Suponga que un barco sale del puerto, viaja (10 ) millas, gira (20 ) grados y recorre otras 8 millas como se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ) A qué distancia del puerto está el barco ?
Desafortunadamente, si bien la Ley de senos nos permite abordar muchos casos de triángulos no rectos, no nos ayuda con triángulos donde el ángulo conocido se encuentra entre dos lados conocidos, un SAS (lado-ángulo-lado) triángulo, o cuando se conocen los tres lados, pero no se conocen ángulos, un triángulo SSS (lado-lado-lado). En esta sección, investigaremos otra herramienta para resolver triángulos oblicuos descritos por estos dos últimos casos.
Usando la ley de cosenos para resolver triángulos oblicuos
La herramienta que necesitamos para resolver el problema de la distancia del barco desde el puerto es la Ley de cosenos , que define la relación entre las medidas de los ángulos y las longitudes laterales en triángulos oblicuos. Tres fórmulas componen la Ley de cosenos. A primera vista, las fórmulas pueden parecer complicadas porque incluyen muchas variables. Sin embargo, una vez que se comprende el patrón, es más fácil trabajar con la Ley de cosenos que la mayoría de las fórmulas en este nivel matemático.
Entender cómo se deriva la Ley de cosenos será útil para usar las fórmulas. La derivación comienza con el Teorema de Pitágoras generalizado, que es una extensión del Teorema de Pitágoras a triángulos no rectos. Así es como funciona: un triángulo no recto arbitrario (ABC ) se coloca en el plano de coordenadas con el vértice (A ) en el origen, lado (c ) dibujado a lo largo de x -eje y vértice (C ) ubicado en algún punto ((x, y) ) en el plano, como se ilustra en la Figura ( PageIndex {2} ). En general, existen triángulos en cualquier parte del plano, pero para esta explicación colocaremos el triángulo como se indica.
Podemos colocar una perpendicular desde (C ) al eje x- (esta es la altitud o altura). Recordando las identidades trigonométricas básicas, sabemos que
( cos theta = dfrac {x (adyacente)} {b (hipotenusa)} ) y ( sin theta = dfrac {y (opuesto)} {b (hipotenusa)} )
En términos de ( theta ), (x = b cos theta ) y (y = b sin theta ). El punto ((x, y) ) ubicado en (C ) tiene coordenadas ((b cos theta, b sin theta) ). Usando el lado ((x − c) ) como una pata de un triángulo rectángulo y (y ) como la segunda pata, podemos encontrar la longitud de la hipotenusa (a ) usando el Teorema de Pitágoras. Por lo tanto,
( begin {array} {ll} a ^ 2 = {(x − c)} ^ 2 + y ^ 2 \ [4pt] ; ; ; ; ; = {(b cos theta − c)} ^ 2 + {(b sin theta)} ^ 2 & text {Sustituir} (b cos theta) text {for} x text {y} (b sin theta) text {para} y \ [4pt] ; ; ; ; ; ; = (b ^ 2 { cos} ^ 2 theta − 2bc cos theta + c ^ 2) + b ^ 2 { sin} ^ 2 theta & text {Expandir el cuadrado perfecto.} \ [4pt] ; ; ; ; ; = b ^ 2 { cos} ^ 2 theta + b ^ 2 { sin} ^ 2 theta + c ^ 2−2bc cos theta & text {Términos del grupo que señalan que} { cos} ^ 2 theta + { sin} ^ 2 theta = 1 \ [ 4pt] ; ; ; ; ; = b ^ 2 ({ cos} ^ 2 theta + { sin} ^ 2 theta) + c ^ 2−2bc cos theta & text {Factor out } b ^ 2 \ [4pt] end {array} )
(a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2−2bc cos theta )
La fórmula derivada es una de las tres ecuaciones de la Ley de cosenos. Las otras ecuaciones se encuentran de manera similar.
Ten en cuenta que siempre es útil dibujar el triángulo al resolver ángulos o lados. En un escenario del mundo real, intente dibujar un diagrama de la situación. A medida que surge más información, es posible que deba modificarse el diagrama. Haga esas modificaciones al diagrama y, al final, el problema será más fácil de resolver.
LA LEY DE LOS COSINOS
La Ley de cosenos establece que el cuadrado de cualquier lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de los otros dos lados y el coseno del ángulo incluido.
Para triángulos etiquetados como en la Figura ( PageIndex {3} ), con ángulos ( alpha ), ( beta ) y ( gamma ), y lados opuestos correspondientes (a ), (b ) y (c ), respectivamente, la Ley de cosenos se da como tres ecuaciones.
[a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2−2bc cos alpha ]
[b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2−2ac cos beta ]
[c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2−2ab cos gamma ]
Para resolver una medición del lado faltante, se necesita la medida del ángulo opuesto correspondiente.
Al resolver un ángulo, se necesita la medida del lado opuesto correspondiente. Podemos usar otra versión de la Ley de cosenos para resolver un ángulo.
[ cos alpha = dfrac {b ^ 2 + c ^ 2 − a ^ 2} {2bc} ]
[ cos beta = dfrac {a ^ 2 + c ^ 2 − b ^ 2} {2ac} ]
[ cos gamma = dfrac {a ^ 2 + b ^ 2 − c ^ 2} {2ab} ]
Cómo: dados dos lados y el ángulo entre ellos (SAS), encuentra las medidas del lado y los ángulos restantes de un triángulo
- Dibuja el triángulo. Identifica las medidas de los lados y ángulos conocidos. Use variables para representar las medidas de los lados y ángulos desconocidos.
- Aplica la Ley de cosenos para encontrar la longitud del lado o ángulo desconocido.
- Aplica la Ley de senos o cosenos para encontrar la medida de un segundo ángulo.
- Calcule la medida del ángulo restante.
Ejemplo ( PageIndex {1} ): Encontrar el lado desconocido y los ángulos de un triángulo SAS
Encuentre el lado desconocido y los ángulos del triángulo en la Figura ( PageIndex {4} ).
Solución
Primero, toma nota de lo que se da: dos lados y el ángulo entre ellos. Este acuerdo se clasifica como SAS y proporciona los datos necesarios para aplicar la Ley de cosenos.
Cada una de las tres leyes del coseno comienza con el cuadrado de un lado desconocido opuesto a un ángulo conocido. Para este ejemplo, el primer lado para resolver es el lado (b ), ya que conocemos la medida del ángulo opuesto ( beta ).
( begin {array} {ll} b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2−2ac cos beta \ [4pt] b ^ 2 = {10} ^ 2 + {12} ^ 2 −2 (10) (12) cos (30 °) & text {Sustituya las medidas por las cantidades conocidas.} \ [4pt] b ^ 2 = 100 + 144−240 left ( dfrac { sqrt { 3}} {2} right) & text {Evalúe el coseno y comience a simplificar.} \ [4pt] b ^ 2 = 244−120 sqrt {3} \ [4pt] b = sqrt {244 −120 sqrt {3}} & text {Utilice la propiedad de raíz cuadrada.} \ [4pt] b≈6.013 end {array} )
Debido a que estamos resolviendo para una longitud, usamos solo la raíz cuadrada positiva. Ahora que conocemos la longitud (b ), podemos usar la Ley de los senos para completar los ángulos restantes del triángulo. Resolviendo el ángulo ( alpha ), tenemos
( begin {array} {cc} dfrac { sin alpha} {a} = dfrac { sin beta} {b} \ [4pt] dfrac { sin alpha} { 10} = dfrac { sin (30 °)} {6.013} \ [4pt] sin alpha = dfrac {10 sin (30 °)} {6.013} & text {Multiplica ambos lados de la ecuación by} 10. \ [4pt] alpha = { sin} ^ {- 1} left ( dfrac {10 sin (30 °)} {6.013} right) & text {Encuentre el seno inverso de } dfrac {10 sin (30 °)} {6.013}. \ [4pt] alpha≈56.3 ° end {array} )
La otra posibilidad para ( alpha ) sería ( alpha = 180 ° -56.3 ° ≈123.7 ° ). En el diagrama original, ( alpha ) es adyacente al lado más largo, por lo que ( alpha ) es un ángulo agudo y, por lo tanto, (123.7 ° ) no tiene sentido. Tenga en cuenta que si elegimos aplicar la Ley de cosenos, llegaremos a una respuesta única. No tenemos que considerar las otras posibilidades, ya que el coseno es único para ángulos entre (0 ° ) y (180 ° ). Continuando con ( alpha≈56.3 ° ), podemos encontrar el tercer ángulo del triángulo.
[ begin {align *} gamma & = 180 ^ { circ} -30 ^ { circ} -56.3 ^ { circ} \ & aprox 93.7 ^ { circ} end {align * } ]
El conjunto completo de ángulos y lados es
( alpha≈56.3 ° ) (a = 10 )
( beta = 30 ° ) (b≈6.013 )
( gamma≈93.7 ° ) (c = 12 )
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Encuentra el lado y los ángulos faltantes del triángulo dado: ( alpha = 30 ° ), (b = 12 ), (c = 24 ).
- Respuesta
-
(a≈14.9 ), ( beta≈23.8 ° ), ( gamma≈126.2 ° ).
Ejemplo ( PageIndex {2} ): Resolver un ángulo de un triángulo SSS
Encuentra el ángulo ( alpha ) para el triángulo dado si lado (a = 20 ), lado (b = 25 ) y lado (c = 18 ).
Solución
Para este ejemplo, no tenemos ángulos. Podemos resolver cualquier ángulo usando la Ley de cosenos. Para resolver el ángulo ( alpha ), tenemos
( begin {array} {ll} a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2−2bc cos alpha \ [4pt] {20} ^ 2 = {25} ^ 2 + {18} ^ 2−2 (25) (18) cos alpha & text {Sustituya las medidas apropiadas.} \ [4pt] 400 = 625 + 324−900 cos alpha & text {Simplifique en cada paso.} \ [4pt] 400 = 949−900 cos alpha \ [4pt] −549 = −900 cos alpha & text {Isolate} cos alpha. \ [4pt] −549−900 = cos alpha \ [4pt] 0.61≈ cos alpha \ [4pt] 0.61≈ cos alpha & text {Encuentre el coseno inverso.} \ [4pt] alpha≈52.4 ° end {array} )
Ver Figura ( PageIndex {5} ).
Análisis
Debido a que el coseno inverso puede devolver cualquier ángulo entre (0 ) y (180 ) grados, no habrá casos ambiguos con este método.
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Dado (a = 5 ), (b = 7 ) y (c = 10 ), encuentra los ángulos faltantes.
- Respuesta
-
( alpha≈27.7 ° ), ( beta≈40.5 ° ), ( gamma≈111.8 ° )
Solución de problemas aplicados utilizando la ley de cosenos
Así como la Ley de senos proporcionó las ecuaciones apropiadas para resolver una serie de aplicaciones, la Ley de cosenos es aplicable a situaciones en las que los datos dados se ajustan a los modelos de coseno. Podemos ver esto en los campos de navegación, topografía, astronomía y geometría, solo por nombrar algunos.
Ejemplo ( PageIndex {3A} ): Uso de la ley de cosenos para resolver un problema de comunicación
En muchos teléfonos celulares con GPS, se puede dar una ubicación aproximada antes de recibir la señal GPS. Esto se logra a través de un proceso llamado triangulación, que funciona utilizando las distancias desde dos puntos conocidos. Supongamos que hay dos torres de telefonía celular dentro del alcance de un teléfono celular. Las dos torres están ubicadas (6000 ) pies separadas a lo largo de una carretera recta, de este a oeste, y el teléfono celular está al norte de la carretera. Según el retraso de la señal, se puede determinar que la señal está a (5050 ) pies de la primera torre y (2420 ) pies de la segunda torre. Determine la posición del teléfono celular al norte y al este de la primera torre, y determine qué tan lejos está de la carretera.
Solución
Para simplificar, comenzamos dibujando un diagrama similar a la Figura ( PageIndex {6} ) y etiquetando nuestra información dada.
Usando la Ley de cosenos, podemos resolver el ángulo ( theta ). Recuerda que la Ley de los cosenos usa el cuadrado de un lado para encontrar el coseno del ángulo opuesto. Para este ejemplo, dejemos (a = 2420 ), (b = 5050 ) y (c = 6000 ). Por lo tanto, ( theta ) corresponde al lado opuesto (a = 2420 ).
[ begin {align *} a ^ 2 & = b ^ 2 + c ^ 2−2bc cos theta \ [4pt] {(2420)} ^ 2 & = {(5050)} ^ 2 + {(6000)} ^ 2−2 (5050) (6000) cos theta \ [4pt] cos theta & ≈ 0.9183 \ [4pt] cos theta & ≈ 0.9183 \ [4pt] theta & ≈ { cos} ^ {- 1} (0.9183) \ [4pt] theta & ≈ 23.3 ° end {align *} ]
Para responder las preguntas sobre la posición del teléfono al norte y al este de la torre, y la distancia a la carretera, coloque una perpendicular desde la posición del teléfono celular, como en la Figura ( PageIndex {7} ). Esto forma dos triángulos rectángulos, aunque solo necesitamos el triángulo rectángulo que incluye la primera torre para este problema.
Usando el ángulo ( theta = 23.3 ) ° y las identidades trigonométricas básicas, podemos encontrar las soluciones. Así
[ begin {align *} cos (23.3 °) & = dfrac {x} {5050} \ [4pt] x & = 5050 cos (23.3 °) \ [4pt] x & ≈ 4638.15 , pies \ [4pt] sin (23.3 °) & = dfrac {y} {5050} \ [4pt] y & = 5050 sin (23.3 °) \ [4pt] y & ≈1997.5 , pies fin {alinear *} ]
El teléfono celular está aproximadamente (4638 ) pies al este y (1998 ) pies al norte de la primera torre, y (1998 ) pies de la carretera.
Ejemplo ( PageIndex {3B} ): Calcular distancia recorrida usando un triángulo SAS
Volviendo a nuestro problema al comienzo de esta sección, supongamos que un barco sale del puerto, viaja (10 ) millas, gira (20 ) grados y recorre otras (8 ) millas. ¿A qué distancia del puerto está el barco? El diagrama se repite aquí en la Figura ( PageIndex {8} ).
Solución
El bote giró 20 grados, por lo que el ángulo obtuso del triángulo no recto es el ángulo suplementario, (180 ° −20 ° = 160 ° ). Con esto, podemos utilizar la Ley de los cosenos para encontrar el lado faltante del triángulo obtuso: la distancia del barco al puerto.
[ begin {align *} x ^ 2 & = 8 ^ 2 + {10} ^ 2−2 (8) (10) cos (160 °) \ [4pt] x ^ 2 & = 314.35 \ [4pt] x & = sqrt {314.35} \ [4pt] x & ≈17.7 , miles end {align *} ]
El barco está a aproximadamente (17.7 ) millas del puerto.
Usando la fórmula de Heron para encontrar el área de un triángulo
Ya aprendimos cómo encontrar el área de un triángulo oblicuo cuando conocemos dos lados y un ángulo. También conocemos la fórmula para encontrar el área de un triángulo usando la base y la altura. Sin embargo, cuando conocemos los tres lados, podemos usar la fórmula de Heron en lugar de encontrar la altura. Heron of Alexandria fue un geómetra que vivió durante el siglo I d. C. Descubrió una fórmula para encontrar el área de triángulos oblicuos cuando se conocen tres lados.
FORMULA DE HERON
La fórmula de Heron encuentra el área de triángulos oblicuos en los que se conocen los lados (a ), (b ) y (c ).
[Área = sqrt {s (s − a) (s − b) (s − c)} ]
donde (s = dfrac {(a + b + c)} {2} ) es la mitad del perímetro del triángulo, a veces llamado semiperímetro.
Ejemplo ( PageIndex {4} ): Uso de la fórmula de Heron para encontrar el área de un triángulo dado
Encuentra el área del triángulo en la Figura ( PageIndex {9} ) usando la fórmula de Heron.
Solución
Primero, calculamos (s ).
[ begin {align *} s & = dfrac {(a + b + c)} {2} \ s & = dfrac {(10 + 15 + 7)} {2} \ & = 16 end {align *} ]
Luego aplicamos la fórmula.
[ begin {align *} Area & = sqrt {s (sa) (sb) (sc)} \ Area & = sqrt {16 (16-10) (16-15) (16-7) } \ Área y aprox 29.4 end {align *} ]
El área es de aproximadamente (29.4 ) unidades cuadradas.
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Usa la fórmula de Heron para encontrar el área de un triángulo con lados de longitudes (a = 29.7 ) pies, (b = 42.3 ) pies y (c = 38.4 ) pies.
- Respuesta
-
Área = (552 ) pies cuadrados
Ejemplo ( PageIndex {5} ): Aplicación de la fórmula de Heron a un problema del mundo real
Un desarrollador de la ciudad de Chicago quiere construir un edificio compuesto por lofts de artistas en un lote triangular bordeado por Rush Street, Wabash Avenue y Pearson Street. El frente a lo largo de Rush Street es de aproximadamente (62.4 ) metros, a lo largo de Wabash Avenue es de aproximadamente (43.5 ) metros, y a lo largo de Pearson Street es de aproximadamente (34.1 ) metros. ¿Cuántos metros cuadrados hay disponibles para el desarrollador? Consulte la Figura ( PageIndex {10} ) para obtener una vista de la propiedad de la ciudad.
Solución
Encuentre la medida para (s ), que es la mitad del perímetro.
[ begin {align *} s & = dfrac {(62.4 + 43.5 + 34.1)} {2} \ s & = 70 ; m \ text {Aplicar la fórmula de Heron.} \ Area & = sqrt {70 (70-62.4) (70-43.5) (70-34.1)} \ Area & = sqrt {506,118.2} \ Area & approx 711.4 end {align *} ]
El desarrollador tiene aproximadamente (711.4 ) metros cuadrados.
Ejercicio ( PageIndex {4} )
Encuentra el área de un triángulo dado (a = 4.38 ) pies, (b = 3.79 ) pies y (c = 5.22 ) pies.
- Respuesta
-
aproximadamente (8.15 ) pies cuadrados
Medios
Acceda a estos recursos en línea para instrucción adicional y práctica con la Ley de cosenos.