderas, las funciones (f (x) = 5x − 1 ) y (g (x) = frac {x + 1} {5} ) son funciones inversas. Es decir, son inversas entre sí.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Verifique que las funciones sean funciones inversas. (f (x) = 4 x-3 ) y (g (x) = frac {x + 3} {4} ).

 
     
Respuesta
     
     

(g (f (x)) = x ) y (f (g (x)) = x ), por lo que son inversas.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Verifique que las funciones sean funciones inversas. (f (x) = 2 x + 6 ) y (g (x) = frac {x-6} {2} )

 
     
Respuesta
     
     

(g (f (x)) = x, ) y (f (g (x)) = x, ) por lo que son inversas.

     
 
 
 

Hemos encontrado inversos de función definidos por pares ordenados y de un gráfico. Ahora veremos cómo encontrar un inverso usando una ecuación algebraica. El método utiliza la idea de que si (f (x) ) es una función uno a uno con pares ordenados ((x, y) ), entonces su función inversa (f ^ {- 1} (x ) ) es el conjunto de pares ordenados ((y, x) ).

 

Si invertimos (x ) y (y ) en la función y luego resolvemos (y ), obtenemos nuestra función inversa .

 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} ) Cómo encontrar el inverso de una función uno a uno

 

Encuentre el inverso de (f (x) = 4 x + 7 ).

 

Solución :

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    
Paso 1 . Sustituye (y ) por (f (x) ). Reemplazar (f (x) ) con (y ). ( begin {alineado} f (x) & = 4 x + 7 \ y & = 4 x + 7 end {alineado} )
Paso 2 : Intercambie las variables (x ) y (y ). Reemplace (x ) con (y ) y luego (y ) con (x ). (x = 4y + 7 )
Paso 3 : Resuelve (y ).              

Resta (7 ) de cada lado.

             

Dividir entre (4 ).

             
(x-7 = 4 y )
( frac {x-7} {4} = y )
Paso 4 : Sustituye (f ^ {- 1} (x) ) por (y ). Reemplace (y ) con (f ^ {- 1} (x) ). ( frac {x-7} {4} = f ^ {- 1} (x) )
Paso 5 : Verifique que las funciones sean inversas.              

Mostrar (f ^ {- 1} (f (x)) = x )

             

y (f left (f ^ {- 1} (x) right) = x )

             
( begin {alineado} f ^ {- 1} (f (x)) & stackrel {?} {=} X \ f ^ {- 1} (4x + 7) & stackrel {? } {=} x \ frac {(4x + 7) -7} {4} & stackrel {?} {=} x \ frac {4x} {4} & stackrel {?} {=} x \ x & = x \ \ f (f ^ {- 1} (x)) & stackrel {?} {=} x \ f left ( frac {x-7} {4} right ) & stackrel {?} {=} x \ 4 left ( frac {x-7} {4} right) + 7 & stackrel {?} {=} x \ x-7 + 7 & stackrel {?} {=} x \ x & = x end {alineado} )
 

Tabla 10.1.7

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Encuentre el inverso de la función (f (x) = 5x-3 ).

 
     
Respuesta
     
     

(f ^ {- 1} (x) = frac {x + 3} {5} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Encuentre el inverso de la función (f (x) = 8 x + 5 ).

 
     
Respuesta
     
     

(f ^ {- 1} (x) = frac {x-5} {8} )

     
 
 
 

Resumimos los pasos a continuación.

 

Cómo encontrar el inverso de una función uno a uno

 
 
         
  1. Sustituye (y ) por (f (x) ).
  2.      
  3. Intercambie las variables (x ) y (y ).
  4.      
  5. Resuelve para (y ).
  6.      
  7. Sustituye (f ^ {- 1} (x) ) por (y ).
  8.      
  9. Verifique que las funciones sean inversas.
  10.  
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} ) Cómo encontrar el inverso de una función uno a uno

 

Encuentre el inverso de (f (x) = sqrt [5] {2 x-3} ).

 

Solución :

 

(f (x) = sqrt [5] {2 x-3} )

 

Sustituye (y ) por (f (x) ).

 

(y = sqrt [5] {2 x-3} )

 

Intercambie las variables (x ) y (y ).

 

(x = sqrt [5] {2 y-3} )

 

Resuelve para (y ).

 

( begin {alineado} (x) ^ {5} & = ( sqrt [5] {2 y-3}) ^ {5} \ x ^ {5} & = 2 y-3 x ^ {5} +3 & = 2 y \ frac {x ^ {5} +3} {2} & = y end {alineado} )

 

Sustituye (f ^ {- 1} (x) ) por (y ).

 

(f ^ {- 1} (x) = frac {x ^ {5} +3} {2} )

 

Verifique que las funciones sean inversas.

 

( begin {array} {rr} {f ^ {- 1} (f (x)) stackrel {?} {=} X} & {f left (f ^ {- 1} (x ) right) stackrel {?} {=} x} \ {f ^ {- 1} ( sqrt [5] {2x-3}) stackrel {?} {=} x} & {f left ( frac {x ^ {5} +3} {2} right)} stackrel {?} {=} x \ { frac {( sqrt [5] {2x-3}) ^ {5} +3} {2} stackrel {?} {=} X} & { sqrt [5] {2 left ( frac {x ^ {5} +3} {2} right) -3} stackrel {?} {=} x} \ { frac {2x-3 + 3} {2} stackrel {?} {=} x} y { sqrt [5] {x ^ {5} + 3-3 } stackrel {?} {=} x} \ { frac {2x} {2} stackrel {?} {=} x} y { sqrt [5] {x ^ {5}} stackrel {? } {=} x} \ {x = x} & {x = x} end {array} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

Encuentre el inverso de la función (f (x) = sqrt [5] {3 x-2} ).

 
     
Respuesta
     
     

(f ^ {- 1} (x) = frac {x ^ {5} +2} {3} )

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

Encuentre el inverso de la función (f (x) = sqrt [4] {6 x-7} ).

 
     
Respuesta
     
     

(f ^ {- 1} (x) = frac {x ^ {4} +7} {6} )

     
 
 
 

 

Glosario

 
     
función uno a uno
     
Una función es uno a uno si cada valor en el rango tiene exactamente un elemento en el dominio. Para cada par ordenado en la función, cada valor (y ) se corresponde con un solo valor (x ).
 
 
 
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