Habilidades para desarrollar
- Simplificar expresiones con exponentes
- Simplifique expresiones usando la propiedad del producto de exponentes
- Simplifique expresiones usando la propiedad de potencia de los exponentes
- Simplifique expresiones usando el Producto a una Propiedad de Potencia
- Simplifique expresiones aplicando varias propiedades
- Multiplicar monomios
prepárate!
Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.
- Simplifique: ( dfrac {3} {4} cdot dfrac {3} {4} ). Si perdió el problema, revise Ejemplo 4.3.7 .
- Simplifica: (−2) (- 2) (- 2). Si perdió el problema, revise Ejemplo 3.7.6 .
Simplificar expresiones con exponentes
Recuerde que un exponente indica multiplicación repetida de la misma cantidad. Por ejemplo, 2 4 significa multiplicar cuatro factores de 2, por lo que 2 4 significa 2 • 2 • 2 • 2. Este formato se conoce como notación exponencial .
Definición: Notación exponencial
Esto se lee a la potencia m th .
En la expresión a m , el exponente nos dice cuántas veces usamos la base a como factor.
Antes de comenzar a trabajar con expresiones variables que contienen exponentes, simplifiquemos algunas expresiones que solo involucran números.
Ejemplo ( PageIndex {1} ):
Simplifique: (a) 5 3 (b) 9 1
Solución
(a) 5 3
| Multiplica 3 factores de 5. | 5 • 5 • 5 |
| Simplificar. | 125 |
(b) 9 1
| Multiplica 1 factor de 9. | 9 |
Ejercicio ( PageIndex {1} ):
Simplifique: (a) 4 3 (b) 11 1
- Responda a
-
64
- Respuesta b
-
11
Ejercicio ( PageIndex {2} ):
Simplifique: (a) 3 4 (b) 21 1
- Responda a
-
81
- Respuesta b
-
21
Ejemplo ( PageIndex {2} ):
Simplifique: (a) ( left ( dfrac {7} {8} right) ^ {2} ) (b) (0.74) 2
Solución
(a) ( left ( dfrac {7} {8} right) ^ {2} )
| Multiplica dos factores. | $$ left ( dfrac {7} {8} right) left ( dfrac {7} {8} right) $$ |
| Simplificar. | $$ dfrac {49} {64} $$ |
(b) (0,74) 2
| Multiplica dos factores. | (0,74) (0,74) |
| Simplificar. | 0,5476 |
Ejercicio ( PageIndex {3} ):
Simplifique: (a) ( left ( dfrac {5} {8} right) ^ {2} ) (b) (0.67) 2
- Responda a
-
( frac {25} {64} )
- Respuesta b
-
0,4489
Ejercicio ( PageIndex {4} ):
Simplifique: (a) ( left ( dfrac {2} {5} right) ^ {3} ) (b) (0.127) 2
- Responda a
-
( frac {8} {125} )
- Respuesta b
-
0,016129
Ejemplo ( PageIndex {3} ):
Simplifique: (a) (−3) 4 (b) −3 4
Solución
(a) (−3) 4
| Multiplica cuatro factores de −3. | (−3) (- 3) (- 3) (- 3) |
| Simplificar. | 81 |
(b) −3 4
| Multiplica dos factores. | – (3 • 3 • 3 • 3) |
| Simplificar. | −81 |
Observe las similitudes y diferencias en las partes (a) y (b). ¿Por qué las respuestas son diferentes? En la parte (a) los paréntesis nos dicen que elevemos el (−3) a la potencia 4 th . En la parte (b) elevamos solo la potencia 3 a la 4 th y luego encontramos lo opuesto.
Ejercicio ( PageIndex {5} ):
Simplifique: (a) (−2) 4 (b) −2 4
- Responda a
-
16
- Respuesta b
-
-16
Ejercicio ( PageIndex {6} ):
Simplifique: (a) (−8) 2 (b) −8 2
- Responda a
-
64
- Respuesta b
-
-64
Simplificar expresiones usando la propiedad del producto de los exponentes
Has visto que cuando combinas términos similares sumando y restando, necesitas tener la misma base con el mismo exponente. Pero cuando multiplica y divide, los exponentes pueden ser diferentes y, a veces, las bases también pueden ser diferentes. Derivaremos las propiedades de los exponentes buscando patrones en varios ejemplos. Todas las propiedades de exponente son verdaderas para cualquier número real, pero en este momento solo usaremos exponentes de números enteros.
Primero, veremos un ejemplo que conduce a la Propiedad del producto.
| $$ x ^ {2} cdot x ^ {2} $$ | |
| ¿Qué significa esto? ¿Cuántos factores en total? |  |
| Entonces, tenemos | $$ x ^ {5} $$ |
| Observe que 5 es la suma de los exponentes, 2 y 3. | $$ x ^ {2} cdot x ^ {3} ; es; x ^ {2 + 3}, ; o; x ^ {5} $$ |
| Escribimos: | $$ begin {split} & x ^ {2} cdot x ^ {3} \ & x ^ {2 + 3} \ & x ^ {5} end {split} $$ |
La base se mantuvo igual y agregamos los exponentes. Esto lleva a la propiedad del producto para exponentes.
Definición: Propiedad del producto de exponentes
Si a es un número real ym, n son números que cuentan, entonces
$$ a ^ {m} cdot a ^ {n} = a ^ {m + n} $$
Para multiplicar con bases similares, suma los exponentes.
Un ejemplo con números ayuda a verificar esta propiedad.
$$ begin {split} 2 ^ {2} cdot 2 ^ {3} & stackrel {?} {=} 2 ^ {2 + 3} \ 4 cdot 8 & stackrel {?} {=} 2 ^ {5} \ 32 & = 32 ; marca de verificación end {split} $$
Ejemplo ( PageIndex {4} ):
Simplifique: x 5 • x 7 .
Solución
| Utilice la propiedad del producto, a m • a n = a m + n . | $$ x ^ { textcolor {rojo} {5 + 7}} $$ |
| Simplificar. | $$ x ^ {12} $$ |
Ejercicio ( PageIndex {7} ):
Simplifique: x 7 • x 8 .
- Respuesta
-
x 15
Ejercicio ( PageIndex {8} ):
Simplifique: x 5 • x 11 .
- Respuesta
-
x 16
Ejemplo ( PageIndex {5} ):
Simplifique: b 4 • b.
Solución
| Reescribir, b = b 1 . | $$ b ^ {4} cdot b ^ {1} $$ |
| Utilice la propiedad del producto, a m • a n = a m + n . | $$ b ^ { textcolor {rojo} {4 + 1}} $$ |
| Simplificar. | $$ b ^ {5} $$ |
Ejercicio ( PageIndex {9} ):
Simplificar: p 9 • p.
- Respuesta
-
p 10
Ejercicio ( PageIndex {10} ):
Simplifique: m • m 7 .
- Respuesta
-
m 8
Ejemplo ( PageIndex {6} ):
Simplifique: 2 7 • 2 9 .
Solución
| Utilice la propiedad del producto, a m • a n = a m + n . | $$ 2 ^ { textcolor {rojo} {7 + 9}} $$ |
| Simplificar. | $$ 2 ^ {16} $$ |
Ejercicio ( PageIndex {11} ):
Simplifique: 6 • 6 9 .
- Respuesta
-
6 10
Ejercicio ( PageIndex {12} ):
Simplifique: 9 6 • 9 9 .
- Respuesta
-
9 15
Ejemplo ( PageIndex {7} ):
Simplifique: y 17 • y 23 .
Solución
| Tenga en cuenta que las bases son las mismas, así que agregue los exponentes. | $$ y ^ { textcolor {rojo} {17 + 23}} $$ |
| Simplificar. | $$ y ^ {40} $$ |
Ejercicio ( PageIndex {13} ):
Simplifique: y 24 • y 19 .
- Respuesta
-
y 43
Ejercicio ( PageIndex {14} ):
Simplifique: z 15 • z 24 .
- Respuesta
-
z 39
Podemos extender la propiedad del producto de los exponentes a más de dos factores.
Ejemplo ( PageIndex {8} ):
Simplifique: x 3 • x 4 • x 2 .
Solución
| Agrega los exponentes, ya que las bases son las mismas. | $$ x ^ { textcolor {rojo} {3 + 4 + 2}} $$ |
| Simplificar. | $$ x ^ {9} $$ |
Ejercicio ( PageIndex {15} ):
Simplifique: x 7 • x 5 • x 9 .
- Respuesta
-
x 21
Ejercicio ( PageIndex {16} ):
Simplifique: y 3 • y 8 • y 4 .
- Respuesta
-
y 15
Simplificar expresiones usando la propiedad de potencia de los exponentes
Ahora veamos una expresión exponencial que contiene un poder elevado a un poder. Vea si puede descubrir una propiedad general.
| $$ (x ^ {2}) ^ {3} $$ | |
| ¿Qué significa esto? | $$ x ^ {2} cdot x ^ {2} cdot x ^ {2} $$ |
| ¿Cuántos factores en total? |  |
| Entonces, tenemos | $$ x ^ {6} $$ |
| Observe que 6 es el producto de los exponentes, 2 y 3. | $$ (x ^ {2}) ^ {3} ; es; x ^ {2 cdot 3} ; o; x ^ {6} $$ |
| Escribimos: | $$ begin {split} & (x ^ {2}) ^ {3} \ & x ^ {2 cdot 3} \ & x ^ {6} end {split} $$ |
Multiplicamos los exponentes. Esto lleva a la propiedad de poder para exponentes.
Definición: Propiedad de poder de los exponentes
Si a es un número real ym, n son números enteros, entonces
$$ (a ^ {m}) ^ {n} = a ^ {m cdot n} $$
Para elevar una potencia a una potencia, multiplica los exponentes.
Un ejemplo con números ayuda a verificar esta propiedad.
$$ begin {split} (5 ^ {2}) ^ {3} & stackrel {?} {=} 5 ^ {2 cdot 3} \ (25) ^ {3} & stackrel {?} {=} 5 ^ {6} \ 15,625 & = 15,625 ; marca de verificación end {split} $$
Ejemplo ( PageIndex {9} ):
Simplifique: (a) (x 5 ) 7 (b) (3 6 ) 8
Solución
(a) (x 5 ) 7
| Use la propiedad Power, (a m ) n = a m • n . | $$ x ^ { textcolor {rojo} {5 cdot 7}} $$ |
| Simplificar. | $$ x ^ {35} $$ |
(b) (3 6 ) 8
| Use la propiedad Power, (a m ) n = a m • n . | $$ 3 ^ { textcolor {rojo} {6 cdot 8}} $$ |
| Simplificar. | $$ x ^ {48} $$ |
Ejercicio ( PageIndex {17} ):
Simplifique: (a) (x 7 ) 4 (b) (7 4 ) 8
- Responda a
-
x 28
- Respuesta b
-
7 32
Ejercicio ( PageIndex {18} ):
Simplifique: (a) (x 6 ) 9 (b) (8 6 ) 7
- Responda a
-
y 54
- Respuesta b
-
8 42