Objetivos de aprendizaje
- Usa la Ley de los senos para resolver triángulos oblicuos.
- Encuentra el área de un triángulo oblicuo usando la función seno.
- Resolver problemas aplicados usando la Ley de senos.
Supongamos que dos estaciones de radar ubicadas (20 ) millas de distancia cada una detectan un avión entre ellas. El ángulo de elevación medido por la primera estación es (35 ) grados, mientras que el ángulo de elevación medido por la segunda estación es (15 ) grados. ¿Cómo podemos determinar la altitud de la aeronave? Vemos en la Figura ( PageIndex {1} ) que el triángulo formado por el avión y las dos estaciones no es un triángulo rectángulo, por lo que no podemos usar lo que sabemos sobre triángulos rectángulos. En esta sección, descubriremos cómo resolver problemas relacionados con triángulos no rectos .
Usando la ley de los senos para resolver triángulos oblicuos
En cualquier triángulo, podemos dibujar una altitud , una línea perpendicular desde un vértice al lado opuesto, formando dos triángulos rectángulos. Sin embargo, sería preferible tener métodos que podamos aplicar directamente a los triángulos no rectos sin tener que crear primero triángulos rectángulos.
Cualquier triángulo que no sea un triángulo rectángulo es un triángulo oblicuo . Resolver un triángulo oblicuo significa encontrar las medidas de los tres ángulos y los tres lados. Para hacerlo, debemos comenzar con al menos tres de estos valores, incluido al menos uno de los lados. Investigaremos tres posibles situaciones problemáticas de triángulos oblicuos:
ASA (ángulo-ángulo-lateral) Conocemos las medidas de dos ángulos y el lado incluido. Ver Figura ( PageIndex {2} ).
AAS (ángulo-ángulo-lado) Conocemos las medidas de dos ángulos y un lado que no está entre los ángulos conocidos. Ver Figura ( PageIndex {3} ).
SSA (ángulo lateral-lateral) Conocemos las medidas de dos lados y un ángulo que no está entre los lados conocidos. Ver Figura ( PageIndex {4} ).
Saber cómo abordar cada una de estas situaciones nos permite resolver triángulos oblicuos sin tener que soltar una perpendicular para formar dos triángulos rectángulos. En cambio, podemos usar el hecho de que la razón de la medida de uno de los ángulos a la longitud de su lado opuesto será igual a las otras dos razones de medida de ángulo a lado opuesto. Veamos cómo se deriva esta declaración al considerar el triángulo que se muestra en la Figura ( PageIndex {5} ).
Usando las relaciones del triángulo rectángulo, sabemos que ( sin alpha = dfrac {h} {b} ) y ( sin beta = dfrac {h} {a} ). Resolver ambas ecuaciones para (h ) da dos expresiones diferentes para (h ).
(h = b sin alpha ) y (h = a sin beta )
Luego establecemos las expresiones iguales entre sí.
[ begin {align *} b sin alpha & = a sin beta \ left ( dfrac {1} {ab} right) left (b sin alpha right) & = left (a sin beta right) left ( dfrac {1} {ab} right) qquad text {Multiplica ambos lados por} dfrac {1} {ab} \ dfrac { sin alpha} {a} & = dfrac { sin beta} {b} end {align *} ]
Del mismo modo, podemos comparar las otras proporciones.
( dfrac { sin alpha} {a} = dfrac { sin gamma} {c} ) y ( dfrac { sin beta} {b} = dfrac { sin gamma} {c} )
Colectivamente, estas relaciones se llaman Ley de los senos .
( dfrac { sin alpha} {a} = dfrac { sin beta} {b} = dfrac { sin gamma} {c} )
Observe la forma estándar de etiquetar triángulos: ángulo ( alpha ) (alfa) es el lado opuesto (a ); ángulo ( beta ) (beta) es el lado opuesto (b ); y el ángulo ( gamma ) (gamma) es el lado opuesto (c ). Ver Figura ( PageIndex {6} ).
Mientras calcula ángulos y lados, asegúrese de llevar los valores exactos hasta la respuesta final. En general, las respuestas finales se redondean a la décima más cercana, a menos que se especifique lo contrario.
LEY DE LOS PECADOS
Dado un triángulo con ángulos y lados opuestos etiquetados como en la Figura ( PageIndex {6} ), la relación entre la medición de un ángulo y la longitud de su lado opuesto será igual a las otras dos relaciones de ángulo medir al lado opuesto. Todas las proporciones serán iguales. La Ley de los senos se basa en proporciones y se presenta simbólicamente de dos maneras.
[ dfrac { sin alpha} {a} = dfrac { sin beta} {b} = dfrac { sin gamma} {c} ]
[ dfrac {a} { sin alpha} = dfrac {b} { sin beta} = dfrac {c} { sin gamma} ]
Para resolver un triángulo oblicuo, use cualquier par de razones aplicables.
Ejemplo ( PageIndex {1} ): Resolviendo dos lados y ángulos desconocidos de un triángulo AAS
Resuelve el triángulo que se muestra en la Figura ( PageIndex {7} ) a la décima más cercana.
Solución
Los tres ángulos deben sumar 180 grados. A partir de esto, podemos determinar que
[ begin {align *} beta & = 180 ^ { circ} – 50 ^ { circ} – 30 ^ { circ} \ & = 100 ^ { circ} end {align * } ]
Para encontrar un lado desconocido, necesitamos conocer el ángulo correspondiente y una relación conocida. Sabemos que el ángulo ( alpha = 50 ° ) y su lado correspondiente (a = 10 ). Podemos usar la siguiente proporción de la Ley de senos para encontrar la longitud de (c ).
[ begin {align *} dfrac { sin (50 ^ { circ})} {10} & = dfrac { sin (30 ^ { circ})} {c} \ c dfrac { sin (50 ^ { circ})} {10} & = sin (30 ^ { circ}) qquad text {Multiplica ambos lados por} c \ c & = sin (30 ^ { circ}) dfrac {10} { sin (50 ^ { circ})} qquad text {Multiplicar por el recíproco para aislar} c \ c & approx 6.5 end {align *} ] [19459003 ]
Del mismo modo, para resolver (b ), configuramos otra proporción.
[ begin {align *} dfrac { sin (50 ^ { circ})} {10} & = dfrac { sin (100 ^ { circ})} {b} \ b sin (50 ^ { circ}) & = 10 sin (100 ^ { circ}) qquad text {Multiplica ambos lados por} b \ b & = dfrac {10 sin (100 ^ { circ })} { sin (50 ^ { circ})} qquad text {Multiplicar por el recíproco para aislar} b \ b & approx 12.9 end {align *} ]
Por lo tanto, el conjunto completo de ángulos y lados es
( begin {matrix} alpha = 50 ^ { circ} & a = 10 \ beta = 100 ^ { circ} & b aprox 12.9 \ gamma = 30 ^ { circ} & c aprox. 6.5 end {matriz} )
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Resuelve el triángulo que se muestra en la Figura ( PageIndex {8} ) a la décima más cercana.
- Respuesta
-
( begin {matrix} alpha = 98 ^ { circ} & a = 34.6 \ beta = 39 ^ { circ} & b = 22 \ gamma = 43 ^ { circ} & c = 23.8 end {matriz} )
Uso de la ley de los senos para resolver triángulos de SSA
Podemos usar la Ley de senos para resolver cualquier triángulo oblicuo, pero algunas soluciones pueden no ser sencillas. En algunos casos, más de un triángulo puede satisfacer los criterios dados, que describimos como un caso ambiguo. Los triángulos clasificados como SSA, aquellos en los que conocemos las longitudes de dos lados y la medición del ángulo opuesto a uno de los lados dados, pueden dar como resultado una o dos soluciones, o incluso ninguna solución.
POSIBLES RESULTADOS PARA LOS TRIÁNGULOS DE LA SSA
Los triángulos oblicuos en la categoría SSA pueden tener cuatro resultados diferentes. La figura ( PageIndex {9} ) ilustra las soluciones con los lados conocidos (a ) y (b ) y el ángulo conocido ( alpha ).
Ejemplo ( PageIndex {2} ): Resolviendo un triángulo SSA oblicuo
Resuelve el triángulo en la Figura ( PageIndex {10} ) para el lado faltante y encuentra las medidas del ángulo faltante a la décima más cercana.
Solución
Usa la Ley de los senos para encontrar el ángulo ( beta ) y el ángulo ( gamma ), y luego el lado (c ). Resolviendo para ( beta ), tenemos la proporción
[ begin {align *} dfrac { sin alpha} {a} & = dfrac { sin beta} {b} \ dfrac { sin (35 ^ { circ}) } {6} & = dfrac { sin beta} {8} \ dfrac {8 sin (35 ^ { circ})} {6} & = sin beta \ 0.7648 & approx sin beta \ { sin} ^ {- 1} (0.7648) y aprox. 49.9 ^ { circ} \ beta y aprox. 49.9 ^ { circ} end {align *} ]
Sin embargo, en el diagrama, el ángulo ( beta ) parece ser un ángulo obtuso y puede ser mayor que (90 ° ). ¿Cómo obtuvimos un ángulo agudo y cómo encontramos la medida de ( beta )? Vamos a investigar más a fondo. Al soltar una perpendicular desde ( gamma ) y ver el triángulo desde una perspectiva de ángulo recto, tenemos la Figura ( PageIndex {11} ). Parece que puede haber un segundo triángulo que se ajuste a los criterios dados.
El ángulo suplementario a ( beta ) es aproximadamente igual a (49.9 ° ), lo que significa que ( beta = 180 ° −49.9 ° = 130.1 ° ). (Recuerde que la función seno es positiva tanto en el primer cuadrante como en el segundo). Resolviendo para ( gamma ), tenemos
[ begin {align *} gamma & = 180 ^ { circ} -35 ^ { circ} -130.1 ^ { circ} \ & approx 14.9 ^ { circ} end {align * } ]
Entonces podemos usar estas medidas para resolver el otro triángulo. Como ( gamma ′ ) es suplementario a ( gamma ), tenemos
[ begin {align *} gamma ^ {‘} & = 180 ^ { circ} -35 ^ { circ} -49.5 ^ { circ} \ & approx 95.1 ^ { circ} end {align *} ]
Ahora necesitamos encontrar (c ) y (c ′ ).
Tenemos
[ begin {align *} dfrac {c} { sin (14.9 ^ { circ})} & = dfrac {6} { sin (35 ^ { circ})} \ c & = dfrac {6 sin (14.9 ^ { circ})} { sin (35 ^ { circ})} \ & aprox 2.7 end {align *} ]
Finalmente,
[ begin {align *} dfrac {c ‘} { sin (95.1 ^ { circ})} & = dfrac {6} { sin (35 ^ { circ})} \ c ‘& = dfrac {6 sin (95.1 ^ { circ})} { sin (35 ^ { circ})} \ & aprox 10.4 end {align *} ]
Para resumir, hay dos triángulos con un ángulo de (35 ° ), un lado adyacente de 8 y un lado opuesto de 6, como se muestra en la Figura ( PageIndex {12} ).
Sin embargo, estábamos buscando los valores para el triángulo con un ángulo obtuso ( beta ). Podemos verlos en el primer triángulo (a) en la Figura ( PageIndex {12} ).
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Dado ( alpha = 80 ° ), (a = 120 ) y (b = 121 ), encuentra el lado y los ángulos faltantes. Si hay más de una solución posible, muestre ambas.
- Respuesta
-
Solución 1
( begin {matrix} alpha = 80 ^ { circ} & a = 120 \ beta aprox 83.2 ^ { circ} & b = 121 \ gamma aprox 16.8 ^ { circ } & c aprox 35.2 end {matriz} )
Solución 2
( begin {matrix} alpha ‘= 80 ^ { circ} & a’ = 120 \ beta ‘ aprox 96.8 ^ { circ} & b’ = 121 \ gamma ‘ aprox 3.2 ^ { circ} & c ‘ aprox 6.8 end {matrix} )
Ejemplo ( PageIndex {3} ): Resolviendo los lados y ángulos desconocidos de un triángulo SSA
En el triángulo que se muestra en la Figura ( PageIndex {13} ), resuelve el lado y los ángulos desconocidos. Redondea tus respuestas a la décima más cercana.
Solución
Al elegir el par de proporciones de la Ley de senos para usar, observe la información dada. En este caso, conocemos el ángulo, ( gamma = 85 ° ), y su lado correspondiente (c = 12 ), y sabemos el lado (b = 9 ). Usaremos esta proporción para resolver ( beta ).
[ begin {align *} dfrac { sin (85 ^ { circ})} {12} & = dfrac { sin beta} {9} qquad text {Aislar lo desconocido. } \ dfrac {9 sin (85 ^ { circ})} {12} & = sin beta end {align *} ]
Para encontrar ( beta ), aplique la función seno inversa. El seno inverso producirá un único resultado, pero tenga en cuenta que puede haber dos valores para ( beta ). Es importante verificar el resultado, ya que puede haber dos soluciones viables, solo una solución (el caso habitual) o ninguna solución.
[ begin {align *} beta & = { sin} ^ {- 1} left ( dfrac {9 sin (85 ^ { circ})} {12} right) \ beta & approx { sin} ^ {- 1} (0.7471) \ beta & approx 48.3 ^ { circ} end {align *} ]
En este caso, si restamos ( beta ) de (180 ° ), encontramos que puede haber una segunda solución posible. Por lo tanto, ( beta = 180 ° −48.3 ° ≈131.7 ° ). Para verificar la solución, reste ambos ángulos, (131.7 ° ) y (85 ° ), de (180 ° ). Esto da
[ begin {align *} alpha & = 180 ^ { circ} -85 ^ { circ} -131.7 ^ { circ} \ & approx -36.7 ^ { circ} end {align *} ]
que es imposible, y entonces ( beta≈48.3 ° ).
Para encontrar los valores faltantes restantes, calculamos ( alpha = 180 ° −85 ° −48.3 ° ≈46.7 ° ). Ahora, solo se necesita el lado (a ). Usa la Ley de senos para resolver (a ) por una de las proporciones.
[ begin {align *} dfrac { sin (85 °)} {12} & = dfrac { sin (46.7 ^ { circ})} {a} \ a dfrac { sin (85 ^ { circ})} {12} & = sin (46.7 ^ { circ}) \ a & = dfrac {12 sin (46.7 ^ { circ})} { sin (85 ^ { circ})} \ & approx 8.8 end {align *} ]
El conjunto completo de soluciones para el triángulo dado es
( begin {matrix} alpha approx 46.7 ^ { circ} y a approx 8.8 \ beta approx 48.3 ^ { circ} & b = 9 \ gamma = 85 ^ { circ} & c = 12 end {matriz} )
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Dado ( alpha = 80 ° ), (a = 100 ), (b = 10 ), encuentra el lado y los ángulos faltantes. Si hay más de una solución posible, muestre ambas. Redondea tus respuestas a la décima más cercana.
- Respuesta
-
( beta≈5.7 ° ), ( gamma≈94.3 ° ), (c≈101.3 )
Ejemplo ( PageIndex {4} ): Encontrar los triángulos que cumplen con los criterios dados
Encuentra todos los triángulos posibles si un lado tiene longitud (4 ) opuesto a un ángulo de (50 ° ), y un segundo lado tiene longitud (10 ).
Solución
Usando la información dada, podemos resolver el ángulo opuesto al lado de la longitud (10 ). Ver Figura ( PageIndex {14} ).
[ begin {align *} dfrac { sin alpha} {10} & = dfrac { sin (50 ^ { circ})} {4} \ sin alpha & = dfrac {10 sin (50 ^ { circ})} {4} \ sin alpha & approx 1.915 end {align *} ]
Podemos detenernos aquí sin encontrar el valor de ( alpha ). Debido a que el rango de la función seno es ([−1,1] ), es imposible que el valor seno sea (1.915 ). De hecho, ingresar ({ sin} ^ {- 1} (1.915) ) en una calculadora gráfica genera un DOMINIO DE ERROR. Por lo tanto, no se pueden dibujar triángulos con las dimensiones proporcionadas.
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Determine la cantidad de triángulos posibles dados (a = 31 ), (b = 26 ), ( beta = 48 ° ).
- Respuesta
-
dos
Encontrar el área de un triángulo oblicuo usando la función seno
Ahora que podemos resolver un triángulo para valores perdidos, podemos usar algunos de esos valores y la función seno para encontrar el área de un triángulo oblicuo. Recuerde que la fórmula del área para un triángulo se da como (Área = dfrac {1} {2} bh ), donde (b ) es base y (h ) es altura. Para triángulos oblicuos, debemos encontrar (h ) antes de poder usar la fórmula del área. Observando los dos triángulos en la Figura ( PageIndex {15} ), uno agudo y otro obtuso, podemos colocar un perpendicular para representar la altura y luego aplicar la propiedad trigonométrica ( sin alpha = dfrac {opuesto} { hipotenusa} ) para escribir una ecuación para el área en triángulos oblicuos. En el triángulo agudo, tenemos ( sin alpha = dfrac {h} {c} ) o (c sin alpha = h ). Sin embargo, en el triángulo obtuso, dejamos caer la perpendicular fuera del triángulo y extendemos la base (b ) para formar un triángulo rectángulo. El ángulo utilizado en el cálculo es ( alpha ′ ) o (180− alpha ).
Por lo tanto,
(Área = dfrac {1} {2} (base) (altura) = dfrac {1} {2} b (c sin alpha) )
Del mismo modo,
(Área = dfrac {1} {2} a (b sin gamma) = dfrac {1} {2} a (c sin beta) )
ÁREA DE UN TRIÁNGULO OBLÍQUE
La fórmula para el área de un triángulo oblicuo viene dada por
[Área = dfrac {1} {2} bc sin alpha ]
[Área = dfrac {1} {2} ac sin beta ]
[Área = dfrac {1} {2} ab sin gamma ]
Esto es equivalente a la mitad del producto de dos lados y el seno de su ángulo incluido.
Ejemplo ( PageIndex {5} ): Encontrar el área de un triángulo oblicuo
Encuentra el área de un triángulo con lados (a = 90 ), (b = 52 ) y ángulo ( gamma = 102 ° ). Redondea el área al entero más cercano.
Solución
Usando la fórmula, tenemos
[ begin {align *} Area & = dfrac {1} {2} ab sin gamma \ Area & = dfrac {1} {2} (90) (52) sin (102 ^ { circ}) \ Área & aprox 2289 ; text {unidades cuadradas} end {align *} ]
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Encuentra el área del triángulo dado ( beta = 42 ° ), (a = 7.2 ft ), (c = 3.4 ft ). Redondea el área a la décima más cercana.
- Respuesta
-
aproximadamente (8.2 ) pies cuadrados
Resolviendo problemas aplicados usando la ley de los senos
Cuanto más estudiamos las aplicaciones trigonométricas, más descubrimos que las aplicaciones son innumerables. Algunas son situaciones planas de tipo diagrama, pero muchas aplicaciones en cálculo, ingeniería y física implican tres dimensiones y movimiento.
Ejemplo ( PageIndex {6} ): Encontrar una altitud
Encuentre la altitud de la aeronave en el problema presentado al comienzo de esta sección, que se muestra en la Figura ( PageIndex {16} ). Redondea la altitud a la décima de milla más cercana.
Solución
Para encontrar la elevación de la aeronave, primero encontramos la distancia desde una estación a la aeronave, como el lado (a ), y luego usamos las relaciones del triángulo rectángulo para encontrar la altura de la aeronave, (h ).
Debido a que los ángulos en el triángulo se suman a (180 ) grados, el ángulo desconocido debe ser (180 ° −15 ° −35 ° = 130 ° ). Este ángulo es opuesto al lado de la longitud (20 ), lo que nos permite establecer una relación de la Ley de los senos.
[ begin {align *} dfrac { sin (130 ^ { circ})} {20} & = dfrac { sin (35 ^ { circ})} {a} \ a sin (130 ^ { circ}) & = 20 sin (35 ^ { circ}) \ a & = dfrac {20 sin (35 ^ { circ})} { sin (130 ^ { circ})} \ a & approx 14.98 end {align *} ]
La distancia de una estación a la aeronave es de aproximadamente (14,98 ) millas.
Ahora que sabemos (a ), podemos usar las relaciones del triángulo rectángulo para resolver (h ).
[ begin {align *} sin (15 ^ { circ}) & = dfrac {opuesto} {hypotenuse} \ sin (15 ^ { circ}) & = dfrac {h} {a} \ sin (15 ^ { circ}) & = dfrac {h} {14.98} \ h & = 14.98 sin (15 ^ { circ}) \ h & aprox 3.88 end {align *} ]
El avión está a una altitud de aproximadamente (3.9 ) millas.
Ejercicio ( PageIndex {6} )
El diagrama que se muestra en la Figura ( PageIndex {17} ) representa la altura de un dirigible volando sobre un estadio de fútbol. Encuentre la altura del dirigible si el ángulo de elevación en la zona del extremo sur, punto A, es (70 ° ), el ángulo de elevación desde la zona del extremo norte, punto B, es (62 ° ), y La distancia entre los puntos de vista de las dos zonas finales es (145 ) yardas.
- Respuesta
-
(161,9 ) yd.
Medios
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Ecuaciones clave
|
Ley de los senos |
( dfrac { sin alpha} {a} = dfrac { sin beta} {b} = dfrac { sin gamma} {c} ) ( dfrac {a} { sin alpha} = dfrac {b} { sin beta} = dfrac {c} { sin gamma} ) |
|
Área para triángulos oblicuos |
(Área = dfrac {1} {2} bc sin alpha ) (= dfrac {1} {2} ac sin beta ) (= dfrac {1} {2} ab sin gamma ) |
Conceptos clave
- La Ley de senos se puede utilizar para resolver triángulos oblicuos, que son triángulos no rectos.
- De acuerdo con la Ley de senos, la razón de la medida de uno de los ángulos a la longitud de su lado opuesto es igual a las otras dos razones de medida de ángulo a lado opuesto.
- Hay tres casos posibles: ASA, AAS, SSA. Dependiendo de la información dada, podemos elegir la ecuación apropiada para encontrar la solución solicitada. Ver Ejemplo ( PageIndex {1} ).
- El caso ambiguo surge cuando un triángulo oblicuo puede tener resultados diferentes.
- Hay tres casos posibles que surgen de la disposición de SSA: una solución única, dos soluciones posibles y ninguna solución. Consulte el Ejemplo ( PageIndex {2} ) y el Ejemplo ( PageIndex {3} ).
- La Ley de senos se puede usar para resolver triángulos con criterios dados. Ver Ejemplo ( PageIndex {4} ).
- La fórmula del área general para triángulos se traduce en triángulos oblicuos al encontrar primero el valor de altura apropiado. Ver Ejemplo ( PageIndex {5} ).
- Hay muchas aplicaciones trigonométricas. A menudo se pueden resolver dibujando primero un diagrama de la información dada y luego usando la ecuación apropiada. Ver Ejemplo ( PageIndex {6} ).