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las matematicas

10.3: Usar propiedades de multiplicación de exponentes (Parte 2)

                 

Simplifique expresiones usando el producto a una propiedad de potencia

 

Ahora veremos una expresión que contiene un producto que se eleva a un poder. Busca un patrón.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
(2x) 3
¿Qué significa esto? 2x • 2x • 2x
Agrupamos los factores similares. 2 • 2 • 2 • x • x • x
¿Cuántos factores de 2 y de x? 2 3 • x 3
Observe que cada factor se elevó a la potencia. (2x) 3 es 2 3 • x 3
Escribimos: $$ begin {split} & (2x) ^ {3} \ & 2 ^ {3} cdot x ^ {3} end {split} $$
 

El exponente se aplica a cada uno de los factores. Esto lleva al Producto a una Propiedad de Potencia para Exponentes.

 
 

Definición: Producto a una propiedad de potencia de exponentes

 

Si a y b son números reales ym es un número entero, entonces

 

$$ (ab) ^ {m} = a ^ {m} b ^ {m} tag {10.2.27} $$

 

Para elevar un producto a una potencia, eleva cada factor a esa potencia.

 
 

Un ejemplo con números ayuda a verificar esta propiedad:

 

$$ begin {split} (2 cdot 3) ^ {2} & stackrel {?} {=} 2 ^ {2} cdot 3 ^ {2} \ 6 ^ {2} & stackrel {?} {=} 4 cdot 9 \ 36 & stackrel {?} {=} 36 ; marca de verificación end {split} $$

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} ):

 

Simplifique: (−11x) 2 .

 

Solución

                                                                                                              
Usa el poder de una propiedad de producto, (ab) m = a m b m . $$ (- 11) ^ { textcolor {red} {2}} x ^ { textcolor {red} {2}} tag {10.2.28} $$
Simplificar. $$ 121x ^ {2} tag {10.2.29} $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} ):

 

Simplifique: (−14x) 2 .

 
     
Respuesta
     
     

196x 2

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} ):

 

Simplifique: (−12a) 2 .

 
     
Respuesta
     
     

144a 2

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} ):

 

Simplifique: (3xy) 3 .

 

Solución

                                                                                                    
Eleva cada factor a la tercera potencia. $$ 3 ^ { textcolor {red} {3}} x ^ { textcolor {red} {3}} y ^ { textcolor {red} {3}} tag {10.2.30} $$ [ 19459013]          
Simplificar. $$ 27x ^ {3} y ^ {3} tag {10.2.31} $$
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {21} ):

 

Simplifique: (−4xy) 4 .

 
     
Respuesta
     
     

256x 4 y 4

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {22} ):

 

Simplifique: (6xy) 3 .

 
     
Respuesta
     
     

216x 3 y 3

     
 
 
 

Simplifique expresiones mediante la aplicación de varias propiedades

 

Ahora tenemos tres propiedades para multiplicar expresiones con exponentes. Resumámoslos y luego haremos algunos ejemplos que usan más de una de las propiedades.

 
 

Definición: Propiedades de los exponentes

 

Si a, b son números reales ym, n son números enteros, entonces

                                                                                                                                                              
Propiedad del producto a m • a n = a m + n
Propiedad de energía (a m ) n = a m • n
Producto a una propiedad de potencia (ab) m = a m b m
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} ):

 

Simplifique: (x 2 ) 6 (x 5 ) 4 .

 

Solución

                                                                                                              
Usa la propiedad Power. x 12 • x 20
Suma los exponentes. x 32
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {23} ):

 

Simplifique: (x 4 ) 3 (x 7 ) 4 .

 
     
Respuesta
     
     

x 40

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {24} ):

 

Simplifique: (y 9 ) 2 (y 8 ) 3 .

 
     
Respuesta
     
     

y 42

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} ):

 

Simplifique: (−7x 3 y 4 ) 2 .

 

Solución

                                             ]                                                                  
Lleva cada factor a la segunda potencia. (−7) 2 (x 3 ) 2 (y 4 ) 2
Usa la propiedad Power. 49x 6 y 8
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {25} ):

 

Simplifique: (−8x 4 y 7 ) 3 .

 
     
Respuesta
     
     

-512x 12 y 21

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {26} ):

 

Simplifique: (−3a 5 b 6 ) 4 .

 
     
Respuesta
     
     

81a 20 b 24

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {14} ):

 

Simplifique: (6n) 2 (4n 3 ).

 

Solución

                                                                                                                                                                                                              
Eleva 6n a la segunda potencia. 6 2 n 2 • 4n 3
Simplificar. 36n 2 • 4n 3
Use la propiedad conmutativa. 36 • 4 • n 2 • n 3
Multiplica las constantes y suma los exponentes. 144n 5
 

Observe que en el primer monomio, el exponente estaba fuera del paréntesis y se aplicaba a ambos factores dentro. En el segundo monomio, el exponente estaba dentro de los paréntesis y, por lo tanto, solo se aplicaba a la n.

 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {27} ):

 

Simplifique: (7n) 2 (2n 12 ).

 
     
Respuesta
     
     

98n 14

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {28} ):

 

Simplifique: (4m) 2 (3m 3 ).

 
     
Respuesta
     
     

48m 5

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {15} ):

 

Simplifique: (3p 2 q) 4 (2pq 2 ) 3 .

 

Solución

                                                                                                                                                                                                              
Usa el poder de una propiedad de producto. 3 4 (p 2 ) 4 q 4 • 2 3 p 3 (q 2 ) 3
Usa la propiedad Power. 81p 8 q 4 • 8p 3 q 6
Use la propiedad conmutativa. 81 • 8 • p 8 • p 3 • q 4 • q 6
Multiplica las constantes y suma los exponentes para cada variable. 648p 11 q 10
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {29} ):

 

Simplifique: (u 3 v 2 ) 5 (4uv 4 ) 3 .

 
     
Respuesta
     
     

64u 18 v 22

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {30} ):

 

Simplifique: (5x 2 y 3 ) 2 (3xy 4 ) 3 .

 
     
Respuesta
     
     

675x 7 y 18

     
 
 
 
 

Multiplicar monomios

 

Dado que un monomio es una expresión algebraica, podemos usar las propiedades para simplificar expresiones con exponentes para multiplicar los monomios.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {16} ):

 

Multiplicar: (4x 2 ) (- 5x 3 ).

 

Solución

                                                                                                              
Use la propiedad conmutativa para reorganizar los factores. 4 • (−5) • x 2 • x 3
Multiplica. −20x 5
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {31} ):

 

Multiplicar: (7x 7 ) (- 8x 4 ).

 
     
Respuesta
     
     

-56x 11

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {32} ):

 

Multiplicar: (−9y 4 ) (- 6y 5 ).

 
     
Respuesta
     
     

54 años 9

     
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {17} ):

 

Multiplicar: ( left ( dfrac {3} {4} c ^ {3} d right) ) (12cd 2 ).

 

Solución

                                                                                                              
Use la propiedad conmutativa para reorganizar los factores. ( dfrac {3} {4} ) • 12 • c 3 • c • d • d 2
Multiplica. 9c 4 d 3
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {33} ):

 

Multiplicar: ( left ( dfrac {4} {5} m ^ {4} n ^ {3} d right) ) (15mn 3 ).

 
     
Respuesta
     
     

12m 5 n 6

     
 
 
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {34} ):

 

Multiplicar: ( left ( dfrac {2} {3} p ^ {5} q d right) ) (18p 6 q 7 ).

 
     
Respuesta
     
     

12p 11 q 8

     
 
 
 
 

La práctica hace la perfección

 

Simplificar expresiones con exponentes

 

En los siguientes ejercicios, simplifica cada expresión con exponentes.

 
         
  1. 4 5
  2.      
  3. 10 3
  4.      
  5. ( left ( dfrac {1} {2} right) ^ {2} )
  6.      
  7. ( left ( dfrac {3} {5} right) ^ {2} )
  8.      
  9. (0,2) 3
  10.      
  11. (0,4) 3
  12.      
  13. (−5) 4
  14.      
  15. (−3) 5
  16.      
  17. −5 4
  18.      
  19. −3 5
  20.      
  21. −10 4
  22.      
  23. −2 6
  24.      
  25. (- left ( dfrac {2} {3} right) ^ {3} )
  26.      
  27. (- left ( dfrac {1} {4} right) ^ {4} )
  28.      
  29. −0,5 2
  30.      
  31. −0,1 4
  32.  
 

Simplificar expresiones usando la propiedad del producto de los exponentes

 

En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión usando la Propiedad del producto de los exponentes.

 
         
  1. x 3 • x 6
  2.      
  3. m 4 • m 2
  4.      
  5. a • a 4
  6.      
  7. y 12 • y
  8.      
  9. 3 5 • 3 9
  10.      
  11. 5 10 • 5 6
  12.      
  13. z • z 2 • z 3
  14.      
  15. a • a 3 • a 5
  16.      
  17. x a • x 2
  18.      
  19. y p • y 3
  20.      
  21. y a • y b
  22.      
  23. x p • x q
  24.  
 

Simplificar expresiones usando la propiedad de potencia de los exponentes

 

En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión usando la Propiedad de potencia de los exponentes.

 
         
  1. (u 4 ) 2
  2.      
  3. (x 2 ) 7
  4.      
  5. (y 5 ) 4
  6.      
  7. (a 3 ) 2
  8.      
  9. (10 2 ) 6
  10.      
  11. (2 8 ) 3
  12.      
  13. (x 15 ) 6
  14.      
  15. (y 12 ) 8
  16.      
  17. (x 2 ) y
  18.      
  19. (y 3 ) x
  20.      
  21. (5 x ) y
  22.      
  23. (7 a ) b
  24.  
 

Simplifique expresiones usando el producto a una propiedad de potencia

 

En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión usando la Propiedad del Producto a una Potencia.

 
         
  1. (5a) 2
  2.      
  3. (7x) 2
  4.      
  5. (−6m) 3
  6.      
  7. (−9n) 3
  8.      
  9. (4rs) 2
  10.      
  11. (5ab) 3
  12.      
  13. (4xyz) 4
  14.      
  15. (−5abc) 3
  16.  
 

Simplifique expresiones mediante la aplicación de varias propiedades

 

En los siguientes ejercicios, simplifica cada expresión.

 
         
  1. (x 2 ) 4 • (x 3 ) 2
  2.      
  3. (y 4 ) 3 • (y 5 ) 2
  4.      
  5. (a 2 ) 6 • (a 3 ) 8
  6.      
  7. (b 7 ) 5 • (b 2 ) 6
  8.      
  9. (3x) 2 (5x)
  10.      
  11. (2 años) 3 (6 años)
  12.      
  13. (5a) 2 (2a) 3
  14.      
  15. (4b) 2 (3b) 3
  16.      
  17. (2 m 6 ) 3
  18.      
  19. (3 años 2 ) 4
  20.      
  21. (10x 2 y) 3
  22.      
  23. (2 millones 4 ) 5
  24.      
  25. (−2a 3 b 2 ) 4
  26.      
  27. (−10u 2 v 4 ) 3
  28.      
  29. ( left ( dfrac {2} {3} x ^ {2} y right) ^ {3} )
  30.      
  31. ( left ( dfrac {7} {9} p q ^ {4} right) ^ {2} )
  32.      
  33. (8a 3 ) 2 (2a) 4
  34.      
  35. (5r 2 ) 3 (3r) 2
  36.      
  37. (10p 4 ) 3 (5p 6 ) 2
  38.      
  39. (4x 3 ) 3 (2x 5 ) 4
  40.      
  41. ( left ( dfrac {1} {2} x ^ {2} y ^ {3} right) ^ {4} ) (4x 5 y 3 [ 19459015]) 2
  42.      
  43. ( left ( dfrac {1} {3} m ^ {3} n ^ {2} right) ^ {4} ) (9m 8 n 3 [ 19459015]) 2
  44.      
  45. (3 m 2 n) 2 (2 millones 5 ) 4
  46.      
  47. (2pq 4 ) 3 (5p 6 q) 2
  48.  
 

Multiplicar monomios

 

En los siguientes ejercicios, multiplique los siguientes monomios.

 
         
  1. (12x 2 ) (- 5x 4 )
  2.      
  3. (−10y 3 ) (7y 2 )
  4.      
  5. (−8u 6 ) (- 9u)
  6.      
  7. (−6c 4 ) (- 12c)
  8.      
  9. ( left ( dfrac {1} {5} r ^ {8} right) ) (20r 3 )
  10.      
  11. ( left ( dfrac {1} {4} a ^ {5} right) ) (36a 2 )
  12.      
  13. (4a 3 b) (9a 2 b 6 )
  14.      
  15. (6m 4 n 3 ) (7mn 5 )
  16.      
  17. ( left ( dfrac {4} {7} x y ^ {2} right) ) (14xy 3 )
  18.      
  19. ( left ( dfrac {5} {8} u ^ {3} v right) ^ {3} ) (24u 5 v)
  20.      
  21. ( left ( dfrac {2} {3} x ^ {2} y right) left ( dfrac {3} {4} x y ^ {2} right) )
  22.      
  23. ( left ( dfrac {3} {5} m ^ {3} n ^ {2} right) left ( dfrac {5} {9} m ^ {2} n ^ {3} right) )
  24.  
 

Matemáticas cotidianas

 
         
  1. Janet envía un chiste por a seis de sus amigos y les dice que lo reenvíen a seis de sus amigos, quienes lo envían a seis de sus amigos, y así sucesivamente. El número de personas que reciben el en la segunda ronda es 6 2 , en la tercera ronda es 6 3 , como se muestra en la tabla. ¿Cuántas personas recibirán el en la octava ronda? Simplifique la expresión para mostrar la cantidad de personas que reciben el .
  2.  
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           
Ronda Número de personas
1 6
2 6 2
3 6 3
8 ?
 
         
  1. Salario El jefe de Raúl le da un aumento del 5% cada año en su cumpleaños. Esto significa que cada año, el salario de Raúl es 1.05 veces el salario del año pasado. Si su salario original fue de $ 40,000, su salario después de 1 año fue de $ 40,000 (1.05), después de 2 años fue de $ 40,000 (1.05) 2 , después de 3 años fue de $ 40,000 (1.05) 3 , como se muestra en la tabla a continuación. ¿Cuál será el salario de Raúl después de 10 años? Simplifique la expresión para mostrar el salario de Raúl en dólares.
  2.  
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           
Año Salario
1 $ 40,000 (1.05)
2 $ 40,000 (1.05) 2
3 $ 40,000 (1.05) 3
10
 

Ejercicios de escritura

 
         
  1. Use la propiedad del producto para exponentes para explicar por qué x • x = x 2 .
  2.      
  3. Explica por qué −5 3 = (−5) 3 pero −5 4 ≠ (−5) 4 .
  4.      
  5. Jorge piensa que ( left ( dfrac {1} {2} right) ^ {2} ) es 1. ¿Qué tiene de malo su razonamiento?
  6.      
  7. Explica por qué x 3 • x 5 es x 8 , y no x 15 .
  8.  
 

Autocomprobación

 

(a) Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

 

CNX_BMath_Figure_AppB_060.jpg

 

(b) Después de revisar esta lista de verificación, ¿qué hará para tener confianza en todos los objetivos?

 
                                  
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