10.4: Resolver aplicaciones modeladas por ecuaciones cuadráticas

10.4: Resolver aplicaciones modeladas por ecuaciones cuadráticas

         

                                                                                                                                          
                                                              
                 

Al final de esta sección, podrá:

 
         
  • Resolver aplicaciones modeladas por ecuaciones cuadráticas
  •  
 
 

 

Antes de comenzar, realiza este cuestionario de preparación.

 
         
  1. La suma de dos números impares consecutivos es −100. Encuentra los números.
    Si se perdió este problema, revise [enlace] .
  2.      
  3. El área del mural triangular es de 64 pies cuadrados. La base es de 16 pies. Encuentra la altura.
    Si se perdió este problema, revise [enlace] .
  4.      
  5. Halla la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con patas de 5 pulgadas y 12 pulgadas.
    Si se perdió este problema, revise [enlace] .
  6.  
 
 
 

Resolver aplicaciones de la fórmula cuadrática

 

Resolvimos algunas aplicaciones modeladas por ecuaciones cuadráticas antes, cuando el único método que teníamos para resolverlas era factorizar. Ahora que tenemos más métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, analizaremos nuevamente las aplicaciones. Para comenzar, copiaremos nuestra estrategia habitual de resolución de problemas aquí para que podamos seguir los pasos.

 
 

Definición: USE LA ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

 
         
  1. Lea el problema. Asegúrese de que se entiendan todas las palabras e ideas.
  2.      
  3. Identifique lo que estamos buscando.
  4.      
  5. Nombre lo que estamos buscando. Elija una variable para representar esa cantidad.
  6.      
  7. Traduzca en una ecuación. Puede ser útil repetir el problema en una oración con toda la información importante. Luego, traduce la oración en inglés a una ecuación de álgebra.
  8.      
  9. Resuelve la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.
  10.      
  11. Marque la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.
  12.      
  13. Responda la pregunta con una oración completa.
  14.  
 
 

Hemos resuelto aplicaciones de números que involucraban enteros pares consecutivos y enteros impares consecutivos modelando la situación con lineal ecuaciones Recuerde, notamos que cada número entero es 2 más que el número que lo precede. Si llamamos al primero n, entonces el siguiente es (n + 2 ). El siguiente sería (n + 2 + 2 ) o (n + 4 ). Esto también es cierto cuando usamos enteros impares. A continuación se muestra un conjunto de enteros pares y un conjunto de enteros impares.

 

[ begin {array} {cccc} {} & { textbf {enteros pares consecutivos}} & {} y { textbf {enteros impares consecutivos}} \ {} y {64, 66, 68} & {} Y {77, 79, 81} \ {n} y {1 ^ {st} text {número par}} y {n} y {1 ^ {st} text {número impar}} \ {n + 2} y {2 ^ {nd} text {número par}} y {n + 2} y {2 ^ {nd} text {número impar}} \ {n + 4} y {3 ^ {rd} text {número par}} y {n + 4} y {3 ^ {rd} text {número impar}} \ end {array} ]

 

Algunas aplicaciones de enteros impares consecutivos o enteros pares consecutivos se modelan mediante ecuaciones cuadráticas. La notación anterior será útil cuando nombre las variables.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {1} )

 

El producto de dos enteros impares consecutivos es 195. Encuentra los enteros.

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Paso 1. Lea el problema.
Paso 2. Identifique lo que estamos buscando. Estamos buscando dos enteros impares consecutivos.
Paso 3. Nombre lo que estamos buscando. Sea (n = ) el primer entero impar.
(n + 2 = ) el siguiente entero impar
Paso 4. Traduzca en una ecuación. Indique el problema en una oración. «El producto de dos enteros impares consecutivos es 195». El producto del primer entero impar y el segundo entero impar es 195.
Traducir a una ecuación. .
Paso 5. Resuelve la ecuación. Distribuir. .
Resta 195 para obtener la ecuación en forma estándar. .
Identifique los valores a, b, c . .
Escribe la ecuación cuadrática. .
Luego sustituya los valores de a, b, c. . .
Simplifica. .
.
Simplifica el radical. .
Reescribe para mostrar dos soluciones. .
Resuelve cada ecuación. .
.
Hay dos valores de n que son soluciones. Esto nos dará dos pares de enteros impares consecutivos para nuestra solución.                  

Primer entero impar n = 13

                 

siguiente entero impar n + 2
13 + 2
15

                 
                 

Primer entero impar n = −15

                 

siguiente entero impar n + 2
−15 + 2
−13

                 
Paso 6. Marque la respuesta.
¿Funcionan estos pares?
¿Son enteros impares consecutivos?
¿Su producto es 195?
                 

13, 15, sí −13, −15, sí

                 

13⋅15 = 195, sí −13 (−15) = 195, sí

                 
Paso 7. Responda la pregunta. Los dos enteros impares consecutivos cuyo producto es 195 son 13, 15 y −13, −15.
     
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {2} )

 

El producto de dos enteros impares consecutivos es 99. Encuentra los enteros.

 
     
Respuesta
     
     

Dos números impares consecutivos cuyo producto es 99 son 9 y 11, y −9 y −11.

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {3} )

 

El producto de dos enteros impares consecutivos es 168. Encuentra los enteros.

 
     
Respuesta
     
     

Dos números pares consecutivos cuyo producto es 168 son 12 y 14, y −12 y −14.

     
 
 
 

Usaremos la fórmula para el área de un triángulo para resolver el siguiente ejemplo.

 
 

Definición: ÁREA DE UN TRIÁNGULO

 

Para un triángulo con base b y altura h, el área, A, viene dada por la fórmula (A = frac {1} {2} bh ).

 

The image shows a triangle with a horizontal side at the bottom labeled b and a vertical line coming up from the side b to the vertex of the other two sides of the triangle. This vertical line is labeled h.

 
 

Recuerde que, cuando resolvemos aplicaciones de geometría, es útil dibujar la figura.

 
 

Ejemplo ( PageIndex {4} )

 

Un arquitecto está diseñando la entrada de un restaurante. Ella quiere poner una ventana triangular sobre la puerta. Debido a restricciones de energía, la ventana puede tener un área de 120 pies cuadrados y el arquitecto quiere que el ancho sea 4 pies más del doble de la altura. Encuentra la altura y el ancho de la ventana.

 
     
Respuesta
     
          

Observe que las soluciones eran enteros. Eso nos dice que podríamos haber resuelto la ecuación factorizando.

     
     

Cuando escribimos la ecuación en forma estándar, (h ^ 2 + 2h − 120 = 0 ), podríamos haberla factorizado. Si lo hiciéramos, habríamos resuelto la ecuación ((h + 12) (h − 10) = 0 ).

     
     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {5} )

 

Halla las dimensiones de un triángulo cuyo ancho es cuatro más de seis veces su altura y tiene un área de 208 pulgadas cuadradas.

 
     
Respuesta
     
     

La altura del triángulo es de 8 pulgadas y el ancho es de 52 pulgadas.

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {6} )

 

Si un triángulo que tiene un área de 110 pies cuadrados tiene una altura que es dos pies menos del doble del ancho, ¿cuáles son sus dimensiones?

 
     
Respuesta
     
     

La altura del triángulo es de 20 pies y el ancho es de 11 pies.

     
 
 
  En los dos ejemplos anteriores, el número en el radical en la fórmula cuadrática era un cuadrado perfecto y, por lo tanto, las soluciones eran números racionales. Si obtenemos un número irracional como solución a un problema de aplicación, utilizaremos una calculadora para obtener un valor aproximado.  

El teorema de Pitágoras da la relación entre las piernas y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Usaremos el teorema de Pitágoras para resolver el siguiente ejemplo.

 
 

Definición: TEOREMA PYTHAGOREAN

 

En cualquier triángulo rectángulo, donde a y b son las longitudes de las patas y c es la longitud de la hipotenusa, (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 )

 

The image shows a right triangle with a horizontal side at the bottom labeled b, a vertical side on the left labeled a and the hypotenuse connecting the two is labeled c.

 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {7} )

 

Rene está configurando una pantalla de luces navideñas. Quiere hacer un «árbol» en forma de dos triángulos rectángulos, como se muestra a continuación, y tiene dos cadenas de luces de 10 pies para usar en los lados. Fijará las luces a la parte superior de un poste y a dos estacas en el suelo. Quiere que la altura del poste sea la misma que la distancia desde la base del poste hasta cada estaca. ¿Qué tan alto debe ser el poste?

 
     
Respuesta
     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              
Paso 1. Lea el problema. Haz un dibujo .
Paso 2. Identifique lo que estamos buscando. Estamos buscando la altura del poste.
Paso 3. Nombre lo que estamos buscando. La distancia desde la base del poste hasta cualquier estaca es la misma que la altura del poste. Sea (x = ) la altura del poste.
(x = ) la distancia desde el poste a la estaca
Cada lado es un triángulo rectángulo. Dibujamos una imagen de uno de ellos. .
Paso 4. Traduzca en una ecuación. Podemos usar el Teorema de Pitágoras para resolver x .
Escribe el teorema de Pitágoras. (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 )
Paso 5. Resuelve la ecuación. Sustituir. (x ^ 2 + x ^ 2 = 10 ^ 2 )
Simplificar. (2x ^ 2 = 100 )
Divide entre 2 para aislar la variable. ( frac {2x ^ 2} {2} = frac {100} {2} )
Simplificar. (x ^ 2 = 50 )
Use la propiedad de raíz cuadrada. (x = pm sqrt {50} )
Simplifica el radical. (x = pm5 sqrt {2} )
Reescribe para mostrar dos soluciones. (x = 5 sqrt {2} )
( not {x = −5 sqrt {2}} )
Aproxima este número a la décima más cercana con una calculadora. (x aprox 7.1 )
Paso 6. Marque la respuesta.
Comprueba por tu cuenta el Teorema de Pitágoras.
Paso 7. Responda la pregunta. El poste debe tener aproximadamente 7,1 pies de altura.
     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {8} )

 

El sol proyecta una sombra desde un asta de la bandera. La altura del asta de la bandera es tres veces la longitud de su sombra. La distancia entre el final de la sombra y la parte superior del asta de la bandera es de 20 pies. Encuentra la longitud de la sombra y la longitud del asta de la bandera. Redondea a la décima de pie más cercana.

 
     
Respuesta
     
     

La longitud de la sombra es de 6.3 pies y la longitud del asta de la bandera es de 18.9 pies

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {9} )

 

La distancia entre las esquinas opuestas de un campo rectangular es cuatro más que el ancho del campo. La longitud del campo es dos veces su ancho. Encuentra la distancia entre las esquinas opuestas. Redondea a la décima más cercana.

 
     
Respuesta
     
     

La distancia a la esquina opuesta es 3.2.

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {10} )

 

Mike quiere poner 150 pies cuadrados de césped artificial en su patio delantero. Esta es el área máxima de césped artificial permitida por su asociación de propietarios. Quiere tener un área rectangular de césped con una longitud de un pie menos de tres veces el ancho. Encuentra el largo y el ancho. Redondea a la décima de pie más cercana.

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {11} )

 

La longitud de un huerto rectangular de 200 pies cuadrados es cuatro pies menos del doble del ancho. Encuentra el largo y ancho del jardín. Redondea a la décima de pie más cercana ..

 
     
Respuesta
     
     

El ancho del jardín es de 11 pies y la longitud es de 18 pies.

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {12} )

 

Un mantel rectangular tiene un área de 80 pies cuadrados. El ancho es 5 pies más corto que el largo. ¿Cuál es el largo y el ancho del mantel? Redondea a la décima de pie más cercana.

 
     
Respuesta
     
     

El ancho del mantel es de 6.8 pies y la longitud es de 11.8 pies.

     
 
 
 

La altura de un proyectil disparado hacia arriba se modela mediante una ecuación cuadrática. La velocidad inicial, ( v_ {0} ) , impulsa el objeto hacia arriba hasta que la gravedad hace que el objeto vuelva a caer.

 
 

Definición: MOVIMIENTO PROYECTIL

 

La altura en pies, h, de un objeto disparado hacia arriba en el aire con velocidad inicial, (v_ {0} ), después de t segundos viene dada por la fórmula:

 

(h = −16t ^ 2 + v_ {0} t )

 
 

Podemos usar la fórmula para el movimiento de proyectiles para encontrar cuántos segundos le tomará a un fuego artificial alcanzar una altura específica.

 
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {13} )

 

Se dispara un fuego artificial hacia arriba con una velocidad inicial de 130 pies por segundo. ¿Cuántos segundos tomará alcanzar una altura de 260 pies? Redondea a la décima de segundo más cercana.

 
     
Respuesta
     
          
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {14} )

 

Se dispara una flecha desde el suelo hacia el aire a una velocidad inicial de 108 pies / seg. Use la fórmula (h = −16t ^ 2 + v_ {0} t ) para determinar cuándo la flecha estará a 180 pies del suelo. Redondea la décima de segundo más cercana.

 
     
Respuesta
     
     

La flecha alcanzará 180 en su ascenso en 3 segundos y en su descenso en 3,8 segundos.

     
 
 
 
 

Ejemplo ( PageIndex {15} )

 

Un hombre lanza una pelota al aire con una velocidad de 96 pies / seg. Use la fórmula (h = −16t ^ 2 + v_ {0} t ) para determinar cuándo la altura de la pelota será de 48 pies. Redondea a la décima de segundo más cercana.

 
     
Respuesta
     
     

La pelota alcanzará 48 pies al subir en 0,6 segundos y al bajar en 5,5 segundos.

     
 
 
Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y práctica para resolver problemas de palabras utilizando la ecuación cuadrática:
 
 
 
 

Conceptos clave

 
 
 

Glosario

 
 
 
     
enteros pares consecutivos
     
Los enteros consecutivos son incluso enteros que se suceden uno tras otro. Si un entero par está representado por n, el siguiente entero par consecutivo es (n + 2 ), y el siguiente después es (n + 4 ).
 
 
     
enteros impares consecutivos
     
Los enteros impares consecutivos son enteros impares que se suceden uno tras otro. Si un entero impar está representado por n, el siguiente entero impar consecutivo es (n + 2 ), y el siguiente después es (n + 4 ).
 
   
                                  
                                    
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