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las matematicas

10.4: Evaluar y graficar funciones logarítmicas

                 

 

Objetivos de aprendizaje

 

Al final de esta sección, podrá:

 
         
  • Convertir entre forma exponencial y logarítmica
  •      
  • Evaluar funciones logarítmicas
  •      
  • Funciones logarítmicas gráficas
  •      
  • Resolver ecuaciones logarítmicas
  •      
  • Usar modelos logarítmicos en aplicaciones
  •  
 
 

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

 
         
  1. Resuelve: (x ^ {2} = 81 ).
    Si se perdió este problema, revise el Ejemplo 6.46.
  2.      
  3. Evalúe: (3 ^ {- 2} ).
    Si se perdió este problema, revise el Ejemplo 5.15.
  4.      
  5. Resuelve: (2 ^ {4} = 3x − 5 ).
    Si se perdió este problema, revise el Ejemplo 2.2.
  6.  
 

Hemos pasado algún tiempo encontrando la inversa de muchas funciones. Funciona bien para “deshacer” una operación con otra operación. Restando la suma “deshace”, la multiplicación “deshace” la división, sacando la raíz cuadrada “deshace” la cuadratura.

 

Al estudiar la función exponencial, vimos que es uno a uno, ya que sus gráficos pasan la prueba de la línea horizontal. Esto significa que una función exponencial tiene una inversa. Si probamos nuestro método algebraico para encontrar un inverso, nos encontramos con un problema.

 

(f (x) = a ^ {x} )

 

Reescribe con (y = f (x) ).

 

(y = a ^ {x} )

 

Intercambie las variables (x ) y (y ).

 

(x = a ^ {y} )

 

Resuelve para (y ).

 

¡Vaya! ¡No tenemos forma de resolver (y )!

 

Para tratar esto, definimos la función de logaritmo con base a como la inversa de la función exponencial (f (x) = a ^ {x} ). Usamos la notación (f ^ {- 1} (x) = log_ {a} x ) y decimos que la función inversa de la función exponencial es la función logarítmica.

 
 

Definición ( PageIndex {1} ): Función logarítmica

 

La función (f (x) = log_ {a} x ) es la función logarítmica con base (a ), donde (a> 0 , x> 0 ) y (a ≠ 1 ).

 

(y = log _ {a} x ) es equivalente a (x = a ^ {y} )

 
 

Convertir entre forma exponencial y logarítmica

 

Dado que las ecuaciones (y = log _ {a} x ) y (x = a ^ {y} ) son equivalentes, podemos ir y venir entre ellas. Este suele ser el método para resolver algunas ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Para ayudar con la conversión de ida y vuelta, echemos un vistazo a las ecuaciones. Ver Figura 10.3.1 . Observe las posiciones del exponente y la base.

 
This figure shows the expression y equals log sub a of x, where y is the exponent and a is the base. Next to this expression we have x equals a to the y, where again y is the exponent and a is the base.  
Figura 10.3.1
 
 

Si nos damos cuenta de que el logaritmo es el exponente, facilita la conversión. Es posible que desee repetir, “base al exponente nos da el número”.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

Convertir a forma logarítmica:

 
         
  1. (2 ^ {3} = 8 )
  2.      
  3. (5 ^ { frac {1} {2}} = sqrt {5} )
  4.      
  5. ( left ( frac {1} {2} right) ^ {x} = frac {1} {16} )
  6.  
 

Solución :

 
In part (a) we have 2 to the 3 power equals 8, where the 2 is red and the 3 is blue. Following this, we have blue y equals log sub red a of x. Then 3 equals log sub 2 of 8. Hence, if 2 cubed equals 8, then 3 equals log sub 2 of 8. In part (b) we have 5 to the 1 over 2 power equals square root of 5, where the 5 is red and the 1 over 2 is blue. Following this, we have blue y equals log sub red a of x. Then 1 over 2 equals log sub 5 of the square root of 5. Hence, if 5 to the 1 over 2 power equals the square root of 5, then 1 over 2 equals log sub 5 of the square root of 5. In part (c) we have 1 over 2 to the x power equals 1 over 16, where the 1 over 2 is red and the x is blue. Following this, we have blue y equals log sub red a of x. Then x equals log sub 1 over 2 of 1 over 16. Hence, if 1 over 2 to the x power equals 1 over 16, then x equals log sub 1 over 2 of 1 over 16.  
Figura 10.3.2
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {1} )

 

Convertir a forma logarítmica:

 
         
  1. (3 ^ {2} = 9 )
  2.      
  3. (7 ^ { frac {1} {2}} = sqrt {7} )
  4.      
  5. ( left ( frac {1} {3} right) ^ {x} = frac {1} {27} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( log _ {3} 9 = 2 )
  2.          
  3. ( log _ {7} sqrt {7} = frac {1} {2} )
  4.          
  5. ( log _ { frac {1} {3}} frac {1} {27} = x )
  6.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {2} )

 

Convertir a forma logarítmica:

 
         
  1. (4 ^ {3} = 64 )
  2.      
  3. (4 ^ { frac {1} {3}} = sqrt [3] {4} )
  4.      
  5. ( left ( frac {1} {2} right) ^ {x} = frac {1} {32} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. ( log _ {4} 64 = 3 )
  2.          
  3. ( log _ {4} sqrt [3] {4} = frac {1} {3} )
  4.          
  5. ( log _ { frac {1} {2}} frac {1} {32} = x )
  6.      
     
 
 
 

En el siguiente ejemplo hacemos lo contrario: convertir la forma logarítmica en forma exponencial.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

Convertir a forma exponencial:

 
         
  1. (2 = log _ {8} 64 )
  2.      
  3. (0 = log _ {4} 1 )
  4.      
  5. (- 3 = log _ {10} frac {1} {1000} )
  6.  
 

Solución :

 
In part (a) we have 2 equals log sub 8 of 64, where the 2 is blue and the 8 is red. Following this, we have x equals red a to the blue y power. Then 64 equals 8 squared. Hence, if 2 equals log sub 8 of 64, then 64 equals 8 squared. In part (b) we have 0 equals log sub 4 of 1, where the 0 is blue and the 4 is red. Following this, we have x equals red a to the blue y power. Then 1 equals 4 to the zero power. Hence, if 0 equals log sub 4 of 1, then 1 equals 4 to the zero power. In part (c) we have negative 3 equals log sub 10 of 1 over 1000, where the negative 3 is blue and the 10 is red. Following this, we have x equals red a to the blue y power. Then 1 over 1000 equals 10 to the negative three power. Hence, if negative 3 equals log sub 10 of 1 over 1000, then 1 over 1000 equals 10 to the negative 3 power.  
Figura 10.3.3
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {3} )

 

Convertir a forma exponencial:

 
         
  1. (3 = log _ {4} 64 )
  2.      
  3. (0 = log _ {x} 1 )
  4.      
  5. (- 2 = log _ {10} frac {1} {100} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (64 = 4 ^ {3} )
  2.          
  3. (1 = x ^ {0} )
  4.          
  5. ( frac {1} {100} = 10 ^ {- 2} )
  6.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {4} )

 

Convertir a forma exponencial:

 
         
  1. (3 = log _ {3} 27 )
  2.      
  3. (0 = log _ {x} 1 )
  4.      
  5. (- 1 = log _ {10} frac {1} {10} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (27 = 3 ^ {3} )
  2.          
  3. (1 = x ^ {0} )
  4.          
  5. ( frac {1} {10} = 10 ^ {- 1} )
  6.      
     
 
 
 

Evaluar funciones logarítmicas

 

Podemos resolver y evaluar ecuaciones logarítmicas utilizando la técnica de convertir la ecuación a su ecuación exponencial equivalente.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

Encuentre el valor de (x ):

 
         
  1. ( log _ {x} 36 = 2 )
  2.      
  3. ( log _ {4} x = 3 )
  4.      
  5. ( log _ { frac {1} {2}} frac {1} {8} = x )
  6.  
 

Solución :

 

a.

 

( log _ {x} 36 = 2 )

 

Convertir a forma exponencial.

 

(x ^ {2} = 36 )

 

Resuelve la cuadrática.

 

(x = 6, quad cancel {x = -6} )

 

La base de una función logarítmica debe ser positiva, por lo que eliminamos (x = −6 ).

 

(x = 6 quad ) Por lo tanto, ( log _ {6} 36 = 2 )

 

b.

 

( log _ {4} x = 3 )

 

Convertir a forma exponencial.

 

(4 ^ {3} = x )

 

Simplificar.

 

(x = 64 quad ) Por lo tanto (, log _ {4} 64 = 3 )

 

c.

 

( log _ { frac {1} {2}} frac {1} {8} = x )

 

Convertir a forma exponencial.

 

( left ( frac {1} {2} right) ^ {x} = frac {1} {8} )

 

Reescribe ( frac {1} {8} ) como ( left ( frac {1} {2} right) ^ {3} ).

 

( left ( frac {1} {2} right) ^ {x} = left ( frac {1} {2} right) ^ {3} )

 

Con la misma base, los exponentes deben ser iguales.

 

(x = 3 quad ) Por lo tanto ( log _ { frac {1} {2}} frac {1} {8} = 3 )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {5} )

 

Encuentre el valor de (x ):

 
         
  1. ( log _ {x} 64 = 2 )
  2.      
  3. ( log _ {5} x = 3 )
  4.      
  5. ( log _ { frac {1} {2}} frac {1} {4} = x )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (x = 8 )
  2.          
  3. (x = 125 )
  4.          
  5. (x = 2 )
  6.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {6} )

 

Encuentre el valor de (x ):

 
         
  1. ( log _ {x} 81 = 2 )
  2.      
  3. ( log _ {3} x = 5 )
  4.      
  5. ( log _ { frac {1} {3}} frac {1} {27} = x )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (x = 9 )
  2.          
  3. (x = 243 )
  4.          
  5. (x = 3 )
  6.      
     
 
 
 

Cuando vemos una expresión como (log_ {3} 27 ), podemos encontrar su valor exacto de dos maneras. ¿Por inspección nos damos cuenta de que significa ” (3 ) a qué potencia será (27 )”? Como (3 ^ {3} = 27 ), sabemos (log_ {3} 27 = 3 ). Una forma alternativa es establecer la expresión igual a (x ) y luego convertirla en una ecuación exponencial.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Encuentre el valor exacto de cada logaritmo sin usar una calculadora:

 
         
  1. ( log _ {5} 25 )
  2.      
  3. ( log _ {9} 3 )
  4.      
  5. ( log _ {2} frac {1} {16} )
  6.  
 

Solución :

 

a.

 

( log _ {5} 25 )

 

(5 ) a qué poder será (25 )?

 

( log _ {5} 25 = 2 )

 

O

 

Establezca la expresión igual a (x ).

 

( log _ {5} 25 = x )

 

Cambiar a forma exponencial.

 

(5 ^ {x} = 25 )

 

Reescribe (25 ) como (5 ^ {2} ).

 

(5 ^ {x} = 5 ^ {2} )

 

Con la misma base, los exponentes deben ser iguales.

 

(x = 2 quad ) Por lo tanto (, log _ {5} 25 = 2 ).

 

b.

 

( log _ {9} 3 )

 

Establezca la expresión igual a (x ).

 

( log _ {9} 3 = x )

 

Cambiar a forma exponencial.

 

(9 ^ {x} = 3 )

 

Reescribe (9 ) como (3 ^ {2} ).

 

( left (3 ^ {2} right) ^ {x} = 3 ^ {1} )

 

Simplifica los exponentes.

 

(3 ^ {2 x} = 3 ^ {1} )

 

Con la misma base, los exponentes deben ser iguales.

 

(2 x = 1 )

 

Resuelve la ecuación.

 

(x = frac {1} {2} quad ) Por lo tanto (, log _ {9} 3 = frac {1} {2} ).

 

c.

 

( log _ {2} frac {1} {16} )

 

Establezca la expresión igual a (x ).

 

( log _ {2} frac {1} {16} = x )

 

Cambiar a forma exponencial.

 

(2 ^ {x} = frac {1} {16} )

 

Reescribe (16 ) como (2 ^ {4} ).

 

(2 ^ {x} = frac {1} {2 ^ {4}} )

 

(2 ^ {x} = 2 ^ {- 4} )

 

Con la misma base, los exponentes deben ser iguales.

 

(x = -4 quad ) Por lo tanto (, log _ {2} frac {1} {16} = – 4 ).

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {7} )

 

Encuentre el valor exacto de cada logaritmo sin usar una calculadora:

 
         
  1. ( log _ {12} 144 )
  2.      
  3. ( log _ {4} 2 )
  4.      
  5. ( log _ {2} frac {1} {32} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (2 )
  2.          
  3. ( frac {1} {2} )
  4.          
  5. (- 5 )
  6.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {8} )

 

Encuentre el valor exacto de cada logaritmo sin usar una calculadora:

 
         
  1. ( log _ {9} 81 )
  2.      
  3. ( log _ {8} 2 )
  4.      
  5. ( log _ {3} frac {1} {9} )
  6.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (2 )
  2.          
  3. ( frac {1} {3} )
  4.          
  5. (- 2 )
  6.      
     
 
 
 

Funciones logarítmicas gráficas

 

Para graficar una función logarítmica (y = log_ {a} x ), es más fácil convertir la ecuación a su forma exponencial, (x = a ^ {y} ). Generalmente, cuando buscamos pares ordenados para la gráfica de una función, generalmente elegimos un valor (x ) y luego determinamos su valor (y ) correspondiente. En este caso, puede resultarle más fácil elegir valores (y ) y luego determinar su valor (x ) correspondiente.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Gráfico (y = log _ {2} x ).

 

Solución :

 

Para graficar la función, primero reescribiremos la ecuación logarítmica, (y = log _ {2} x ), en forma exponencial, (2 ^ {y} = x ).

 

Usaremos el trazado de puntos para graficar la función. Será más fácil comenzar con los valores de (y ) y luego obtener (x ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   
Tabla 10.3.1
(y ) (2 ^ {y} = x ) ((x, y) )
(- 2 ) (2 ^ {- 2} = frac {1} {2 ^ {2}} = frac {1} {4} ) (( frac {1} {4}, 2) )
(- 1 ) (2 ^ {- 1} = frac {1} {2 ^ {1}} = frac {1} {2} ) (( frac {1} {2}, – 1) )
(0 ) (2 ^ {0} = 1 ) ((1,0) )
(1 ) (2 ^ {1} = 2 ) ((2,1) )
(2 ) (2 ^ {2} = 4 ) ((4,2) )
(3 ) (2 ^ {3} = 8 ) ((8,3) )
 

 

This figure shows the logarithmic curve going through the points (1 over 2, negative 1), (1, 0), and (2, 1).  
Figura 10.3.4
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {9} )

 

Gráfico: (y = log _ {3} x ).

 
     
Respuesta
     
     
This figure shows the logarithmic curve going through the points (1 over 3, negative 1), (1, 0), and (3, 1).      
Figura 10.3.5
     
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {10} )

 

Gráfico: (y = log _ {5} x ).

 
     
Respuesta
     
     
This figure shows the logarithmic curve going through the points (1 over 5, negative 1), (1, 0), and (5, 1).      
Figura 10.3.6
     
     
 
 
 

Las gráficas de (y = log _ {2} x, y = log _ {3} x ), y (y = log _ {5} x ) son la forma que esperamos de una función logarítmica donde (a> 1 ).

 

Notamos que para cada función el gráfico contiene el punto ((1,0) ). Esto tiene sentido porque (0 = log_ {a} 1 ) significa (a ^ {0} = 1 ) que es cierto para cualquier (a ).

 

La gráfica de cada función también contiene el punto ((a, 1) ). Esto tiene sentido ya que (1 = log _ {a} a ) significa (a ^ {1} = a ). lo cual es cierto para cualquier (a ).

 

Observe también, el gráfico de cada función (y = log _ {a} x ) también contiene el punto ( left ( frac {1} {a}, – 1 right) ). Esto tiene sentido ya que (- 1 = log _ {a} frac {1} {a} ) significa (a ^ {- 1} = frac {1} {a} ), lo cual es cierto para cualquiera (a ).

 

Mira cada gráfico nuevamente. Ahora veremos que muchas características de la función logaritmo son simplemente “imágenes especulares” de las características de la función exponencial correspondiente.

 

¿Cuál es el dominio de la función? El gráfico nunca golpea el eje (y ). El dominio es todos los números positivos. Escribimos el dominio en notación de intervalo como ((0, ∞) ).

 

¿Cuál es el rango para cada función? De los gráficos podemos ver que el rango es el conjunto de todos los números reales. No hay restricción en el rango. Escribimos el rango en notación de intervalo como ((- ∞, ∞) ).

 

Cuando el gráfico se acerca al eje (y ) muy cerca pero nunca lo cruza, llamamos a la línea (x = 0 ), el eje (y ), una asíntota vertical.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
Tabla 10.3.2: Propiedades de la gráfica de (y = log _ {a} x ) When (a> 1 )
Dominio ((0, infty) )
Rango ((- infty, infty) )
(x ) – intercepción ((1,0) )
(y ) – intercepción Ninguno
Contiene ((a, 1), left ( frac {1} {a}, – 1 right) )
Asíntota (y ) – eje
 

 

This figure shows the logarithmic curve going through the points (1 over a, negative 1), (1, 0), and (a, 1).  
Figura 10.3.7
 
 

Nuestro siguiente ejemplo analiza el gráfico de (y = log_ {a} x ) cuando (0  

 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Gráfico (y = log _ { frac {1} {3}} x ).

 

Solución :

 

Para graficar la función, primero reescribiremos la ecuación logarítmica, (y = log _ { frac {1} {3}} x ), en forma exponencial, ( left ( frac {1 } {3} right) ^ {y} = x ).

 

Usaremos el trazado de puntos para graficar la función. Será más fácil comenzar con los valores de (y ) y luego obtener (x ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   
Tabla 10.3.3
(y ) ( left ( frac {1} {3} right) ^ {y} = x ) ((x, y) )
(- 2 ) ( left ( frac {1} {3} right) ^ {- 2} = 3 ^ {2} = 9 ) ((9, -2) )
(- 1 ) ( left ( frac {1} {3} right) ^ {- 1} = 3 ^ {1} = 3 ) ((3, -1) )
(0 ) ( left ( frac {1} {3} right) ^ {0} = 1 ) ((1,0) )
(1 ) ( left ( frac {1} {3} right) ^ {1} = frac {1} {3} ) ( left ( frac {1} {3}, 1 right) )
(2 ) ( left ( frac {1} {3} right) ^ {2} = frac {1} {9} ) ( left ( frac {1} {9}, 2 right) )
(3 ) ( left ( frac {1} {3} right) ^ {3} = frac {1} {27} ) ( left ( frac {1} {27}, 3 right) )
 
This figure shows the logarithmic curve going through the points (1 over 3, 1), (1, 0), and (3, negative 1).
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {11} )

 

Gráfico: (y = log _ { frac {1} {2}} x ).

 
     
Respuesta
     
     
This figure shows the logarithmic curve going through the points (1 over 2, 1), (1, 0), and (2, negative 1).
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {12} )

 

Gráfico: (y = log _ { frac {1} {4}} x ).

 
     
Respuesta
     
     
This figure shows the logarithmic curve going through the points (1 over 4, 1), (1, 0), and (4, negative 1).
     
 
 
 

Ahora, veamos los gráficos (y = log _ { frac {1} {2}} x, y = log _ { frac {1} {3}} x ) y ( y = log _ { frac {1} {4}} x ), por lo que podemos identificar algunas de las propiedades de las funciones logarítmicas donde (0  

Las gráficas de todos tienen la misma forma básica. Si bien esta es la forma que esperamos de una función logarítmica donde (0  

Notamos que para cada función nuevamente, el gráfico contiene los puntos, ((1,0), (a, 1), left ( frac {1} {a}, – 1 right) ) Esto tiene sentido por las mismas razones que discutimos anteriormente.

 

Notamos que el dominio y el rango también son iguales: el dominio es ((0, ∞) ) y el rango es ((- ∞, ∞) ). El eje (y ) es nuevamente la asíntota vertical.

 

Resumiremos estas propiedades en el cuadro a continuación. Que también incluyen cuando (a> 1 ).

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   
Tabla 10.3.4: Propiedades de la gráfica de (y = log _ {a} x )
Cuando (a> 1 ) Cuando (0
((0, infty) ) Dominio ((0, infty) )
((- infty, infty) ) Rango ((- infty, infty) )
((1,0) ) (x ) – intercepción ((1,0) )
Ninguno (y ) – intercepción Ninguno
((a, 1), left ( frac {1} {a}, – 1 right) ) Contiene ((a, 1), left ( frac {1} {a}, – 1 right) )
(y ) -axis Asíntota (y ) -axis
Creciente Forma básica Disminuyendo
 
This figure shows that, for a greater than 1, the logarithmic curve going through the points (1 over a, negative 1), (1, 0), and (a, 1). This figure shows that, for a greater than 0 and less than 1, the logarithmic curve going through the points (a, 1), (1, 0), and (1 over a, negative 1).  
Figura 10.3.11
 
 

Hablamos anteriormente sobre cómo la función logarítmica (f ^ {- 1} (x) = log _ {a} x ) es la inversa de la función exponencial (f (x) = a ^ {x } ). Los gráficos en Figura 10.3.12 muestran las funciones exponenciales (azul) y logarítmicas (rojo) en el mismo gráfico para (a> 1 ) y (0  

This figure shows that, for a greater than 1, the logarithmic curve going through the points (1 over a, negative 1), (1, 0), and (a, 1). It also shows the exponential curve going through the points (1, 1 over a), (0, 1), and (1, a) along with the line y equals x. The logarithmic curve is a mirror image of the exponential curve across the y equals x line. This figure shows that, for a greater than 0 and less than 1, the logarithmic curve going through the points (a, 1), (1, 0), and (1 over a, negative 1). It also shows the exponential curve going through the points (negative 1, 1 over a), (0, 1), and (1, a) along with the line y equals x. The logarithmic curve is a mirror image of the exponential curve across the y equals x line.  
Figura 10.3.12
 
 

Observe cómo los gráficos son reflejos entre sí a través de la línea (y = x ). Sabemos que esto es cierto para las funciones inversas. Mantener un visual en su mente de estos gráficos lo ayudará a recordar el dominio y el rango de cada función. Observe que el eje (x ) – es la asíntota horizontal para las funciones exponenciales y el eje (y ) – es la asíntota vertical para las funciones logarítmicas.

 

Resolver ecuaciones logarítmicas

 

Cuando hablamos de funciones exponenciales, presentamos el número (e ). Así como (e ) era una base para una función exponencial, también se puede usar como base para funciones logarítmicas. La función logarítmica con base (e ) se denomina función logarítmica natural . La función (f (x) = log _ {e} x ) generalmente se escribe (f (x) = ln x ) y la leemos como “el en of (x )”.

 
 

Definición ( PageIndex {2} ): Función logarítmica natural

 

La función (f (x) = ln x ) es la función logarítmica natural con base (e ), donde (x> 0 ) .

 

(y = ln x ) es equivalente a (x = e ^ {y} )

 
 

Cuando la base de la función logaritmo es (10 ​​), la llamamos función logarítmica común y la base no se muestra. Si no se muestra la base (a ) de un logaritmo, asumimos que es (10 ​​).

 
 

Definición ( PageIndex {3} ): Función logarítmica común

 

La función (f (x) = log x ) es la función logarítmica común con base (10 ​​), donde (x> 0 ) .

 

(y = log x ) es equivalente a (x = 10 ^ {y} )

 
 
It will be important for you to use your calculator to evaluate both common and natural logarithms. Find the log and ln keys on your calculator.
 

Para resolver ecuaciones logarítmicas, una estrategia es cambiar la ecuación a forma exponencial y luego resolver la ecuación exponencial como lo hicimos antes. A medida que resolvemos ecuaciones logarítmicas, (y = log_ {a} x ), debemos recordar eso para la base (a ), (a> 0 ) y (a ≠ 1 ). Además, el dominio es (x> 0 ). Al igual que con las ecuaciones radicales, debemos verificar nuestras soluciones para eliminar cualquier solución extraña.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Resolver:

 
         
  1. ( log _ {a} 49 = 2 )
  2.      
  3. ( ln x = 3 )
  4.  
 

Solución :

 

a.

 

( log _ {a} 49 = 2 )

 

Reescribe en forma exponencial.

 

(a ^ {2} = 49 )

 

Resuelve la ecuación usando la propiedad de raíz cuadrada.

 

(a = pm 7 )

 

La base no puede ser negativa, por lo que eliminamos (a = -7 ).

 

(a = 7, quad cancel {a = -7} )

 

Verificar. (a = 7 )

 

( begin {alineado} log _ {a} 49 & = 2 \ log_ {7} 49 & stackrel {?} {=} 2 \ 7 ^ {2} & stackrel {?} { =} 49 \ 49 & = 49 end {alineado} )

 

b.

 

( ln x = 3 )

 

Reescribe en forma exponencial.

 

(e ^ {3} = x )

 

Verificar. (x = e ^ {3} )

 

( begin {alineado} ln x & = 3 \ ln e ^ {3} & stackrel {?} {=} 3 \ e ^ {3} & = e ^ {3} final {alineado} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {13} )

 

Resolver:

 
         
  1. ( log _ {a} 121 = 2 )
  2.      
  3. ( ln x = 7 )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (a = 11 )
  2.          
  3. (x = e ^ {7} )
  4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {14} )

 

Resolver:

 
         
  1. ( log _ {a} 64 = 3 )
  2.      
  3. ( ln x = 9 )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (a = 4 )
  2.          
  3. (x = e ^ {9} )
  4.      
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

Resolver:

 
         
  1. ( log _ {2} (3 x-5) = 4 )
  2.      
  3. ( ln e ^ {2 x} = 4 )
  4.  
 

Solución :

 

a.

 

( log _ {2} (3 x-5) = 4 )

 

Reescribe en forma exponencial.

 

(2 ^ {4} = 3 x-5 )

 

Simplificar.

 

(16 = 3 x-5 )

 

Resuelve la ecuación.

 

(21 = 3 x )

 

(7 = x )

 

Verificar. (x = 7 )

 

( begin {alineado} log _ {2} (3 x-5) & = 4 \ log_ {2} (3 cdot7-5) & stackrel {?} {=} 4 log_ {2} (16) & stackrel {?} {=} 4 \ 2 ^ {4} & stackrel {?} {=} 16 \ 16 & = 16 end {alineado} ) [19459003 ]  

b.

 

( ln e ^ {2 x} = 4 )

 

Reescribe en forma exponencial.

 

(e ^ {4} = e ^ {2 x} )

 

Dado que las bases son las mismas, los exponentes son iguales.

 

(4 = 2 x )

 

Resuelve la ecuación.

 

(2 = x )

 

Verificar. (x = 2 )

 

( begin {alineado} ln e ^ {2 x} & = 4 \ ln e ^ {2 cdot 2} & stackrel {?} {=} 4 \ ln e ^ { 4} & = 4 \ e ^ {4} & = e ^ {4} end {alineado} )

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {15} )

 

Resolver:

 
         
  1. ( log _ {2} (5 x-1) = 6 )
  2.      
  3. ( ln e ^ {3 x} = 6 )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (x = 13 )
  2.          
  3. (x = 2 )
  4.      
     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {16} )

 

Resolver:

 
         
  1. ( log _ {3} (4 x + 3) = 3 )
  2.      
  3. ( ln e ^ {4 x} = 4 )
  4.  
 
     
Respuesta
     
     
             
  1. (x = 6 )
  2.          
  3. (x = 1 )
  4.      
     
 
 
 

Usar modelos logarítmicos en aplicaciones

 

Hay muchas aplicaciones modeladas por ecuaciones logarítmicas. Primero veremos la ecuación logarítmica que da el nivel de sonido en decibelios (dB). Los decibelios van desde (0 ), que apenas es audible hasta (160 ), que puede romper un tímpano. El (10 ​​^ {- 12} ) en la fórmula representa la intensidad del sonido que apenas es audible.

 
 

Definición ( PageIndex {4} )

 

Nivel de decibelios de sonido

 

El nivel de volumen, (D ), medido en decibelios, de un sonido de intensidad, (I ), medido en vatios por pulgada cuadrada es

 

(D = 10 log left ( frac {I} {10 ^ {- 12}} right) )

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

La exposición prolongada al ruido que mide (85 ) dB puede causar daños permanentes en el oído interno, lo que provocará una pérdida auditiva. ¿Cuál es el nivel de decibelios de la música que llega a través de los auriculares con intensidad (10 ​​^ {- 2} ) vatios por pulgada cuadrada?

 

Solución :

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {17} )

 

¿Cuál es el nivel de decibelios de uno de los nuevos lavaplatos silenciosos con intensidad (10 ​​^ {- 7} ) vatios por pulgada cuadrada?

 
     
Respuesta
     
     

Los lavaplatos silenciosos tienen un nivel de decibelios de (50 ) dB.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {18} )

 

¿Cuál es el tráfico pesado de la ciudad a nivel de decibelios con intensidad (10 ​​^ {- 3} ) vatios por pulgada cuadrada?

 
     
Respuesta
     
     

El nivel de decibelios de tráfico pesado es (90 ) dB.

     
 
 
 

La magnitud (R ) de un terremoto se mide mediante una escala logarítmica llamada escala de Richter . El modelo es (R = log I ), donde (I ) es la intensidad de la onda de choque. Este modelo proporciona una forma de medir la intensidad del terremoto .

 
 

Definición ( PageIndex {5} ): Intensidad del terremoto

 

La magnitud (R ) de un terremoto se mide por (R = log I ), donde (I ) es la intensidad de su onda de choque.

 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

En 1906, San Francisco experimentó un terremoto intenso con una magnitud de (7,8 ) en la escala de Richter. Más del (80 )% de la ciudad fue destruida por los incendios resultantes. En 2014, Los Ángeles experimentó un terremoto moderado que midió (5.1 ) en la escala de Richter y causó daños por $ (108 ) millones de dólares. Compara las intensidades de los dos terremotos.

 

Solución :

 

Para comparar las intensidades, primero necesitamos convertir las magnitudes en intensidades usando la fórmula logarítmica. Luego estableceremos una relación para comparar las intensidades.

 

Convierta las magnitudes en intensidades.

 

(R = log I )

 

Terremoto de 1906

 

(7.8 = log I )

 

Convertir a forma exponencial.

 

(I = 10 ^ {7.8} )

 

Terremoto de 2014

 

(5.1 = log I )

 

Convertir a forma exponencial.

 

(I = 10 ^ {5.1} )

 

Forme una relación de las intensidades.

 

( frac { text {Intensity for} 1906} { text {Intensity for} 2014} )

 

Sustituir en los valores.

 

( frac {10 ^ {7.8}} {10 ^ {5.1}} )

 

Divide restando los exponentes.

 

(10 ​​^ {2.7} )

 

Evaluar.

 

(501 )

 

La intensidad del terremoto de 1906 fue aproximadamente (501 ) veces la intensidad del terremoto de 2014.

 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {19} )

 

En 1906, San Francisco experimentó un terremoto intenso con una magnitud de (7,8 ) en la escala de Richter. En 1989, el terremoto de Loma Prieta también afectó el área de San Francisco y midió (6.9 ) en la escala de Richter. Compara las intensidades de los dos terremotos.

 
     
Respuesta
     
     

La intensidad del terremoto de 1906 fue aproximadamente (8 ) veces la intensidad del terremoto de 1989.

     
 
 
 
 

Ejercicio ( PageIndex {20} )

 

En 2014, Chile experimentó un terremoto intenso con una magnitud de (8.2 ) en la escala de Richter. En 2014, Los Ángeles también experimentó un terremoto que midió (5.1 ) en la escala de Richter. Compara las intensidades de los dos terremotos.

 
     
Respuesta
     
     

La intensidad del terremoto en Chile fue aproximadamente (1,259 ) veces la intensidad del terremoto en Los Ángeles.

     
 
 
 

Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones y prácticas adicionales con la evaluación y representación gráfica de funciones logarítmicas.

 

Conceptos clave

 
         
  • Propiedades del gráfico de (y = log _ {a} x ):
  •  
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             
Cuando (a> 1 ) Cuando (0
((0, infty) ) Dominio ((0, infty) )
((- infty, infty) ) Rango ((- infty, infty) )
((1,0) ) (x ) – intercepción ((1,0) )
Ninguno (y ) – intercepción Ninguno
((a, 1), left ( frac {1} {a}, – 1 right) ) Contiene ((a, 1), left ( frac {1} {a}, – 1 right) )
(y ) -axis Asíntota (y ) -axis
Creciente Forma básica Disminuyendo
 
This figure shows that, for a greater than 1, the logarithmic curve going through the points (1 over a, negative 1), (1, 0), and (a, 1). This figure shows that, for a greater than 0 and less than 1, the logarithmic curve going through the points (a, 1), (1, 0), and (1 over a, negative 1).  
Figura 10.3.11
 
 
         
  • Nivel de sonido en decibelios: El nivel de volumen, (D ), medido en decibelios, de un sonido de intensidad, (I ), medido en vatios por pulgada cuadrada es (D = 10 log left ( frac {I} {10 ^ {- 12}} right) ).
  •      
  • Intensidad del terremoto: La magnitud (R ) de un terremoto se mide por (R = log I ), donde (I ) es la intensidad de su onda expansiva.
  •  
 

Glosario

 
     
función logarítmica común
     
La función (f (x) = log x ) es la función logarítmica común con base (10 ​​), donde (x> 0 ).      

(y = log x ) es equivalente a (x = 10 ^ {y} )

     
 
 
     
función logarítmica
     
La función (f (x) = log _ {a} x ) es la función logarítmica con base (a ), donde (a> 0, x> 0 ) y (a ≠ 1 ).      

(y = log _ {a} x ) es equivalente a (x = a ^ {y} )

     
 
 
     
función logarítmica natural
     
La función (f (x) = ln x ) es la función logarítmica natural con base (e ), donde (x> 0 ).      

(y = ln x ) es equivalente a (x = e ^ {y} )

     
 
 
                                  
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