Saltar al contenido
las matematicas

10.3: Evaluar y graficar funciones exponenciales

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

Funciones exponenciales gráficas

 

Las funciones que hemos estudiado hasta ahora no nos dan un modelo para muchos fenómenos naturales. Desde el crecimiento de las poblaciones y la propagación de virus hasta la desintegración radiactiva y el interés compuesto, los modelos son muy diferentes de lo que hemos estudiado hasta ahora. Estos modelos implican funciones exponenciales.

 

Una función exponencial es una función de la forma (f (x) = a ^ {x} ) donde (a> 0 ) y (a ≠ 1 ).

 
 

Definición ( PageIndex {1} )

 

Una función exponencial, donde (a> 0 ) y (a ≠ 1 ), es una función de la forma

 

(f (x) = a ^ {x} )

 
 

Observe que en esta función, la variable es el exponente. En nuestras funciones hasta ahora, las variables fueron la base.

 
This figure shows three functions: f of x equals negative 3x plus 4, which is marked as linear; f of x equals 2x squared plus 5x minus 3, which is marked as quadratic; and f of x equals 6 to the x power, which is marked exponential. For the functions marked linear and quadratic, x is the base. For the function marked exponential, x is the exponent for the base 6.  
Figura 10.2.1
 
 

Nuestra definición dice (a ≠ 1 ). Si dejamos (a = 1 ), entonces (f (x) = a ^ {x} ) se convierte en (f (x) = 1 ^ {x} ). Desde (1 ^ {x} = 1 ) para todos los números reales, (f (x) = 1 ). Esta es la función constante.

 

Nuestra definición también dice (a> 0 ). Si dejamos que una base sea negativa, digamos (- 4 ), entonces (f (x) = (- 4) ^ {x} ) no es un número real cuando (x = frac {1} { 2} ).

 

( begin {alineado} f (x) & = (- 4) ^ {x} \ f left ( frac {1} {2} right) & = (- 4) ^ { frac {1} {2}} \ f left ( frac {1} {2} right) & = sqrt {-4} text {no es un número real} end {alineado} ) [19459001 ]  

De hecho, (f (x) = (- 4) ^ {x} ) no sería un número real en cualquier momento (x ) es una fracción con un denominador par. Entonces nuestra definición requiere (a> 0 ).

 

Al graficar algunas funciones exponenciales, podremos ver sus propiedades únicas.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

En el mismo sistema de coordenadas, gráfico (f (x) = 2 ^ {x} ) y (g (x) = 3 ^ {x} ).

 

Solución :

 

Usaremos el trazado de puntos para graficar las funciones.

 
This table has seven rows and five columns. The first row is header row and reads x, f of x equals 2 to the x power, (x, f of x), g of x equals 3 to the x power, and (x, g of x). The second row reads negative 2, 2 to the negative 2 power equals 1 divided by 2 squared which equals 1 over 4, (negative 2, 1 over 4), 3 to the negative 2 power equals 1 divided by 3 squared which equals 1 over 9, (negative 2, 1 over 9). The third row reads negative 1, 2 to the negative 1 power equals 1 divided by 2 to the first power which equals 1 over 2, (negative 1, 1 over 2), 3 to the negative 1 power equals 1 divided by 3 to the first power which equals 1 over 3, (negative 1, 1 over 3). The fourth row reads 0, 2 to the 0 power equals 1, (0, 1), 3 to the 0 power equals 1, (0, 1). The fifth row reads 1, 2 to the 1 power equals 2, (1, 2), 3 to the 1 power equals 9, (1, 3). The sixth row reads 2, 2 to the 2 power equals 4, (2, 4), 3 to the 2 power equals 9, (2, 9). The seventh row reads 3, 2 to the 3 power equals 8, (3, 8), 3 to the 3 power equals 27, (3, 27).  
Figura 10.2.2
 
 
This figure shows two curves. The first curve is marked in blue and passes through the points (negative 1, 1 over 2), (0, 1), and (1, 2). The second curve is marked in red and passes through the points (negative 1, 1 over 3), (0, 1), and (1, 3).  
Figura 10.2.3
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Gráfico: (f (x) = 4 ^ {x} ).

 
     
Respuesta
     
     
This figure shows a curve that slopes swiftly upward from just above (negative 3, 0) through (0, 1) up to (1, 4).      
Figura 10.2.4
     
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Gráfico: (g (x) = 5 ^ {x} )

 
     
Respuesta
     
     
This figure shows a curve that slopes swiftly upward from just above (negative 3, 0) through (0, 1) up to (1, 5).      
Figura 10.2.5
     
     
 
 
 

Si observamos las gráficas del ejemplo anterior 10.2.1 y los ejercicios 10.2.1 y 10.2.2, podemos identificar algunas de las propiedades de las funciones exponenciales.

 

Las gráficas de (f (x) = 2 ^ {x} ) y (g (x) = 3 ^ {x} ), así como las gráficas de (f (x) = 4 ^ {x} ) y (g (x) = 5 ^ {x} ), todos tienen la misma forma básica. Esta es la forma que esperamos de una función exponencial donde (a> 1 ).

 

Notamos que, para cada función, el gráfico contiene el punto ((0,1) ). Esto tiene sentido porque (a ^ {0} = 1 ) para cualquier (a ).

 

La gráfica de cada función, (f (x) = a ^ {x} ) también contiene el punto ((1, a) ). La gráfica de (f (x) = 2 ^ {x} ) contenía ((1,2) ) y la gráfica de (g (x) = 3 ^ {x} ) contenía ((1 , 3) ). Esto tiene sentido como (a ^ {1} = a ).

 

Observe también, la gráfica de cada función (f (x) = a ^ {x} ) también contiene el punto ((- 1, frac {1} {a}) ). La gráfica de (f (x) = 2 ^ {x} ) contenía ((- 1, frac {1} {2}) ) y la gráfica de (g (x) = 3 ^ {x } ) contenía ((- 1, frac {1} {3}) ). Esto tiene sentido como (a ^ {- 1} = frac {1} {a} ).

 

¿Cuál es el dominio para cada función? De los gráficos podemos ver que el dominio es el conjunto de todos los números reales. No hay restricción en el dominio. Escribimos el dominio en notación de intervalo como ((- ∞, ∞) ).

 

Mira cada gráfico. ¿Cuál es el rango de la función? El gráfico nunca golpea el eje (x ). El rango es todos los números positivos. Escribimos el rango en notación de intervalo como ((0, ∞) ).

 

Cuando un gráfico de una función se acerca a una línea pero nunca la toca, llamamos a esa línea una asíntota . Para las funciones exponenciales que estamos viendo, el gráfico se acerca al eje (x ) muy de cerca pero nunca lo cruzará, llamamos a la línea (y = 0 ), el eje (x ), un asíntota horizontal.

 

Propiedades de la gráfica de (f (x) = a ^ {x} ) cuando (a> 1 )

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Dominio ((- infty, infty) )
Rango ((0, infty) )
(x ) – intercepción Ninguno
(y ) – intercepción ((0,1) )
Contiene ((1, a), left (-1, frac {1} {a} right) )
Asíntota (x ) – eje, la línea (y = 0 )
 

Tabla 10.2.1

 
This figure shows a curve that slopes upward from (negative 1, 1 over a) through (0, 1), up to (1, a).  
Figura 10.2.6
 
 

Nuestra definición de una función exponencial (f (x) = a ^ {x} ) dice (a> 0 ), pero los ejemplos y la discusión hasta ahora han sido sobre funciones donde (a> 1 ) Qué sucede cuando (0  

 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

En el mismo sistema de coordenadas, grafica (f (x) = left ( frac {1} {2} right) ^ {x} ) y (g (x) = left ( frac {1} {3} right) ^ {x} ).

 

Solución :

 

Usaremos el trazado de puntos para graficar las funciones.

 
This table has seven rows and five columns. The first row is header row and reads x, f of x, equals 1 over 2 to the x power, (x, f of x), g of x equals 1 over 3 to the x power, and (x, g of x). The second row reads negative 2, 1 over 2 to the negative 2 power equals 2 squared which equals 4, (negative 2, 4), 3 to the negative 2 power equals 3 squared which equals 9, (negative 2, 9). The third row reads negative 1, 1 over 2 to the negative 1 power equals 2 to the first power which equals 2, (negative 1, 2), 1 over 3 to the negative 1 power equals 3 to the first power which equals 3, (negative 1, 3). The fourth row reads 0, 1 over 2 to the 0 power equals 1, (0, 1), 1 over 3 to the 0 power equals 1, (0, 1). The fifth row reads 1, 1 over 2 to the 1 power equals 1 over 2, (1, 1 over 2), 1 over 3 to the 1 power equals 1 over 3, (1, 1 over 3). The sixth row reads 2, 1 over 2 to the 2 power equals 1 over 4, (2, 1 over 4), 1 over 3 to the 2 power equals 1 over 9, (2, 1 over 9). The seventh row reads 3, 1 over 2 to the 3 power equals 1 over 8, (3, 1 over 8), 1 over 3 to the 3 power equals 1 over 27, (3, 1 over 27).  
Figura 10.2.7
 
 
This figure shows two curves. The first curve is marked in blue and passes through the points (negative 1, 2), (0, 1), and (1, 1 over 2). The second curve is marked in red and passes through the points (negative 1, 3), (0, 1), and (1, 1 over 3).  
Figura 10.2.8
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Gráfico: (f (x) = left ( frac {1} {4} right) ^ {x} ).

 
     
Respuesta
     
     
This figure shows a curve that passes through (negative 1, 4), (0, 1) to a point just above (3, 0).      
Figura 10.2.9
     
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Gráfico: (g (x) = left ( frac {1} {5} right) ^ {x} ).

 
     
Respuesta
     
     
This figure shows a curve that passes through (negative 1, 5), (0, 1) to a point just above (3, 0).      
Figura 10.2.10
     
     
 
 
 

Ahora veamos los gráficos del ejemplo anterior 10.2.2 y los ejercicios 10.2.3 y 10.2.4 para que ahora podamos identificar algunas de las propiedades de las funciones exponenciales donde (0  

Las gráficas de (f (x) = left ( frac {1} {2} right) ^ {x} ) y (g (x) = left ( frac {1} { 3} right) ^ {x} ) así como las gráficas de (f (x) = left ( frac {1} {4} right) ^ {x} ) y (g (x ) = left ( frac {1} {5} right) ^ {x} ) todos tienen la misma forma básica. Si bien esta es la forma que esperamos de una función exponencial donde (0 1 ), van de arriba a izquierda Derecha.

 

Notamos que para cada función, el gráfico todavía contiene el punto ((0, 1) ). Esto tiene sentido porque (a ^ {0} = 1 ) para cualquier (a ).

 

Como antes, la gráfica de cada función, (f (x) = a ^ {x} ), también contiene el punto ((1, a) ). La gráfica de (f (x) = left ( frac {1} {2} right) ^ {x} ) contenía ( left (1, frac {1} {2} right) ) y la gráfica de (g (x) = left ( frac {1} {3} right) ^ {x} ) contenía ( left (1, frac {1} {3} right ) ). Esto tiene sentido como (a ^ {1} = a ).

 

Observe también que la gráfica de cada función, (f (x) = a ^ {x} ), también contiene el punto ( left (-1, frac {1} {a} right) ). La gráfica de (f (x) = left ( frac {1} {2} right) ^ {x} ) contenía ((- 1,2) ) y la gráfica de (g (x ) = left ( frac {1} {3} right) ^ {x} ) contenía ((- 1,3) ). Esto tiene sentido como (a ^ {- 1} = frac {1} {a} ).

 

¿Cuál es el dominio y el rango para cada función? De los gráficos podemos ver que el dominio es el conjunto de todos los números reales y escribimos el dominio en notación de intervalo como ((- ∞, ∞) ). Nuevamente, el gráfico nunca golpea el eje (x ). El rango es todos los números positivos. Escribimos el rango en notación de intervalo como ((0, ∞) ).

 

Resumiremos estas propiedades en el cuadro a continuación. Que también incluyen cuando (a> 1 ).

 

Propiedades de la gráfica de (f (x) = a ^ {x} )

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             
Cuando (a> 1 ) Cuando (0
((- infty, infty) ) Dominio ((- infty, infty) )
((0, infty) ) Rango ((0, infty) )
ninguno (x ) – intercepción ninguno
((0,1) ) (y ) – intercepción ((0,1) )
((1, a), left (-1, frac {1} {a} right) ) Contiene ((1, a), left (-1, frac {1} {a} right) )
             

(x ) – eje, la línea (y = 0 )

             
Asíntota (x ) – eje, la línea (y = 0 )
creciente Forma básica decreciente
 

Tabla 10.2.2

 
This figure has two parts. On the left, we have a curve that passes through (negative 1, 1 over a) through (0, 1) to (1, a). On the right, where a is noted to be less than 1, we have a curve that passes through (negative 1, 1 over a) through (0, 1) to (1, a).  
Figura 10.2.11
 
 

Es importante que notemos que ambos gráficos son uno a uno, ya que ambos pasan la prueba de la línea horizontal. Esto significa que la función exponencial tendrá una inversa. Veremos esto más tarde.

 

Cuando graficamos funciones cuadráticas, pudimos graficar usando la traducción en lugar de solo trazar puntos. ¿Funcionará eso en graficar funciones exponenciales?

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

En el mismo sistema de coordenadas, gráfico (f (x) = 2 ^ {x} ) y (g (x) = 2 ^ {x + 1} ).

 

Solución :

 

Usaremos el trazado de puntos para graficar las funciones.

 
This table has seven rows and five columns. The first row is header row and reads x, f of x equals 2 to the x power, (x, f of x), g of x equals 2 to the x plus 1 power, and (x, g of x). The second row reads negative 2, 2 to the negative 2 power equals 1 divided by 2 squared which equals 1 over 4, (negative 2, 1 over 4), 2 to the negative 2 plus 1 power equals 1 divided by 2 to the first power which equals 1 over 2, (negative 2, 1 over 2). The third row reads negative 1, 2 to the negative 1 power equals 1 divided by 2 to the first power which equals 1 over 2, (negative 1, 1 over 2), 2 to the negative 1 plus 1 power equals 2 to the 0 power which equals 1, (negative 1, 1). The fourth row reads 0, 2 to the 0 power equals 1, (0, 1), 2 to the 0 plus 1 power equals 2 to the 1 power which equals 2, (0, 2). The fifth row reads 1, 2 to the 1 power equals 2, (1, 2), 2 to the 1 plus 1 power equals 2 to the second power which equals 4, (1, 4). The sixth row reads 2, 2 to the 2 power equals 4, (2, 4), 2 to the 2 plus 1 power equals 2 to the third power which equals 8, (2, 8). The seventh row reads 3, 2 to the 3 power equals 8, (3, 8), 2 to the 3 plus 1 power equals 2 to the fourth power which equals 16, (3, 16).  
Figura 10.2.12
 
 
This figure shows two curves. The first curve is marked in blue and passes through the points (negative 1, 1 over 2), (0, 1) and (1, 2). The second curve is marked in red and passes through the points (negative 1, 1), (0, 2) and (1, 4).  
Figura 10.2.13
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

En el mismo sistema de coordenadas, grafica: (f (x) = 2 ^ {x} ) y (g (x) = 2 ^ {x-1} ).

 
     
Respuesta
     
     
This figure shows the graphs of two functions. The first function f of x equals 2 to the x power is marked in blue and corresponds to a curve that passes through the points (negative 1, 1 over 2), (0, 1) and (1, 2). The second function g of x equals 2 to the x minus 1 power is marked in red and passes through the points (0, 1 over 2), (1, 1), and (2, 2).      
Figura 10.2.14
     
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

En el mismo sistema de coordenadas, grafica (f (x) = 3 ^ {x} ) y (g (x) = 3 ^ {x + 1} ).

 
     
Respuesta
     
     
This figure shows the graphs of two functions. The first function f of x equals 3 to the x power is marked in blue and corresponds to a curve that passes through the points (negative 1, 1 over 3), (0, 1) and (1, 3). The second function g of x equals 3 to the x plus 1 power is marked in red and passes through the points (negative 2, 1 over 3), (negative 1, 1), and (0, 3).      
Figura 10.2.15
     
     
 
 
 

Mirando las gráficas de las funciones (f (x) = 2 ^ {x} ) y (g (x) = 2 ^ {x + 1} ) en el último ejemplo, vemos que sumar uno en el exponente causó un desplazamiento horizontal de una unidad a la izquierda. Reconocer este patrón nos permite graficar otras funciones con el mismo patrón por traducción.

 

Consideremos ahora otra situación que podría ser graficada más fácilmente por traducción, una vez que reconozcamos el patrón.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

En el mismo sistema de coordenadas, gráfico (f (x) = 3 ^ {x} ) y (g (x) = 3 ^ {x} -2 ).

 

Solución :

 

Usaremos el trazado de puntos para graficar las funciones.

 
This table has five rows and six columns. The first row is header row and reads x, f of x equals 3 to the x power, (x, f of x), g of x equals 3 to the x power minus 2, and (x, g of x). The second row reads negative 2, 3 to the negative 2 power equals 1 over 9, (negative 2, 1 over 9), 3 to the negative 2 power minus 2 equals 1 over 9 minus 2 which equals negative 17 over 9, (negative 2, negative 17 over 9). The third row reads negative 1, 3 to the negative 1 power equals 1 over 3, (negative 1, 1 over 3), 3 to the negative 1 power minus 2 equals 1 over 3 minus 2 which equals negative 5 over 3, (negative 1, negative 5 over 3). The fourth row reads 0, 3 to the 0 power equals 1, (0, 1), 3 to the 0 power minus 2 equals 1 minus 2 which equals negative 1, (0, negative 1). The fifth row reads 1, 3 to the 1 power equals 3, (1, 3), 3 to the 1 power minus 2 equals 3 minus 2 which equals 1, (1, 1). The sixth row reads 2, 3 squared equals 9, (2, 9), 3 squared minus 2 equals 9 minus 2 which equals 7, (2, 7).  
Figura 10.2.16
 
 
This figure shows two curves. The first curve is marked in blue and passes through the points (negative 1, 1 over 3), (0, 1), and (1, 3). The second curve is marked in red and passes through the points (negative 1, negative 5 over 3), (0, negative 1), and (1, 1).  
Figura 10.2.17
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

En el mismo sistema de coordenadas, grafica (f (x) = 3 ^ {x} ) y (g (x) = 3 ^ {x} +2 ).

 
     
Respuesta
     
     
This figure shows the graphs of two functions. The first function f of x equals 3 to the x power is marked in blue and corresponds to a curve that passes through the points (negative 1, 1 over 3), (0, 1) and (1, 3). The second function g of x equals 3 to the x power plus 2 is marked in red and passes through the points (negative 1, 7 over 3), (0, 3) and (1, 5).      
Figura 10.2.18
     
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

En el mismo sistema de coordenadas, grafica (f (x) = 4 ^ {x} ) y (g (x) = 4 ^ {x} -2 ).

 
     
Respuesta
     
     
This figure shows the graphs of two functions. The first function f of x equals 4 to the x power is marked in blue and corresponds to a curve that passes through the points (negative 1, 1 over 4), (0, 1) and (1, 4). The second function g of x equals 4 to the x power minus 2 is marked in red and passes through the points (negative 1, negative 7 over 4), (0, negative 1), and (1, 2).      
Figura 10.2.19
     
     
 
 
 

Mirando las gráficas de las funciones (f (x) = 3 ^ {x} ) y (g (x) = 3 ^ {x} −2 ) en el último ejemplo, vemos que resta (2 ) causó un desplazamiento vertical de dos unidades hacia abajo. Observe que la asíntota horizontal también se desplazó hacia abajo (2 ) unidades. Reconocer este patrón nos permite graficar otras funciones con el mismo patrón por traducción.
Todas nuestras funciones exponenciales han tenido un número entero o un número racional como base. Ahora veremos una función exponencial con un número irracional como base.

 

Antes de que podamos ver esta función exponencial, necesitamos definir el número irracional, (e ). Este número se utiliza como base en muchas aplicaciones en las ciencias y los negocios que se modelan mediante funciones exponenciales. El número se define como el valor de ( left (1+ frac {1} {n} right) ^ {n} ) a medida que (n ) se hace más y más grande. Decimos, a medida que (n ) se acerca al infinito, o aumenta sin límite. La tabla muestra el valor de ( left (1+ frac {1} {n} right) ^ {n} ) para varios valores de (n ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           
(n ) ( left (1+ frac {1} {n} right) ^ {n} )
(1 ) (2 )
(2 ) (2,25 )
(5 ) (2.48832 )
(10 ​​) (2.59374246 )
(100 ) (2.704813829 ldots ) ​​
(1,000 ) (2.716923932 ldots ) ​​
(10,000 ) (2.718145927 ldots ) ​​
(100,000 ) (2.718268237 ldots ) ​​
(1,000,000 ) (2.718280469 ldots ) ​​
(1,000,000,000 ) (2.718281827 ldots ) ​​
 

Tabla 10.2.3

 

(e aprox 2.718281827 )

 

El número (e ) es como el número (π ) en que usamos un símbolo para representarlo porque su representación decimal nunca se detiene o se repite. El número irracional (e ) se llama la base natural .

 
 

Definición ( PageIndex {2} )

 

Base natural (e )

 

El número (e ) se define como el valor de ( left (1+ frac {1} {n} right) ^ {n} ), a medida que (n ) aumenta sin límite . Decimos, como (n ) se acerca al infinito,

 

(e aprox 2.718281827 )

 
 

La función exponencial cuya base es (e ), (f (x) = e ^ {x} ) se llama función exponencial natural .

 
 

Definición ( PageIndex {3} )

 

Función exponencial natural

 

La función exponencial natural es una función exponencial cuya base es (e )

 

(f (x) = e ^ {x} )

 

El dominio es ((- ∞, ∞) ) y el rango es ((0, ∞) ).

 
 

Grafiquemos la función (f (x) = e ^ {x} ) en el mismo sistema de coordenadas que (g (x) = 2 ^ {x} ) y (h (x) = 3 ^ {x} ).

 
This figure shows the graphs of three functions. The first function, f of x equals 2 to the x, is marked in red and passes through the points (negative 1, negative 1 over 2), (0, negative 1), and (2, 1). The second function, f of x equals 3 to the x power, is marked in green and corresponds to a curve that passes through the points (negative 1, 1 over 3), (0, 1) and (1, 3). The third function, f of x equals e to the x power, is marked in blue and corresponds to a curve that passes through the points (negative 1, 1 over e), (0, 1) and (0, e).  
Figura 10.2.20
 
 

Observe que la gráfica de (f (x) = e ^ {x} ) está “entre” las gráficas de (g (x) = 2 ^ {x} ) y (h (x) = 3 ^ {x} ). ¿Tiene sentido como (2  

]]>