10.3: Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática

10.3: Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática

                 

 

Al final de esta sección, podrá:

 
         
  • Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática
  •      
  • Usa el discriminante para predecir el número de soluciones de una ecuación cuadrática
  •      
  • Identifica el método más apropiado para resolver una ecuación cuadrática
  •  
 
 

 

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

 
         
  1. Simplifica: ( frac {−20−5} {10} ).
    Si se perdió este problema, revise [enlace] .
  2.      
  3. Simplifique: (4+ sqrt {121} ).
    Si se perdió este problema, revise [enlace] .
  4.      
  5. Simplifique: ( sqrt {128} ).
    Si se perdió este problema, revise [enlace] .
  6.  
 
 

Cuando resolvimos ecuaciones cuadráticas en la última sección completando el cuadrado, tomamos los mismos pasos cada vez. Al final del conjunto de ejercicios, es posible que se haya preguntado «¿no hay una manera más fácil de hacer esto?» La respuesta es «sí». En esta sección, derivaremos y utilizaremos una fórmula para encontrar la solución de un ecuación cuadrática.

 
 

Ya hemos visto cómo resolver una fórmula para una variable específica «en general» para que hagamos los pasos algebraicos solo una vez y luego usemos la nueva fórmula para encontrar el valor de la variable específica. Ahora, seguiremos los pasos de completar el cuadrado en general para resolver una ecuación cuadrática para x . Puede ser útil mirar uno de los ejemplos al final de la última sección donde resolvimos una ecuación de la forma (ax ^ 2 + bx + c = 0 ) a medida que lee los pasos algebraicos a continuación, para que véalos con números así como ‘en general’

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Comenzamos con la forma estándar de una ecuación cuadrática y la resolvemos para x completando el cuadrado. (ax ^ 2 + bx + c = 0 )
Aislar los términos variables en un lado. (ax ^ 2 + bx = −c )
Haga el coeficiente principal 1, dividiendo por a. ( frac {ax ^ 2} {a} + frac {b} {a} x = – frac {c} {a} )
Simplificar. (x ^ 2 + frac {b} {a} x = – frac {c} {a} )
             

Para completar el cuadrado, encuentre (( frac {1} {2} · frac {b} {a}) ^ 2 ) y agréguelo a ambos lados de la ecuación. (( Frac { 1} {2} frac {b} {a}) ^ 2 = frac {b ^ 2} {4a ^ 2} )

             
(x ^ 2 + frac {b} {a} x + frac {b ^ 2} {4a ^ 2} = – frac {c} {a} + frac {b ^ 2} {4a ^ 2} )
El lado izquierdo es un cuadrado perfecto, factorízalo. ((x + frac {b} {2a}) ^ 2 = – frac {c} {a} + frac {b ^ 2} {4a ^ 2} )
Encuentra el común denominador del lado derecho y escribe fracciones equivalentes con el común denominador. ((x + frac {b} {2a}) ^ 2 = – frac {c · 4a} {a · 4a} + frac {b ^ 2} {4a ^ 2} )
Simplificar. ((x + frac {b} {2a}) ^ 2 = frac {b ^ 2} {4a ^ 2} – frac {4ac} {4a ^ 2} )
Combinar en una fracción. ((x + frac {b} {2a}) ^ 2 = frac {b ^ 2−4ac} {4a ^ 2} )
Use la propiedad de raíz cuadrada. ((x + frac {b} {2a}) = pm sqrt { frac {b ^ 2−4ac} {4a ^ 2}} )
Simplificar. ((x + frac {b} {2a}) = pm frac { sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} )
Agregue (- frac {b} {2a} ) a ambos lados de la ecuación. (x = – frac {b} {2a} pm frac { sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} )
Combina los términos en el lado derecho. (x = frac {−b pm sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} )
 

Esta última ecuación es la fórmula cuadrática.

 
 

Definición: FÓRMULA CUADRÁTICA

 

Las soluciones a una ecuación cuadrática de la forma (ax ^ 2 + bx + c = 0 ), (a ge 0 ) están dadas por la fórmula:

 

(x = frac {−b pm sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} )

 
 

Para usar la fórmula cuadrática, sustituimos los valores de a, byc en la expresión en el lado derecho de la fórmula. Luego, hacemos todos los cálculos para simplificar la expresión. El resultado da la (s) solución (es) a la ecuación cuadrática.

 

Cómo resolver una ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Resuelve (2x ^ 2 + 9x − 5 = 0 ) usando la fórmula cuadrática.

 
     
Respuesta
     
     

The image shows the steps to solve the quadratic equation two x squared plus nine x minus five equals zero. Step one is to write the quadratic equation in standard form and identify the a, b, and c values. This equation is already in standard for. The value of a is two, the value of b is nine and the value of c is negative five. Step two is to write the quadratic formula. Then substitute in the values of a, b, and c. Substitute two for a, nine for b and negative five for c in the formula x equals the quantity negative b plus or minus the square root of b squared minus four times a times c divided by two times a. The formula becomes x equals negative nine plus or minus the square root of negative nine squared minus four time two times negative five all divided by two times two. Step three is to simplify the formula. Squaring negative nine and performing the multiplication to get negative nine plus or minus the square root of 81 minus negative 40 all divided by four. This simplifies further to negative nine plus or minus the square root of 121 all divided by four which reduces to negative nine plus or minus 11 all divided by four. Negative nine plus 11 divided by four is two fourths which reduces to one half. Negative nine minus 11 divided by four is negative 20 fourths which reduces to negative five. Step four is to check the solutions by putting each answer in the original equation to check. Replace x in two x squared plus nine x minus five equals zero with one half to get two times one half squared plus nine times one half minus five. Simplify to get one half plus nine halves minus five which is zero. Replace x in two x squared plus nine x minus five equals zero with negative five to get two times negative five squared plus nine times negative five minus five. Simplify to get 50 minus 45 minus five which is zero.

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Resuelve (3y ^ 2−5y + 2 = 0 ) usando la Fórmula cuadrática.

 
     
Respuesta
     
     

(y = frac {2} {3} ), (y = 1 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Resuelve (4z ^ 2 + 2z − 6 = 0 ) usando la fórmula cuadrática.

 
     
Respuesta
     
     

(z = – frac {3} {2} ), (z = 1 )

     
 
 
 
 

Definición: RESUELVE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA CON LA FÓRMULA CUADRÁTICA

 
         
  1. Escribe la fórmula cuadrática en forma estándar. Identifique los valores aa, bb y cc.
  2.      
  3. Escribe la fórmula cuadrática. Luego, sustituya los valores de a, b y c.
  4.      
  5. Simplifica.
  6.      
  7. Verifique las soluciones.
  8.  
 
 

Si dice la fórmula a medida que la escribe en cada problema, la memorizará de inmediato. Y recuerde, la fórmula cuadrática es una ecuación. Asegúrese de comenzar con ‘ (x = )’.

 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Resuelve (x ^ 2−6x + 5 = 0 ) usando la fórmula cuadrática.

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Resuelve (a ^ 2−2a − 15 = 0 ) usando la fórmula cuadrática.

 
     
Respuesta
     
     

(a = −3 ), (a = 5 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Resuelve (b ^ 2 + 10b + 24 = 0 ) usando la fórmula cuadrática.

 
     
Respuesta
     
     

(b = −6 ), (b = −4 )

     
 
 
 

Cuando resolvimos ecuaciones cuadráticas usando la Propiedad de la raíz cuadrada, a veces obtuvimos respuestas que tenían radicales. Eso también puede suceder cuando se usa la fórmula cuadrática. Si obtenemos un radical como solución, la respuesta final debe tener el radical en su forma simplificada.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Resuelve (4y ^ 2−5y − 3 = 0 ) usando la Fórmula cuadrática.

 
     
Respuesta
     
     

Podemos usar la fórmula cuadrática para resolver la variable en una ecuación cuadrática, se llame o no not x ’.

          
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Resuelve (2p ^ 2 + 8p + 5 = 0 ) usando la fórmula cuadrática.

 
     
Respuesta
     
     

(p = frac {−4 pm sqrt {6}} {2} )

     
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

Resuelve (5q ^ 2−11q + 3 = 0 ) usando la fórmula cuadrática.

 
     
Respuesta
     
     

(q = frac {11 pm sqrt {61}} {10} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Resuelve (2x ^ 2 + 10x + 11 = 0 ) usando la fórmula cuadrática.

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} )

 

Resuelve (3m ^ 2 + 12m + 7 = 0 ) usando la fórmula cuadrática.

 
     
Respuesta
     
     

(m = frac {−6 pm sqrt {15}} {3} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} )

 

Resuelve (5n ^ 2 + 4n − 4 = 0 ) usando la fórmula cuadrática.

 
     
Respuesta
     
     

(n = frac {−2 pm2 sqrt {6}} {5} )

     
 
 
 

No podemos sacar la raíz cuadrada de un número negativo. Entonces, cuando sustituimos a, byc en la Fórmula Cuadrática, si la cantidad dentro del radical es negativa, la ecuación cuadrática no tiene una solución real. Lo veremos en el siguiente ejemplo.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} )

 

Resuelve (3p ^ 2 + 2p + 9 = 0 ) usando la fórmula cuadrática.

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {14} )

 

Resuelve (4a ^ 2−3a + 8 = 0 ) usando la fórmula cuadrática.

 
     
Respuesta
     
     

sin solución real

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {15} )

 

Resuelve (5b ^ 2 + 2b + 4 = 0 ) usando la fórmula cuadrática.

 
     
Respuesta
     
     

sin solución real

     
 
 
 

Las ecuaciones cuadráticas que hemos resuelto hasta ahora en esta sección fueron escritas en forma estándar, (ax ^ 2 + bx + c = 0 ). A veces, tendremos que hacer un poco de álgebra para obtener la ecuación en forma estándar antes de que podamos usar la fórmula cuadrática.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {16} )

 

Resuelve (x (x + 6) + 4 = 0 ) usando la fórmula cuadrática.

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {17} )

 

Resuelve (x (x + 2) −5 = 0 ) usando la fórmula cuadrática.

 
     
Respuesta
     
     

(x = −1 pm sqrt {6} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {18} )

 

Resuelve (y (3y − 1) −2 = 0 ) usando la fórmula cuadrática.

 
     
Respuesta
     
     

(y = – frac {2} {3} ), (y = 1 )

     
 
 
 

Cuando resolvimos ecuaciones lineales, si una ecuación tenía demasiadas fracciones, ‘limpiamos las fracciones’ multiplicando ambos lados de la ecuación por la pantalla LCD. Esto nos dio una ecuación equivalente, sin fracciones, para resolver. Podemos usar la misma estrategia con ecuaciones cuadráticas.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {19} )

 

Resuelve ( frac {1} {2} u ^ 2 + frac {2} {3} u = frac {1} {3} ) usando la Fórmula cuadrática.

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {20} )

 

Resuelve ( frac {1} {4} c ^ 2− frac {1} {3} c = frac {1} {12} ) usando la Fórmula cuadrática.

 
     
Respuesta
     
     

(c = frac {2 pm sqrt {7}} {3} )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {21} )

 

Resuelve ( frac {1} {9} d ^ 2− frac {1} {2} d = – frac {1} {2} ) usando la Fórmula cuadrática.

 
     
Respuesta
     
     

(d = frac {3} {2} ), (d = 3 )

     
 
 
 

Piensa en la ecuación ((x − 3) ^ 2 = 0 ). Sabemos por el Principio de Productos Cero que esta ecuación tiene una sola solución: (x = 3 ).

 
 
 

Veremos en el siguiente ejemplo cómo usar la Fórmula Cuadrática para resolver una ecuación con un cuadrado perfecto también da una sola solución.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {22} )

 

Resuelve (4x ^ 2−20x = −25 ) usando la fórmula cuadrática.

 
     
Respuesta
     
          

¿Reconociste que (4x ^ 2−20x + 25 ) es un cuadrado perfecto?

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {23} )

 

Resuelve (r ^ 2 + 10r + 25 = 0 ) usando la fórmula cuadrática.

 
     
Respuesta
     
     

(r = −5 )

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {24} )

 

Resuelve (25t ^ 2−40t = −16 ) usando la fórmula cuadrática.

 
     
Respuesta
     
     

(t = frac {4} {5} )

     
 
 
 

Usa el discriminante para predecir el número de soluciones de una ecuación cuadrática

 

Cuando resolvimos las ecuaciones cuadráticas en los ejemplos anteriores, a veces obtuvimos dos soluciones, a veces una solución, a veces ninguna solución real. ¿Hay alguna manera de predecir el número de soluciones para una ecuación cuadrática sin resolver realmente la ecuación?

 

Sí, la cantidad dentro del radical de la fórmula cuadrática nos facilita determinar la cantidad de soluciones. Esta cantidad se denomina discriminante .

 
 
 

Definición: DISCRIMINANTE

 

En la fórmula cuadrática (x = frac {−b pm sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} ), la cantidad (b ^ 2−4ac ) se llama [19459076 ] discriminante .

 
 

Veamos el discriminante de las ecuaciones en Ejemplo , Ejemplo [19459015 ] y Ejemplo y el número de soluciones a esas ecuaciones cuadráticas.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   
Ecuación cuadrática (en forma estándar) Discriminante (b ^ 2−4ac ) Signo del discriminante Número de solución real
Ejemplo (2x ^ 2 + 9x − 5 = 0 ) (9 ^ 2−4 · 2 (−5) = 121 ) + 2
Ejemplo (4x ^ 2−20x + 25 = 0 ) ((- 20) ^ 2−4 · 4 · 25 = 0 ) 0 1
Ejemplo (3p ^ 2 + 2p + 9 = 0 ) (2 ^ 2−4 · 3 · 9 = −104 ) 0
 

Cuando el discriminante es positivo (x = frac {−b pm sqrt {+}} {2a} ) la ecuación cuadrática tiene [ 19459087] dos soluciones .

 

Cuando el discriminante es cero (x = frac {−b pm sqrt {0}} {2a} ) la ecuación cuadrática tiene [ 19459087] una solución .

 

Cuando el discriminante es negativo (x = frac {−b pm sqrt {-}} {2a} ) la ecuación cuadrática tiene [ 19459087] sin soluciones reales .

 
 

Definición: USE EL DISCRIMINANTE, (b ^ 2−4ac ), PARA DETERMINAR EL NÚMERO DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA

 

Para una ecuación cuadrática de la forma (ax ^ 2 + bx + c = 0 ), (a ge 0 ),

 
         
  • si (b ^ 2−4ac> 0 ), la ecuación tiene dos soluciones.
  •      
  • si (b ^ 2−4ac = 0 ), la ecuación tiene una solución.
  •      
  • si (b ^ 2−4ac <0 ), la ecuación no tiene soluciones reales.
  •  
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {25} )

 

Determine el número de soluciones para cada ecuación cuadrática:

 
         
  1. (2v ^ 2−3v + 6 = 0 )
  2.      
  3. (3x ^ 2 + 7x − 9 = 0 )
  4.      
  5. (5n ^ 2 + n + 4 = 0 )
  6.      
  7. (9y ^ 2−6y + 1 = 0 )
  8.  
 
     
Respuesta
     
     

1.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(2v ^ 2−3v + 6 = 0 )
La ecuación está en forma estándar, identifica a, b, c. (a = 2 ), (b = −3 ), (c = 6 )
Escribe el discriminante. (b ^ 2−4ac )
Sustituir en los valores de a, b, c. ((3) ^ 2−4 · 2 · 6 )
Simplificar.                  

(9−48 )

                 

(- 39 )

                 
Debido a que el discriminante es negativo, no hay soluciones reales para la ecuación.
     

2.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(3x ^ 2 + 7x − 9 = 0 )
La ecuación está en forma estándar, identifica a, b, c. (a = 3 ), (b = 7 ), (c = −9 )
Escribe el discriminante. (b ^ 2−4ac )
Sustituir en los valores de a, b, c. ((7) ^ 2−4 · 3 · (−9) )
Simplificar.                  

(49 + 108 )

                 

(157 )

                 
Debido a que el discriminante es positivo, hay dos soluciones para la ecuación.
     

3.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(5n ^ 2 + n + 4 = 0 )
La ecuación está en forma estándar, identifica a, b, c. (a = 5 ), (b = 1 ), (c = 4 )
Escribe el discriminante. (b ^ 2−4ac )
Sustituir en los valores de a, b, c. ((1) ^ 2−4 · 5 · 4 )
Simplificar.                  

(1−80 )

                 

(- 79 )

                 
Debido a que el discriminante es negativo, no hay soluciones reales para la ecuación.
     

4.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(9y ^ 2−6y + 1 = 0 )
La ecuación está en forma estándar, identifica a, b, c. (a = 9 ), (b = −6 ), (c = 1 )
Escribe el discriminante. (b ^ 2−4ac )
Sustituir en los valores de a, b, c. ((- 6) ^ 2−4 · 9 · 1 )
Simplificar.                  

(36−36 )

                 

(0 )

                 
Debido a que el discriminante es 0, hay una solución para la ecuación.
     
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {26} )

 

Determine el número de soluciones para cada ecuación cuadrática:

 
         
  1. (8m ^ 2−3m + 6 = 0 )
  2.      
  3. (5z ^ 2 + 6z − 2 = 0 )
  4.      
  5. (9w ^ 2 + 24w + 16 = 0 )
  6.      
  7. (9u ^ 2−2u + 4 = 0 )
  8.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. sin soluciones reales
  2.          
  3. 2
  4.          
  5. 1
  6.          
  7. sin soluciones reales
  8.      
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {27} )

 

Determine el número de soluciones para cada ecuación cuadrática:

 
 
 
 
 
 
         
  1. (b ^ 2 + 7b − 13 = 0 )
  2.      
  3. (5a ^ 2−6a + 10 = 0 )
  4.      
  5. (4r ^ 2−20r + 25 = 0 )
  6.      
  7. (7t ^ 2−11t + 3 = 0 )
  8.  
 
 
 
 
 
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. 2
  2.          
  3. sin soluciones reales
  4.          
  5. 1
  6.          
  7. 2
  8.      
     
 
 
 
 
 
 

Identifica el método más apropiado para resolver una ecuación cuadrática

 

Hemos utilizado cuatro métodos para resolver ecuaciones cuadráticas:

 
         
  • Factoring
  •      
  • Propiedad de raíz cuadrada
  •      
  • Completando la plaza
  •      
  • Fórmula cuadrática
  •  
 

Puede resolver cualquier ecuación cuadrática mediante el uso de la fórmula cuadrática, pero ese no es siempre el método más fácil de usar.

 
 

Definición: IDENTIFICAR EL MÉTODO MÁS APROPIADO PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA.

 
         
  1. Pruebe Factoring primero. Si los factores cuadráticos fácilmente, este método es muy rápido.
  2.      
  3. Pruebe la Propiedad de raíz cuadrada siguiente. Si la ecuación se ajusta a la forma (ax ^ 2 = k ) o (a (x − h) ^ 2 = k ), se puede resolver fácilmente utilizando la propiedad de raíz cuadrada.
  4.      
  5. Utilice la Fórmula cuadrática . Cualquier ecuación cuadrática se puede resolver mediante el uso de la fórmula cuadrática.
  6.  
 
 

¿Qué pasa con el método de completar el cuadrado? La mayoría de las personas encuentran ese método engorroso y prefieren no usarlo. Necesitábamos incluirlo en este capítulo porque completamos el cuadrado en general para derivar la Fórmula Cuadrática. También utilizará el proceso de completar el cuadrado en otras áreas de álgebra.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {28} )

 

Identifica el método más apropiado para resolver cada ecuación cuadrática:

 
         
  1. (5z ^ 2 = 17 )
  2.      
  3. (4x ^ 2−12x + 9 = 0 )
  4.      
  5. (8u ^ 2 + 6u = 11 )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     

1. (5z ^ 2 = 17 )

     

Dado que la ecuación está en (ax ^ 2 = k ), el método más apropiado es usar la propiedad de raíz cuadrada.

     

2. (4x ^ 2−12x + 9 = 0 )

     

Reconocemos que el lado izquierdo de la ecuación es un trinomio cuadrado perfecto, por lo que la factorización será el método más apropiado.

     

3. (8u ^ 2 + 6u = 11 )

     

Pon la ecuación en forma estándar. (8u ^ 2 + 6u − 11 = 0 )

     

Si bien nuestro primer pensamiento puede ser probar Factoring, pensar en todas las posibilidades de prueba y error nos lleva a elegir la Fórmula Cuadrática como el método más apropiado.

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {29} )

 

Identifica el método más apropiado para resolver cada ecuación cuadrática:

 
         
  1. (x ^ 2 + 6x + 8 = 0 )
  2.      
  3. ((n − 3) ^ 2 = 16 )
  4.      
  5. (5p ^ 2−6p = 9 )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. factor
  2.          
  3. Propiedad de raíz cuadrada
  4.          
  5. Fórmula cuadrática
  6.      
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {30} )

 

Identifica el método más apropiado para resolver cada ecuación cuadrática:

 
         
  1. (8a ^ 2 + 3a − 9 = 0 )
  2.      
  3. (4b ^ 2 + 4b + 1 = 0 )
  4.      
  5. (5c2 = 125 )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. Fórmula cuadrática
  2.          
  3. factoring
  4.          
  5. Propiedad de raíz cuadrada
  6.      
     
 
 
Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar el uso de la fórmula cuadrática:
 
 
 
 
 
     
discriminante
     
En la fórmula cuadrática, (x = frac {−b pm sqrt {b ^ 2−4ac}} {2a} ) la cantidad (b ^ 2−4ac ) se llama discriminante.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
                                  
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