10.2: Resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado

10.2: Resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado

         

                                                                                                                                          
                                                              
                 
 
 

Objetivos de aprendizaje

 

Al final de esta sección, podrá:

 
         
  • Completa el cuadrado de una expresión binomial
  •      
  • Resuelve ecuaciones cuadráticas de la forma (x ^ 2 + bx + c = 0 ) completando el cuadrado
  •      
  • Resuelve ecuaciones cuadráticas de la forma (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) completando el cuadrado
  •  
 
 
 

Nota

 

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación. Si pierde un problema, regrese a la sección enumerada y revise el material.

 
         
  1. Simplifica ((x + 12) ^ 2 ).
    Si se perdió este problema, revise Ejemplo 6.4.1 .
  2.      
  3. Factor (y ^ 2−18y + 81 ).
    Si se perdió este problema, revise Ejercicio 7.4.1 .
  4.      
  5. Factor (5n ^ 2 + 40n + 80 ).
    Si se perdió este problema, revise Ejercicio 7.4.13 .
  6.  
 
 

Hasta ahora, hemos resuelto ecuaciones cuadráticas factorizando y usando la propiedad de raíz cuadrada. En esta sección, resolveremos ecuaciones cuadráticas mediante un proceso llamado «completar el cuadrado».

 

Completa El cuadrado de una expresión binomial

 

En la última sección, pudimos usar la propiedad de la raíz cuadrada para resolver la ecuación ((y − 7) ^ 2 = 12 ) porque el lado izquierdo era un cuadrado perfecto.

 
 

[ begin {array} {l} {(y − 7) ^ 2 = 12} \ {y − 7 = pm sqrt {12}} \ {y − 7 = pm2 sqrt {3}} \ {y = 7 pm2 sqrt {3}} \ nonumber end {array} ]

 

También resolvimos una ecuación en la que el lado izquierdo era un trinomio cuadrado perfecto, pero tuvimos que reescribirlo en la forma ((x − k) ^ 2 ) para usar la propiedad de raíz cuadrada.

 

[ begin {array} {l} {x ^ 2−10x + 25 = 18} \ {(x − 5) ^ 2 = 18} \ nonumber end {array} ] [19459036 ]  

¿Qué sucede si la variable no es parte de un cuadrado perfecto? ¿Podemos usar el álgebra para hacer un cuadrado perfecto?

 

Estudiemos el patrón cuadrado binomial que hemos usado muchas veces. Veremos dos ejemplos.

 

[ begin {array} {ll} {(x + 9) ^ 2} & {(y − 7) ^ 2} \ {(x + 9) (x + 9)} & {(y −7) (y − 7)} \ {x ^ 2 + 9x + 9x + 81} y {y ^ 2−7y − 7y + 49} \ {x ^ 2 + 18x + 81} y {y ^ 2 −14y + 49} \ nonumber end {array} ]

 
 
 

Definición: PATRÓN CUADRADO BINOMIAL

 
 

Si a, b son números reales,

 
 
 

((a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 )

   

((a − b) ^ 2 = a ^ 2−2ab + b ^ 2 )

 
 
 

Podemos usar este patrón para «hacer» un cuadrado perfecto.

 

Comenzaremos con la expresión (x ^ 2 + 6x ). Como hay un signo más entre los dos términos, usaremos el patrón ((a + b) ^ 2 ).

 

(a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = (a + b) ^ 2 )

 

Observe que el primer término de (x ^ 2 + 6x ) es un cuadrado, (x ^ 2 ).

 

Ahora sabemos (a = x ).

 

¿Qué número podemos agregar a (x ^ 2 + 6x ) para hacer un trinomio cuadrado perfecto?

 The image shows the expression a squared plus two a b plus b squared. Below it is the expression x squared plus six x plus a blank space. The x squared is below the a squared, the six x is below two a b and the blank is below the b squared.  

El término medio del patrón de cuadrados binomiales, 2ab, es dos veces el producto de los dos términos del binomio. Esto significa el doble del producto de x y algún número es 6x. Entonces, dos veces algún número debe ser seis. El número que necesitamos es ( frac {1} {2} · 6 = 3 ). El segundo término en el binomio, b, debe ser 3.

 The image is similar to the image above. It shows the expression a squared plus two a b plus b squared. Below it is the expression x squared plus two times three times x plus a blank space. The x squared is below the a squared, the two times three times x is below two a b and the blank is below the b squared.  

Ahora sabemos (b = 3 ).

 

Ahora, simplemente elevamos al cuadrado el segundo término del binomio para obtener el último término del trinomio cuadrado perfecto, entonces elevamos al cuadrado tres para obtener el último término, nueve.

 The image shows the expression a squared plus two a b plus b squared. Below it is the expression x squared plus six x plus nine.  

Ahora podemos factorizar a

 The image shows the expression quantity a plus b squared. Below it is the expression quantity x plus three squared.  

Entonces, encontramos que sumar nueve a (x ^ 2 + 6x ) ‘completa el cuadrado’, y lo escribimos como ((x + 3) ^ 2 ).

 
 
 
 

Definición: COMPLETE UN CUADRADO

 

Para completar el cuadrado de (x ^ 2 + bx ):

 
         
  1. Identifica b, el coeficiente de x.
  2.      
  3. Encuentra (( frac {1} {2} b) ^ 2 ), el número para completar el cuadrado.
  4.      
  5. Agregue (( frac {1} {2} b) ^ 2 ) a (x ^ 2 + bx ).
  6.  
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Completa el cuadrado para hacer un trinomio cuadrado perfecto. Luego, escribe el resultado como un cuadrado binomial.

 

(x ^ 2 + 14x )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                              
El coeficiente de x es 14. .
                 

Encuentra (( frac {1} {2} b) ^ 2 ).

                 

(( frac {1} {2} ⋅14) ^ 2 )

                 

((7) ^ 2 )

                 

49

                 
Agrega 49 al binomio para completar el cuadrado. (x ^ 2 + 14x + 49 )
Reescribe como un cuadrado binomial. ((x + 7) ^ 2 )
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Completa el cuadrado para hacer un trinomio cuadrado perfecto. Escribe el resultado como un cuadrado binomial.

 

(y ^ 2 + 12y )

 
     
Respuesta
     
     

((y + 6) ^ 2 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Completa el cuadrado para hacer un trinomio cuadrado perfecto. Escribe el resultado como un cuadrado binomial.

 

(z ^ 2 + 8z )

 
     
Respuesta
     
     

((z + 4) ^ 2 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Completa el cuadrado para hacer un trinomio cuadrado perfecto. Luego, escribe el resultado como un binomio al cuadrado. (m ^ 2−26m )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                              
The image shows the expression m squared minus 26 m with x squared plus b x written above it. The coefficient of m is negative 26 so b is negative 26. Find half of b and square it. Half of negative 26 is negative 13 and negative 13 squared is 169. Add 169 to the binomial to complete the square and get the expression m squared minus 26 m plus 169 which is the quantity m minus 13 squared.
                 

Encuentra (( frac {1} {2} b) ^ 2 ).

                 

(( frac {1} {2} ⋅ (−26)) ^ 2 )

                 

((- 13) ^ 2 )

                 

169

                 
Agrega 169 al binomio para completar el cuadrado. (m ^ 2−26m + 169 )
Reescribe como un cuadrado binomial. ((m − 13) ^ 2 )
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Completa el cuadrado para hacer un trinomio cuadrado perfecto. Escribe el resultado como un cuadrado binomial.

 

(a ^ 2−20a )

 
     
Respuesta
     
     

((a − 10) ^ 2 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Completa el cuadrado para hacer un trinomio cuadrado perfecto. Escribe el resultado como un cuadrado binomial.

 

(b ^ 2−4b )

 
     
Respuesta
     
     

((b − 2) ^ 2 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Completa el cuadrado para hacer un trinomio cuadrado perfecto. Luego, escribe el resultado como un binomio al cuadrado.

 

(u ^ 2−9u )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                              
El coeficiente de u es −9. .
                 

Encuentra (( frac {1} {2} b) ^ 2 ).

                 

(( frac {1} {2} ⋅ (−9)) ^ 2 )

                 

((- frac {9} {2}) ^ 2 )

                 

( frac {81} {4} )

                 
Agrega ( frac {81} {4} ) al binomio para completar el cuadrado. (u ^ 2−9u + frac {81} {4} )
Reescribe como un cuadrado binomial. ((u− frac {9} {2}) ^ 2 )
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Completa el cuadrado para hacer un trinomio cuadrado perfecto. Escribe el resultado como un cuadrado binomial.

 

(m ^ 2−5m )

 
     
Respuesta
     
     

((m− frac {5} {2}) ^ 2 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Completa el cuadrado para hacer un trinomio cuadrado perfecto. Escribe el resultado como un cuadrado binomial.

 

(n ^ 2 + 13n )

 
     
Respuesta
     
     

((n + frac {13} {2}) ^ 2 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Completa el cuadrado para hacer un trinomio cuadrado perfecto. Luego, escribe el resultado como un binomio al cuadrado.

 

(p ^ 2 + 12p )

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                              
El coeficiente de p es ( frac {1} {2} ) .
                 

Encuentra (( frac {1} {2} b) ^ 2 ).

                 

(( frac {1} {2} ⋅ frac {1} {2}) ^ 2 )

                 

(( frac {1} {4}) ^ 2 )

                 

( frac {1} {16} )

                 
Agregue ( frac {1} {16} ) al binomio para completar el cuadrado. (p ^ 2 + frac {1} {2} p + frac {1} {16} )
Reescribe como un cuadrado binomial. ((p + frac {1} {4}) ^ 2 )
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} )

 

Completa el cuadrado para hacer un trinomio cuadrado perfecto. Escribe el resultado como un cuadrado binomial.

 

(p ^ 2 + frac {1} {4} p )

 
     
Respuesta
     
     

((p + frac {1} {8}) ^ 2 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} )

 

Completa el cuadrado para hacer un trinomio cuadrado perfecto. Escribe el resultado como un cuadrado binomial.

 

(q ^ 2− frac {2} {3} q )

 
     
Respuesta
     
     

((q− frac {1} {3}) ^ 2 )

     
 
 
 

Resuelve ecuaciones cuadráticas de la forma (x ^ 2 + bx + c = 0 ) completando el cuadrado

 

Al resolver ecuaciones, siempre debemos hacer lo mismo en ambos lados de la ecuación. Esto es cierto, por supuesto, cuando resolvemos una ecuación cuadrática completando completando el cuadrado . Cuando agregamos un término a un lado de la ecuación para hacer un trinomio cuadrado perfecto, también debemos agregar el mismo término al otro lado de la ecuación.

 

Por ejemplo, si comenzamos con la ecuación (x ^ 2 + 6x = 40 ) y queremos completar el cuadrado de la izquierda, agregaremos nueve a ambos lados de la ecuación.

 

The image shows the equation x squared plus six x equals 40. Below that the equation is rewritten as x squared plus six x plus blank space equals 40 plus blank space. Below that the equation is rewritten again as x squared plus six x plus nine equals 40 plus nine.

 

Luego, factorizamos a la izquierda y simplificamos a la derecha.

 

((x + 3) ^ 2 = 49 )

 

Ahora la ecuación está en la forma de resolver usando la propiedad de raíz cuadrada. Completar el cuadrado es una forma de transformar una ecuación en la forma que necesitamos para poder usar la Propiedad de raíz cuadrada.

 
 

Cómo resolver una ecuación cuadrática de la forma (x ^ 2 + bx + c = 0 ) completando el cuadrado.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {14} )

 

Resuelve (c ^ 2 + 4c = 5 ) completando el cuadrado.

 
     
Respuesta
     
     

(c = −5 ), (c = 1 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {15} )

 

Resuelve (d ^ 2 + 10d = −9 ) completando el cuadrado.

 
     
Respuesta
     
     

(d = −9 ), (d = −1 )

     
 
 
 
 

Definición: RESUELVE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA DE LA FORMA (x ^ 2 + bx + c = 0 ) COMPLETANDO EL CUADRADO.

 
         
  1. Aísle los términos variables en un lado y los términos constantes en el otro.
  2.      
  3. Encuentra (( frac {1} {2} · b) ^ 2 ), el número para completar el cuadrado. Agréguelo a ambos lados de la ecuación.
  4.      
  5. Factoriza el trinomio cuadrado perfecto como un cuadrado binomial.
  6.      
  7. Use la propiedad de raíz cuadrada.
  8.      
  9. Simplifique el radical y luego resuelva las dos ecuaciones resultantes.
  10.      
  11. Verifique las soluciones.
  12.  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {16} )

 

Resuelve (y ^ 2−6y = 16 ) completando el cuadrado.

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {17} )

 

Resuelve (r ^ 2−4r = 12 ) completando el cuadrado.

 
     
Respuesta
     
     

(r = −2 ), (r = 6 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {18} )

 

Resuelve (t ^ 2−10t = 11 ) completando el cuadrado.

 
     
Respuesta
     
     

(t = −1 ), (t = 11 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {19} )

 

Resuelve (x ^ 2 + 4x = −21 ) completando el cuadrado.

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {20} )

 

Resuelve (y ^ 2−10y = −35 ) completando el cuadrado.

 
     
Respuesta
     
     

ninguna solución real

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {21} )

 

Resuelve (z ^ 2 + 8z = −19 ) completando el cuadrado.

 
     
Respuesta
     
     

ninguna solución real

     
 
 
 

En el ejemplo anterior, no había una solución real porque ((x + k) ^ 2 ) era igual a un número negativo.

 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {22} )

 

Resuelve (p ^ 2−18p = −6 ) completando el cuadrado.

 
     
Respuesta
     
          

Otra forma de verificar esto sería usar una calculadora. Evalúe (p ^ 2−18p ) para ambas soluciones. La respuesta debería ser −6.

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {23} )

 

Resuelve (x ^ 2−16x = −16 ) completando el cuadrado.

 
     
Respuesta
     
     

(x = 8 pm4 sqrt {3} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {24} )

 

Resuelve (y ^ 2 + 8y = 11 ) completando el cuadrado.

 
     
Respuesta
     
     

(y = −4 pm3 sqrt {3} )

     
 
 
Comenzaremos el siguiente ejemplo aislando los términos variables en el lado izquierdo de la ecuación.
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {25} )

 

Resuelve (x ^ 2 + 10x + 4 = 15 ) completando el cuadrado.

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {26} )

 

Resuelve (a ^ 2 + 4a + 9 = 30 ) completando el cuadrado.

 
     
Respuesta
     
     

(a = −7 ), (a = 3 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {27} )

 

Resuelve (b ^ 2 + 8b − 4 = 16 ) completando el cuadrado.

 
     
Respuesta
     
     

(b = −10 ), (b = 2 )

     
 
 
  Para resolver la siguiente ecuación, primero debemos recopilar todos los términos variables al lado izquierdo de la ecuación. Luego, procedemos como lo hicimos en los ejemplos anteriores.
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {28} )

 

Resuelve (n ^ 2 = 3n + 11 ) completando el cuadrado.

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {29} )

 

Resuelve (p ^ 2 = 5p + 9 ) completando el cuadrado.

 
     
Respuesta
     
     

(p = frac {5} {2} pm frac { sqrt {61}} {2} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {30} )

 

Resuelve (q ^ 2 = 7q − 3 ) completando el cuadrado.

 
     
Respuesta
     
     

(q = frac {7} {2} pm frac { sqrt {37}} {2} )

     
 
 
 

Observe que el lado izquierdo de la siguiente ecuación está en forma factorizada. Pero el lado derecho no es cero, por lo que no podemos usar la propiedad del producto cero. En cambio, multiplicamos los factores y luego colocamos la ecuación en la forma estándar para resolver completando el cuadrado.

 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {31} )

 

Resuelve ((x − 3) (x + 5) = 9 ) completando el cuadrado.

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {32} )

 

Resuelve ((c − 2) (c + 8) = 7 ) completando el cuadrado.

 
     
Respuesta
     
     

(c = −3 pm4 sqrt {2} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {33} )

 

Resuelve ((d − 7) (d + 3) = 56 ) completando el cuadrado.

 
     
Respuesta
     
     

(d = −7 ), (d = 11 )

     
 
 
 
 
 
 
 

Resuelve ecuaciones cuadráticas de la forma (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) completando el cuadrado

 

El proceso de completar el cuadrado funciona mejor cuando el coeficiente principal es uno, por lo que el lado izquierdo de la ecuación tiene la forma (x ^ 2 + bx + c ). Si el término (x ^ 2 ) tiene un coeficiente, tomamos algunos pasos preliminares para que el coeficiente sea igual a uno.

 

A veces, el coeficiente se puede factorizar a partir de los tres términos del trinomio. Esta será nuestra estrategia en el siguiente ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {34} )

 

Resuelve (3x ^ 2−12x − 15 = 0 ) completando el cuadrado.

 
     
Respuesta
     
     

Para completar el cuadrado, necesitamos que el coeficiente de (x ^ 2 ) sea uno. Si factorizamos el coeficiente de (x ^ 2 ) como un factor común, podemos continuar resolviendo la ecuación completando el cuadrado.

          
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {35} )

 

Resuelve (2m ^ 2 + 16m − 8 = 0 ) completando el cuadrado.

 
     
Respuesta
     
     

(m = −4 pm2 sqrt {5} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {36} )

 

Resuelve (4n ^ 2−24n − 56 = 8 ) completando el cuadrado.

 
     
Respuesta
     
     

(n = −2, 8 )

     
 
 
 

Para completar el cuadrado, el coeficiente principal debe ser uno. Cuando el coeficiente principal no es un factor de todos los términos, dividiremos ambos lados de la ecuación por el coeficiente principal. Esto nos dará una fracción para el segundo coeficiente. Ya hemos visto cómo completar el cuadrado con fracciones en esta sección.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {37} )

 

Resuelve (2x ^ 2−3x = 20 ) completando el cuadrado.

 
     
Respuesta
     
     
     
     
     

Nuevamente, nuestro primer paso será hacer que el coeficiente de (x ^ 2 ) sea uno. Al dividir ambos lados de la ecuación por el coeficiente de (x ^ 2 ), podemos continuar resolviendo la ecuación completando el cuadrado.

          
     
     
     
     
     
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {38} )

 

Resuelve (3r ^ 2−2r = 21 ) completando el cuadrado.

 
     
Respuesta
     
     

(r = – frac {7} {3} ), (r = 3 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {39} )

 

Resuelve (4t ^ 2 + 2t = 20 ) completando el cuadrado.

 
     
Respuesta
     
     

(t = – frac {5} {2} ), (t = 2 )

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {40} )

 

Resuelve (3x ^ 2 + 2x = 4 ) completando el cuadrado.

 
     
Respuesta
     
     

Nuevamente, nuestro primer paso será hacer que el coeficiente de (x ^ 2 ) sea uno. Al dividir ambos lados de la ecuación por el coeficiente de (x ^ 2 ), podemos continuar resolviendo la ecuación completando el cuadrado.

          
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {41} )

 

Resuelve (4x ^ 2 + 3x = 12 ) completando el cuadrado.

 
     
Respuesta
     
     

(x = – frac {3} {8} pm frac { sqrt {201}} {8} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {42} )

 

Resuelve (5y ^ 2 + 3y = 10 ) completando el cuadrado.

 
     
Respuesta
     
     

(y = – frac {3} {10} pm frac { sqrt {209}} {10} )

     
 
 
 
 
 
 

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica para resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado:

 
 

Conceptos clave

 
         
  • Patrón de cuadrados binomiales Si a, ba, b son números reales,
    ((a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 )

    ((a − b) ^ 2 = a ^ 2−2ab + b ^ 2 )
  •      
  • Completa un cuadrado
    Para completar el cuadrado de (x ^ 2 + bx ):      
               
    1. Identifique bb, el coeficiente de x.
    2.          
    3. Encuentra (( frac {1} {2} b) ^ 2 ), el número para completar el cuadrado.
    4.          
    5. Agregue (( frac {1} {2} b) ^ 2 ) a (x ^ 2 + bx ).
    6.      
         
  •  
 
 

Glosario

 
 
 
     
completando el cuadrado
     
Completar el cuadrado es un método utilizado para resolver ecuaciones cuadráticas.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
                                  
                                    
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