Objetivos de aprendizaje
- Trazar puntos usando coordenadas polares.
- Convertir de coordenadas polares a coordenadas rectangulares.
- Convertir de coordenadas rectangulares a coordenadas polares.
- Transformar ecuaciones entre formas polares y rectangulares.
- Identifica y grafica ecuaciones polares mediante la conversión a ecuaciones rectangulares.
A más de (12 ) kilómetros del puerto, un velero se encuentra con mal tiempo y es arrastrado por un viento de nudo (16 ) (ver Figura ( PageIndex {1} )). ¿Cómo puede el marinero indicar su ubicación a la Guardia Costera? En esta sección, investigaremos un método para representar la ubicación que es diferente de una cuadrícula de coordenadas estándar.
Trazado de puntos utilizando coordenadas polares
Cuando pensamos en trazar puntos en el plano, generalmente pensamos en coordenadas rectangulares ((x, y) ) en el plano de coordenadas cartesianas . Sin embargo, hay otras formas de escribir un par de coordenadas y otros tipos de sistemas de cuadrícula. En esta sección, presentamos las coordenadas polares, que son puntos etiquetados ((r, theta) ) y trazados en una cuadrícula polar. La cuadrícula polar se representa como una serie de círculos concéntricos que se irradian desde el polo, o el origen del plano de coordenadas.
La cuadrícula polar se escala como el círculo unitario con el eje positivo (x ) – ahora visto como el eje polar y el origen como el polo. La primera coordenada (r ) es el radio o la longitud del segmento de línea dirigida desde el polo. El ángulo ( theta ), medido en radianes, indica la dirección de (r ). Nos movemos en sentido antihorario desde el eje polar en un ángulo de ( theta ), y medimos un segmento de línea dirigida de la longitud de (r ) en la dirección de ( theta ). Aunque medimos ( theta ) primero y luego (r ), el punto polar se escribe con la coordenada (r ) primero. Por ejemplo, para trazar el punto ( left (2, dfrac { pi} {4} right) ), moveríamos las unidades ( dfrac { pi} {4} ) en sentido antihorario y luego una longitud de (2 ) desde el poste. Este punto se traza en la cuadrícula en la Figura ( PageIndex {2} ).
Ejemplo ( PageIndex {1} ): Trazar un punto en la cuadrícula polar
Trace el punto ( left (3, dfrac { pi} {2} right) ) en la cuadrícula polar.
Solución
El ángulo ( dfrac { pi} {2} ) se encuentra barriendo en una dirección antihoraria (90 ° ) desde el eje polar. El punto se encuentra a una longitud de (3 ) unidades desde el poste en la dirección ( dfrac { pi} {2} ), como se muestra en la Figura ( PageIndex {3} ).
Ejercicio ( PageIndex {1} )
Trace el punto ( left (2, dfrac { pi} {3} right) ) en la cuadrícula polar.
- Respuesta
-
Figura ( PageIndex {4} )
Ejemplo ( PageIndex {2} ): Trazado de un punto en el Sistema de coordenadas polares con un componente negativo
Trace el punto ( left (−2, dfrac { pi} {6} right) ) en la cuadrícula polar.
Solución
Sabemos que ( dfrac { pi} {6} ) se encuentra en el primer cuadrante. Sin embargo, (r = −2 ). Podemos acercarnos a trazar un punto con un (r ) negativo de dos maneras:
- Trace el punto ( left (2, dfrac { pi} {6} right) ) moviendo ( dfrac { pi} {6} ) en sentido antihorario y extendiendo un segmento de línea (2 ) unidades en el primer cuadrante. Luego, vuelva sobre el segmento de línea dirigida a través del poste y continúe (2 ) unidades en el tercer cuadrante;
- Mueve ( dfrac { pi} {6} ) en el sentido contrario a las agujas del reloj, y dibuja el segmento de línea dirigida desde las unidades del polo (2 ) en la dirección negativa, hacia el tercer cuadrante.
Ver Figura ( PageIndex {5a} ). Compare esto con el gráfico de la coordenada polar ((2, π6) ) que se muestra en la Figura ( PageIndex {5b} ).
Ejercicio ( PageIndex {2} )
Trace los puntos ( left (3, – dfrac { pi} {6} right) ) y ( left (2, dfrac {9 pi} {4} right) ) en la misma cuadrícula polar.
- Respuesta
-
.jpg?revision=1)
Figura ( PageIndex {6} )
Conversión de coordenadas polares a coordenadas rectangulares
Cuando se le da un conjunto de coordenadas polares , es posible que necesitemos convertirlas en coordenadas rectangulares. Para hacerlo, podemos recordar las relaciones que existen entre las variables (x ), (y ), (r ) y ( theta ).
( cos theta = dfrac {x} {r} rightarrow x = r cos theta )
( sin theta = dfrac {y} {r} rightarrow y = r sin theta )
Al soltar una perpendicular desde el punto en el plano al eje x- se forma un triángulo rectángulo, como se ilustra en la Figura ( PageIndex {7} ). Una manera fácil de recordar las ecuaciones anteriores es pensar en ( cos theta ) como el lado adyacente sobre la hipotenusa y ( sin theta ) como el lado opuesto sobre la hipotenusa.
CONVERTIR DE COORDENADAS POLARES A COORDINADAS RECTANGULARES
Para convertir coordenadas polares ((r, theta) ) en coordenadas rectangulares ((x, y) ), deje que
[ cos theta = dfrac {x} {r} rightarrow x = r cos theta ]
[ sin theta = dfrac {y} {r} rightarrow y = r sin theta ]
Cómo: Dadas las coordenadas polares, convertir a coordenadas rectangulares.
- Dada la coordenada polar ((r, theta) ), escriba (x = r cos theta ) y (y = r sin theta ).
- Evalúa ( cos theta ) y ( sin theta ).
- Multiplica ( cos theta ) por (r ) para encontrar la coordenada (x ) – de la forma rectangular.
- Multiplica ( sin theta ) por (r ) para encontrar la coordenada (y ) – de la forma rectangular.
Ejemplo ( PageIndex {3A} ): Escribir coordenadas polares como coordenadas rectangulares
Escribe las coordenadas polares ( left (3, dfrac { pi} {2} right) ) como coordenadas rectangulares.
Solución
Usa las relaciones equivalentes.
[ begin {align *} x & = r cos theta \ x & = 3 cos dfrac { pi} {2} \ & = 0 \ y & = r sin theta \ y & = 3 sin dfrac { pi} {2} \ & = 3 end {align *} ]
Las coordenadas rectangulares son ((0,3) ). Ver Figura ( PageIndex {8} ).
Ejemplo ( PageIndex {3B} ): Escribir coordenadas polares como coordenadas rectangulares
Escribe las coordenadas polares ((- 2,0) ) como coordenadas rectangulares.
Solución
Ver Figura ( PageIndex {9} ). Escribiendo las coordenadas polares como rectangulares, tenemos
[ begin {align *} x & = r cos theta \ x & = -2 cos (0) \ & = -2 \ y & = r sin theta \ y & = -2 sin (0) \ & = 0 end {align *} ]
Las coordenadas rectangulares también son ((- 2,0) ).
Ejercicio ( PageIndex {3} )
Escribe las coordenadas polares ( left (−1, dfrac {2 pi} {3} right) ) como coordenadas rectangulares.
- Respuesta
-
((x, y) = left ( dfrac {1} {2}, – dfrac { sqrt {3}} {2} right) )
Conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas polares
Para convertir coordenadas rectangulares en coordenadas polares, utilizaremos otras dos relaciones familiares. Con esta conversión, sin embargo, debemos ser conscientes de que un conjunto de coordenadas rectangulares producirá más de un punto polar.
CONVERTIR DE COORDENADAS RECTANGULARES A COORDENADAS POLARES
La conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas polares requiere el uso de una o más de las relaciones ilustradas en la Figura ( PageIndex {10} ).
( cos theta = dfrac {x} {r} ) o (x = r cos theta )
( sin theta = dfrac {y} {r} ) o (y = r sin theta )
(r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 )
( tan theta = dfrac {y} {x} )
Ejemplo ( PageIndex {4} ): Escribir coordenadas rectangulares como coordenadas polares
Convierta las coordenadas rectangulares ((3,3) ) en coordenadas polares.
Solución
Vemos que el punto original ((3,3) ) está en el primer cuadrante. Para encontrar ( theta ), use la fórmula ( tan theta = dfrac {y} {x} ). Esto da
[ begin {align *} tan theta & = dfrac {3} {3} \ tan theta & = 1 \ { tan} ^ {- 1} (1) & = dfrac { pi} {4} end {align *} ]
Para encontrar (r ), sustituimos los valores de (x ) y (y ) en la fórmula (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ). Sabemos que (r ) debe ser positivo, ya que ( dfrac { pi} {4} ) está en el primer cuadrante. Así
[ begin {align *} r & = sqrt {3 ^ 2 + 3 ^ 2} \ r & = sqrt {9 + 9} \ r & = sqrt {18} \ & = 3 sqrt {2} end {align *} ]
Entonces, (r = 3 sqrt {2} ) y ( theta = dfrac { pi} {4} ), dándonos el punto polar ((3 sqrt {2}, dfrac { pi} {4}) ). Ver Figura ( PageIndex {11} ).
Análisis
Hay otros conjuntos de coordenadas polares que serán las mismas que nuestra primera solución. Por ejemplo, los puntos ( left (−3 sqrt {2}, dfrac {5 pi} {4} right) ) y ( left (3 sqrt {2}, – dfrac { 7 pi} {4} right) ) coincidirá con la solución original de ( left (3 sqrt {2}, dfrac { pi} {4} right) ). El punto ( left (−3 sqrt {2}, dfrac {5 pi} {4} right) ) indica un movimiento adicional en sentido antihorario por ( pi ), que está directamente opuesto a ( dfrac { pi} {4} ). El radio se expresa como (- 3 sqrt {2} ). Sin embargo, el ángulo ( dfrac {5 pi} {4} ) se encuentra en el tercer cuadrante y, como (r ) es negativo, extendemos el segmento de línea dirigida en la dirección opuesta, dentro del primer cuadrante . Este es el mismo punto que ( left (3 sqrt {2}, dfrac { pi} {4} right) ). El punto ( left (3 sqrt {2}, – dfrac {7 pi} {4} right) ) es un movimiento adicional en sentido horario por (- dfrac {7 pi} {4} ), desde ( dfrac { pi} {4} ). El radio, (3 sqrt {2} ), es el mismo.
Transformando ecuaciones entre formas polares y rectangulares
Ahora podemos convertir coordenadas entre forma polar y rectangular. Convertir ecuaciones puede ser más difícil, pero puede ser beneficioso poder convertir entre las dos formas. Dado que hay varias ecuaciones polares que no se pueden expresar claramente en forma cartesiana, y viceversa, podemos usar los mismos procedimientos que usamos para convertir puntos entre los sistemas de coordenadas. Luego podemos usar una calculadora gráfica para graficar la forma rectangular o la forma polar de la ecuación.
Cómo: dada una ecuación en forma polar, graficarla usando una calculadora gráfica
- Cambie el MODO a POL , que representa la forma polar.
- Presione el botón Y = para que aparezca una pantalla que permita la entrada de seis ecuaciones: (r_1 ), (r_2 ), …, (r_6 ).
- Ingrese la ecuación polar, establezca igual a (r ).
- Presione GRÁFICO .
Ejemplo ( PageIndex {5A} ): Escribir una ecuación cartesiana en forma polar
Escribe la ecuación cartesiana (x ^ 2 + y ^ 2 = 9 ) en forma polar.
Solución
El objetivo es eliminar (x ) e (y ) de la ecuación e introducir (r ) y ( theta ). Idealmente, escribiríamos la ecuación (r ) en función de ( theta ). Para obtener la forma polar, utilizaremos las relaciones entre ((x, y) ) y ((r, theta) ). Como (x = r cos theta ) y (y = r sin theta ), podemos sustituir y resolver (r ).
[ begin {align *} {(r cos theta)} ^ 2 + {(r sin theta)} ^ 2 & = 9 \ [4pt] r ^ 2 { cos} ^ 2 theta + r ^ 2 { sin} ^ 2 theta & = 9 \ [4pt] r ^ 2 ({ cos} ^ 2 theta + { sin} ^ 2 theta) & = 9 \ [4pt] r ^ 2 (1) & = 9 && text {Sustituir} { cos} ^ 2 theta + { sin} ^ 2 theta = 1 \ [4pt] r & = pm 3 && text {Use la propiedad de raíz cuadrada.} End {align *} ]
Por lo tanto, (x ^ 2 + y ^ 2 = 9 ), (r = 3 ) y (r = −3 ) deberían generar el mismo gráfico. Ver Figura ( PageIndex {12} ).
Para graficar un círculo en forma rectangular, primero debemos resolver (y ).
[ begin {align *} x ^ 2 + y ^ 2 & = 9 \ y ^ 2 & = 9-x ^ 2 \ y & = pm sqrt {9-x ^ 2} end {align *} ]
Tenga en cuenta que se trata de dos funciones separadas, ya que un círculo falla la prueba de línea vertical. Por lo tanto, necesitamos ingresar las raíces cuadradas positivas y negativas en la calculadora por separado, como dos ecuaciones en la forma (Y_1 = sqrt {9 − x ^ 2} ) y (Y_2 = – sqrt {9 − x ^ 2} ). Presione GRÁFICO.
Ejemplo ( PageIndex {5B} ): Reescribir una ecuación cartesiana como una ecuación polar
Reescribe la ecuación cartesiana (x ^ 2 + y ^ 2 = 6y ) como una ecuación polar.
Solución
Esta ecuación parece similar al ejemplo anterior, pero requiere diferentes pasos para convertirla.
Todavía podemos seguir los mismos procedimientos que ya hemos aprendido y hacer las siguientes sustituciones:
( begin {array} {ll} r ^ 2 = 6y & text {Use} x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2. \ r ^ 2 = 6r sin theta & text {Sustituir} y = r sin theta. \ r ^ 2−6r sin theta = 0 & text {Establecer igual a} 0. \ r (r − 6 sin theta) = 0 & text {Factorizar y resolver.} \ r = 0 & text {Rechazamos} r = 0 text {, ya que solo representa un punto,} (0,0). \ text {or} r = 6 sin theta end {array} )
Por lo tanto, las ecuaciones (x ^ 2 + y ^ 2 = 6y ) y (r = 6 sin theta ) deberían darnos la misma gráfica. Ver Figura ( PageIndex {13} ).
La ecuación cartesiana o rectangular se representa en la cuadrícula rectangular, y la ecuación polar se representa en la cuadrícula polar. Claramente, los gráficos son idénticos.
Ejercicio ( PageIndex {4A} ): reescribir una ecuación cartesiana en forma polar
Reescribe la ecuación cartesiana (y = 3x + 2 ) como una ecuación polar.
- Respuesta
-
Usaremos las relaciones (x = r cos theta ) y (y = r sin theta ).
[ begin {align *} y & = 3x + 2 \ [4pt] r sin theta & = 3r cos theta + 2 \ [4pt] r sin theta − 3r cos theta & = 2 \ [4pt] r ( sin theta − 3 cos theta) & = 2 && text {Isolate} r. \ [4pt] r & = dfrac {2} { sin theta − 3 cos theta} && text {Resolver para} r. end {align *} ]
Ejercicio ( PageIndex {4B} ):
Reescribe la ecuación cartesiana (y ^ 2 = 3 − x ^ 2 ) en forma polar.
- Respuesta
-
(r = sqrt {3} )
Identifica y grafica ecuaciones polares mediante la conversión a ecuaciones rectangulares
Hemos aprendido cómo convertir coordenadas rectangulares a coordenadas polares, y hemos visto que los puntos son realmente los mismos. También hemos transformado las ecuaciones polares en ecuaciones rectangulares y viceversa. Ahora demostraremos que sus gráficos, aunque están dibujados en diferentes cuadrículas, son idénticos.
Ejemplo ( PageIndex {6A} ): Graficar una ecuación polar mediante la conversión a una ecuación rectangular
Convierte la ecuación polar (r = 2 sec theta ) en una ecuación rectangular y dibuja su gráfica correspondiente.
Solución
La conversión es
[ begin {align *} r & = 2 sec theta \ r & = dfrac {2} { cos theta} \ r cos theta & = 2 \ x & = 2 end {align *} ]
Observe que la ecuación (r = 2 sec theta ) dibujada en la cuadrícula polar es claramente la misma que la línea vertical (x = 2 ) dibujada en la cuadrícula rectangular (consulte la Figura ( PageIndex {14} )). Así como (x = c ) es la forma estándar para una línea vertical en forma rectangular, (r = c sec theta ) es la forma estándar para una línea vertical en forma polar.
Una discusión similar demostraría que la gráfica de la función (r = 2 csc theta ) será la línea horizontal (y = 2 ). De hecho, (r = c csc theta ) es la forma estándar de una línea horizontal en forma polar, correspondiente a la forma rectangular (y = c ).
Ejemplo ( PageIndex {6B} ): Reescribir una ecuación polar en forma cartesiana
Reescribe la ecuación polar (r = dfrac {3} {1−2 cos theta} ) como una ecuación cartesiana.
Solución
El objetivo es eliminar ( theta ) y (r ), e introducir (x ) y (y ). Limpiamos la fracción y luego usamos la sustitución. Para reemplazar (r ) con (x ) y (y ), debemos usar la expresión (x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 ).
[ begin {align *} r & = dfrac {3} {1−2 cos theta} \ [4pt] r (1−2 cos theta) & = 3 \ [4pt ] r left (1−2 left ( dfrac {x} {r} right) right) & = 3 && text {Use} cos theta = dfrac {x} {r} text { eliminar} theta. \ [4pt] r − 2x & = 3 \ [4pt] r & = 3 + 2x && text {Isolate} r. \ [4pt] r ^ 2 & = {(3 + 2x)} ^ 2 && text {Cuadra ambos lados.} \ [4pt] x ^ 2 + y ^ 2 & = {(3 + 2x)} ^ 2 && text {Use} x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2. end {align *} ]
La ecuación cartesiana es (x ^ 2 + y ^ 2 = {(3 + 2x)} ^ 2 ). Sin embargo, para graficarlo, especialmente usando una calculadora gráfica o un programa de computadora, queremos aislar (y ).
[ begin {align *} x ^ 2 + y ^ 2 & = {(3 + 2x)} ^ 2 \ y ^ 2 & = {(3 + 2x)} ^ 2-x ^ 2 y & = pm sqrt {{(3 + 2x)} ^ 2-x ^ 2} end {align *} ]
Cuando toda nuestra ecuación ha cambiado de (r ) y ( theta ) a (x ) y (y ), podemos detenernos, a menos que se nos pida que resuelvamos (y ) o simplificar Ver Figura ( PageIndex {15} ).
La forma de “reloj de arena” del gráfico se llama una hipérbola . Las hipérbolas tienen muchas características y aplicaciones geométricas interesantes, que investigaremos más a fondo en Geometría analítica .
Análisis
En este ejemplo, el lado derecho de la ecuación se puede expandir y simplificar aún más, como se muestra arriba. Sin embargo, la ecuación no se puede escribir como una sola función en forma cartesiana. Es posible que deseemos escribir la ecuación rectangular en la forma estándar de la hipérbola. Para hacer esto, podemos comenzar con la ecuación inicial.
[ begin {align *} x ^ 2 + y ^ 2 & = {(3 + 2x)} ^ 2 \ [4pt] x ^ 2 + y ^ 2 – {(3 + 2x)} ^ 2 & = 0 \ [4pt] x ^ 2 + y ^ 2− (9 + 12x + 4x ^ 2) & = 0 \ [4pt] x ^ 2 + y ^ 2−9−12x − 4x ^ 2 & = 0 \ −3x ^ 2−12x + y ^ 2 & = 9 && text {Multiplicar por} −1. \ [4pt] 3x ^ 2 + 12x − y ^ 2 & = −9 \ [4pt] 3 (x ^ 2 + 4x) −y ^ 2 & = – 9 && text {Organice los términos para completar el cuadrado para }X. \ [4pt] 3 (x ^ 2 + 4x + 4) −y ^ 2 & = −9 + 12 \ [4pt] 3 {(x + 2)} ^ 2 − y ^ 2 & = 3 \ [ 4pt] {(x + 2)} ^ 2− dfrac {y ^ 2} {3} & = 1 end {align *} ]
Ejercicio ( PageIndex {5} )
Reescribe la ecuación polar (r = 2 sin theta ) en forma cartesiana.
- Respuesta
-
(x ^ 2 + y ^ 2 = 2y ) o, en la forma estándar para un círculo, (x ^ 2 + {(y − 1)} ^ 2 = 1 )
Ejemplo ( PageIndex {7} ): Reescritura de una ecuación polar en forma cartesiana
Reescribe la ecuación polar (r = sin (2 theta) ) en forma cartesiana.
Solución
[ begin {alineado} r & = sin (2 theta) && text {Use la identidad de doble ángulo para seno.} \ [4pt] r & = 2 sin theta cos theta && text {Use} cos theta = dfrac {x} {r} text {y} sin theta = dfrac {y} {r}. \ r & = 2 left ( dfrac {x} {r} right) left ( dfrac {y} {r} right) && text {Simplify.} \ [4pt] r & = dfrac {2xy} {r ^ 2} && text {Multiplica ambos lados por} r ^ 2. \ [4pt] r ^ 3 & = 2xy \ [4pt] {(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ 3 & = 2xy && text {As} x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2, r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}. end {alineado} ]
Esta ecuación también se puede escribir como
({(x ^ 2 + y ^ 2)} ^ { frac {3} {2}} = 2xy text {o} x ^ 2 + y ^ 2 = {(2xy)} ^ { frac {2} {3}} )
Medios
Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con coordenadas polares.
Ecuaciones clave
|
Fórmulas de conversión |
( cos theta = dfrac {x} {r} rightarrow x = r cos theta ) ( sin theta = dfrac {y} {r} rightarrow y = r sin theta ) (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) ( tan theta = dfrac {y} {x} ) |
Conceptos clave
- La cuadrícula polar se representa como una serie de círculos concéntricos que se irradian desde el polo u origen.
- Para trazar un punto en la forma ((r, theta) ), ( theta> 0 ), muévase en sentido antihorario desde el eje polar en un ángulo de ( theta ), y luego extienda un segmento de línea dirigida desde el polo la longitud de (r ) en la dirección de ( theta ). Si ( theta ) es negativo, muévase en el sentido de las agujas del reloj y extienda un segmento de línea dirigida de la longitud de (r ) en la dirección de ( theta ). Ver Ejemplo ( PageIndex {1} ).
- Si (r ) es negativo, extienda el segmento de línea dirigida en la dirección opuesta de ( theta ). Ver Ejemplo ( PageIndex {2} ).
- Para convertir de coordenadas polares a coordenadas rectangulares, use las fórmulas (x = r cos theta ) y (y = r sin theta ). Ver Ejemplo ( PageIndex {3} ) y Ejemplo ( PageIndex {4} ).
- Para convertir de coordenadas rectangulares a coordenadas polares, use una o más de las fórmulas: ( cos theta = dfrac {x} {r} ), ( sin theta = dfrac {y} {r} ), ( tan theta = dfrac {y} {x} ) y (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ). Ver Ejemplo ( PageIndex {5} ).
- Transformar ecuaciones entre formas polares y rectangulares significa hacer las sustituciones apropiadas basadas en las fórmulas disponibles, junto con manipulaciones algebraicas. Consulte el Ejemplo ( PageIndex {6} ), el Ejemplo ( PageIndex {7} ) y el Ejemplo ( PageIndex {8} ).
- El uso de las sustituciones apropiadas hace posible reescribir una ecuación polar como una ecuación rectangular y luego representarla gráficamente en el plano rectangular. Consulte el Ejemplo ( PageIndex {9} ), el Ejemplo ( PageIndex {10} ) y el Ejemplo ( PageIndex {11} ).